Bất đẳng thức jordan và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— NGUYỄN THỊ THÙY NƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ THÙY NƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2019 MỤC LỤC Mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Các bất đẳng thức 1.2 Định lý Lagrange 1.3 Hàm lồi bất đẳng thức Jensen 1.4 Khai triển Taylor 1.4.1 Khai triển Taylor với phần dư Peano 1.4.2 Khai triển Taylor với phần dư Lagrange Một số tính chất hàm số 1.5.1 Tính chẵn lẻ hàm số 1.5.2 Tính tuần hồn phản tuần hồn hàm số 1.5 1.5.3 Hàm số đơn điệu (tăng giảm) 11 1.6 Quy tắc L’Hopital 12 1.7 Hàm hyperbolic 12 Bất đẳng thức Jordan mở rộng 16 2.1 Bất đẳng thức Jordan bất đẳng thức Kober 16 2.2 Mở rộng bất đẳng thức Jordan bất đẳng thức Kober 17 2.2.1 Phương pháp hàm lồi 17 2.2.2 Bất đẳng thức từ bất đẳng thức cũ 19 2.2.3 Các chặn chặn số bất đẳng kép dạng Jordan dạng Kober 24 2.2.4 Một đối chiếu bất đẳng thức Jordan 28 iii 2.3 Bất đẳng thức Wilker 31 2.4 Bất đẳng thức Steckin 32 2.5 Bất đẳng thức Redheffer-Williams 32 2.6 Bất đẳng thức Cusa- Huyghen 33 2.7 Bất đẳng thức Mercer-Caccia’s 34 2.8 Bất đẳng thức Prestin’s 35 2.9 Một số bất đẳng thức liên quan đến hàm lượng giác 35 2.10 Một số bất đẳng thức Jordan liên quan đến hàm hyperbolic 37 Ứng dụng 50 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, bất đẳng thức đề cập đến nhiều chương trình dạy học mơn tốn trường trung học phổ thông tầm quan trọng cách giải độc đáo chúng Bất đẳng thức kiến thức khơng thể thiếu kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp Để giải tốn Bất đẳng thức địi hỏi học sinh phải phối hợp nhiều kiến thức khác đưa lời giải đúng, lời giải hay Một bất đẳng thức nghiên cứu giảng dạy có π bất đẳng thức Jordan: x ≤ sin x ≤ x, x ∈ [0; ] Bất đẳng thức π đơn giản hữu ích khơi dậy quan tâm hiều tác giả từ thu nhiều ứng dụng, chắt lọc mở rộng Vì thế, ngày nhiều bất đẳng thức khác khám phá đăng tạp chí tốn học có uy tín BĐT Kober; Steckin; Redheffer-Williams; Prestin; Mercer-Caccis; Trong chương trình phổ thơng bất đẳng thức Jordan; Kober; Steckin ứng dụng nghiên cứu ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Nhận thấy hữu ích bất đẳng thức Jordan dạng mở rộng nhằm sáng tác toán bất đẳng thức cho em học sinh, đặc biệt em đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi, gợi ý người hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn, mạnh dạn chọn đề tài: Bất đẳng thức Jordan ứng dụng để làm luận văn thạc sĩ cho Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nghiên cứu bất đẳng thức Jordan, dạng mở rộng ứng dụng Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Trình bày phần lý thuyết cách chứng minh bất đẳng thức Jordan vài bất đẳng thức dạng mở rộng - Trình bày tốn áp dụng bất đẳng thức Jordan chương trình tốn phổ thơng Nội dung luận văn chia làm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Bất đẳng thức Jordan mở rộng Chương 3: Ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức Jordan bất đẳng thức dạng mở rộng 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng bất đẳng thức Jordan dạng mở rộng vào chương trình tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu thu thập tài liệu sưu tầm được, báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Đóng góp đề tài 5.1 Trình bày cách có hệ thống kết liên quan đến bất đẳng thức Jordan 5.2 Chi tiết hóa tốn liên quan đến bất đẳng thức Jordan Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 55 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong luận văn em trình bày số bất đẳng thức mở rộng từ bất đẳng thức Jordan phương pháp chứng minh bất đẳng thức Đồng thời đưa số áp dụng Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực cịn nhiều hạn chế sai sót Rất mong góp ý xây dựng quý thầy cô bạn sinh viên để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu sâu tìm hiểu nhiều bất đẳng thức Jordan kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic sinh viên 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Phương (2017), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, Nhà xuất tri thức [2] TS Vũ Gia Tê (2007) , Giáo trình giải tích 1, Nhà xuất thông tin truyền thông [3] PGS TS Ninh Quang Hải (2015), Giải tích hàm biến, Nhà xuất xây dựng Tiếng Anh [4] Bai-Ni Guo, Wei Li, Bao-Min Qiao, and Feng Qi (2005) On new proofs of inequalities involving trigonometric functions, https://rgmia.org>papers>sine-tan [5] Feng Qi, Da-Wei Niu, And Bai-Ni Guo (2008), ”Refinements, generalizations, and applications of Jordan’s inequality and Related Problems”, https://www.researchgate.net/publication/260749924 [6] J Sandor and B.A Bhayo (2015), ”On an inequality of Redheffer” Miskolc Mathematical Notes, No.1, pp.475-482 [7] Xiaohui Xhang, Gendi Wang, Yuming Chu (2006), “Extensions and sharpenings of Jordan’s and Kober’s inequalities”, Journal of inequalities in pure and Applied Mathematics, No 63, 57 [8] Jian-lin and Yan-Ling Li (2007), ”On the Strengthened Jordan’s Inequality”, Hindawj Publishing Corporation Journal of Inequalities and Applications Volume [9] Shan-Peng Zeng and Yue-Sheng Wu (2013), ”Some New Inequalities of Jordan Type for Sine”, Hindawj Publishing Corporation.The Scientific World Journal Volume [10] R.Klen, M.Visuri,M.Vuorinen (2010), ”On Jordan Type Inequalities for Hyperbolic Functions”, Hindawj Publishing Corporation Journal of Inequalities and Applications Volume [11] Shan-Peng Zeng and Yue-Sheng Wu (2013), ”Some New Inequalities of Jordan Type for Sine”, Hindawj Publishing Corporation.The Scientific World Journal Volume ... Chương BẤT ĐẲNG THỨC JORDAN VÀ MỞ RỘNG Chương trình bày bất đẳng thức Jordan số bất đẳng thức mở rộng, hay phiên bất đẳng thức Jordan bất đẳng thức Kober Các bất đẳng thức thiết lập cách sử dụng. .. thông bất đẳng thức Jordan; Kober; Steckin ứng dụng nghiên cứu ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Nhận thấy hữu ích bất đẳng thức Jordan dạng mở rộng nhằm sáng tác tốn bất đẳng thức. .. hyperbolic 12 Bất đẳng thức Jordan mở rộng 16 2.1 Bất đẳng thức Jordan bất đẳng thức Kober 16 2.2 Mở rộng bất đẳng thức Jordan bất đẳng thức Kober 17 2.2.1 Phương pháp