Vấn đề 1: Phép Tịnh Tiến

Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 11CB&NC Vấn đề 1: PHÉP TỊNH TIẾN A − Tóm tắt cơ sở: • Định nghĩa: v T r : M a M′ ⇔ 'MM v= uuuuur r • Tính chất: v T r (M) = M′, v T r (N) = N′ ⇒ ' 'M N MN= uuuuuur uuuur ( Các hệ quả: tự nêu) • Biểu thức tọa độ: v T r : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x a y y b  = +  = +  ( ( ) ;v a b= r ) B − Luy ệ n t ậ p: 1) Bài tốn 1: Áp dụng phép tịnh tiến để tính tốn hoặc chứng minh tính chất hình học. 1) Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bỡi AB DM= uuur uuuur và · · CBM CDM= . Chứng minh: · · ACD BCM= . Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo AB uuur . 2) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Biết AB = a, AC = b, BD = c và · AOB α = . Tính độ dài của cạnh CD theo a, b, c và α. Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo AB uuur . ĐS: CD = 2 2 2 .cosb c bc a α + − − 3) Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ( ) 1 2 MP NQ AB BC CD DA+ = + + + (*) Hướng dẫn: Thực hiện phép tịnh tiến theo BC uuur . D E → ⇒ BCED là hình bình hành ⇒ P là trung điểm BE. MP = ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 AE AD DE AD BC≤ + = + (1). Dấu “ = “ xảy ra ⇔ A, D, E thẳng hàng ⇔ AD//BC Chứng minh tương tự: ( ) 1 2 NQ AB CD≤ + (2) và dấu “ = “ xảy ra ⇔ AB//CD. Cộng (1) và (2) ta được: ( ) 1 2 MP NQ AB BC CD DA+ ≤ + + + (3) Để có (*) thì dấu “=” trong (3) xảy ra, nghĩa là dấu “=” trong (1) và (2) đồng thời xảy ra ⇔ // // AB CD BC AD    −− > ABCD là hình bình hành. 4) Cho tứ giác ABCD có · · 0 3, 3, 2 3, 60AB BC CD BAD CDA= = = = = . Tính số đo · · à .ABC v BCD Hướng dẫn: Thực hiện phép tịnh tiến theo DC uuur . A A ′ → ⇒ ADCA’ là hình bình hành và · 0 AA 60B ′ = . ∆ABA’ có: · 0 AA 60 à AA'=2AB ABA vngB v ′ ′ = ⇒ ∆ tại B và · 0 ' 30 , ' 3BA A A B= = −−− > ∆BCA’ cân tại B −−− > · · · · 0 ' ' AA'C ' 30BCA BA C BA A= = − = −−− > · · · · · ( ) 0 0 0 90 360 150 BCD ABC BAD CDA BCD  =   = − + + =   . 5) Cho tứ giác ABCD có AB = 6 3 , CD = 12 và µ µ µ 0 0 0 60 , 150 , 90A B D= = = . Tính BC và AD. Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo BA uuur . ĐS: BC = 6, AD = 6 3 . 2) Bài tốn 2: Áp dụng phép tịnh tiến để tìm quỹ tích. 1) Cho hai điểm cố đònh B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC. Hướng dẫn: Vẽ đường kính BB ′ . Xét phép tònh tiến theo 'v B C= uuuur r . Q tích điểm H là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó. 1 Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 11CB&NC 2) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính MN thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AM tại P, AN tại Q. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác MPQ và NPQ. Hướng dẫn: Gọi H là trực tâm ∆ MPQ, K là trực tâm ∆ NPQ. Xét phép tònh tiến theo vectơ v BA= uuur r . Tập hợp các điểm H va øK là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với 'AA BA= uuur uuur ). 3) Cho hai đường trong (O) và (O 1 ) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là một trong hai giao điểm đó. Đường thẳng (d) di động qua A và cắt hai đường tròn đã cho tại M, N. Trên hai tia AM và AN lấy hai điểm B, C sao cho: 2 2BA AC MN= = uuur uuur uuuur . Tìm tập hợp các điểm B và C. 3) Bài tốn 3: Áp dụng phép tịnh tiến để tìm tọa độ của điểm, viết phương trình của đường. Phương pháp: Dạng 1: Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v T r . Áp dụng biểu thức tọa độ: ( ) ' ' ' M M v v M M v x x x M T M y y y = +  = ⇒  = +  r . Dạng 2: Cho đường (C) f(x,y) = 0 và ( ; )v a b= r . Tìm phương trình của đường (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến v T r . Vì (C’) = ( ) v T C r ⇒ Mỗi điểm M(x; y) ∈(C’) là ảnh của một điểm M 0 (x 0 ; y 0 )∈(C), ta có : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 ( ; ) ; 0(*) f x y M x y C x x a f x a y b M M v y y b =  ∈   ⇔ − = ⇒ − − =   =    − =  uuuuuur r . Phương trình (*) là phương trình của (C’). Bài tập: 1. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tònh tiến v T r trong các trường hợp sau: a) v r = (1; 1) b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) e) v r = (0; 0) f) v r = (–3; 2) 2. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho ( ) v A T B= r trong các trường hợp sau: a) ( ) 2; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) e) v r = (0; 0) f) v r = (–3; 2) 3. Tìm toạ độ vectơ v r sao cho ( ) / v T M M= r trong các trường hợp sau: a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4; 5) d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –5) 4. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 5. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 1 2 4x y− + + = . Tìm phương trình của đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 6. Trong mpOxy, cho Elip (E): 2 2 1 9 4 x y + = . Tìm phương trình của elip (E′) là ảnh của (E) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 2 Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 11CB&NC 7. Trong mpOxy, cho Hypebol (H): 2 2 1 16 9 x y − = . Tìm phương trình của Hypebol (H′) là ảnh của (H) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 8. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y 2 = 16x. Tìm phương trình của Parabol (P′) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 9. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v r = (2; m). Tìm m để phép tònh tiến v T r biến d thành chính nó. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3 . dụng phép tịnh tiến để tìm tọa độ của điểm, viết phương trình của đường. Phương pháp: Dạng 1: Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v. = . Tính BC và AD. Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo BA uuur . ĐS: BC = 6, AD = 6 3 . 2) Bài tốn 2: Áp dụng phép tịnh tiến để tìm quỹ tích. 1) Cho hai