C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.. vậy có 3 cách chọn. Các số[r]
(1)Chuyên đề đại số tổ hợp Văn Hoàng 1 Giai thừa : n! = 1.2 n;
0! = 1; n! /(n– k)! = (n– k + 1).(n– k + 2) n
2 Quy tắc cộng :Trường hợp có m cách chọn, trường hợp
có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n
3 Quy tắc nhân :Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn
này lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn
liên tiếp hai tượng : m x n
4 Hốn vị :Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác
Số cách xếp : Pn = n !
5 Chỉnh hợp :Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ
khác số cách : ! ,
( )!
k k k
n n n k
n
A A C P
n k (n N; k≤ n)
6 Tổ hợp :Có n vật khác nhau, chọn k vật
Số cách chọn : !
!( )!
k n
n C
k n k
Chỉnh hợp =tổ hợp rồihoán vị
1
1
;
k n k k k k
n n n n n
C C C C C
7 Công thức nhị thức Niutơn
(a+b)n = 1
n n k n k k n n
n n n n
C a C a b C a b C b =
0
n
k k n k n k
C a b Chú ý:Vế phải có n+1 số hạng
Mũ a b mỡi số hạng có tổng n
Số hạng tổng quát thứk+1 có dạng : Tk+1=
k n k k n n
C a b Tổng hệ số : 2n
Một số công thức đặc biệt:
0
(1 )n k k n n
n n n n
x C C x C x C x
0
;
n n
n n n
C C C
0
( 1) ( 1)
k k n n
n n n n n
C C C C C
Đặt P(x) =(1x)nCn0C xn1 C xnn n
P(x) đa thức bậc n nên ta tính giá trị điểm bất kì; lấy đạo
hàm; tích phân đoạn Khiđó ta có tốn mới.
Ví dụ:P(2001) = 02009 1 2009n n2010n
n n n
C C C
2 n-1 n n n-1
n n n n
P'(x)=C +2xC +3x C + +nx C = (1+x) '=n(1+x) '(1) 12 23 3 n .2n1
n n n n
P C C C nC n
'( 1) 12 23 3 ( 1)n n0
n n n n
P C C C nC
'( ) 12 23 3 n1 n (1 )n1
n n n n
P a C aC a C na C n a
'( ) 12 233 3 n n (1 )n1
n n n n
xP x xC x C x C nx C nx x
122 232 3 n1 n (1 )n1 ( 1) (1 )n2
n n n n
C xC x C n x C n x n n x x
''( ) 2 23.2 34.3 4 ( 1) n2 n
n n n n
P x C xC x C n n x C
n(1x)n1'n n( 1)(1x)n2
''(1) 2 23.2 34.3 4 ( 1) n ( 1)2n2
n n n n
P C C C n n C n n
0
0 0
( ) ( ) (1 )
a a a
n n n
n n n
P x dx C C x C x dx x dx
1
0 1 1 (1 )
2 1
n
n n
n n n n
a
aC a C a C a C
n n
1 Các toán vềphépđếm:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:Thường lập luận để coi việc mà ta phải đếm chọn việc lấy k phần tử từ tập hợp A có n phần
tử (k≤ n)
Nếu k phần tử lấy từ tập A khơng có vấn đề thứ tự dùng số
tổ hợp chập k n phần tư tập A
Nếu k phần tử lấy từ A có vấn đề thứ tự phải ý
Nếu vai trò phần tử lấy từ A nhau(nghĩa phần tử
của A có hội đồng lựa chọn)thì dùng số chỉnh hợp
k< n dùng hoán vị k = n
Nếu vai trò phần tử lấy từ A khác lý luận qui tắc đếm
Bài 1: Có số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác HD: Xét trường hợp ĐS:9.8.7 8.8.7 952
Bài 2: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên
a) Chẵn gồm chữ số ĐS : 3.63
b) Lẻ gồm chữ số ĐS : 3.63
c) Chẵn khơng chữ số không vượt chữ số
d) chữ số khác nhaucó mặt số ?
e) chữ số khác có mặt số ?
f) chữ số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng
3 chữ số cuối đơn vị
HD: c)Xét trường hợp TH1 : Gồm chữ số TH2 : Gồm chữ số
TH3 : Gồm chữ số ĐS : 3(63
+ 64
+ 65
) d) Chữ số có có vị trí có 5.A52120.5= 600 số
e) Số 1và có A52, xếp số vào vị trí cịn lại
A ĐSA52
A = 480 f) Vì tổng tất số 21 nên tổngba số đầu 10, ba số cuối 11 Có cặp số thoả mãn là:
+ Cặp số đầu gồm 1, 4, ba số cuối gồm 2, 3, Có 3!.3! = 36 số
+ Cặp số đầu gồm 2, 3, ba số cuối gồm 1, 4, Có 3!.3! = 36 số
+ Cặp số đầu gồm 1, 3, ba số cuối gồm 2, 4, Có 3!.3! = 36 số
Vậy có: 3.36 = 108 số
Bài 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có
6 chữ số khác chữ số đứng cạnh3 HD: Coi hai số cặp Xét trường hợp:
+ TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số
+ TH2: cặp2, đứng vị trí khác, có:4.2.3.3! = 144 ĐS: 192
Bài 4:Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên chữ
số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn
Bài 5: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên,
số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số
Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ ĐS 4:2 .3! 1440A63 ĐS B5:
3
5.4.A 1200 ĐS6:C C53 105 C C54 104C C55 310
Bài 7: Có nhà tốn học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lí nam Lập đồn cơng tác gồm nguời có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lí
Hỏi có cách? ĐS: 90 cách
Bài 8: Có quả cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến cầu vàng đánh số từ đến Hỏi có cách lấy cầu vừa khác
màu vừa khác số? ĐS: 64 cách
Bài 9: Có cách phân phối đồ vật khác cho người, cho
người nhận đồ vật ĐS: 150 cách
Bài 10: Cho hình thập giác
1) Hỏi lập tam giác cóđỉnh đỉnh thập giác,
cạnh tam giác khơng cạnh thập giác đó? ĐS: 50 tam giác; 10 hcn 2) Hỏi lập hình chữ nhật có đỉnh đỉnh thập giác?
Bài 11: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm 6ghế Người ta
muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có cánh xếp trường hợp sau:
1) Bất hai học sinh ngồi cạnh ngồi đối diện khác
trường ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! 2) Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trường
Bài 12:Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em Trong có học sinh
khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có học sinh chọn
HD:C188 (C118C128 C138) 41811
2 Các tốn nhị thức, phương trình bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp
1) Giải PT, BPT:
a)
1
3
n n n
C C C (n = 6) b)
2 2,
n n
n n n
C C A (n=5)
c) 4
1
23 24( )
n
n n n
A A C (n≥ 2) d)
2
n
n n
A C n (n{3;4})
2) Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0:
60
( )!
k n
n
P
A
n k
ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3)
3) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết số tập hợp
con gồm phần tử A 20 lần số tập hợp gồm phần
tử A ĐS: A có 18 phần tử
4) CMR :
2 2
n n
n n n n
C C C nC n
HD: 2 3
(1 )n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
Lấy đạohàm hai vế ta có : chọn x = 1 đpcm
5) CMR :
2 1
0 2 2
2 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
HD: Xét :
2
0
(1 )n
I x dx=
2
(1 )
n x
n =
3 1
n n (1 )
Mà
0 2
0
1 1
( )
2
n n
n n n n
I C x C x C x C x
(2)
2
0 2 2
2
2
n n
n n n n
I C C C C
n (2) Từ (1) (2)đpcm 6) Tính :
1
(1 )
n
I x dx S = 1
2
n
n n n n
C C C C
n
HD : 1
(1 )n
I x dx=
1
(1 )
1 n n x n n
1
0 1
0
( )
2
n
n n
n n n n n n
x x
I C C x C dx C x C C
n
0 1
2
n
n n n n
C C C C
n => S =
1 n n
7) CMR: 2 1
1 4 4 4n n 4n5n
n n n
C C C
HD : Khai triển : ( 1+x )n thay x= 4 đpcm
8) CMR: 16 15 14 16 16
16 16 16 16
3 C 3 C 3 C C 2 HD: Khai triển : ( 3x-1)16 chọn x = 1đpcm
9) Tìm x ; y thuộc N* :
1
1
6
y y y
x x x
C C C
ĐS: x=8 ; y = 10) CMR : Cn12Cn23C3n nCnnn2n1
HD: Xét : (1+x)nkhai triển Lấy đạo hàm vế Chọn x = 1đpcm
11) Trong khai triển :
28
3 15
n
x x x
tìm số hạng khơng chứa
x Biết :
79
n n n
n n n
C C C HD: k = 5
12792 C 12) Tính (1 )
n
I x x dx Đổi biến: u= 1+x3 có 3( 1) n I n
Mặt khác ta có :(1 3)n 0 3 6 n 3n
n n n n
x C C x C x C x
Nhân hai vế cho x2, lấy tích phân hai vế
Tìm nguyên hàm cận từ −>1 ta vế trái A-2002 Cho khai triển :
1 2 n x
x
Biết :Cn15C s1n ố hạng thứ tư 20.Hãy tìm n x ? ĐS : n = x= D-2002 Tìm n N*:
2 243
n n
n n n n
C C C C
ĐS : Xét (1+x )n chọn x= => n=
A- 2003 Tìm hệsố x8 khai triển n x x
Biết :
4 7( 3)
n n
n n
C C n HD : K= =>
12495
C
B-03 Cho nN* tính:
2
0 1 2
2
n n
n n n n
S C C C C
n
Xét : (1+x)n Khai triển tính hai vế ta có :
1 N n S n
D2003 Với n N*, gọi a3n - hệ số x3n -3 khai triển thành đa thức biểu thức (x2 +1)n(x+2)n
Tìm nđể a3n-3 = 26n ĐS: n =
A-2004 Tìm hệ số x8trong khai triển :[1+x2( 1-x)]8 Hd:Số hạng thứ thứ 5: 3 4
8 (1 ) ; (1 ) : 8 238
C x x C x x KQ C C
D04 Tìm số hạng không chứa x:
7
x x (x > 0)ĐS : k = 4 35
B- 2004 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác : câu khó ;10 câu
tb ; 15 câu dễ Hỏi từ 30 câu lập đề kiểm tra
sao cho đề có câu khác đề thiết
phải có loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ câu dễ khơng hai Giải :Có ba THợp2dễ + 1TB + khó: 10500 2d + 2TB +1khó:
236253d + 1TB + khó: 22750 Tổng : 56.875
A- 2005Tìm số nguyên dương n cho :
1 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 (2 1)2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
Xét:( 1-x)2n+1
Khai triển, lấy đạo hàm hai vế,chọn x=2: (2n+1)=2005n=1002 B2005 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam
và nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam
và nữ ĐS: 4
12 207.900 C C C C C C
D.2005 Tính giá trị biểu thức :
4 ( 1)! n n A A M
n Biết :
2 2
1 2 149
n n n n
C C C C HD: n = 5; n =−9(l) M= ¾
CĐ05 Cho ( 1-x)n+x(1+x)n-1=Px Biết : a0+a1+a2+…+an= 512
Tìm a3=? HD: Khai triển Px= a0+a1x+a2x
+….+ anxn Cho x=1 thì: 2n-1= a0+ a1+ a2+…+an= 512 = 29n = 10
( 1-x)10+x(1+x)9 a3=C92C103 84
A2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển n x x ,
biết 20
2 2 2
n
n n n n
C C C C
ĐS:n =10, hệ số = 210 D2006 Có 12 HS : dó HS lớp A; HS lớp B và HS lớp
C Cần HS trực cho HS nầy không lớp
trên Hỏi có cách chọn
HD : Số cách chọn HS: 12
C * 1A,1B;2C: 1
5 .4
C C C =60; *1A,2B;1C: 1 .4 90
C C C ;
* 2A,1B;2C: 2 .4 120
C C C
ĐS : 12
C - ( 60+90+120) = 495-270=225
A2007 Cm
2
1
2 2
1 1
2 20
n n
n n n n
C C C C
n
B2007 Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2+x)n , biết
rằng 1 2 3
3nCn 3n Cn 3n Cn 3n Cn ( 1)nCnn 2048
ĐS: n = 11, hệsố = 22 D2007 Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau:
P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320 Bdb07 Tìm x, y N thỏa mãn hệ
2 3 22 66 x y y x A C
A C
ĐK: x 2, y
1 22
6
1 66
2
x x y y y
y y y x x
2
3 2
6 132 (1)
3 2 132 (2)
x x y y y
y y y x x
2
2
6 132
11 11 132
x x y y y
x x
4 ( )
3 60
x hay x l
y y y
x y Ddb07 Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết:
3
8 49
n n n
A C C
Điều kiện n Ta có:
0
2
n
n k k n k
n k
x C x
Hệ số số hạng chứa x8 4
2n n
C
Ta có:
8 49
n n n
A C C (n– 2)(n– 1)n– 4(n– 1)n + n = 49
n3– 7n2 + 7n– 49 = 0 (n– 7)(n2 + 7) = 0 n = Hs x8
72 280
C
B2008 Chứng minh rằng 1
1
1 1
2 k k k
n n n
n
n C C C
(n, k
số nguyên dương, k ≤n, k n
C số tổ hợp chập k n phần tử)
1
1
1 1
2 k k
n n
n
n C C =
1 1 k n k k n n C n
n C C =
!( )!
! k
n
k n k
n C
D2008 Tìm n N* thoả hệ thức
2 2048
n
n n n
C C C
2 2 3 2 2
2 2 2
(1 )n n n n n
n n n n n n
x C xC x C x C x C x C
x = : 2 2
2 2 2
2n Cn Cn Cn Cn C nn Cnn (1)
x = - : 2
2 2 2
0 n n (2)
n n n n n n
C C C C C C
(1) - (2) : 12
2 2
2n 2( n ) 4096
n n n
C C C
n =
(3)Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hồng Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia
lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy?
Giải:Có trường hợp:
Trường hợp 1: Tổ có nữ, nam 7 26
C C
Tổ có nữ, nam
4 19
C C
Tổ có nữ, 10 nam 10 10
C C
Vậy ta có:
7 26 19
C C C C cách
Trường hợp 2: Tổ có nữ, nam 26
C C
Tổ có nữ, nam 18
C C
, Tổ có nữ, 10 nam
2 10 10
C C
Vậy ta có: 8
7 26 18
C C C C cách Trường hợp 3: Tổ có nữ, nam
7 26
C C
, Tổ có nữ, nam
5 18
C C
, Tổ có nữ, nam
3
C C
,
Vậy ta có:
7 26 18
C C C C cách Theo quy tắc cộng ta có:
3
7 26 19
C C C C + 8
7 26 18
C C C C +
7 26 18
C C C C cách
Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên
đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2
có n điểm phân biệt n2 Biết 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n thoả mãn điều kiện Giải:Số tam giác có đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2
là:
10Cn
Số tam giác có đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là:
2 10
nC
Theo đề ta có:
2 2
10
10CnnC 2800n 8n560 0 n 20 Câu 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác số lập nhỏ 25000
Giải: Gọi na a a a a1 2 3 4 5chẵn, ai aj i j n, 25000 Vì n25000a1 1;2 ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: a1 = Ta có cách chọn a1 Ta có cách
chọn a5 ( n chẵn) A53 cách chọn a a a2 3 4 Vậy ta có:
3
1.4.A 240 số n
Trường hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ
Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a2
Ta có cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4
Vậy ta có:
1.2.2.A 48 số n
Trường hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ
Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a2
Ta có cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4
Vậy ta có;
1.2.3.A 72 số n
Theo quy tắc cộng ta có: 2404872360 số n Câu 4: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn, số có chữ số khác có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh Giải:Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh từ chữ số 1, 3, là:
5
A cách Ta xem cặp số lẻ phần tử x.Vậy số cần lập gồm phần tử x chữ số chẵn 0, 2, 4,
Gọi na a a a a4 3 2 0 ta có trường hợp sau:
Trường hợp 1: a0 = Đưa x vào vị trí đầu: Có cách
Đưa chữ số chẵn 2,4, vào vị trí cịn lại có
A cách Vậy có:
3
3.A 18 cách
Trường hợp 2: a0 chẵn khác x hai vị trí a3a4 Có
2
3.A 18 cách
Trường hợp 3: a0 chẵn khác x hai vị trí a3a2
a2a1 Có 24 cách Vậy ta có: 18 18 24360 số n
Câu 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên
Giải: Cách 1:
Gọi
4 4.10 3.10 2.10 110
na a a a a a a a a a số cần lập Ta có cách chọn a4, cách chọn a3, cách
chọn a2, cách chọn a1, cách chọn a0 Vậy có:
4.4.3.2.196 số n Cách 2:
Ta có cách chọn 4! Cách xếp số lại Vậy có: 4! = 96 số n
* Tính tổng 96 số n lập được:
Cách 1: Có 24 số n na a a a a4 3 2 0, có 18 số na a a a4 3 2 11, có 18 số na a a a4 3 2 12, có 18 số na a a a4 3 2 13, có 18 số
4 14
na a a a
Tổng chữ số hàng đơn vị là: 18(1 3 4)180 Tương tự: Tổng chữ số hàng chục 1800, tổng chữ số hàng trăm 18000, tổng chữ số hàng nghìn 180000
Có 24 số n1a a a a3 2 0, có 24 số n2a a a a3 2 0, có 24 số
3
3
n a a a a , có 24 số n4a a a a3 2 0 Tổng chữ số hàng chục nghìn
24(1 2 3 4).100002400000 Vậy tổng 96 số n là:
180 1800 18000 180000 24000002599980
Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí a4
Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí ai, với i = 0,
1, 2, Vậy tổng 96 số n là:
4
(1 2 3 4) 24.10 18(10 10 10 10 )
Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn x2x100,
chứng minh rằng:
99 100 198 199
0 99 100
100 101 100 100
1 1
100 101 199 200
2 2
C C C C
( k n
C tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có:
100
2 100 101 102 100 200
100 100 100 100
x x C x C x C x C x , lấy đạo hàm hai vế, cho
2
x nhân hai vế với ( -1), ta có kết quả:
99 100 198 199
0 99 100
100 101 100 100
1 1
100 101 199 200
2 2
C C C C
Câu 7: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn
Giải:
Gọi na a a a a a1 2 3 4 5 6 số cần lập Yêu cầu toán:
3 3, 4, 1,2,5
a a a a a a hay a a a3, 4, 51,3,4 a) Khia a a3, 4, 51,2,5 Có cách chọn a1; có cách
chọn a2
Có 3! Cách chọn a3, a4, a5 Có cách chọn a6
Vậy ta có: 6.5.6.4720 số n
(4)Cách khác: * Khi a a a3, 4, 51,2,5 Có 3! = cách chọn
3
a a a , có
A cách chọn a1, a2, a6
Vậy ta có: 6.5.6.4720 số n
* Khia a a3, 4, 51,3,4, tương tự ta có 720 số n Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n Câu 8: Tìm hệ số x7 khai triển đa thức
2
23x n, n số nguyên dương thoả mãn:
1
2 2 1024
n
n n n n
C C C C (Cnk tổ hợp chập k n phần tử)
Giải:Ta có:
2 1 2 3 2
2 2 2
1 n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
Cho x = 1, ta có:
2 1
2 2 2
2n n
n n n n n
C C C C C
Cho x = -1, ta có:
0
2 2 2
0 n
n n n n n n
C C C C C C
Lây (1) – (2) 1
2 2
2n n
n n n n
C C C C
2 10
2 2
2n n 1024
n n n n
C C C C
Vậy 2n = 10 Ta có:
10
10 10
10
2 ( 1)k k k(3 )k k
x C x
Suy hệ số x7 là: 7 10.3
C
hay
10.3
C
Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người biết phải có nữ
Giải:
Ta có trường hợp: * nữ nam: có
5 10 2520
C C cách
* nữ nam: Có 4
5 10 1050
C C cách
* nữ nam: có
5 10 120
C C cách
Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách Câu 10: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1,
Giải:
Gọi na a a a a1 2 3 4 5 số cần lập
Ta xếp 1, vào vị trí
5 4.5 20
A
cách
Xếp 1, ta có cách chọn chữ số cho ô lại
4 cách chọn chữ số cho cịn lại thứ cách chọn chữ số cho cịn lại thứ * Theo quy tắc nhân ta có:
5.5.4.3 20.60 1200
A số n
Cách khác:
Bước 1: Xếp 1, vào vị trí: Ta có:
5 4.5 20
A cách
Bước 2: Có
5 3.4.5 60
A cách bốc số lại xếp vào vị trí cịn lại Vậy có 20 60 = 1200 số n thoả mãn yêu cầu toán
Câu 11: Tìm k0;1;2; ;2005 choC2005k đạt giá trị lớn ( với k
n
C tổ hợp chập k n phần tử) Giải:
2005
k
C lớn
1
2005 2005
1
2005 2005
k k
k k
C C
k N C C
2005! 2005!
1 2005 !(2005 )! ( 1)!(2004 )!
2005! 2005! 2006
!(2005 )! ( 1)!(2006 )!
k k
k k k k
k k
k k k k
1002 1002
1002 1003,
1003 1003
k k
k k N
k k
Câu 12: Tìm số nguyên n lớn thoả mãn đẳng thức:
2
2Pn6AnP An n 12 ( Pn số hoán vị n phần tử
k n
A số chỉnh hợp chập k n phần tử) Giải:
Ta có: 2 6 2 12 , 1
n n n n
P A P A nN n
6 ! ! ! !
2 ! ! 12 2(6 !)
( 2)! ( 2)! ( 2)! ( 2)!
n n n n
n n n
n n n n
2
6 !
3
!
!
2 ( 1) 2
( 2)! n
n
n n
n
n n n n n
n
( Vì n2)
Câu 13: Tìm x y, N thoả mãn hệ:
2
3
22 66
x y
y x
A C A C
Giải:
Với điều kiện: x2,y3, ta có:
2
2
3 2
3
1
( 1) ( 1)( 2) 22 6 6 3 2 132 (1)
22 6
1 2 132
66 ( 1)( 2) ( 1) 66
2
x y
y x
x x y y y x x y y y
A C
y y y x x
A C y y y x x
2
2
4
6 132
11 11 132 60
x hay x loai x x y y y
x x y y y
2
4
5
( 5)( 12)
x x
y y y y
Câu 14: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệ khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm cho 439
Giải:
Nếu n2 n 6 Do dó số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm không vượt
8 56 439
C ( loại)
Vậy n3
Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
3 3
6
( 4)( 5)( 6) ( 2)( 1)
1 439
6
n n
n n n n n n
C C C
2
( 4)( 5)( 6) ( 2)( 1) 2540
4 140 10 14
n n n n n n
n n n hay n loai
Đáp số: n = 10
Câu 15: Có số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau?
Giải:
Gọi na a a a1 2 3 4 số cần lập
(5)Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng cách chọn a2, cách chọn a3; cách chọn a4
Vậy ta có: 8 7.1 = 448 số n * Trường hợp 2: a4 0 a4 chẵn
Ta có: cách chọn a4; cách chọn a1; cách chọn a2;
cách chọn a3
Vậy ta có: = 1568 số n
Vậy hai trường hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n Câu 16: Chứng minh rằng:
2
1
2 2
1 1
2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
( n số
nguyên dương, k n
C tổ hợp chập k n phần tử) Giải:
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2
1 n n n, n n n
n n n n n n
x C C x C x x C C x C x
2 2 1 3 3 2 1 2 1
2 2
1 2
1 3 2
2 2
0
1 (1 )
(1 ) (1 )
n n n n
n n n
n n
n n
n n n
x x C x C x C x
x x
C x C x C x dx
1 2 2
1 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1
2 2(2 1)
n n n n n
x x x x
n n
1
1 3 2
2 2
0
1
2
1 2
2 2
0
1
2 2
2
1 1
2
n n
n n n
n n
n n n
n
n n n
C x C x C x dx
x x
C C C x
C C C
n
Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh
Câu 17: Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức:
5 10
1 (1 )
x x x x Giải:
Hệ số x5 khai triển
(1 )
x x 4
( 2) C Hệ số x5 khai triển x2(1 ) x10 là 3 10
3 C Hệ số x5 khai triển x(1 ) x5x2(1 ) x 10 là
4 3
5 10
( 2) C 3 C 3320
Câu 18: Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niu tơn (2x)n, biết
0 1 2 3
3n 3n 3n 3n ( 1)n n 2048
n n n n n
C C C C C (n
số nguyên dương, k n
C tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có:
0 1 2 3
3n 3n 3n 3n ( 1)n n (3 1)n
n n n n n
C C C C C
Từ giả thiết suy n = 11 Ta có:
11
11 1
11
2 k.2 k k
k
x C x
Suy hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niutơn (2x)x là:
10 11 10
11.2 22
C
Câu 19: Cho khai triển 1 n 0 1 n n x a a x a x
,
đó nN* hệ số a
0, a1, ….,an thoả mãn hệ thức
1
0 4096
2
n n
a a
a Tìm hệ số lớn số a0, a1, …., an
Giải:
Đặt
0
1
( )
2 2
n n n n
n n
a a
f x x a a x a x a f
Từ giả thiết suy ra: 12
2n 4096 12
n
Với k0;1;2;3 ;11 ta có: 1
12 12
2k k, 2k k
k k
a C a C
12
1
1 12
2 23
1 1
2(12 )
2 k k k
k k
k
a C k
k
a C k
Mà k Z k Do a0 < a1 < ….< a8
Tương tự :
1
1
k
k a
k a
Do a8 > a9 > ….> a12
Số lớn số a0, a1, ……, an là:
8
8 12 126720
a C
Câu 20: Chứng minh rằng:
1
1
1 1
2 k k k
n n n
n
n C C C
( n, k
là số nguyên dương, kn, k n
C tổ hợp chập k n phần tử)
Giải:Ta có:
1
1
1 1 !( )! ( 1)!( )!
2 k k ( 1)!
n n
n n k n k k n k
n C C n n
1 !( )! !( )!
( ) ( 1)
2 ! ! k
n
k n k k n k
n k k
n n n C
Câu 21: Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:
1
2 2048
n
n n n
C C C ( k n
C tổ hợp chập k n phần tử)
Giải:
2 2 3 2 2
2 2 2
(1x)n CnC xn C xn C xn Cnnx n C xnn n
* 2 2
2 2 2
1: 2n n n
n n n n n n
x C C C C C C
* 2
2 2 2
1: n n
n n n n n n
x C C C C C C Lấy (1) – (2):
2 12
2 2
2n 2( n ) 4096
n n n
C C C n
Câu 22: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn
18
1 2x
x
( x > 0)
Giải:
18 1 6
18 18 18
18 18
18 18
5
0
1
2 (2 )
k
k
k k k k
k k
x C x x C x
x
Yêu cầu toán 18 15
5k k
Vậy số hạng không chứa x là: 15 18
2 C 6528 Câu 23: Cho khai triển nhị thức:
1
1 1
0 1
3 3
2 2
2 2 2 2
n n n n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
( n số nguyên dương) Biết khai triển
3 5
n n
C C số hạng thứ 20n, tìm x n Giải:Từ 5
n n
C C ta có: n3
2
! ! ( 1)( 2)
5 28
3!( 3)! ( 1)!
n
n n n n n
n n n
n n n
Với n = ta có:
3
3 2
7 2 140 35.2 140 4
x x
x x x
C x
Câu 24: Cho đa giác A1A2… A2n ( n nguyên) nội tiếp
đường trịn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, …., A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ
nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2, …, A2n Tìm n
Giải:Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1A2… A2n là:C23n
Gọi đường chéo đa giác A1A2… A2n qua tâm
(6)đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2, …, A2n có đường chéo hai đường
chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đường chéo lớn đa giác A1A2… A2n tức Cn2
Theo giả thiết thì: 2
(2 )! !
20 20
3!(2 3)! 2!( 2)!
n n
n n
C C
n n
2 (2 1)(2 2) ( 1)
20 15
6
n n n n n
n n
Câu 25: Tìm số nguyên dương n cho:
0 2 4 2n n 243
n n n n
C C C C Giải:Ta có:
0
1 n
n k k
n k
x C x
Cho x = ta được:
0
3 243
n
n k k n
n k
C n
Câu 26: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn
3
1 n
x x
, biết rằng:
1
4 7( 3)
n n
n n
C C n ( n số nguyên dương, x > 0,Cnk tổ hợp chập k n phần tử)
Giải:Ta có:
1
4 7( 3) 3 7( 3)
( 2)( 3)
7( 3) 7.2! 14 12
2!
n n n n n
n n n n n
C C n C C C n
n n
n n n
Số hạng tổng quát khai triển là:
12 60 11
3 2
12 12
k k
k
k k
C x x C x
Ta có:
60 11
2 60 11 8 4
2
k k
x x k
Do hệ số số hạng chứa x8 là:
4 12
12!
495 4!(12 4)!
C
Câu 27: Cho n số nguyên dương Tính tổng:
2
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C
n
(
k n
C tổ hợp chập k n phần tử)
Giải:
Ta có: 2
1 n n n
n n n n
x C C x C x C x
Suy ra:
2
0 2
1
(1 )n n n
n n n n
x dx C C x C x C x dx
2
1 2
1
2 1
0
1
(1 )
1
2 2
2 1
n
n n
n n n n
n n n
n
n n n n
x x x
x C x C C C
n n
C C C C
n n
Câu 28: Với n số nguyên dương, gọi a3n3 hệ số
3n3
x khai triển thành đa thức x21 (n x2)n. Tìm n để a3n326n
Giải:
Cách 1: Ta có:
1n 2n 2n2 2n n
n n n n
x C x C x C x C
0 1 2
( 2)n n n n 2n n
n n n n
x C x C x C x C
Dễ dàng kiểm tra n = , n = khơng thoả mãn đk tốn
Với n3 3n 2n n 2n n
x x x x x
Do hệ số x3n-3 khai triển thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n 3 1
3n3 n n n n
a C C C C
Vậy
2
3
5
2
26 26
3
2 n
n n n n
a n n
n
Vậy n = giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) Cách 2: Ta có :
2
1
1 1
n n
n n n
x x x
x x
3
2
0 0
1
2
i k
n n n n
n i k n i i k k k
n n n n
i k i k
x C C x C x C x
x x
Trong khai triển , luỹ thừa x 3n – 2i – k = -3 hay 2i + k = -3 Ta có trường hợp thoả mãn đk i = , k = i = , k =
Vậy hệ số x3n-3 3 1
3n3 n n.2 n n.2
a C C C C
Do
2
3
5
2
26 26 7
3
2 n
n n n n
a n n
n
Vậy n = giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) Câu 29: Giải bất phương trình: 5 2 2
n n n
n C C A (trong k
n
C số tổ hợp chập k n phân tử k n A chỉnh hợp tập k n phân tử )
Giải : Điều kiện nN n4 Bất phương trình cho có dạng :
2
2
5 ! ! !
2
4 ! 4! !3! !
5 5
n n n n
n n n
n n n n n
(do n2+ 2n + 5) > , n)
Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình cho n = , n =
Câu 30: Tính hệ số x8 khai triển thành đa thức 1x21x8
Giải:
8
2 2
8 8
4 10 12 14 16
8 8 8
1 (1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
x x C C x x C x x C x x
C x x C x x C x x C x x C x x
Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn
Vậy x8 có số hạng thứ 4, thứ với hệ số tương ứng là:
8 3,
C C C C Suy ra: a816870238
Câu 31: Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ khơng 2?
Giải:Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ nên có trường hợp sau:
* Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: 2
15 10 23625
C C C
* Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: 2
15 10 10500
C C C
* Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: 1
15 10 22750
C C C
(7)Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hồng Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị
thức Niutơn
7
4
1 x
x
với x >
Giải:Ta có:
7 7 7 28
3 3 12
7 7
4
0 0
1 k k k k k
k k k
k k k
x C x C x x C x
x x
Số hạng không chứa x số hạng tương ứng với k kZ,0 k 7 thoả mãn: 28
12 k
k
Số hạng khơng chứa x cần tìm là:
4 35
C Câu 33: Tìm số nguyên dương n cho:
1 2
2 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005
n n
n n n n n
C C C C x C
( k n
C số tổ hợp chập k n phân tử) Giải:Ta có:
2 1 2 3 2
2 2 2
(1 )n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x x R
Lấ
y đạo hàm hai vế ta có:
2 2
2 2 2
(2 1)(1 )n (2 1) n
n n n n
x x C C x C x n C x x R
Thay x = - 2, ta có:
1 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2
n n
n n n n n
C C C C n C n
Theo giả thiết ta có: 2n 1 2005 n 1002
Câu 34: Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ?
Giải: Có
3 12
C C cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ có
2
C C cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân cơng niên tình nguyện tình thứ tỉnh thứ hai có
1
C C cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ
Số cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh theo yêu cầu toán là: 4
3 12 207900
C C C C C C Câu 35: Tính giá trị biểu thức:
4
1 3An
( 1)! n A M
n
Biết
rằng 2 2
1 2 149
n n n n
C C C C ( n số nguyên
dương, k n
A chỉnh hợp tập k n phân tử k n
C số tổ hợp chập k n phân tử)
Giải: Điều kiện: n3 Ta có:
2 2
1 2 149
n n n n
C C C C
2
( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)!
2 149
2!( 1)! 2! ! 2!( 1)! 2!( 2)!
4 45
9
n n n n
n n n n
n n n
n
Vì n nguyên dương nên n =
4
6
6! 5!
3
3A 2! 2!
6! 6!
A M
Câu 36: Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn
4
1 n
x x
, biết
1 20
2 2
n
n n n
C C C ( n số nguyên
dương, k n
C số tổ hợp chập k n phân tử)
Giải:Từ giả thiết suy ra:
0 20
2 2 2
n
n n n n
C C C C
Vì
2 , ,0
k n k
n n
C C k k n nên:
0 2
2 2 2 2
1
2
n n
n n n n n n n
C C C C C C C Từ khai triển nhị thức Niutơn (1 1) 2n1 suy ra:
0 2
2 (1 1)
n n n
n n n
C C C Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n 220 hay n = 10.
Ta có:
10 10 10
7 11 40
10 10
4
0
1
( ) n
k
k k k k
k k
x C x x C x
x
Hệ số x26 làC10k với k thoả : 11k4026 k 6 Vậy hệ số x26 là:
10 210
C
Câu 37: Cho tập hợp A gồm n phần tử n4 Biết số tập hợp gồm phần tử gấp 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k1;2;3 n cho số tập gồm k phần tử A lớn
Giải: Số tập k phần tử tập hợp A k n
C Từ giả thiết suy ra:
4 20 2 5 234 0 18
n n
C C n n n ( n4)
Do
1 18
18
18
1
1 k
k
C k
k k
C
nên
1 9 10 18
18 18 18 18 18 18
C C C C C C
Vậy số tập gồm k phần tử A lớn nhất k = Câu 38: Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy?
Giải:Số cách chọn học sinh 12 học sinh cho là:
4
12 495
C
Số cách chọn học sinh mà lớp có nhấtmột em tính sau:
- Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: 1
5 120
C C C
- Lớp B có học sinh, lớp A, C lớp có học sinh Số cách chọn là:
5 90
C C C
- Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: 1
5 60
C C C
Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 Câu 39: Chứng minh bất đẳng thức sau:
1
1
1 1 1 ( 1)
1
2
n n
n n n n
C C C C
n n
Giải:Xét tích phân:
1
1
0
1
1
1 (1 )
( 1)
1 ( 1)
2 n
n n n
n n n
n n
n n n
x
dx C C x C x dx x
C C C
n
Mặt khác, đặt x = – t, ta có:
1 1
0 0
1
2
0
1 (1 ) 1
( 1)
1
1 1
1
2
n n n
n
x t t
dx dt dt
x t t
t t t dt
n
(8)Câu 40: Rút gọn tổng:
0 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1
2 20 21
S C C C C C Giải:Theo nhị thức Niutơn thì:
19 2 18 18 19 19
19 19 19 19 19
0 2 18 19 19 20
19 19 19 19 19
(1 )
x x x C C x C x C x C x C x C x C x C x C x
1 20 21
19 18 19
19 19 19 19 19
0
0 18 19
19 19 19 19 19
(1 )
2 20 21
1 1 1
2 20 21
x x x x x
x x dx C C C C C
C C C C C S
Do
420 S
Câu 41: Tính tích phân:
1
2 *
0
(1 )n
Ix x dx nN Từ
cmr: 1 1 ( 1)
2 2( 1) 2( 1)
n n
n n n n n
C C C C C
n n
Giải:
Ta có;
1
2
0
1 (1 )
1 (1 )
2 2( 1)
n
n x
I x d x
n n
Mặt khác:
1
2
0
0
2
1
0
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
2 2( 1)
n n
k k k k k k
n n
k k
k k
n n
k k k k n
n n
k k
I x C x dx C x dx C
x
C C
k k
Từ ta có điều phải chứng minh
Câu 42: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có cách viết số:
1) Có chữ số
2) Có chữ số đơi khác 3) Có chữ số
4) Có chữ số đơi khác
5) Chia hết cho có chữ số khác 6) Có chữ số khác số lẻ 7) Có chữ số khác lớn 3000 8) Có chữ số khác khơng lớn 243 9) Có chữ số khác nhỏ 243 Giải:
1) Để viết số có chữ số từ số cho, ta có cách chọn số hàng trăm nghìn, tương tự với số hàng lại có cách chọn Theo quy tắc nhân ta lập được: 66 = 46656 số thoả mãn điều kiện đề
2) Do yêu cầu chữ số đơi khác nên có cách chọn số hàng trăm nghìn, cách chọn số hàng vạn, cách chọn số hàng nghìn, …., cách chọn số hàng đơn vị Vậy có tất x x x x x = 720 ( số) thoả mãn đề
3) Lập luận tương tự câu ta lập được: 66 = 1296 số thoả mãn đề
4) Lập luận tương tự câu 2, có cách chọn số hàng nghìn, cách chọn số hàng trăm, cách chọn số hàng chục, cách chọn số hàng đơn vị
Vậy có tất cả: x x x = 360 ( số) thoả mãn đề 5) Gọi abc số thoả mãn đề bài, số chia hết có mọt cách chọn c = 5, số a, b coi chỉnh hợp chập số lại sau chọn số c Vậy có tất
5
1.A 20 số
6) Do số thành lập số lẻ nên số hàng đơn vị phải là: 1, 3, có cách chọn Các số cịn lại coi hốn vị năm phần tử Vậy có tất cả:
5
3.P 3.5!360 ( số)
7) Gọi số có chữ số khác là: abcd
Do số lớn 3000 nêna3 hay a3;4;5;6 Vậy có cách chọn a, số cịn lại coi chỉnh hợp chập phần tử Suy số thoả mãn đề là:
3
4.A 240 ( số)
8) Gọi số có chữ số khác làabc số khơng nhỏ 243 ( hay abc243) nên a2 Vậy
2;3;4;5;6
a
+ Với a = để 2bc243 b b 4;5;6
Nếu b = 4, lập luận tương tự, cần c4,c3 có cách chọn c Vậy số có dạng 24c là: x = ( số) Nếu b = 5, c chọn số cịn lại số số có dạng 25c 26c là:
x x = (số)
+ Với a = 3; 4; 5; ta chọn b, c số số lại sau chọn a Tất dạng là:
2
4.A 80( số)
Vậy từ số cho, ta lập + + 80 = 91 ( số)có chữ số khác khơng nhỏ 243
9) Ta có: abc243 *
Từ số cho, thành lập
6 120
A ( số) có chữ số khác Trong số số khơng nhỏ 243 91 số Vậy số số thoả mãn (*) là: 120 – 91 = 29 ( số) Câu 43: Một lớp 12 có 15 học sinh nữ 25 học sinh nam Hỏi có cách chọn tổ có người: 1) Nam, nữ tuỳ ý, khơng phân biệt nhiệm vụ 2) Có nam, khơng phân biệt nhiệm vụ 3) Có nữ, không phân biệt nhiệm vụ
4) Tổ trưởng nữ, số cịn lại khơng phân biệt nhiệm vụ 5) Tổ trưởng nam có nam nữ
6) tổ trưởng, tổ phó tổ viên
7) Mỗi người phụ trách đội thiếu niên cụ thể phường
Giải:
1) Số học sinh lớp là: 15 + 25 = 40 ( học sinh) Do số cách chọn tổ người theo yêu cầu đề là:
5
40 658008
C ( Cách)
2) Để chọn tổ có người: Gồm nam: có
25 2300
C ( Cách chọn) nữ: có
15 150
C ( cách chọn) Theo quy tắc nhân, số cách chọn tổ là:
25 15 241500
C C ( cách)
3)Cách 1: Số học sinh nữ tổ là: 2, 3,
Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là:
2
15 25 241500
C C
Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là:
3
15 25 136500
C C
Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là:
15 25 34125
C C Số cách chọn tổ gồm nữ là:
15 3003
C
Cách 2: Tính số tổ có nữ số tổ khơng có nữ là:
5
25 15 25
C C Số tổ phải tìm là: 5
40 ( 25 15 25)
C C C 4) Để tổ trưởng nữ, có
15 15
C cách chọn Bốn tổ viên chọn 39 học sinh cịn lại, có:
4
39 82251
C cách chọn Vậy số cách chọn tổ là:
1
15 39 1233765
C C ( cách chọn)
5) Để tổ trưởng nam, có
25 25
(9)Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng + nam, nữ: 2
24 15 28980
C C ( cách chọn) + nam, nữ:
24 15 30360
C C ( cách chọn) + nam:
24 10626
C ( cách chọn) Tổng số cách chọn là:
25 2898030360 10626 1749150
6) Một tổ trưởng tổ phó coi chỉnh hợp chập 40 học sinh lớp:
2
40 1560
A ( cách chọn)
Ba tổ viên tổ hợp chập 38 học sinh lại ( sau chọn tổ trưởng tổ phó ) :
2
38 8436
C ( cách chọn) Vậy số cách chọn tổ là: 2
40 38
A C 13160160
7) Do người phụ trách đội thiếu niên khác nên tổ chỉnh hợp chập 40 học sinh Vậy số cách chọn tổ là:
40 78960960
A
Câu 44: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, viết số?
1) Có chữ số khác 2) Có chữ số
3) Có chữ số khác
4) Có chữ số khác số lẻ
5) Có chữ số khác thiết có mặt chữ số Giải:
1) Gọi số có chữ số khác là: abcde a0 nên có cách chọn Bộ số bcde coi hốn vị số cịn lại sau chọn số a, có P4 4!24 ( Số) Số cách thành lập số có chữ số khác là: x 24 = 96 ( cách)
2) Để thành lập số có chữ số, ta chọn hàng, a0 nên có cách chọn a; cách chọn b; cách chọn c; cách chọn d; cách chọn e Vậy số số có chữ số thành lập từ chữ số cho là:
4
4.5 2500 ( số)
3) Gọi số có chữ số khác là: abc Vì a0 nên có cách chọn Bộ số bc coi chỉnh hợp chập phần tử, số chỉnh hợp là:
4 12
A Vậy số thoả mãn đề bài: x 12 = 48 ( số)
4) Gọi số có chữ số khác abc, đề số số lẻ thìc 1;3 , có cách chọn c Còn lại số
( gồm số 0) để chọn a b; doa0 nên có cách chọn số a, từ cịn cách chọn b
Vậy số số lẻ có chữ số khác là: x x = 18 (số)
5) Gọi số phải tìm abc, thiết có vị trí số 2:
+ Số vị trí a; số b, c chọn số lại nên chỉnh hợp chập số nên có
4 12
A số loại
+ Số vị trí số b; có cách chọn a; cách chọn c nên có x = số loại
+ Số vị trí c; tương tự, ta số Vậy có tất cả: 12 + + = 30 số thoả mãn đề
Câu 45: 1) Tính hệ số số hạng chứa x3 khai triển của:P x( )(2x1)3(3x1)4(x1)7
2) Khai triển n x
x
có tổng hệ số số hạng
đầu 28 tìm số hạng thứ khai triển
3) Tìm số hạng không chứa x khai triển
10
1 2x
x
4) Xét khai triển (x3xy)15
a) Tìm hai hạng tử b) Tính hệ số hạng tử chứa x y21 12
Giải:
1) Số hạng chứa x3 khai triển 2x13 8x3 Số hạng chứa x3 khai triển 3x14 là:
1 3
4(3 ) 108
C x x
Số hạng chứa x3 khai triển x17 là:
4 3
7 35
C x x
Vậy hệ số x3 đa thức P(x) là: – 108 + 35 = - 65
2) Ta có:
0
1
( 1) ( 1)
n n k n
k k n k k k n k
n n
k k
x C x C x
x x
Theo giả thiết ta có: 38
n n n
C C C Điều kiện:
2 ( 1) 28 3 54 0
2 n n
nN n n n Phương trình có nghiệm n = thoả mãn điều kiện Khi số hạng thứ khai triển là: 4 2.4
9
( 1) C x 126x 3) Ta có:
10
10 10 10
10 10
0
1
2 ( 1) (2 ) ( 1)
k
n n
k k k k k k k
k k
x C x C x
x x
Do số hạng khơng chứa x tương ứng với 102k 0 k
Vậy số hạng cần tìm là: 5 10
( 1)2 C 8064 4) Khai triển x3xy15 gồm 16 hạng tử:
Số hạng tổng quát khai triển là:
3 15 45
15( ) ( ) 15
k k k k k k
C x xy C x y
a) Hai hạng tử khai triển số hạng thứ thứ dãy:
7 45 2.7 31 45 2.8 29
15 6435 ; 15 6435
C x y x y C x y x y b) Hạng tử chứa x y21 12 tương ứng với k = 12 Vậy hệ số
của hạng tử là: 12
15 455