Ôn tập Khối đa diện và thể tích Hình học 12

1.. b) Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñöôøng thaúng ñeán maët phaúng. c) Khoaûng caùch giöõa hai maë[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I QUAN HỆ SONG SONG

1 Hai đường thẳng song song

a) Định nghóa: a / /b a, b (P)

a b

 



     

b) Tính chất



(P) (Q) (R)

(P) (Q) a a, b, c dong quy (P) (R) b a / /b / /c (Q) (R) c

                     

(P) (Q) d

d / /a / /b (P) a, (Q) b

d a (d b) a / /b

               

 a b a b

a c, b c

 

 



   

2 Đường thẳng mặt phẳng song song

a) Định nghóa: d // (P)  d  (P) = 

b) Tính chất

 d (P), d ' (P) d / /(P) d / /d '

  

 



 

d / /(P)

d / /a (Q) d,(Q) (P) a

 

   



 (P) (Q) d d / /a (P) / /a,(Q) / /a

  

 

 

3 Hai maët phẳng song song a) Định nghóa:

(P) // (Q)  (P)  (Q) = 

b) Tính chaát



(P) a, b

a b M (P) / /(Q) a / /(Q), b / /(Q)

          (P) (Q)

(P) / /(R) (P) / /(Q) (Q) / /(R)

 



 



 

(Q) / /(R)

(P) (Q) a a / /b (P) (R) b



   



  

 4 Chứng minh quan hệ song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |  Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

 Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba  Áp dụng định lí giao tuyến song song

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d / /(P), ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d nằm (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng

II QUAN HỆ VUÔNG GĨC

1 Hai đường thẳng vng góc

a) Định nghóa: a  b   a, b 900

b) Tính chất

 Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a b u.v 0

 b / /c a b a c

  

  

2 Đường thẳng mặt phẳng vng góc

a) Định nghóa: d  (P)  d  a, a  (P)

b) Tính chất

 Điều kiện để đường thẳng  mặt phẳng: a, b (P), a b O d (P) d a, d b

   

  

   

 a / /b (P) b (P) a

  

 

 

a b

a / /b a (P), b (P)

 

 

  



 (P) (Q) a (Q) a (P)

  

  



 (P) (Q) (P) / / Q) (P) a, (Q) a 

 

 

  

(3)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |  a / /(P) b a

b (P)

  

 

 

a (P)

a / / P) a b, (P) b 

 

 

  



Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng

 Định lí ba đường vng góc

Cho a  (P), b(P), a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a

3 Hai mặt phẳng vuông góc

a) Định nghóa: (P)  (Q)  (P), (Q)900

b) Tính chất

Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: (P) a (P) (Q) a (Q)

 

  

  

 (P) (Q),(P) (Q) c a (Q) a (P), a c

   

  

  

 

(P) (Q)

A (P) a (P)

a A, a (Q)

 



   



  





(P) (Q) a

(P) (R) a (R) (Q) (R)

  



   



 

 4 Chứng minh quan hệ vng góc

a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc

Để chứng minh da, ta sử dụng cách sau:  Chứng minh góc a d 900

 Chứng minh vectơ phương a d vng góc với  Chứng minh db mà b / /a

 Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vng góc

 Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)

(4)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:

 Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P)  Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P)

 Chứng minh d // a a  (P)

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc

Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)

 Chứng minh  (P), (Q) 90

III GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH

1 Góc

a) Góc hai đường thẳng: a//a', b//b'  a, b a ', b '

Chú ý: 00 a, b  900

b) Góc đường thẳng với mặt phẳng:

 Neáu d  (P) d,(P) = 900

 Nếu d  (P) d,(P) = d, d ' với d hình chiếu d (P)

Chú ý: 00d,(P)  900

c) Góc hai mặt phẳng a (P) (P),(Q)  a, b b (Q)

 

  

  

 Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng a (P),a c b (Q), b c

  



  

 



(P), (Q) a, b

Chú ý: 

0  (P),(Q) 90

d) Diện tích hình chiếu đa giác

Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = (P), (Q) Khi đó: S = S.cos

(5)

a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng)

b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau bằng:  Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

 Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ

 Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng

IV NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

1 Hệ thức lượng tam giác

a) Cho ABC vuông A, có đường cao AH

 AB2AC2BC2  AB2 BC.BH, AC2BC.CH  2 12 12 AH  AB AC  ABBC.sin CBC.cos BAC.tan CAC.cot B

b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p

 Định lí hàm số cosin:

2 2 2 2

a =b c – 2bc.cosA; b c a 2ca.cos B; c a b 2ab.cos C

 Định lí hàm số sin: a b c 2R

sin A sin Bsin C  Công thức độ dài trung tuyến:

2 2 2 2 2

2 2

a b c

b c a c a b a b c

m ; m ; m

2 4

  

     

2 Các cơng thức tính diện tích

(6)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |  S 1a.ha 1b.hb 1c.hc

2 2

    S 1bcsin A 1ca.sin B 1ab sin C

2 2

  

 S abc 4R

  Spr  S p p a p b p c

ABC vuông A: 2SAB.ACBC.AH ABC đều, cạnh a:

2 a S

4



b) Hình vng: S = a2 (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD

e) Hình thoi: S AB.AD.sinBAD 1AC.BD

 

f) Hình thang: S 1a b h

  (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S 1AC.BD



V THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích khối hộp chữ nhật:

Vabc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật

2 Thể tích khối chóp:

V 1Sđáy.h

 với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ:

VSđáy.h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ 4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

a) Tính thể tích cơng thức

 Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …  Sử dụng cơng thức để tính thể tích

b) Tính thể tích cách chia nhỏ

Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính

c) Tính thể tích cách bổ sung

Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích

d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích

Ta vận dụng tính chất sau:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có:

OABC

OA ' B ' C '

V OA OB OC

(7)

* Boå sung

 Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên  Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy

VI Bài tập minh họa

Bài 1:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng  Sử dụng định lý pitago tam giác vuông

Ta có : AB = a , AC = a , SB = a *  ABC vuông B nên BC AC2AB2 a



2 ABC

1 a

S BA.BC a 2.a

2 2

   

*  SAB vuông A có SA SB2AB2 a * Thể tích khối chóp S.ABC :

2

S.ABC ABC

1 a a

V S SA a

3

  

Bài 2:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng

 Tam giác ABC vuông cân B nên BA = BC sử dụng định lý pitago tam giác vng

Ta có: AC = a , SB = a

*  ABC vuông, cân B nên

2 AC

BA BC a

2

  



2 ABC

1 a

S BA.BC a.a

2 2

   

*  SAB vng A có SA SB2AB2 a

* Thể tích khối chóp S.ABC:

2

S.ABC ABC

1 a a

V S SA a

3

  

Bài 3:

A C

B S

A C

(8)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng

 Tam giác ABC có ba góc 600 sử dụng định lý pitago tam giác

vuông SAB

*  ABC cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a



ABC

1

S BA.BC.sin 60 2a.2a a

2 2

   

*  SAB vuông A có SA SB2AB2 a * Thể tích khối chóp S.ABC:

3

S.ABC ABC

1 a

V S SA a 3.a

3 3

  

Bài 4:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a , BAC 1200,cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng  Tam giác ABC cân A Â = 1200

*  ABC cân A, BAC 1200, BC = 2a , AB = AC = BC = 2a Xét  AMB vuông M có BM = a , Â = 600

 AM = BM0 a a tan 60  



ABC

1

S AM.BC a.2a a

2

   

* SA = a

3

S.ABC ABC

1 a

V S SA a 3.a

3 3

  

S

B

C

A

M S

B

C

(9)

Bài 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

 Vẽ đáy hình vng (vẽ hình bình hành), cao SA  (ABCD) vẽ thẳng đứng

 ABCD hình vng; sử dụng định lý pitago tam giác vng Ta có : ABCD hình vng cạnh a , SC = a

* Diện tích ABCD  SABCD  a 22a2 * Ta có : AC = AB = a 22a

 SAC vuông A  SA SC2AC2 a * Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

S.ABCD ABCD

1 2a

V S SA 2a a

3 3

  

Bài 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = AC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

 Vẽ đáy hình vng (vẽ hình bình hành), cao SA  (ABCD) vẽ thẳng đứng

 Biết AC suy cạnh hình vng (Đường chéo hình vng cạnh nhân với )

Ta có : SA = AC = a

ABCD hình vng suy AC = AB  AB AC a

 

Diện tích ABCD: ABCD S a * SA = a

* Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

S.ABCD ABCD

1 a

V S SA a a

3 3

  

A B

D

C S

A B

D

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10

Bài 7:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC

+ O trọng tâm tam ABC + AM đường cao  ABC

 Đường cao hình chóp SO (SO  (ABC))

* S.ABC hình chóp tam giác Gọi M trung điểm BC

 ABC cạnh a , tâm O: SO  (ABC), SA=SB=SC = 2a *  ABC cạnh a  AM = a 3 3a

2  

2 3a

AO= AM a

3  



ABC

1 3a

S AB.AC.sin 60 a 3.a

2 2

   

*  SAO vng A có SO SA2AO2 a * Thể tích khối chóp S.ABC

2

S.ABC ABC

1 3a a

V S SA a

3 4

  

Bài 8:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải  Hình chóp tứ giác có

+ đa giác đáy hình vng ABCD tâm O + SO  (ABCD)

+ tất cạnh bên nhau

 Đường cao hình chóp SO (SO  (ABCD))

* S.ABCD hình chóp tứ giác

ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O, SO  (ABCD), SA=SB=SC =SD = a

* ABCD hình vuông: SABCD 2a 4a2

A

C

B S

M O

O

C D

B A

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11 AC = 2a

AC 2a

AO= a

2  

*  SAO vng O có SO SA2AO2 a * Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

S.ABCD ABCD

1 4a

V S SA 4a a

3 3

  

Bài 9: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải  Tứ diện ABCD có tính chất

+ tất cạnh + tất mặt tam giác

+ gọi O trọng tâm tam giác đáy

 Đường cao hình chóp AO (AO  (BCD))

* ABCD tứ diện cạnh a Gọi M trung điểm CD :

Ta có: AB=AC=AD = AC=CD=BD = a

 BCD cạnh a, tâm O AO  (BCD) *  BCD cạnh a  BM = a

2

 BO= BM2 a a 3   

2 BCD

a S

4

 

*  AOB vuông O có:  

2

2 a a

AO AB BO a

3

 

 

     



 

2

ABCD BCD

1 a a a

V S AO

3 12

  

Bài 10:

Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AC=a , cạnh A/B

= 2a Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

* Tam giác ABC vuông B BC = AC2AB2 a



2 ABC

1 a

S AB.BC

2

 

* Tam giác A/AB vuông A A A/  A B/ 2AB2 a * / / /

3 /

ABC ABC.A B C

a

V S A A

2

 

A

C

D B

M O

2a

a

B/

C/ A/

A C

(12)

Bài 11:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

* Ta có : AB = a , (SBC)  (ABC) = BC

AB  BC (vì  ABC vng B)

SB  BC (vì AB hình chiếu SB lên ABC)

 ((SBC),(ABC))(SB, AB) SBA60o *  ABC vng B có AB = a ,BC =a



2 ABC

1 a

S BA.BC a 3.a

2 2

   

*  SAB vuông A có AB= a, B600 SAAB.tan 60o3a * Thể tích khối chóp S.ABC:

2

S.ABC ABC

1 a a

V S SA 3a

3 2

  

Bài 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, cạnh BC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Tính thể

tích khối chóp S.ABC

Giải * Ta có : AB = a , (SBC)  (ABC) = BC

Gọi M trung điểm BC

AM  BC (vì  ABC cân A)

SM  BC (vì AM hình chiếu SM lên (ABC))

 ((SBC), (ABC))(SM, AM)SMA45o *  ABC vng cân A có ,BC = a

 AB = BC = a AM = a 2



2 ABC

1 a

S AB.AC a.a

2 2

   

*  SAM vng A có AM= a 2 ,



M45

 o a

SA AB.tan 45

2

 

2

S.ABC ABC

1 a a a

V S SA

3 2 12

  

60 S

B

C A

45 M S

B

C

(13)

Bài 13:

Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, BC = a , mặt bên

(A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Giải

* Ta có A/A  (ABC)

/

(A BC)(ABC)BC AB  BC

Mà AB hình chiếu A’B lên (ABC) nên A/B  BC

 /  /

(A BC),(ABC) A BA30

* Tam giác ABC vuông B

2 ABC

1 a

S AB.BC

2

 

* Tam giác A/AB vuông A  A A/ AB.tan 300 a 3

 

* / / /

3 /

ABC ABC.A B C

a

V S A A

6

 

Bài 14:

Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác cạnh 2a , hình chiếu vng góc A/

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC)

một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải * Gọi M trung điểm BC

G trọng tâm tam giác ABC Ta có A/G  (ABC)

GA hình chiếu AA’ lên (ABC)

 /  /

A A, (ABC) A AG30

* Tam giác ABC cạnh 2a 3 SABC 2a 2 3a2

 

* Tam giác A/AG vuông G có  2 A 30 , AG AM 2a 2a

3

   

 / 2a

A G AG.tan 30

3

  Vậy / / /

/

ABC ABC.A B C

V S A A6a

Bài 15:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy 300

A/ C/

B/

a

a 2a

B

C A

300

2a

C/ A/

B/

M

A C

(14)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 14 SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN

Giải Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V 1.S.h

3

 )

* Khối chóp S.AMN có: - Đáy tam giác AMN - Đường cao SA

*  AMN có Â = 600, AM=AN = a 

2

AMN

1 a

S AM.AN.sin 60 a.a

2 2

   

* SA = a

2

S.AMN AMN

1 a a

V S SA a

3 4

  

Cách 2: (Dùng cơng thức tỷ số thể tích)

Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A góc đỉnh A Do theo cơng thức tỷ số thể tích, ta có

A.SMN A.SBC

V AS AM AN 1

V  AS AB AC 2 4

S.ABC S.AMN A.SMN A.SBC

V

V V V

4

  

Ta có :

2

3 S.ABC ABC

1 4a

V S SA a a

3

   Vậy S.ABC S.AMN V a V 4   Bài 16:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM

Giải (Dùng công thức tỷ số thể tích)

Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Do theo cơng thức tỷ số thể tích, ta có:

S.AMN

S.ABC

V SA SM SN 1

V SA SB SC  2

 S.ABC S.AMN

.a 3.a

V 3 a

V

4 4

(15)

Bài 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD

Giải Gọi O giao điểm AC BD

Ta có: IO // SA SA  (ABCD) IO  (ABCD)

 VI.ABCD 1.SABCD.IO

 Mà : SABCDa2

SA

IO a

2

 

Vậy:

3

I.ABCD

1 a

V a a

3

  O

I

A B

D

(16)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,56 MB