CD Phep Bien Doi DT Va Bien Luan Nghiem

2/ Biện luận số nghiệm của phương trình.[r]

(1)

Phép Biến Đổi Đồ Thị Và Biện Luận Nghiệm Biên Soạn: Thầy: Trần Huyến Phone: 01235775838

Phép Biến Đổi Đồ Thị Và Biện Luận Nghiệm, Giao Điểm Bài 1: a/ Khảo sát hàm số vẽ y = - x4 + 2x2

b/ Biện luận số nghiệm phương trình x x2 2 m0

B i 2:à Cho hàm số: y = x4 - mx2 + m - (1) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

2) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Bài 3: a/ Biện luận số nghiệm phương trỡnh 2 0

3x x m

   

b/ Biện luận số nghiệm phương trình x3 3x2 5m0

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = (x + 1)2(x - 2).

2) Cho đờng thẳng  qua điểm M(2; 0) có hệ số góc k Hãy xác định tất giá trị k để đ-ờng thẳng  cắt đồ thị hàm số sau bốn điểm phân biệt:

y = x3 3x 

Bài 4: Khảo sát vẽ y x3 3x2  

Bài 5: a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 b/ Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: 2 x3 9x2 12 x m Bài 6: Cho hàm số: y =

2

  x

x

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Biện luận số nghiệm phương trỡnh

2

x

m x

  

Bài 7: Cho hµm sè: y = x3 - 6x2 + 9x

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2/ BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa phơng trình: x3 6x2 9x 3m0 Bai 8: Cho hµm sè: y = x4 - (m2 + 10)x2 + (C

m)

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m =

2/ CMR: m  (Cm) cắt Ox điểm phân biệt CMR: số giao điểm có điểm  (-3; 3) điểm  (-3; 3)

Bài 9: Cho hàm số: y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) (C m) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2) Tìm điều kiện m để đồ thị (Cm) có cực đại cực tiểu

3) Tìm m để (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn 4) Tìm m để (Cm) cắt Ox ba điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài 10: (ĐH Thái Nguyên (D)1997)

1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C)

1

  

x x y

2/ Tìm (C) điểm có toạ độ ngun

(2)

Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y =

1 3

  

x x x

a/ Tại hai điểm phân biệt

b/ Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị Bài 12: Tìm m để:

a/ (Cm): y = x3 – 3x2 – 9x + m cắt trục Ox điểm lập thành cấp số cộng. b/ (Cm): y = x4 + 2mx2 – 2m + cắt trục Ox điểm lập thành cấp số cộng.

Bài 13: a/ Khảo sát vẽ đồ thị (C)

2

  

x x y

b/ Tìm m để phơng trình m x

x

 



2 sin

1 sin

có nghiệm thuộc [0; ] Lời giải hướng dõ̃n và đáp sụ

Bài 1: Xem hình vẽ!

f(x)=abs(-x^4+2x^2) f(x)=-x^4+2x^2 f(x)=-x^4+2x^2 f(x)=0.5 f(x)=1

-5 -4 -3 -2 -1

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

y = -m 2 2 yx x 

Ta có x x2 2 m0  x4 2x2 m  0 x42x2 m

Vế trái đồ thị hàm số vừa vẽ, vế phải đường thẳng y = - m Số nghiệm phương trình số tương giao hai ĐTHS, Từ ĐTHS suy

- Phương trình vơ nghiệm – m <  m0

- Có nghiệm m 1 m 1

- Có nghiệm m 0 m0

(3)

Phép Biến Đổi Đồ Thị Và Biện Luận Nghiệm Biên Soạn: Thầy: Trần Huyến Phone: 01235775838 - Có nghiệm 0 m1 -1<m<0

Bài 3: 2/ Xem hình vẽ! f(x)=x^3-3x-2

f(x)=abs(x^3)-3abs(x)-2 y=1.4013x-2.778 Series

f(x)=x-2 f(x)=1.1x-2.2 Series

-10 -8 -6 -4 -2 10

-12 -10 -8 -6 -4 -2

x y

y = x3 - 3x - 2

M(2;0)

(6 9) 12 18

y   

y = x - y= k(x - 2)

3

yx  x 

N

Đồ thị hàm số yx3 3x  đường nét đậm hình vẽ!

Ta nhận xét rằng để đường thẳng (d) y = k(x - 2) qua M(2;0) có hệ số góc k cắt ĐTHS điểm phân biệt nó phải nằm giới hạn miền bởi đường thẳng d1 d2 Trong đó d1 đường thẳng qua điểm M(2;0) điểm N(0;-2) d2 đường thẳng qua M(2;0) tiếp xúc với ĐTHS

3

yx  x  tức hệ số góc k bị kẹp giữa bởi hai giá tri k1 k2 hai hệ số góc d1 d2

d1 qua M(2;0), N(0;-2) suy d1 có phương trình dạng đoạn chắn 1

2

x y

y x k

      



để tính k2 trước hết ta chú ý rằng d2 tiếp tuyến hàm số yx3 x  miền x < 0,

vậy d2 tiếp tuyến với hàm số y x3 3x 2

   miền x < Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ta có pttt y = k(x - 2)

Ta có hệ:

2

3 ( 2), (1)

3 , (2)

x x k x

x k



    

 

  

(4)

thế (2) vô (1) ta được x3 3x 2 ( 3x2 3)(x 2) x3 3x2 2 0

          

1, ( )

1 3, ( )

1

x loai

x

       

    

2 '(1 3)

k f

     (chúng ta có thể kiểm tra tiếp tuyến d2 có phương trình

(6 9) 12 18

y  x  , nhiên việc tìm pttt d2 khơng cần thiết) Vậy để đường thẳng cắt HS điểm 1k6 9

Bài 5:

b/ Xem hình vẽ!

f(x)=2abs(x^3)-9x^2+12abs(x)-4 f(x)=2x^3-9x^2+12x-4 f(x)=2

-8 -6 -4 -2

-12 -10 -8 -6 -4 -2

x y

3

2 12

y x  x  x

y = m -

Ta có 2x3 9x2 12 x m 2 x3 9x2 12 x  4 m 4

(5)

Phép Biến Đổi Đồ Thị Và Biện Luận Nghiệm Biên Soạn: Thầy: Trần Huyến Phone: 01235775838 Bài b/:

f(x)=abs((2x-5)/(x-2)) f(x)=(2x-5)/(x-2) f(x)=2

x(t)=2 , y(t)=t

-8 -6 -4 -2

x y

2

x y

x

 



2

x y

x

 



Từ ĐT suy

- PT vô nghiệm m <

- Có nghiệm

m m

 

 



- Có nghiệm 2

m m

 

 

 

(6)

f(x)=(x^4-17x^2+16)/10

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x

4 ( 10) 9

yx  m x 

x1 x2 x3 x4

O

A B

Hoành độ giao điểm ĐTHS trục hoành nghiệm phương trình x4 - (m2 + 10)x2 + = (*) Đặt x2 = t pt đã cho trở thành: t2 (m2 10)t 9 0

    (**)

Theo đờ̀ ta cõ̀n chứng minh m  pt (*) có nghiệm phân biệt, số cỏc nghiợ̀m có

ngiệm  (-3; 3) vµ nghiệm  (-3; 3) Điều tương đương với pt (**) có hai nghiệm dương phân

biệt t1; t2 thỏa mãn 0t1 9 t2 Ta có:  

2 10 36 20 64 0, m

m m m

        

2

1

2

10 20 64

2

10 20 64

2

m m m

t

m m m

t

    

   

    

 



Rõ ràng 2 10 20 64 10 64 9,

2

m m m

t         m0

Bây ta chứng minh < t1 < Thật

t1 > m2 10 m4 20m2 100 m4 20m2 64

(7)

2

1

10 20 64

( )

2

Ðat

y y y

m m m

t            f y

dễ thấy y > (vì y m2

 mà m0)

2

20 64 ( 10)

1 10

'( )

2 20 64 20 64

y y y

y f y

y y y y

        

   

  

       

   

2 2

0

'( ) 20 64 ( 10) 20 64 20 100, (VN )

f y   y  y  y  y  y y  y

Mặt khác dế thấy f’(1) < 0 f y'( ) 0, y > 0 

Vậy f(y) hàm số nghịch biến miền y0 ( ) (0) 10 64 9, Ðpcm

f y f 

     

Bài 9: 1/ HS tự làm

2/ Ta có y' 3x2 4mx 2m2 1, ' 0y 3x2 4mx 2m2 1 0

          (*)

Để hàm số có CĐ CT  (*) có nghiệm phân biệt ' 0 4m2 3(2m2 1) 0

      

2 3

2

m m

        (1)

(8)

f(x)=0.8(x^3-6x^2+11x-6) Series

-10 -8 -6 -4 -2

x

x1 x2 x3

y(0) A

y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2), (a = > 0)

Để (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn  ĐTHS (Cm) có cực trị nằm khỏc phía Ox y(0) < (vỡ trường hợp a > ĐTHS có dạng trờn)

Thực phép chia y cho y’ ta được    

3 2

2

x 2mx 2m x m m

'

y

y x mx m

    

 

  

2

12

(1 )

1 9 9

3

m m

x m m

x

x mx m

 

  

  

  

,

3

y x

   đường thẳng qua điểm CĐ CT

Giả sử hai điểm CĐ CT có tọa độ (x1,y1); (x2,y2) Để hai điểm nằm về hai phía Ox

1

y y

  1 2 1 2 ( 1 2)

3x 3x 9x x 27 x x 81

   

           

    (**)

Trong đó x1 x2 hai nghiệm pt 3x2 4mx 0

   Theo Viet ta có

1

2

4

2

3

b m

x x

a

c m

x x a

 

  

  



 

 

Thay vào (**) ta được 2

1

( )

9x x  27 x x 81

2

1 2 4

9 27 81

m  m

(9)

4 10 10

6 m

 

   (2) ta có y(0) = m(1 - m2) < 1 m m       

 (3)

Kết hợp (1) (2) (3) ta được 10

m 

 

Note: Phương trình đt qua điểm cực đại cực tiểu hàm số phần nguyên phép chia đa thức y cho y’ chứng minh điều cũng khơng có khó điều có thể tìm thấy ở nhiều sách hàm số hoặc có thể giải đáp thắc mắc trực tiếp

4/ Để hàm số cắt Ox điểm lập thành cấp số cộng tương đương phương trình x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) = có nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn

1 2

x x  x

Điều xảy hàm số phải có hai cự trị điểm uốn thuộc trục hồnh (Vì điểm uốn tâm đối xứng đths)

Có y’’ = 6x – 4m, y’’ = m x   2

2 2

2 (2 1) (1 )

3 3

m m m

y   m  m m m

         

   

=

27

m m





Điểm uốn thuộc Ox

0

, (loai)

27 m m m m            Bài 10:

2/ Ta có 3

1 x y x x    

  Ta cần tìm đk để

5

x nguyên tức x-1 ước x-1 -1 -5

x -4 y -2

Vậy có điểm có tọa độ nguyên thuộc ĐTHS (Một số khiê tốn!) 3/ Ta xét A(a, 2) ÐTHS

1

a a

 

 ,

5 '( ) ( 1) f x x  

 , pttt điểm A

2

3

'( )( ) ( )

1 ( 1)

a a

y f a x a y x a

a a a

  

      

   (d)

Hai tiệm cận có phương trình x = y = suy tọa độ giao hai tiệm cận I(1;3) Ta cần chứng minh rằng a (d) không qua I(1; 3) Thật giả sử I  (d) Ta có

2

5 3

3 (1 )

( 1) 1

a a

a

a a a

  

    

  

6

3

1

a a

    

  (vô lý quá!)

Bài 11:

a/ Hoành độ giao điểm chúng nghiệm pt

1 3 2    x x x

= mx + m +

2x 3x (x 1).(mx m 3), (x 1)

       

(10)

2 '

( 2)( 1) ( 1)

m

m m m

              2

( 2)

2 2 0, dung

m

m m m

m

m m m

                   

b/ để dt cắt ĐTHS hai điểm thuộc hai nhánh (*) cần có hai nghiệm x, x2 thỏa mãn

1 2

2

1 ($) (x 1).(x 1)<0

1 x x x x             

 2

1

x x x x

     (**) Theo viet 2 2 b m x x a m c m x x a m              

thay vào (**) ta được

2

m m



 +

m

m + <

2 2 m m      

Note: điều kiện ($) còn tương đương với a.f(-1) < với f(x) = (m 2)x2 2mx m

   a = m -

Bài 12:

b/ (Cm): y = x4 + 2mx2 – 2m + cắt trục Ox điểm lập thành cấp số cộng.

a/ Các em làm tương tự bài 4/ b/ quan sát hình vẽ!

Hoành độ giao điểm (Cm) trục hoành nghiệm pt: x4 + 2mx2 – 2m + = 0

Đặt x2 = t 0pt trở thành t2 2mt 2m 1 0

    (1) Giả sử giao điểm (Cm) với Ox x1< x2 < x3 < x4 yêu cầu bt tương đương với x2 x1 x3 x2 x4 x3 (*) tính chất đối xứng hàm số qua trục tung khoảng cách x x2 bằng khoảng cách x3 x4 Mặt khác x3 x4 đối xứng qua O Vậy (*) tương đương với khoảng cách O x4 bằng lần khoảng cách O x3 tức 2

4 3

x  x  x  x

Vậy yêu cầu toán tương đương với pt (!) có nghiệm t1, t2 dương phân biệt t1 = 9t2 (2)

Để (1) có hai nghiệm dương

2

1

'

0 0

0 1

2

m m

S m m m

P m m                                             (**)

Theo Viet 2

2 , (4)

1, (5)

x x S m

x x P m

  

 

  

 Từ (2) (4) suy

2 m t m t          

Thay vào (5) ta được

2

25 34

0, (t/m)

9 2 1

25 25 34

(11)

f(x)=x^4-5x^2+4

-10 -8 -6 -4 -2

-6 -4 -2 10 12

x y

x1 x2 x3 x4

O

Bài 13: a/ Tự làm

b/ Ta đặt sin x = t Khi đó m x

x

 



2 sin

1 sin

2

, (*)

t

m t



 

 Vì x 0;    t 0;1  

Ta nhận thấy rằng xét miền x thuộc 0; t chạy từ đến ngoại trừ điiểm t = ta thấy cứ giá trị t cho giá trị x còn t = t chỉ cho có x mà Vậy để pt đã cho có đúng nghiệm x thuộc 0; điều kiện cần đủ pt ẩn t có đúng nghiệm t thuộc 0;1 VT (*) ĐTHS đã vẽ (ở dưới) còn VP đường thẳng y = m song song với Ox Cắt Oy điểm m dựa vào ĐTHS ta suy 1

2 m

(12)

f(x)=(2x-1)/(x+2) f(x)=2

x(t)=-2 , y(t)=t f(x)=(2x-1)/(x+2) x(t)=1 , y(t )=t f(x)=1/3 Series

-8 -6 -4 -2 10

-8 -6 -4 -2

x

1/3 -1/2

i 13

Cặp Điểm Đôi Xứng

B i 1:à Cho hµm sè: y = x3 - 3x2 + m (1)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc toạ độ 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

B i 2: Tìm (C) :

1 2

   

x x x

y điểm đối xứng qua I(-2 ; -5) B i 3:à Tìm (C) :

2

5

   

x x

y điểm đối xứng qua I(1;-2) Bài 4: Tìm quĩ tích tâm đối xứng

Bài 5: (Cm)

m x

m m x m y



   

( 2) ( 4)

Tìm quĩ tích tâm đối xứng (Cm) 2( 1) 2( 3)      

mx m x m x m