Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình bình hành ABCD, hai ñỉnh A, B cố ñịnh, tâm I thay ñổi di ñộng trên ñường tròn (C).. Tìm quỹ tích trung ñiểm M của cạnh BC.[r]
(1)Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
PHÉP TỊNH TIẾN A – LÝ THUYẾT
1. Định nghóa
- Phép tịnh tiến theo vectơ v phép biến hình biến điểm M thành điểm M′
sao cho MM v′ =
- Ký hiệu : Tv hay ( )= ′ ⇔ =
v
T M M MM' v
2 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến
Trong hệ tọa độ vng góc Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ u (a;b)= biến điểm M(x;y) thành điểm M (x ;y )′ ′ ′ Khi : ′= +
′ = +
x x a y y b 3 Tính chất
( )= ′ ( )= ⇒ =
v v
T M M ; T N N' M'N' MN
B – BÀI TẬP
ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM, ẢNH CỦA MỘT HÌNH Bài Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u=( )3;1
1) Tìm ảnh ñiểm M 2; 5( − ) qua phép tịnh tiến theo vectơ u
2) Tìm ảnh ñường thẳng ∆: x+2y 5− =0 qua phép tịnh tiến theo vectơ u
3) Tìm ảnh đường trịn ( ) (C : x 1+ ) (2− −y 2)2 =2 qua phép tịnh tiến vectơ u
4) Tìm ảnh elip ( )
2
x y
E :
16+ = qua phép tịnh tiến theo vectơ u
5) Tìm ảnh elip ( )
2
x y
H :
16 − = qua phép tịnh tiến theo vectơ u
6) Tìm ảnh parabol ( )P : y2 =4x qua phép tịnh tiến theo vectơ u
Bài Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u=( )3;1
1) Tìm điểm M, biết qua phép tịnh tiến theo vectơ u
M biến thành M ' 2;5 ( )
M′
(2)2) Tìm đường thẳng ∆, biết qua phép tịnh tiến theo vectơ u
∆ biến thành
' : x 2y
∆ + − =
3) Tìm đường trịn ( )C , biết qua phép tịnh tiến theo vectơ u
( )C biến thành
( ) ( ) (2 )2
C' : x 1+ − −y =2
4) Tìm elip ( )E , biết qua phép tịnh tiến theo vectơ u
( )E biến thành
( ) x2 y2
E' :
16+ =
5) Tìm elip ( )H , biết qua phép tịnh tiến theo vectơ u
( )H biến thành
( ) x2 y2
H' :
16− =
6) Tìm elip ( )P , biết qua phép tịnh tiến theo vectơ u
( )P biến thành
( )
P' : y =4x
Bài 3. ðường thẳng ∆ cắt Ox A(−1; 0), cắt Oy B 0; Hãy viết phương trình ( )
ñường thẳng '∆ ảnh ∆ qua phép tịnh tiến theo vectơ u 2; 1( − )
Bài Cho ñường thẳng : 6x∆ +2y 1− =0 Tìm vectơ u≠0
cho qua phép tịnh tiến theo
vectơ u
biến thành ( Tu( )∆ = ∆ )
Bài 5. Cho phép tịnh tiến Tv có biểu thức tọa ñộ: x ' x
y ' y
= −
= +
Tìm m biết đường thẳng:
( )
mx− m y 3− + =0 khơng thay đổi ( bất biến ) qua Tv.
Bài 6. Trong hệ trục tọa ñộ Oxy, cho ba ñiểm K 1;2 , M 3; , N 2; 3( ) ( − ) ( − ) hai vectơ
( ) ( )
u= 2;3 , v= −1;2
Tìm ảnh K, M, N qua phép tịnh tiến Tu T v
Bài Trong hệ trục tọa ñộ Oxy, xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A(−2;0), ñỉnh B(−1;0) giao ñiểm ñường chéo I 1;2( )
Bài Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ñiểm A(−3;3 , B 1;3) ( ) đường trịn (C ) có tâm
( )
I 3;1 , bán kính R = Một đường thẳng ( )d có phương trình: x+ − =y Tìm
trên ( )d điểm M đường trịn (C) điểm M ' cho: MM'=AB
(3)Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài Cho hai đường trịn ( )C : x1 2+y2−4x=0 ; C : x( )2 2+ +y2 6x+ =5 ñường
thẳng ( )d : x+2y 10− =0 Tìm ảnh đường thẳng ( )d phép tịnh tiến biến
đường trịn ( )C thành ( )C2 ?
Bài 10 Cho hai ñường thẳng: ( )d : x+ + =y ; d' : x( ) + − =y ñường thẳng
: x y
∆ − = Biết tồn phép tịnh tiến Ta với a
phương với ∆ biến
ñường thẳng ( )d thành ( )d' Tìm ảnh đường trịn ( )C : x2+y2+4x−6y=0 phép tịnh tiến nói trên?
Bài 11 Biết tồn phép tịnh tiến biến đường trịn
( ) 2
C : x +y −4x+2my+m − =1
thành ñường tròn: ( ) 2 ( )
C' : x +y +2 m 2− −6y 12 m+ + =0
Tìm phép tịnh tiến nói trên?
Bài 12. Cho phép tịnh tiến Tv có biểu thức tọa ñộ: x ' x
y ' y
= −
= +
Tìm ảnh đường trịn
( ) 2
C : x +y +2x 3y− =0 qua phép tịnh tiến Tv ?
Bài 13 Trong hệ trục tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0 , B( ) (−2;4 , C) (−4;5) Gọi G
là trọng tâm tam giác ABC phép tinh tiến theo vectơ u≠0
biến A thành G Tìm
( )
u
G'=T G
Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai ñường tròn ( ) (C : x 1− ) (2+ +y 3)2 =2
( ) 2
C' : x +y −10x+4y+25=0 Có hay khơng phép tịnh tiến vectơ u
biến ( )C thành ( )C'
Bài 15 Cho tam gi¸c ABC
a) Xác định ảnh A qua phép tịnh tiến theo BC
b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Xác định ảnh A, B, C qua phép tịnh tiến theo BG
Bài 16 Cho tam gi¸c ABC néi tiếp đờng tròn (O) Gọi H trực tâm cđa tam gi¸c
ABC, O’ điểm đối xứng O qua BC
a) Xác định ảnh O qua phép tịnh tiến theo AH b) Xác định ảnh H qua phép tịnh tiến theo AO
(4)c) Xác định ảnh đ−ờng tròn (O) qua phép tịnh tiến theo AO Bài 17 Cho hình bình hành ABCD có tâm O
a) Xác định ảnh B, C, O qua phép tịnh tiến theo AD b) Xác định ảnh A, B, C, D qua phép tịnh tiến theo OA
Bài 18 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần l−ợt trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Xác định ảnh tam giác BMP qua phép tịnh tiến theo MC
b) Xác định ảnh tam giác CMN qua phép tịnh tiến theo 1CA
2
c) Xác định ảnh hình bình hành BMNP qua phép tịnh tiến theo u 1(BA BC)
= +
Bài 19 Cho tam giác ABC Vẽ hình chữ nhật BCDE bên tam giác Gọi d1, d2
là đường thẳng qua D E vng góc với AB , AC Gọi K giao ñiệm d1 d2
a) Phép tịnh tiến TEB biến d
1, d2 thànhhai ñường thẳng nào, biến K thành điểm nào?
b) Suy AK vng góc với BC? Bài 20 Cho hai vec tơ u , u1 2
Giả sử ( ) ( )
1
1 u u
M =T M , M =T M Tìm v
để
( )
2 v
M =T M
Bài 21 Cho hai đường trịn ( )I,R ( )I',R' Hãy phép tịnh tiến biến ( )I,R thành
( )I',R'
Bài 22. Cho tam giác ABC Gọi A , B , C trung ñiểm cạnh BC, CA, AB 1
Gọi O , O , O 1 2 3 I , I , I tương ứng tâm đường trịn ngoại tiếp tâm 1 2 3
đường trịn nội tiếp ba tam giác AB C , BC A 1 1 1 1 CA B Chứng minh 1 1
1 3
O O O I I I
∆ = ∆
DỰNG HÌNH
Bài Cho đoạn thẳng AB hai đờng thẳng d d Tìm d điểm M d điểm
M cho ABMM hình bình hành
Bi Trên đờng tròn có hai dây cung không cắt AB CD HÃy tìm đờng tròn điểm X cho dây cung AX, BX cắt CD lần lợt E F mµ EF =
3
CD
Bài Cho hai đờng tròn (O) (O) hai điểm A, B Tìm (O) điểm M tìm
(5)Biờn son: GV HUNH ðỨC KHÁNH
Bài Dùng tø gi¸c ABCD biÕt AB = a, BC = b, CD = c, AD = d vµ gãc nhän cđa AB vµ
CD lµ α
CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
Bài Cho hai đ−ờng trịn (I) (J) có bán kính R tiếp xúc với điểm M Cho A B hai điểm di động lần l−ợt hai đ−ờng trịn (I) (J) cho góc
o
AMB= 90 Chøng minh r»ng AB = 2R
Bài Cho tứ giác lồi ABCD điểm M nằm bên tứ giác cho ABMD hình bình hành Chứng minh góc CBM=CDM góc ACD=BCM.
Bài Cho tø gi¸c låi ABCD cã AB = CD Gọi M N lần lợt trung điểm AD
AC Chứng minh đờng thẳng AB, CD tạo với MN góc
Bài Cho tứ giác lồi ABCD ñiểm M ñược xác ñịnh bỡi AB=DM
CBM=CDM Chứng minh: ACD =BCM
Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo AB
Bài Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q trung ñiểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành
( ) ( )
1
MP NQ AB BC CD DA
2 *
+ = + + +
Hướng dẫn: Thực phép tịnh tiến theo BC
D→ E ⇒ BCED hình bình hành
⇒ P trung ñiểm BE
1( ) 1( )
2 2
MP = AE≤ AD+DE = AD+BC (1) Dấu “ = “ xảy ⇔ A, D, E thẳng hàng ⇔ AD//BC
Chứng minh tương tự: 1( )
2
NQ≤ AB CD+ (2)
và dấu “ = “ xảy ⇔ AB//CD
Cộng (1) (2) ta ñược: 1( )
2
MP+NQ≤ AB+BC+CD+DA (3)
ðể có (*) dấu “=” (3) xảy ra, nghĩa dấu “=” (1) (2) ñồng thời
xảy ⇔ / /
/ /
AB CD BC AD
−−> ABCD hình bình hành
Bài Cho tứ giác ABCD có
AB= 3, BC=3, CD=2 3, BAD=CDA=60 Tính số đo
(6)
Hướng dẫn: Thực phép tịnh tiến theo DC
A→ A′ ⇒ ADCA’ hình bình hành và BAA′ =600
∆ABA’ có: BAA′=600 và AA'=2AB⇒∆ABA vng′ tại B BA A' =30 ,0 A B' =3
−−−> ∆BCA’ cân B −−−> BCA'=BA C' =AA C' −BA A' =300
−−−>
( )
0
0
90
360 150
BCD
ABC BAD CDA BCD
=
= − + + =
Bài Cho tứ giác ABCD có AB =6 3, CD = 12 A=60 , B 150 , D0 = =900 Tính BC AD
Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo BA
Bài Cho tø gi¸c låi ABCD, có AB = BC = CD = a, gãc BAD = 75o, gãc ADC = 45o
Tính độ dài đoạn AD TèM TẬP HễẽP ẹIỂM
Bài Cho hình bình hành ABCD có A B cố định Tìm tập hợp điểm D khi: a) C di động đ−ờng thẳng d
b) C di động đ−ờng tròn tâm O bán kính R
Bài Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố ñịnh, tâm I thay ñổi di ñộng ñường trịn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC
Bài Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hình bình hành OABC với A(−2;1)
B∈∆: 2x− − =y Tìm tập hợp đỉnh C
Bài 4. Trên đ−ờng trịn (O) có hai điểm A, B cố định điểm M thay đổi cung lớn AB
Gäi H lµ trực tâm tam giác MAB I trung ®iĨm cđa AB aaaa)))) Chứng minh rằng: MH 2OI= Suy tập hợp điểm H b)
b) b)
b) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp cđa tam gi¸c BMH
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB cố định đường trịn cố định (O) C điểm di động (O) Vẽ hình bình hành ABCD
a) Tìm tập hợp ñiểm D
b) Vẽ tam giác ñều CDE Tìm tập hợp điểm E
Bài 6. Cho đường trịn (O; R), đường kính AB cố định đường kính MN thay đổi Tiếp
(7)Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Hướng dẫn: Gọi H trực tâm ∆MPQ, K trực tâm ∆NPQ Xét phép tịnh tiến theo vectơ v=BA
Tập hợp điểm H K đường tròn (O′) ảnh (O) qua phép tịnh tiến (trừ hai điểm A A' với AA'=BA
)
Bài Cho hai ñường (O) (O1) cắt hai ñiểm, gọi A hai giao điểm ðường thẳng (d) di động qua A cắt hai đường trịn cho M, N Trên
hai tia AM AN lấy hai ñiểm B, C cho: 2BA=2AC=MN
Tìm tập hợp
điểm B C