hào a soá phöùc coäng tröø nhaân chia soá phöùc i toùm taét lyù thuyeát 1 soá phöùc laø moät bieåu thöùc daïng a bi trong ñoù a b laø caùc soá thöïc vaø soá i thoûa maõn kí hieäu i ñôn vò aûo

Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo vaø moâñun cuûa caùc soá phöùc sau: a... PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI TREÂN T ẬP SOÁ PHÖÙC.[r]

(1)

SỞ GIÁO DỤC – ĐAØO TẠO ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH

(2)

A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC. I TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn

i 

Kí hiệu z a bi 

 i: đơn vị ảo,  a: phần thực,  b: phần ảo Chú ý:

oz a 0i a   gọi số thực (a) oz bi bi   gọi số ảo (hay số ảo) o0 0i  vừa số thực vừa số ảo

Biểu diễn hình học số phức:

M(a;b) biểu diễn cho số phức z  z = a + bi

2 Hai số phức nhau. Cho hai số phức z a bi  z ' a ' b 'i  với a, b,a ', b '  a a '

z z '

b b '     

 

3 Cộng trừ số phức. Cho hai số phức z a bi  z ' a ' b 'i  với a, b, a ', b ' 



 



z z '  a a '  b b ' i z z ' 



 



oSố đối z = a + bi –z = – a – bi (a, b  )

4 Nhân hai số phức. Cho hai số phức z a bi  z ' a ' b 'i  với a, b, a ', b ' 



 



z.z ' aa ' bb '  ab ' a 'b i 5 Số phức liên hợp số phức z = a + bi z a bi 

oz z; zz'zz'; z.z'z.z'

oz số thực  zz ; z số ảo  z z 6 Môđun số phức z = a + bi

o z a2 b2 zz OM

    o z 0zC, z 0 z0

o z.z ' z z ' , z z ' z z ' z, z '  7 Chia hai số phức.

oSố phức nghịch đảo z (z0): z

z z 12





oThương z’ chia cho z (z0): zzzz

z z z z z z

z ' '

' '

2

 

 

oVới z 0, ' w z' wz

z z

  

 ,

z z z z z z z

z ' '

, ' '

 

     

(3)

Giaûi.

a z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i        

Phần thực a = 14; Phần ảo b = 7; môđun z 7 b z ( i)3 (2i)3 2 2i ( 8i) 10i

         

Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z 2 26 c z





1 i

        

Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z 2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.

1 Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau: a (4 – i) + (2 + 3i) – (5 +

i)

b (2 + i)3 – (3 – i)3 c



1 3i d (2 3i)

e (1 + i)2 – (1 – i)2 f



 



2

3 i i g (2 + i)3 – (3 – i)3

h   

  

2

3

(1 2i) (1 i) (3 2i) (2 i) i





2     i i i

j ( 1- i ) +

i i  

k 2i i

l



 







i i

i   



m   

 i i i i n i i i i    

o   

 

3 2i i i 2i p



i



i

   2 Tính a i  b i i   1 c m i m d a i a a i a  

e (1 23i)(1i i)

 



f 2i(3 + i)(2 + 4i) g + 2i + (6 + i)(5 + i)

h a i b i a i (2 – i)4 j i 1  k i i i    

l



  

i i i    2

1

m (3 – 2i)(2 – 3i)

n (2 + 3i)2

o (2 – 3i)3

p i i  

q i (1 i)(4 3i) 2i    



r (3 4i)(1 2i) 3i 2i

 

  

s i i 

+ (5 – i)2

t 2i 2i

1 2i 2i

 



 

Bài tốn 2.

Giải.

1006

2012 1006 1006 1006 1006 503 1006 503 1006 (1 i) (1 i)  (2i) 2 i 2 (i ) 2 ( 1) 2

BAØI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính.

a 1 i i2i3  i2009 b. (1 ) i100 c. (1 )2008 (1 )2008 i   i Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau

a z i (2 4i)(3 2i)    ; b z ( i)   3 (2i)3; c z





  



(4)

Bài tốn 3.

Giải.

2x x x

2x yi 2i x yi 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i

y y y

   

 

                  

   

 

BAØI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm số thực x y biết:

a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i b (2 – x) – i = + (3 – y) i

c (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i

Bài toán

Giải. Đặt z x yi  , đó:

a z i  z 3i  x yi i   x yi 3i   x (y 1)i   x (y 3)i  x2 (y 1)2 (x 2)2 (y 3)2 x 2y 0

          

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng x 2y 0  

b z 1 x yi 1 x yi 1 (x 3)2 y2 1 (x 3)2 y2 1

                 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình trịn (x 3)2 y2 1

   tâm I(-3;0) bán kính

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a zz3 4

b 2|z – i| = z z2i

c z  z 4 i

d z i

z i

  

e z  1 i a z + 2z = – 4i

b

  z z

f   z

z

g 2z  i z

h z =

i z = z 34i

j z (2_i)  10 vaø z.z'=

25

k z 

l z =1 phần ảo z =1 m z 3 4i 2

n

4

      

 

i z

o 1

 

i z

p 1< z 2

q 2i 2z 2z1

r phần thực z thuộc đọan [0;1], phần ảo z thuộc đoạn [-1;2]

c z2z2 4i

d 2

  z z

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1 Căn bậc hai của số phức

oz 0 có bậc hai

oz a số thực dương có bậc  a oz a số thực âm có bậc hai  a i

Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

(5)

oz = x + yi số phức có bậc w = a + bi cho 2

2 x y a

w z

2xy b

  

   

 (a, b, x, y )  

2 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c là số thực cho trước, a 0).

Tính b2 4ac   

o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x ,1 2 b 2a    

o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x ,1 2 b i 2a    

o 0: Phương trình có nghiệm kép x b

2a 

3 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (A, B, C số phức cho trước, A 0).

Tính B2 4AC   

o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

B z ,

2A    ( bậc hai ) o 0: Phương trình có nghiệm kép z1 z2 B

2A   II CÁC DẠNG TOÁN.

Bài tốn

Giải.

a Hai bậc hai 4  4 i2i b Gọi w x yi  bậc hai 4i , ta coù:

2

2 2

x

x ( ) x

x y x 3x y 1

x y x x

2

2xy y y 2 x

y

x x y y 1

x x

 

   

 

         

              

     

    

     



     



 

 

loại

Vậy 4i có hai bậc hai i  2 i BAØI TẬP TƯƠNG TỰ.

1.Tìm bậc hai số phức sau: 8;3; 9; 11; -I; -2i; 2i; 4i

2.Tìm bậc hai số phức sau: (NC) 12i

  ; 8 6i ; 33 56i ;  3 4i; 3+4i; – 12i Bài tốn 2.

Giải.

a (3 2i)z 5i 3i (3 2i)z 8i z 8i 25 18i 2i 13 13



            



b z 3i 2i z i z (3 i)(4 3i) 15 5i 3i      3i        

BAØI TẬP TƯƠNG TỰ.

Tìm bậc hai số phức sau:

(6)

Giải phương trình sau tập số phức:

a z ii

i i

     

2 1

2

b 2iz + – i =

c (1 – i )z + – i = 2z + i

d ( iz –1 )( z + 3i )( z– + 3i) =

e ( i) z – =

f







 



s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( + i)

h 5i 4i z



 

i (2 )

z i i

i    



j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) k (3 – 2i)z + (6 – 4i)= – i l (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i m.z 1i 1i

2

  













n )

2 ]( )

[(     

i iz i z i

Bài toán 3.

Giaûi.

a

7z 3z 0 

b 4ac 47

    

Phương trình có nghiệm phức phân biệt:

1

b i 3 47.i 3 47

z i

2a 14 14 14

    

   

2

b i 3 47.i 3 47

z i

2a 14 14 14

    

   

b 3x2 2x 0

   

' b '2 ac 2 0     

Phương trình có nghiệm phức phân biệt:

1

b ' i ' 1 2.i 1 2

x i

a 3

    

   



b ' i ' 1 2.i 1 2

x i

a 3

    

   



1 Giải phương trình sau tập số phức:

a

 

 x

x

b 2

 

 x

x

c 3x2 x 2 0   

d 3 2 0

  

x x

e 1 0

  

x x

f z4–8 = g x3 – =

h z3 + = i z4 + = j 5z2 – 7z + 11 = 0

k z2 - 2 3z + = 0

l z3 – = 0

m z2 + z +7 = 0

n z2 – z + =

o z2 + 2z + = p 8z2 – 4z + = q x2 + = r x2 – 3x + =

s x2 –5x +7=0 t x2 –4x + 11 =

u z2 – 3z + 11 =

2 Giải phương trình sau trường số phức a z4 – 5z2 – =

b z4 +7z2 – = 0

c z4 – 8z2 – = 0

d z4 + 6z2 + 25 = 0

g z4 + z3 +

2

z2 + z + = 0

h z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0

Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a 7z2 3z 0

(7)

e z4 + 4z – 77 = 0

f 8z4 + 8z3 = z + 1 i

4

2 z i z i z i     

j 1 0

2 2

z  z  z 

Bài toán 4.

Giaûi.

a x2 (3 4i)x 5i 0

    

2

b 4ac 4i (1 2i)

       

Gọi  bậc hai , ta có   1 2i Do  0, phương trình có nghiệm phân biệt:

1

b 4i 2i

x 3i

2a

     

   

b 4i (1 2i)

x i

2a

     

   

b z2 2iz 2i 0

   

2

' b ' ac 2i (1 i)

      

Goïi ' bậc hai ', ta có   ' i Do  ' 0, phương trình có nghiệm phân biệt:

1

b ' ' i i

z

a

    

  

b ' ' i (1 i)

z 2i

a

    

   

BAØI TẬP TƯƠNG TỰ (NC)

1 Giải phương trình sau tập số phức: a x2 – (3 – i)x + – 3i = 0

b (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0

c x2 



i x



i

e z2 + (-2 + i)z – 2i = 0

f z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

g z2 + ( – i)z – 2(1 + i) = 0

h x2



i x



i

    

i









    

z i z i

j 80 4099 100 0

   

z z i

k



z

i





z

i







   

z  i  z i  

m 8 1





    

z i z i

n 24 1





    

z i z i

o ( – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0

p ( + i)x2 – 2(1 – i)x + – 3i =

q z2 + 18z + 1681 = 0

2 Giải hệ phương trình : a

















i

z

i

z

2

5

4



















i

z

i

z

.2

5

.5

5

.

z z i

d

2 4 0

2

   



  

u v uv

u v i

e          

z i z

z i z

C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (NC) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Dạng lượng giác số phức.

Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a x2 (3 4i)x 5i 0

(8)

z = r(cos i sin ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (a, b , z 0) or a2 b2

  môđun z

o (số thực) là acgumen z thỏa

a cos

r b sin

r 

  

 

   



2 Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos i sin ) , z ' r '(cos ' i sin ')     :

o z.z ' r.r '[cos(    ') i sin(  ')] z r[cos( ') i sin( ')] z 'r '        3 Công thức Moa-vrơ :

n N*

 [r(cos isin )] n r (cos nn  i sin n )

Nhân xét: (cos i sin )n cos n isin n

      

4 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cosisin) (r > 0)

(cos sin )

2

r  i  vaø (cos sin ) [cos( ) sin( )]

2 2

 r  i   r  i  II CÁC DẠNG TỐN.

Bài tốn 1.

Giải.

a z 2i 

oMô đun 2

r a b 2

oGọi  acgumen z ta có

1 cos

2

1

sin

2 

 

 



   

   

 Dạng lượng giác z 2 cos i sin

4

           

   

 

b z 1 3.i

oMoâ ñun 2 r a b 2

oGoïi  acgumen z ta có

1 cos

2

3

sin

2 

 

 



   

   



Dạng lượng giác z cos isin

3

           

   

 

1 Tìm acgumen số phức sau: a  22 3.i

b – 4i d cos4 sin  

i

 f (1 i 3)(1i)

(9)

c. – 3.i e.

8 cos

sin  i 

 g.

1 

 i

i 2 Thực phép tính

a )

4 sin (cos ) sin

(cos i   i 

b ) 15 sin 15 (cos ) 45 sin 45 (cos 0 0 i i  

c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o)

d ) sin (cos ) sin (cos     i i  

3 Viết dạng lượng giác số phức sau: a 1 i

b + i

c (1 i 3)(1i)

d i i  

e 2.i.( 3 i)

f i 2 

g z = sini.cos

Bài toán 2.

Giaûi.

a (1 i)10





 





10

10 5

(1 i) cos isin cos i sin 32 i 32i

4 2

                                           













3 i cos isin 32 cos i sin 0i

6

    

            

 

 

(1 i)10









      b





 

10 5

(1 i) cos isin cos i sin 32 i 32i

4 2

                       





9 3

3 i cos isin cos isin 512i

6 2

                      





(1 i)

16 i



 



BAØI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính :

a [ 2(cos300 isin300

 )]7

b ( 3 i)6



c 11 33        i i d 12         i e 2010 i i        f 21 3           i i

g cos sin 5(1 3 )7

3

 

 

 

 i i i

  h 280          i i

i





i

j









50 i i  

k (cos12o + isin12o)5

Tính:

a 10





(1 i) i ; b

(10)

-Hết -D - 2009

B - 2009

A - 2009

CĐ - 2009

TN THPT - 2009

TN THPT - 2008

TN THPT - 2007

(11)