Đang tải... (xem toàn văn)
1.. b) Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñöôøng thaúng ñeán maët phaúng. c) Khoaûng caùch giöõa hai maë[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I QUAN HỆ SONG SONG
1 Hai đường thẳng song song
a) Định nghóa: a / /b a, b (P)
a b
b) Tính chất
(P) (Q) (R)
(P) (Q) a a, b, c dong quy (P) (R) b a / /b / /c (Q) (R) c
(P) (Q) d
d / /a / /b (P) a, (Q) b
d a (d b) a / /b
a b a b
a c, b c
2 Đường thẳng mặt phẳng song song
a) Định nghóa: d // (P) d (P) =
b) Tính chất
d (P), d ' (P) d / /(P) d / /d '
d / /(P)
d / /a (Q) d,(Q) (P) a
(P) (Q) d d / /a (P) / /a,(Q) / /a
3 Hai maët phẳng song song a) Định nghóa:
(P) // (Q) (P) (Q) =
b) Tính chaát
(P) a, b
a b M (P) / /(Q) a / /(Q), b / /(Q)
(P) (Q)
(P) / /(R) (P) / /(Q) (Q) / /(R)
(Q) / /(R)
(P) (Q) a a / /b (P) (R) b
4 Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)
Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Áp dụng định lí giao tuyến song song
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh d / /(P), ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d nằm (P)
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng
II QUAN HỆ VUÔNG GĨC
1 Hai đường thẳng vng góc
a) Định nghóa: a b a, b 900
b) Tính chất
Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a b u.v 0
b / /c a b a c
2 Đường thẳng mặt phẳng vng góc
a) Định nghóa: d (P) d a, a (P)
b) Tính chất
Điều kiện để đường thẳng mặt phẳng: a, b (P), a b O d (P) d a, d b
a / /b (P) b (P) a
a b
a / /b a (P), b (P)
(P) (Q) a (Q) a (P)
(P) (Q) (P) / / Q) (P) a, (Q) a
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | a / /(P) b a
b (P)
a (P)
a / / P) a b, (P) b
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng
Định lí ba đường vng góc
Cho a (P), b(P), a hình chiếu a (P) Khi b a b a
3 Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghóa: (P) (Q) (P), (Q)900
b) Tính chất
Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: (P) a (P) (Q) a (Q)
(P) (Q),(P) (Q) c a (Q) a (P), a c
(P) (Q)
A (P) a (P)
a A, a (Q)
(P) (Q) a
(P) (R) a (R) (Q) (R)
4 Chứng minh quan hệ vng góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Để chứng minh da, ta sử dụng cách sau: Chứng minh góc a d 900
Chứng minh vectơ phương a d vng góc với Chứng minh db mà b / /a
Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a Sử dụng định lí ba đường vng góc
Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Để chứng minh d (P), ta chứng minh cách sau:
Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P)
Chứng minh d // a a (P)
Chứng minh d (Q) với (Q) (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q) Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) (P) (R) (P)
c) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
Để chứng minh (P) (Q), ta chứng minh cách sau: Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a (Q)
Chứng minh (P), (Q) 90
III GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
1 Góc
a) Góc hai đường thẳng: a//a', b//b' a, b a ', b '
Chú ý: 00 a, b 900
b) Góc đường thẳng với mặt phẳng:
Neáu d (P) d,(P) = 900
Nếu d (P) d,(P) = d, d ' với d hình chiếu d (P)
Chú ý: 00d,(P) 900
c) Góc hai mặt phẳng a (P) (P),(Q) a, b b (Q)
Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng a (P),a c b (Q), b c
(P), (Q) a, b
Chú ý:
0 (P),(Q) 90
d) Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), = (P), (Q) Khi đó: S = S.cos
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng)
b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng
c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau bằng: Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng
Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ
Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng
IV NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1 Hệ thức lượng tam giác
a) Cho ABC vuông A, có đường cao AH
AB2AC2BC2 AB2 BC.BH, AC2BC.CH 2 12 12 AH AB AC ABBC.sin CBC.cos BAC.tan CAC.cot B
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p
Định lí hàm số cosin:
2 2 2 2
a =b c – 2bc.cosA; b c a 2ca.cos B; c a b 2ab.cos C
Định lí hàm số sin: a b c 2R
sin A sin Bsin C Công thức độ dài trung tuyến:
2 2 2 2 2
2 2
a b c
b c a c a b a b c
m ; m ; m
2 4
2 Các cơng thức tính diện tích
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | S 1a.ha 1b.hb 1c.hc
2 2
S 1bcsin A 1ca.sin B 1ab sin C
2 2
S abc 4R
Spr S p p a p b p c
ABC vuông A: 2SAB.ACBC.AH ABC đều, cạnh a:
2 a S
4
b) Hình vng: S = a2 (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy cao = AB.AD.sinBAD
e) Hình thoi: S AB.AD.sinBAD 1AC.BD
f) Hình thang: S 1a b h
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S 1AC.BD
V THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1 Thể tích khối hộp chữ nhật:
Vabc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật
2 Thể tích khối chóp:
V 1Sđáy.h
với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ:
VSđáy.h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ 4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích cơng thức
Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … Sử dụng cơng thức để tính thể tích
b) Tính thể tích cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính
c) Tính thể tích cách bổ sung
Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích
d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích
Ta vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có:
OABC
OA ' B ' C '
V OA OB OC
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
* Boå sung
Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy
VI Bài tập minh họa
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thẳng đứng Sử dụng định lý pitago tam giác vuông
Ta có : AB = a , AC = a , SB = a * ABC vuông B nên BC AC2AB2 a
2 ABC
1 a
S BA.BC a 2.a
2 2
* SAB vuông A có SA SB2AB2 a * Thể tích khối chóp S.ABC :
2
S.ABC ABC
1 a a
V S SA a
3
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thẳng đứng
Tam giác ABC vuông cân B nên BA = BC sử dụng định lý pitago tam giác vng
Ta có: AC = a , SB = a
* ABC vuông, cân B nên
2 AC
BA BC a
2
2 ABC
1 a
S BA.BC a.a
2 2
* SAB vng A có SA SB2AB2 a
* Thể tích khối chóp S.ABC:
2
S.ABC ABC
1 a a
V S SA a
3
Bài 3:
A C
B S
A C
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thẳng đứng
Tam giác ABC có ba góc 600 sử dụng định lý pitago tam giác
vuông SAB
* ABC cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a
ABC
1
S BA.BC.sin 60 2a.2a a
2 2
* SAB vuông A có SA SB2AB2 a * Thể tích khối chóp S.ABC:
3
S.ABC ABC
1 a
V S SA a 3.a
3 3
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a , BAC 1200,cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thẳng đứng Tam giác ABC cân A Â = 1200
* ABC cân A, BAC 1200, BC = 2a , AB = AC = BC = 2a Xét AMB vuông M có BM = a , Â = 600
AM = BM0 a a tan 60
ABC
1
S AM.BC a.2a a
2
* SA = a
* Thể tích khối chóp S.ABC:
3
S.ABC ABC
1 a
V S SA a 3.a
3 3
S
B
C
A
M S
B
C
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
Bài 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
Vẽ đáy hình vng (vẽ hình bình hành), cao SA (ABCD) vẽ thẳng đứng
ABCD hình vng; sử dụng định lý pitago tam giác vng Ta có : ABCD hình vng cạnh a , SC = a
* Diện tích ABCD SABCD a 22a2 * Ta có : AC = AB = a 22a
SAC vuông A SA SC2AC2 a * Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
S.ABCD ABCD
1 2a
V S SA 2a a
3 3
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = AC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
Vẽ đáy hình vng (vẽ hình bình hành), cao SA (ABCD) vẽ thẳng đứng
Biết AC suy cạnh hình vng (Đường chéo hình vng cạnh nhân với )
Ta có : SA = AC = a
ABCD hình vng suy AC = AB AB AC a
Diện tích ABCD: ABCD S a * SA = a
* Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
S.ABCD ABCD
1 a
V S SA a a
3 3
A B
D
C S
A B
D
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10
Bài 7:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC
+ O trọng tâm tam ABC + AM đường cao ABC
Đường cao hình chóp SO (SO (ABC))
* S.ABC hình chóp tam giác Gọi M trung điểm BC
ABC cạnh a , tâm O: SO (ABC), SA=SB=SC = 2a * ABC cạnh a AM = a 3 3a
2
2 3a
AO= AM a
3
ABC
1 3a
S AB.AC.sin 60 a 3.a
2 2
* SAO vng A có SO SA2AO2 a * Thể tích khối chóp S.ABC
2
S.ABC ABC
1 3a a
V S SA a
3 4
Bài 8:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải Hình chóp tứ giác có
+ đa giác đáy hình vng ABCD tâm O + SO (ABCD)
+ tất cạnh bên nhau
Đường cao hình chóp SO (SO (ABCD))
* S.ABCD hình chóp tứ giác
ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O, SO (ABCD), SA=SB=SC =SD = a
* ABCD hình vuông: SABCD 2a 4a2
A
C
B S
M O
O
C D
B A
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11 AC = 2a
AC 2a
AO= a
2
* SAO vng O có SO SA2AO2 a * Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
S.ABCD ABCD
1 4a
V S SA 4a a
3 3
Bài 9: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải Tứ diện ABCD có tính chất
+ tất cạnh + tất mặt tam giác
+ gọi O trọng tâm tam giác đáy
Đường cao hình chóp AO (AO (BCD))
* ABCD tứ diện cạnh a Gọi M trung điểm CD :
Ta có: AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
BCD cạnh a, tâm O AO (BCD) * BCD cạnh a BM = a
2
BO= BM2 a a 3
2 BCD
a S
4
* AOB vuông O có:
2
2 a a
AO AB BO a
3
* Thể tích khối chóp S.ABC:
2
ABCD BCD
1 a a a
V S AO
3 12
Bài 10:
Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AC=a , cạnh A/B
= 2a Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
* Tam giác ABC vuông B BC = AC2AB2 a
2 ABC
1 a
S AB.BC
2
* Tam giác A/AB vuông A A A/ A B/ 2AB2 a * / / /
3 /
ABC ABC.A B C
a
V S A A
2
A
C
D B
M O
2a
a
a
B/
C/ A/
A C
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 12
Bài 11:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
* Ta có : AB = a , (SBC) (ABC) = BC
AB BC (vì ABC vng B)
SB BC (vì AB hình chiếu SB lên ABC)
((SBC),(ABC))(SB, AB) SBA60o * ABC vng B có AB = a ,BC =a
2 ABC
1 a
S BA.BC a 3.a
2 2
* SAB vuông A có AB= a, B600 SAAB.tan 60o3a * Thể tích khối chóp S.ABC:
2
S.ABC ABC
1 a a
V S SA 3a
3 2
Bài 12:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, cạnh BC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Tính thể
tích khối chóp S.ABC
Giải * Ta có : AB = a , (SBC) (ABC) = BC
Gọi M trung điểm BC
AM BC (vì ABC cân A)
SM BC (vì AM hình chiếu SM lên (ABC))
((SBC), (ABC))(SM, AM)SMA45o * ABC vng cân A có ,BC = a
AB = BC = a AM = a 2
2 ABC
1 a
S AB.AC a.a
2 2
* SAM vng A có AM= a 2 ,
M45
o a
SA AB.tan 45
2
* Thể tích khối chóp S.ABC:
2
S.ABC ABC
1 a a a
V S SA
3 2 12
60 S
B
C A
45 M S
B
C
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 13
Bài 13:
Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, BC = a , mặt bên
(A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Giải
* Ta có A/A (ABC)
/
(A BC)(ABC)BC AB BC
Mà AB hình chiếu A’B lên (ABC) nên A/B BC
/ /
(A BC),(ABC) A BA30
* Tam giác ABC vuông B
2 ABC
1 a
S AB.BC
2
* Tam giác A/AB vuông A A A/ AB.tan 300 a 3
* / / /
3 /
ABC ABC.A B C
a
V S A A
6
Bài 14:
Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác cạnh 2a , hình chiếu vng góc A/
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC)
một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ
Giải * Gọi M trung điểm BC
G trọng tâm tam giác ABC Ta có A/G (ABC)
GA hình chiếu AA’ lên (ABC)
/ /
A A, (ABC) A AG30
* Tam giác ABC cạnh 2a 3 SABC 2a 2 3a2
* Tam giác A/AG vuông G có 2 A 30 , AG AM 2a 2a
3
/ 2a
A G AG.tan 30
3
Vậy / / /
/
ABC ABC.A B C
V S A A6a
Bài 15:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy 300
A/ C/
B/
a
a 2a
B
C A
300
2a
C/ A/
B/
M
A C
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 14 SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN
Giải Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V 1.S.h
3
)
* Khối chóp S.AMN có: - Đáy tam giác AMN - Đường cao SA
* AMN có Â = 600, AM=AN = a
2
AMN
1 a
S AM.AN.sin 60 a.a
2 2
* SA = a
* Thể tích khối chóp S.ABC:
2
S.AMN AMN
1 a a
V S SA a
3 4
Cách 2: (Dùng cơng thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A góc đỉnh A Do theo cơng thức tỷ số thể tích, ta có
A.SMN A.SBC
V AS AM AN 1
V AS AB AC 2 4
S.ABC S.AMN A.SMN A.SBC
V
V V V
4
Ta có :
2
3 S.ABC ABC
1 4a
V S SA a a
3
Vậy S.ABC S.AMN V a V 4 Bài 16:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM
Giải (Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Do theo cơng thức tỷ số thể tích, ta có:
S.AMN
S.ABC
V SA SM SN 1
V SA SB SC 2
S.ABC S.AMN
.a 3.a
V 3 a
V
4 4
(15)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 15
Bài 17:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD
Giải Gọi O giao điểm AC BD
Ta có: IO // SA SA (ABCD) IO (ABCD)
VI.ABCD 1.SABCD.IO
Mà : SABCDa2
SA
IO a
2
Vậy:
3
I.ABCD
1 a
V a a
3
O
I
A B
D
(16)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí