Đang tải... (xem toàn văn)
Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã thêng ®îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín.I. Sau ®ã viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ...[r]
(1)1 Chuyên đề : Đa thức Baứi 1: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực:
a A = x417x317x217x20 taïi x = 16
b B = x515x416x3 29x213x taïi x = 14
c C = x14 10x1310x12 10x11 10 x2 10x10 x = d D = x15 8x148x13 8x12 8 x28x x = Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
a M =
1 1 650 4
2
315 651 105 651 315.651 105
b N =
1 546
2
547 211 547 211 547.211 Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
a A =
3 2 3
x x y y x y với x = 2; y 1.
b M.N với x 2.Biết rằng:M = 2x23x5; N = x2 x3 Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5:
a x x 2y y 2 xy65
b x2 y y 2x75
Bài 5: Tính giá trị đa thức:
x1y y xy 1 x y2 bieát x+ y = -p, xy = q
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
a x a x b x b x c x c x a ab bc ca x 2 ; biết 2x
= a + b + c
b 2bc b 2c2 a2 4p p a ; biết a + b + c = 2p
Baøi 7:
a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia hết cho
b Cho số tự nhiên a b số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hỏi tích ab có chia hết cho khơng? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M a a b a c ; N b b c b a ; P c c a c b
Bài 9: Cho biểu thức: M = x a x b x b x c x c x a x2
Tính M theo a, b, c, biết
1 1
2 2
x a b c
Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13
(2)a Rút gọn biểu thức 7A – 2B
b Chứng minh rằng: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17
Bài 12: Chứng minh rằng: a 81 27 97 13
chia heát cho 405
b 122 1n 11n2
chia heát cho 133
Bài 13: Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…,
1
2 n n
, …
Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số phương
2 Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên
I Một số đẳng thức bản (a b)2 = a2 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
1 n
(a + + +a a ) =
=
2 2
1 n n n n n
a a a 2(a a a a a a a a a a a a );
2 (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b);
(a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ;
3 a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;
4 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 +
b2k) ;
II B¶ng c¸c hƯ sè khai triĨn (a + b)n – Tam giác Pascal
Đỉnh
Dòng (n = 1) 1
Dßng (n = 2)
Dßng (n = 3) 3
Dßng (n = 4)
Dßng (n = 5) 10 10
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn dòng ta có = + 1, dịng ta có = + 1, = + 2, dịng ta có = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triển (x + y)n thành tổng hệ số hạng tử số dòng thứ n của
bảng Ngời ta gọi bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n không lớn Chẳng hạn, với n = :
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
và với n = :
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5
II C¸c vÝ dụ
Ví dụ 1 Đơn giản biểu thức sau :
(3)Lêi gi¶i
A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x
+ y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x –
y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz
VÝ dô 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 4b) Tính giá trị biÓu thøc sau :
a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5
Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)
Ví dụ 3 Chứng minh đẳng thức :
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lêi gi¶i
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z =
Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lời giải
Vì x + y + z = nªn x + y = –z (x + y)3 = –z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3
Do : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T¬ng tù :
y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) +
z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)
Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)
Bài tập:
1 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14
TÝnh giá trị biểu thức : A = a4 + b4 + c4.
2 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.
3 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) =
(3a – 5b)2.
4 Chøng minh r»ng nÕu:
5 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x
– 2y)2
(4)6 a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 x, y khác thì
a b
x=y
b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
vµ x, y, z khác
a b c
x= =y z .
7 Cho x + y + z = Chøng minh r»ng :
a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
8 Chứng minh đằng thức sau :
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
9 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2
Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 =
Tính giá trị biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945.
11 Hai số a, b lần lợt thỏa mÃn c¸c hƯ thøc sau :
a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b.
12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2.
13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị biểu thức sau :
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.
3 Chuyên đề: Phân tích đa thc thnh nhõn t
I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
2
2
2
2
, d, 13 36 , e, 18 , f, 24
, 16 h, 30
, 12 k, 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
(5)3
3
3
3
1, 2, 3, 4,
5, 16 6, 13 18 7, 8 8, 6
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
3
3
3
3
9, 486 81 10, 11, 12, 13, 17 10 14, 15, 16,
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
3
3
3
12 17
17, 18, 3 19, 26 24 20, 3
21, 14 22,
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
(Đa thức cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) II- Phơng pháp thêm bớt hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
(6) 2
2 2
4
4
4 4
4 4
1, (1 ) (1 ) 2, 36 3, 4, 64
5, 64 6, 81 7, 81 8, 64 9, 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất thừa số chung Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư:
7
5
8
5 10
1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
III- Phơng pháp đổi biến
Bµi 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2 2 2 2
2
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3, ( 8) ( 8) 4, ( ) 4 12 5, 2 15 6, ( )( )( )( ) 7, 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
2 2
2 2 2
2
3 8, ( ) 3( ) 9, 3 10 10, ( ) 18 20
11, 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
(7)4
2 2 2
1,
2, ( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phng pháp: Trớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cũn li
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2 2
2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
Gi¶i
a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = y y z2( )y z y2( ) 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y
Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi(ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh biến x, y, z) Do P chúa thùa số x – y chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải số(khơng chúa biến) P có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức
2 2
(x y z )y z x z x y( ) ( )k x y y z z x( )( )( )
đúng với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z =
ta đợc k = -1
VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y z)(x - z) Các toán
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
2 2
( ) ( ) ( )
Na m a b m b c m c abc, víi 2m = a+ b + c.
B i 2:à Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3
2 2 2
3 3
3 3
2
) ( )( )
) ( ) (2 )
) ( ) ( ) ( )
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1)
) ( ) ( ) ( )
) (
a A a b c ab bc ca abc b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b g G a b a b
2 2
4 4
) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
b c b c a c c a h H a b c b c a c a b
(8)V-Phong pháp hệ số bất định
B i 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4
4
2
4
4
) 12 14
) 4
) 22 11 37 10
) 14
) 63
a A x x x x b B x x x x
c C x xy x y y d D x x x x
e E x x
Bµi tËp:
VÝ dơ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lời giải
Đặt S = a + b P = ab, a2 + b2 = S2- 2P; a3 + b3 = S3- 3SP V× vËy :
A = x3 – 3(S2- 2P)x + 2(S3- 3SP) =
3 3
(x - S )- (3S x- 3S )+(6Px- 6SP)
= (x- S)(x2 +Sx+S )2 - 3S (x2 - S)+6P(x- S) = (x- S)(x2 +Sx- 2S2+6P)
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x 2(a2
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + 4x2 29x + 24 ;
b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ;
c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;
d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ;
e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.
f) x8 + x4 + 1;
g) x10 + x5 + ;
h) x12 + ;
i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.
4 Chuyên đề: Xác nh a thc
* Định lí Beout (BêZu) ứng dụng: 1) Định lí BêZu:
D phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a f(a) (giá trị f(x) x = a): f(x)=(x − a)q(x)+f(a)
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a nghiệm đa thừc f(x) f(x) chia hết cho x - a
áp dụng: Định lí BêZu dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh sau:
Bớc 1: Chọn giá trị x = a thử xem x = a có phải nghiệm f(x) không
Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)=(x − a)p(x)
Để tìm p(x) thực phép chia f(x) cho x - a
(9)Dạng 1: Tìm đa thức thơng phơng pháp đồng hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức
*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau :
Nếu hai đa thức P(x) Q(x) nhau: P(x) = Q(x) hạng tử bậc hai ®a thøc ph¶i cã hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng
VÝ dô: P(x)=ax2+2 bx−3 ; Q(x)=x2−4x − p
NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:
a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2)
2b = - (hƯ sè cđa lòy thõa bËc 1)
- = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do) *Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi thơng d phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt M(x) N(x)
Khi ú ta cú: P(x)=Q(x).M(x)+N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) với x nên ta cho x lấy giá trị : x=α
( α số) Sau ta giải phơng trình hệ phơng trình để tìm hệ số hạng tử đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, s d)
Ví dụ: Bài 1(Phần tập ¸p dơng)
Gäi th¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã:
a2x3+3 ax2−6x −2a=(x+1).Q(x)
Vì đẳng thức với x nên cho x = -1 ta dược:
a=−2 a=3
−a2+3a+6−2a=0⇒− a2+a+6=0⇒¿
Với a = -2 A=4x3−6x2−6x+4, Q(x)=4x2−10x+4
Với a = A=9x3+9x2−6x −6,Q(x)=9x2−6
*Phơng pháp 3:Thực phép chia đa thức (nh SGK) Bài tập áp dụng
B i 1: Cho a thức A x( )a x2 33ax2 6x (a a Q ) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x +
Bài 2: Phân tích đa thức P x( )x4 x3 2x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x2dx2
Bài 3: Với giá trị a b đa thức : x3
+ax2+2x+b chia hết cho đa
thức: x2
+x+1 HÃy giải toán nhiều cách khác
Bi 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x)=x4−9x3+21x2+x+k chia hết cho
®a thøc: g(x)=x2− x −2
Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k đa thức: f(k)=k3+2k2+15 chia hết
cho nhị thức: g(k)=k+3
Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f(x)=x4−3x3+3x2+ax+b chia
hết cho đa thức: g(x)=x2−3x+4
Bài 7: a) Xác định giá trị a, b c để đa thức: P(x)=x4+ax2+bx+c
Chia hết cho x −3¿3
¿
b) Xác định giá trị a, b để đa thức: Q(x)=6x4−7x3+ax2+3x+2
(10)c) Xác định a, b để P(x)=x3+5x2−8x+a chia hết cho M(x)=x2+x+b
x3−ax2+bx− c=(x −a)(x −b)(x −c) Bài 8: Hãy xác định số a, b, c để có
đẳng thức:
(Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định số a cho:
a) 10x2−7x+a chia hết cho 2x −3
b) 2x2+ax+1 chia cho x −3 dư
c) ax5
+5x4−9 chia hết cho x −1
Bài 10: Xác định số a b cho: a) x4
+ax2+b chia hết cho x2− x+1
b) ax3+bx2+5x −50 chia hết cho x2+3x+10
c) ax4
+bx2+1 chia hết cho x −1¿
¿
d) x4
+4 chia hết cho x2+ax+b
Bài 11: Tìm hăng số a b cho x3
+ax+b chia cho x+1 dư 7,
chia cho x −3 dư -5
Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax3+bx2+c chia hết cho x+2 , chia
cho x2−1 dư x+5
(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức: P(x)=x4+x3− x2+ax+b Q(x)=x2+x −2 Xác định
a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
Bài 14: Xác định a b cho đa thức P(x)=ax4+bx3+1 chia hết cho đa
thức Qx −1¿2
(x)=¿
Bài 15: Cho đa thức P(x)=x4−7x3+ax2+3x+2 Q(x)=x2− x+b Xác
định a b để P(x) chia hết cho Q(x)
(23 chuyên đề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị đa thức n + 1 điểm C1, C2, C3,⋯, Cn+1 ta biểu diễn P(x) dạng:
P(x)=b0+b1(x −C1)+b2(x −C1)(x −C2)+⋯+bn(x −C1)(x −C2)⋯(x −Cn)
Bằng cách thay x giá trị C1, C2, C3,⋯, Cn+1 vào
biểu thức P(x) ta tính hệ số b0, b1, b2,⋯, bn .
Bài tập áp dụng
Bi 1: Tỡm a thc bậc hai P(x), biết: P(0)=25, P(1)=7, P(2)=−9
Giải
Đặt P(x)=b0+b1x+b2x(x −1) (1)
Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được:
b0=25
(11)P(x)=25−18x+x(x −1)⇔P(x)=x2−19x+25 .
Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1
Hướng dẫn:Đặt P(x)=b0+b1x+b2x(x −1)+b3x(x −1)(x −2) (1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho (x −1),(x −2),(x −3)
đều dư P(-1) = - 18
Hướng dẫn:Đặt P(x)=b0+b1(x −1)+b2(x −1)(x −2)+b3(x −1)(x −2)(x −3) (1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
P(−1)=0
P(x)− P(x −1)=x(x+1)(2x+1),(1)
a) Xác định P(x)
b) Suy giá trị tổng S=1 3+2 5+…+n(n+1)(2n+1),(n∈N❑)
Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta :
P(−1)− P(−2)=0⇔P(−2)=0, P(0)− P(−1)=0⇔P(0)=0 P(1)− P(0)=1 3⇔P(1)=6 P(2)− P(1)=2 5⇔P(2)=36
Đặt P(x)=b0+b1(x+1)+b2(x+1)x+b3(x+1)x(x −1)+b4(x+1)x(x −1)(x −2) (2)
Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:
0=b0
0=b1⇔b1=0,
6=b2 1⇔b2=3,
36=3 2+b3 1⇔b3=3
0=3.(−1)(−2)+3.(−1)(−2)(−3)+b4(−1)(−2)(−3)(−4)⇔b4=1
2 Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
x+1¿
2 (x+2) P(x)=3(x+1)x+3(x+1)x(x −1)+1
2(x+1)x(x −1)(x −2)= 2x¿
(Tuyển chọn thi HSG Toán THCS)
Bài 5: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c ,(a , b , c ≠0) Cho biết 2a+3b+6c=0
1) Tính a, b, c theo P(0), P(1
2), P(1) 2) Chứng minh rằng: P(0), P(1
2), P(1) âm dương
Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết:
P(0)=19 P(1)=85 P(2)=1985
5 Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ
(12)a) Chøng minh r»ng ph©n sè
3n 5n
+
+ phân số tối giản nN ;
b) Cho ph©n sè
2
n
A
n
+ =
+ (nN) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n
2009 cho phân số A cha tối giản Tính tổng tất số t nhiờn ú
Lời giải
a) Đặt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay d d =
VËy ph©n sè
3n 5n
+
+ phân số tối giản.
b) Ta cã
29
A n
n
= - +
+ §Ĩ A cha tối giản phân số
29
n+5 ph¶i cha
tèi gi¶n Suy n + phải chia hết cho ớc dơng lớn 29
Vì 29 số nguyªn tè nªn ta cã n + 29 n + =29k (k N) hay n=29k –
Theo điều kiện đề ≤ n = 29k – < 2009 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện bi
Tổng số : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 VÝ dô 2 Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn
1 1
a + + =b c a+ +b c
Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ suy :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a +b +c =a +b +c .
Lêi gi¶i Ta cã :
1 1
a + + =b c a+ +b c
1 1
0
a + + -b c a+ +b c=
a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
c(a b c) ab
(a b)
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) =
a b
b c
c a
é + = ê
ê + = ê
ê + =
ë
a b
b c
c a
é =-ê ê =-ê ê
=-ë ®pcm.
Từ suy : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a +b +c =a +( c)- +c =a
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
(13) 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a +b +c =a +b +c .
VÝ dụ 3. Đơn giản biểu thức :
3 3 2
1 1 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ửữ ổ ửữ ổ ửữ ỗ ỗ ỗ = ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ è ø è ø è ø + + + . Lời giải
Đặt S = a + b P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2- 2P
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3- 3SP.
Do :
1 a b S
;
a b ab P
+
+ = = 12 12 a22 2b2 S2 22P;
a b a b P
+
-+ = =
3 3
3 3 3
1 a b S 3SP
a b a b P
+
-+ = =
Ta cã : A =
3
3
1 S 3SP S 2P S
S P S P S P
-
-+ +
=
2 2 2
2 4 4
S 3P 3(S 2P) (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
Hay A = 3
1
P =a b
VÝ dụ 4 Cho a, b, c ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - -= + + - - - . Lời giải Cách 1
2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - = Ax2
– Bx + C víi :
1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - ;
a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - ;
ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - -
Ta cã :
b a c b a c
A
(a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
(14)
(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + +
-=
- -
-2 2 2
b a c a a c
0 (a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
- - - ;
ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - +
-= =
- - -
(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - -
-= = =
- - - .
VËy S(x) = 1x (®pcm) C¸ch 2
Đặt P(x) = S(x) – đa thức P(x) đa thức có bậc khơng vợt q Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm
NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c lµ ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = x Suy S(x) = x ®pcm
VÝ dơ Cho
1
x
x
+ =
Tính giá trị biểu thøc sau : a) 2 A x x = +
; b)
3 B x x = +
; c)
4 C x x = +
; d)
5 D x x = + Lêi gi¶i a) 2 1
A x x
x x ổ ửữ ỗ = + = +ỗỗố ữữ- = - = ứ ; b) 3
1 1
B x x x 27 18
x x x
ổ ửữ ổ ửữ ỗ ỗ = + = +ỗỗ ữữ- ỗỗ + ữữ= - = ố ứ ố ứ ; c) 4 1
C x x 49 47
x x ổ ửữ ỗ = + =ỗ + ữữ- = - = ỗố ứ ; d)
2
2
1 1
A.B x x x x D
x x x x
ổ ửổữ ửữ
ỗ ỗ
=ỗỗ + ữữỗỗ + ữữ= + + + = +
è øè ø D = 7.18 – =
123
Ví dụ 5 Xác định số a, b, c cho : 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x x
+
= +
+ - + - .
Lêi gi¶i Ta cã :
2
2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - +
-+ = =
+ - + - +
§ång nhÊt phân thức với phân thức
2
(15)
a c a
b a b
c b c
ì + = ì
=-ï ï
ï ï
ï ï
ï - = Û ï
=-í í
ï ï
ï - = ï =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ VËy 2
2 x 1
(x 1)(x 1) x x
-= +
+ - + - .
6 Chuyên đề: Giải phơng trình
I/Phương trình ax+b=0 (1) phương trình đưa dạng (1)
*Cách giải: (Biến đổi đưa hết vế sau rút gọn thành dạng ax+b=0)
TH1:a=0 b0 phương trình (1)vơ nghiệm
b=0 phương trình (1) vơ số nghiệm
TH2:a0 phương trình (1) có nghiệm x=
b a
*Ví dụ: a)3x+1=7x-11
b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0)
b3: x=
12
b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)
1,2-x+0,8+1,8+2x=0 x+3,8=0
x= -3,8
*Các tập tương tự:
a)7x+21=0 b)12-6x=0
c)5x-2=0 d)-2x+14=0
(16)g)
4
3x 62 h)
5
1 10
9 x 3x
i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7 l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0 n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)
3
6
5
x x
v) 13 5 x x
w)
3 2( 7)
5
6
x x
s)
7 20 1,5
5( 9) x x x y)
5( 1) 2(2 1)
5
6
x x x
II/Phương trình tích:
*Cách giải: Pt:A.B=0
0 A B
(A=0 (1) B=0 (2) )
Ta có pt (1),(2) phương trình bậc cách giải tương tự phần
(Chú ý phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử )
*Ví dụ:
a)(4x-10)(24+5x)=0
4 10 (1)
24 (2)
x x
Từ (1) x=
10
4 2 (2) x=
24
Vậy phương trình có nghiệm x=
10
4 2 x= 24 b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 (x-1)(2x+11)=0
1
11
2 11
2 x x x x
*Các tập tương tự:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)
2( 3)
0
7
x x
c)(3,3-11x)
7 2(1 )
0
5
x x
d)( 3 x 5)(2x 1) 0
e)(2x 7)(x 10 3) 0 f)(2 3 x 5)(2,5x 2) 0
(17)i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0
l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0
n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4
p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0
r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0
t)2x2+5x+3=0 y)
2
2 3( 2)
x x