Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo vaø moâñun cuûa caùc soá phöùc sau: a... PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI TREÂN T ẬP SOÁ PHÖÙC.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐAØO TẠO ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH
(2)A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC. I TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1 Số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn
i
Kí hiệu z a bi
i: đơn vị ảo, a: phần thực, b: phần ảo Chú ý:
oz a 0i a gọi số thực (a) oz bi bi gọi số ảo (hay số ảo) o0 0i vừa số thực vừa số ảo
Biểu diễn hình học số phức:
M(a;b) biểu diễn cho số phức z z = a + bi
2 Hai số phức nhau. Cho hai số phức z a bi z ' a ' b 'i với a, b,a ', b ' a a '
z z '
b b '
3 Cộng trừ số phức. Cho hai số phức z a bi z ' a ' b 'i với a, b, a ', b '
z z ' a a ' b b ' i z z ' a a ' b b ' i
oSố đối z = a + bi –z = – a – bi (a, b )
4 Nhân hai số phức. Cho hai số phức z a bi z ' a ' b 'i với a, b, a ', b '
z.z ' aa ' bb ' ab ' a 'b i 5 Số phức liên hợp số phức z = a + bi z a bi
oz z; zz'zz'; z.z'z.z'
oz số thực zz ; z số ảo z z 6 Môđun số phức z = a + bi
o z a2 b2 zz OM
o z 0zC, z 0 z0
o z.z ' z z ' , z z ' z z ' z, z ' 7 Chia hai số phức.
oSố phức nghịch đảo z (z0): z
z z 12
oThương z’ chia cho z (z0): zzzz
z z z z z z
z ' '
' '
2
oVới z 0, ' w z' wz
z z
,
z z z z z z z
z ' '
, ' '
(3)Giaûi.
a z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i
Phần thực a = 14; Phần ảo b = 7; môđun z 7 b z ( i)3 (2i)3 2 2i ( 8i) 10i
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z 2 26 c z 1 i i i
1 i
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z 2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1 Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau: a (4 – i) + (2 + 3i) – (5 +
i)
b (2 + i)3 – (3 – i)3 c
1 3i d (2 3i)
e (1 + i)2 – (1 – i)2 f
2
3 i i g (2 + i)3 – (3 – i)3
h
2
3
(1 2i) (1 i) (3 2i) (2 i) i 3 2
2 i i i
j ( 1- i ) +
i i
k 2i i
l 3 3 (5 2)
i i
i
m
i i i i n i i i i
o
3 2i i i 2i p 1 43i(24i 3i)
2 Tính a i b i i 1 c m i m d a i a a i a
e (1 23i)(1i i)
f 2i(3 + i)(2 + 4i) g + 2i + (6 + i)(5 + i)
h a i b i a i (2 – i)4 j i 1 k i i i
l
i i i 2
1
m (3 – 2i)(2 – 3i)
n (2 + 3i)2
o (2 – 3i)3
p i i
q i (1 i)(4 3i) 2i
r (3 4i)(1 2i) 3i 2i
s i i
+ (5 – i)2
t 2i 2i
1 2i 2i
Bài tốn 2.
Giải.
1006
2012 1006 1006 1006 1006 503 1006 503 1006 (1 i) (1 i) (2i) 2 i 2 (i ) 2 ( 1) 2
BAØI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính.
a 1 i i2i3 i2009 b. (1 ) i100 c. (1 )2008 (1 )2008 i i Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau
a z i (2 4i)(3 2i) ; b z ( i) 3 (2i)3; c z 1 i i
(4)Bài tốn 3.
Giải.
2x x x
2x yi 2i x yi 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i
y y y
BAØI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm số thực x y biết:
a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i b (2 – x) – i = + (3 – y) i
c (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i
Bài toán
Giải. Đặt z x yi , đó:
a z i z 3i x yi i x yi 3i x (y 1)i x (y 3)i x2 (y 1)2 (x 2)2 (y 3)2 x 2y 0
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng x 2y 0
b z 1 x yi 1 x yi 1 (x 3)2 y2 1 (x 3)2 y2 1
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình trịn (x 3)2 y2 1
tâm I(-3;0) bán kính
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a zz3 4
b 2|z – i| = z z2i
c z z 4 i
d z i
z i
e z 1 i a z + 2z = – 4i
b
z z
f z
z
g 2z i z
h z =
i z = z 34i
j z (2_i) 10 vaø z.z'=
25
k z
l z =1 phần ảo z =1 m z 3 4i 2
n
4
i z
i z
o 1
i z
i z
p 1< z 2
q 2i 2z 2z1
r phần thực z thuộc đọan [0;1], phần ảo z thuộc đoạn [-1;2]
c z2z2 4i
d 2
z z
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1 Căn bậc hai của số phức
oz 0 có bậc hai
oz a số thực dương có bậc a oz a số thực âm có bậc hai a i
Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
(5)oz = x + yi số phức có bậc w = a + bi cho 2
2 x y a
w z
2xy b
(a, b, x, y )
2 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c là số thực cho trước, a 0).
Tính b2 4ac
o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x ,1 2 b 2a
o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x ,1 2 b i 2a
o 0: Phương trình có nghiệm kép x b
2a
3 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (A, B, C số phức cho trước, A 0).
Tính B2 4AC
o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
B z ,
2A ( bậc hai ) o 0: Phương trình có nghiệm kép z1 z2 B
2A II CÁC DẠNG TOÁN.
Bài tốn
Giải.
a Hai bậc hai 4 4 i2i b Gọi w x yi bậc hai 4i , ta coù:
2
2
2 2
x
x ( ) x
x y x 3x y 1
x y x x
2
2xy y y 2 x
y
x x y y 1
x x
loại
Vậy 4i có hai bậc hai i 2 i BAØI TẬP TƯƠNG TỰ.
1.Tìm bậc hai số phức sau: 8;3; 9; 11; -I; -2i; 2i; 4i
2.Tìm bậc hai số phức sau: (NC) 12i
; 8 6i ; 33 56i ; 3 4i; 3+4i; – 12i Bài tốn 2.
Giải.
a (3 2i)z 5i 3i (3 2i)z 8i z 8i 25 18i 2i 13 13
b z 3i 2i z i z (3 i)(4 3i) 15 5i 3i 3i
BAØI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm bậc hai số phức sau:
(6)Giải phương trình sau tập số phức:
a z ii
i i
2 1
2
b 2iz + – i =
c (1 – i )z + – i = 2z + i
d ( iz –1 )( z + 3i )( z– + 3i) =
e ( i) z – =
f 4 5i z i g 3 2i 2 z i 3i
s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( + i)
h 5i 4i z
i (2 )
z i i
i
j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) k (3 – 2i)z + (6 – 4i)= – i l (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i m.z 1i 1i
2
n )
2 ]( )
[(
i iz i z i
Bài toán 3.
Giaûi.
a
7z 3z 0
b 4ac 47
Phương trình có nghiệm phức phân biệt:
1
b i 3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
2
b i 3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
b 3x2 2x 0
' b '2 ac 2 0
Phương trình có nghiệm phức phân biệt:
1
b ' i ' 1 2.i 1 2
x i
a 3
b ' i ' 1 2.i 1 2
x i
a 3
BAØI TẬP TƯƠNG TỰ.
1 Giải phương trình sau tập số phức:
a
x
x
b 2
x
x
c 3x2 x 2 0
d 3 2 0
x x
e 1 0
x x
f z4–8 = g x3 – =
h z3 + = i z4 + = j 5z2 – 7z + 11 = 0
k z2 - 2 3z + = 0
l z3 – = 0
m z2 + z +7 = 0
n z2 – z + =
o z2 + 2z + = p 8z2 – 4z + = q x2 + = r x2 – 3x + =
s x2 –5x +7=0 t x2 –4x + 11 =
u z2 – 3z + 11 =
2 Giải phương trình sau trường số phức a z4 – 5z2 – =
b z4 +7z2 – = 0
c z4 – 8z2 – = 0
d z4 + 6z2 + 25 = 0
g z4 + z3 +
2
z2 + z + = 0
h z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0
Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a 7z2 3z 0
(7)e z4 + 4z – 77 = 0
f 8z4 + 8z3 = z + 1 i
4
2 z i z i z i
j 1 0
2 2
z z z
Bài toán 4.
Giaûi.
a x2 (3 4i)x 5i 0
2
b 4ac 4i (1 2i)
Gọi bậc hai , ta có 1 2i Do 0, phương trình có nghiệm phân biệt:
1
b 4i 2i
x 3i
2a
b 4i (1 2i)
x i
2a
b z2 2iz 2i 0
2
' b ' ac 2i (1 i)
Goïi ' bậc hai ', ta có ' i Do ' 0, phương trình có nghiệm phân biệt:
1
b ' ' i i
z
a
b ' ' i (1 i)
z 2i
a
BAØI TẬP TƯƠNG TỰ (NC)
1 Giải phương trình sau tập số phức: a x2 – (3 – i)x + – 3i = 0
b (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0
c x2 1i x 2 i0 d 2z2 – iz + = 0
e z2 + (-2 + i)z – 2i = 0
f z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
g z2 + ( – i)z – 2(1 + i) = 0
h x2 2 8i x 14i 23 0
i 5 14 2 12 5 0
z i z i
j 80 4099 100 0
z z i
k z 3 i2 6z 3 i13 0 l cos sin cos sin 0.
z i z i
m 8 1 63 16 0
z i z i
n 24 1 308 144 0
z i z i
o ( – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0
p ( + i)x2 – 2(1 – i)x + – 3i =
q z2 + 18z + 1681 = 0
2 Giải hệ phương trình : a i z z i z z 2 5 4 2 2 b i z z i z z .2 5 .5 5 . 2 2 c 2 2
z z i
z z i
d
2 4 0
2
u v uv
u v i
e
z i z
z i z
C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (NC) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1 Dạng lượng giác số phức.
Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a x2 (3 4i)x 5i 0
(8)z = r(cos i sin ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (a, b , z 0) or a2 b2
môđun z
o (số thực) là acgumen z thỏa
a cos
r b sin
r
2 Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos i sin ) , z ' r '(cos ' i sin ') :
o z.z ' r.r '[cos( ') i sin( ')] z r[cos( ') i sin( ')] z 'r ' 3 Công thức Moa-vrơ :
n N*
[r(cos isin )] n r (cos nn i sin n )
Nhân xét: (cos i sin )n cos n isin n
4 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cosisin) (r > 0)
(cos sin )
2
r i vaø (cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2
r i r i II CÁC DẠNG TỐN.
Bài tốn 1.
Giải.
a z 2i
oMô đun 2
r a b 2
oGọi acgumen z ta có
1 cos
2
1
sin
2
Dạng lượng giác z 2 cos i sin
4
b z 1 3.i
oMoâ ñun 2 r a b 2
oGoïi acgumen z ta có
1 cos
2
3
sin
2
Dạng lượng giác z cos isin
3
BAØI TẬP TƯƠNG TỰ.
1 Tìm acgumen số phức sau: a 22 3.i
b – 4i d cos4 sin
i
f (1 i 3)(1i)
(9)c. – 3.i e.
8 cos
sin i
g.
1
i
i 2 Thực phép tính
a )
4 sin (cos ) sin
(cos i i
b ) 15 sin 15 (cos ) 45 sin 45 (cos 0 0 i i
c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o)
d ) sin (cos ) sin (cos i i
3 Viết dạng lượng giác số phức sau: a 1 i
b + i
c (1 i 3)(1i)
d i i
e 2.i.( 3 i)
f i 2
g z = sini.cos
Bài toán 2.
Giaûi.
a (1 i)10 3 i6
10
10 5
(1 i) cos isin cos i sin 32 i 32i
4 2
6 6
3 i cos isin 32 cos i sin 0i
6
(1 i)10 3 i5 32i 64 2048i
b 10 (1 i) i 10
10 5
(1 i) cos isin cos i sin 32 i 32i
4 2
9
9 3
3 i cos isin cos isin 512i
6 2
10
(1 i)
16 i
BAØI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính :
a [ 2(cos300 isin300
)]7
b ( 3 i)6
c 11 33 i i d 12 i e 2010 i i f 21 3 i i
g cos sin 5(1 3 )7
3
i i i
h 280 i i
i 25 1i
j
49
50 i i
k (cos12o + isin12o)5
Tính:
a 10 6
(1 i) i ; b
(10)
-Hết -D - 2009
B - 2009
A - 2009
CĐ - 2009
TN THPT - 2009
TN THPT - 2008
TN THPT - 2007
TN THPT - 2007
(11)