Cho töù dieän ABCD coù ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AD vuoâng goùc vôùi BC, AD = a & khoaûng caùch töø D ñeán BC baèng a. Cho hình choùp ñeàu S.ABCD coù taát caû caùc caïnh baèng[r]
(1)A MƠN: ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH
CHƯƠNG III DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN
Lý thuyết Bài tập
1. Cấp số cộng - Định nghóa
- Số hạng tổng quát. - Tính chất.
- Cơng thức tính tổng
Bài 1: Chứng tỏ dãy số với số hạng tổng quát an = 2n - cấp số cộng Cho biết số hạng đầu, tìm cơng sai d Tính S20
Bài 2: Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng sau: a 13 3 6 3 4 3 1 U U U U U b 26 18 2 5 2 3 8 6 U U U U
c/ 72 152 12 60 1170 u u u u
Bài 3: Sáu số lập thành cấp số cộng, tổng chúng 12, tổng bình phương chúng 64 Tìm sáu số
Bài 4: Năm số lập thành cấp số cộng biết tổng chúng tích chúng 45, tìm số
Bài 5: Bốn số lập thành cấp số cộng Tổng chúng 20, tổng nghịch đảo chúng 25/24 tìm số
2 Cấp số nhân - Định nghóa - Số hạng tổng quát. - Tính chất.
- Cơng thức tính tổng.
Bài 1: Tổng n số dãy số Sn= 3n-1 Tìm Un, chứng tỏ dãy số cho là cấp số nhân Tìm U1 cơng bội q
Bài 2: Tìm cấp số nhân có số hạng biết U3=3 U5=27
Bài 3: Người ta thiết kế tháp 11 tầng Diện tích tầng nửa diện tích tầng bên dưới, biết diện tích đế tháp 12288m2 Tính diện tích tầng
Bài 4: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân biết: a/ 384 192
uu b/ 144 72 u uu u
Bài 5: Cho CSN có U1=2 U3=18 Tính tổng 10 số hạng đầu CSN
Bài 6: Biết số x, y, z lập thành CSN, số x, 2y, 3z lập thành CSC Tìm CSN CHƯƠNG IV GIỚI HẠN
Lý thuyết Bài tập
1. Lý thuyết giới hạn dãy số
- Các giới hạn đặc biệt
- Phương pháp tính giới hạn dãy số.
1) n n n n 2 lim 3 2) n n n n 2 lim 3) 2 lim 4 n n n 4)
lim 23 2
n n n
n 5)
9
2
lim 3 2
n n n n n 6) n n n n 2 lim
7)
5 2 lim 2 n n n n
8) 6 5 lim n n n
9)
3 4 5 1
lim 2 2
3 n n n n
10)
1
1 lim 3 n n n n
11)
4
2 2 lim n n n
12) 2 lim n n n 13) lim 3 n n
n 14)
3 2 lim 2 n n n
n 15)
12 lim
3
n n n n 16) 1 lim n n
n 17) lim3 7 11 n
n 18) lim 2
n n
(2)Lý thuyết Bài tập 19) lim31 2n n3
20) lim3 n9 8n2 21)
1 2 lim n n n 22) 1 lim n n n 23) n n n lim
24)
1 lim n n
25) n nn lim
26) nn nn lim
27) ( 3) 5
5 ) (
lim
n n n n
28) lim 3n 1 2n 1 29) lim n2 n1 n 30)lim n2 n2 n1
31) limn n2 5 n
32) limn 1 n3
33) lim3 n2 n3 n
Giới hạn hàm số
- Dạng tính được. - Dạng vơ định : - Giới hạn bên
Bài 1: Tính giới hạn sau: a) 2 2 6 lim 3 2 x x x x x
b)
2 3 lim 4 x x x
c)
1 1 lim x x x
d)
2
2 7 3
lim 4 3 x x x x x
e)
3
lim 2
4
x x
x
x f)
2
lim 4 1
n n n g)
6 15 lim 2 5 x x x x x
h)
) 5 (
lim x2 x
x
k) lim 3 3
x
x x x
x
Bài 2: Tính giới hạn sau: a) 2 7 lim 3 x x x
b)
3 1 lim 2 x x x
c) 2 2
3 lim 2 x x x
d) 3 2
2 lim 3 x x x
Bài 3:Tính giới hạn sau: 1) 10 lim 2
2
x x
x x
x 2)
1
3 1 lim x x
x 3) x
x x 1 lim
1 4)
3 15 lim x x x
x 5)
15 lim x x x
x 6) ( 5)
1 lim
3
1
x x
x x 7) lim 3
2
x x
x x x
x 8) x x
x x
x
4
lim 2
4
9) 12 20
6
lim 22
4
x x
x x x 10) lim 2
2
x x
x x x
x 11)
4
lim 2
2
2
x x
x x x
x 12/ 2
6
lim 3 2
2
2
x x x
x x x 13/ 3 lim 2
4
x x
x
x 14) 2
3 lim 2 x x
x 15) x
x x 5 lim 16) lim x x
x 17) 1
lim
0
x
x
x 18) x x
x
x 6 3 3
1 lim 19) x x x x 1 lim
20) 25
3 lim 2 x x
x 21)
x x x x x lim
0 22)
4 10
3 lim
3
x
x
x 23/ x
x x x
lim
24)
7 lim 2 3 x x x x
25) 2 3
6 lim x x x x
x
26)
50
30 20 2 3 lim x x x x
27) lim 1 2
x x x
x 28) lim 7 1 3 2
2
x x x x
(3)29) x x x x
xlim
2
30/ 2 5
1 11
lim
x
x x
x 31) x
x
x
1
lim
0
32 )
2
2
2
lim 2
3
1
x x
x x x
x 33) x
x
x
1 lim3
0
34)
2 lim3
2
x
x
x
3 Hàm số liên tục: - xét tính liên tục của hàm số.
- dựa vào tính liên tục của hàm số chưng minh có nghiệm của phương trình
Bài 5:
a/ Cho h/số f(x)=
x 1 , neáu x x
1 , x 2
b) Cho hàm soá g(x)=
2 x neáu
2 x neáu ,
, 5
2 8
3
x x
Xét tính liên tục hàm số x=0 Xét tính liên tục hàm số toàn trục số Trong g(x) phải thay số số để hàm số liên tục x=2 c/ Cho hàm số f(x)=
2 4
2 ,
x x
, neáu x neáu x
d) Cho hàm số
0 1- x ,
2
x , x x Xét tính liên tục hàm số tồn trục số Xét tính liên tục hàm số x =0
Bài 6: Chứng minh rằng:
a/ Phương trình sinx-x+1= có nghiệm b/ Phương trình
4
3
x - sinx+
3
= có nghiệm đoạn 2;2
c/ Phương trình 3x3 + 2x – = có nghiệm.
d/ Phương trình 4x4 + 2x2 – x – =0 có hai nghiệm phân biệt khoảng (-1;1) e/ Phương trình 2x3 – 6x +1 = có nghiệm khoảng (-2 ; 2)
CHƯƠNG V ĐẠO HÀM
Lý thuyết Bài tập
1 Tính đạo hàm
định nghĩa Bài 1a) y = f(x)= x: Tìm đạo hàm hs sau đ/nghĩa.3 2x +1 x0= b) y = f(x)= x2 2x x0= 2. c) y = f(x)= x3 x0= d/ y =f(x) 2
3 x x
taïi x0 = e/y 4x1 tai x0 = f/ y= x2 – 2x + taïi x0 =
2 Tính đạo hàm cơng thức: - Cơng thức tính đ/hàm
Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau:
1) 2
5
x x
y x
2) y=
4 3 7
x x 3) y= cos3x.sin3x 4/ysinsinxxcoscosxx
5/
y = 312
x 6/
1 tan
2
x
y 7/ y =x.cotx 8/ sin
sin
x x
y
x x
(4)Lý thuyết Bài tập - Các quy tắc tính đạo
haøm
- Đạo hàm hàm số lượng giác
- Đạo hàm cấp cao
9/ y sin 1 x2
10/ y =sin(sin(2x-7)) 11/ y tan x 12/ ycot 13 x2 13/
5
5
y
x
14/
3
2
1
x y
x
15/
2
(1 )(1 )
x y
x x
16/y =
1
2
x x
17/ y = cos(sinx) 18/ 2
2 x y
x
19/
2
os
y c x 20)y = x
sin3x ;
21) y= cos
2
x 22/y=(x+1) x +x+12 ; 23.y= 1+2tanx; 24 y= sin(sinx)
25 2
2
x x
y
x
; 26
sin cos sin cos
x x
y
x x
; 27)y= sin(cos(x
3-5x2 + 4x - 10))
28) y = (x + 1)8(2x – 3) 29) y= 1 cos2
2 x
30) 2
1
( 1)
y x
;
31) y x2 2x
; 32)
4 2
2
3 x y
x
33) y x x2 1
;
34)
3 (2 5) y
x
35) y= tan4x − cosx; 36)
2 10
f x =( x +1+x)
Bài 3: Cho hàm số f(x) = x3 – 2x2 + mx – Tìm m để
a/ f’(x) 0 với x b/ f’(x) < x (0; 2) c/ f’(x) > với x >
Bài 4: Cho y= x3 -3x2 + tìm x để: a/ y’ > 0 b/ y’< 3 *Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm
Bài 5: CMR hàm số sau thỏa mãn hệ thức cho tương ứng a) Với hs y=
1 x , ta coù (1 x2)y” xy’+y=0 b/y 2x x2
, ta coù y3.y” + =0 c/
4
x y
x
ta coù: 2y’
2= (y-1)y”
d/
2 2 2
2
x x
y Cm rằng: 2y.y’’ – = y’2
Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0, biết
a/
60 64
( )
f x x
x x
b/ ( ) sin cos sin cos3
3
x x
f x x x
c/ f(x) = 3sin2x + 4cos2x+ 10x
Bài 7: Tính đạo hàm cấp hàm số sau a/ y = 1
x b/ y = 1
1
x c/ y = sinx d/ y = cosx 3.Phương trình tiếp
tuyến.
-Tiếp tuyến đồ thị tại điểm M thuộc (C). - Biết tiếp tuyến có hệ số góc k,
- Biết tiếp tuyến qua 1 điểm.
Bài 1: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a/ Biết hoành độ tiếp điểm x0 =
b/ Biết tung độ tiếp điểm y0 = c/ Biết tiếp tuyến qua A(0;3)
Bài 2: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 4x + viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số. a/ Tại điểm x0 =
b/ Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 1 3 4x c/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y + =
(5)Lý thuyết Bài tập Véctơ không
gian: (nắm pp cm điểm thẳng hàng, véctơ đồng phẳng, đthẳng // đthẳng, đthẳng// mp)
2 Quan hệ vuông góc
Dạng 1: Tính góc hai đường thẳng chéo a b, tính góc đt mp, góc hai mp
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng a b vng góc
Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng:
Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc nhau:
Dạng 5: Khoảng cách -Khoảng cách từ điểm đến đt, khoảng cách từ điểm đến mp -Khoảng cách từ đt đến mp song song, khoảng cách hai mp song song
- Khoảng cách đường thẳng chéo
Bài :Cho hình chóp S.ABCBcó đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA = SA SB = SD
a) Chứng minh SOABCD
b) Gọi I, J trung điểm BA, BC Chứng minh IJ SBD
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác đều, gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BCADI
b) Vẽ đường cao AH cảu tam giác ADI Chứng minh AH BCD
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm AD
a) C/m AD vng góc với mp (SOI) , DB vng góc với mp(SAC) b) Tính tang góc SA mặt đáy (ABCD)
c) Tính tang góc (SAD) mặt đáy (ABCD)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AD=CA=DB = a CD = 2a a) CM: AB vng góc với CD
b) Gọi H hình chiếu I lên mp(ABC) , C/m H trưc tâm tam giác ABC
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a & khoảng cách từ D đến BC a Gọi H trung điểm BC I trung điểm AH
a) Chứng minh BC (ADH) & DH = a b) Chứng minh DI (ABC)
c) Dựng tính đoạn vng góc chung AD & BC
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết AB = a, AD = SA vng góc (ABCD) SA a
a) CMR : CB vng góc với mp (SAB) , CD vng góc với mp(SAD) b) Tính góc SB mặt đáy (ABCD)
c) Tính góc (SCD) mặt đáy (ABCD)
d) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung đt AB SC
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến mặt bên hình chóp
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông caïnh a, SA (ABCD) Qua
A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC, cắt SB, SC, SD E, K, H a) Chứng minh AE SB AH SD
b) Chứng minh EH // BD Từ nêu cách xác định thiết diện c) Tính diện tích thiết diện SA = a
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O Cạnh SA =
a SA(ABCD) Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên cạnh
SB SD
a Chứng minh BC (SAB), CD (SAD);
b Chứng minh (AEF) (SAC);
c.Tính tan với góc cạnh SC với (ABCD)
Tính khoảng cách d1 từ A đến mặt phẳng (SCD)
Bài 10: Hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng cạnh a, SA=a, SA(ABCD)
Gọi I, K hình chiếu A lên SB, SD
a) Cmr mặt bên hình chóp tam giác vuông
(6)c) Tính góc SC (SAB)