Gabdt9 cd3Bien doi dong nhat BTp2

Ph©n tÝch tö vµ mÉu thµnh nh©n tö råi rót gän... Rót gän biÓu thøc..[r]

(1)

Chuyên đề III : Biến đổi đồng biểu thức đại số Buổi : Biến đổi thức

A Mơc tiªu:

- HS nắm vững định nghĩa bậc hai số học, cách so sánh bậc hai số học, đẳng thức

A = A , điều kiện để thức bậc hai có nghĩa

- Rèn luyện cho HS kĩ suy nghĩ, trình bày, diễn đạt dạng tốn - Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS

B ChuÈn bÞ:

- GV: + Giáo án + Bảng phụ

- HS: ễn tập định nghĩa bậc hai số học, cách so sánh bậc hai số học, đẳng thức

A = A , điều kiện để thức bậc hai có nghĩa

C tiÕn tr×nh dạy học: I Lí thuyết :

(GV nêu câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV uốn nắn, củng cố hệ thống lại kiến thức)

1 Định nghĩa bậc hai.

Căn bậc hai số a không âm lµ sè x cho x2 = a.

2 Số bậc hai số.

- Số âm bậc hai

- Số có bậc hai số

- Số dơng a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu số âm kí hiệu -

3 Định nghĩa bậc hai số häc.

Với số dơng a, số đợc gọi bậc hai số học a Số đợc gọi bậc hai số học

4 Chó ý.

(2)

+ Nếu x = x x2 = a + Nếu x x2 = a x =

5 Định nghĩa phép khai phơng.

Phép toán tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phơng (gọi tắt khai phơng)

6 So sánh bậc hai số học.

Định lí: Với hai số a b không âm, ta có a < b <

7 Định nghĩa thức bËc hai.

Với A biểu thức đại số, ngời ta gọi thức bậc hai A, A đợc gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu

8 Điều kiện để có nghĩa (hay xác định)

có nghĩa (hay xác định) A lấy gía trị khơng âm

9 Hằng đẳng thức A2 = A .

a Định lí: Với số a, ta cã = a

b Chó ý: víi A lµ mét biÓu thøc ta cã

A = A , cã nghÜa lµ:

A = A nÕu A 

A = - A nÕu A <

II Bµi tËp:

Đối với tập, dạng GV chữa mẫu, không, HS làm chỗ, (nếu HS làm đợc GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau GV chữa bài, chốt cách làm

Dạng 1: sử dụng Hằng đẳng thức A2 = A . Chứng minh 1 3

2



  .

H

íng dÉn

(3)

Cách 2: Biến đổi vế phải Cách 3: Bình phơng hai vế

Chøng minh 10 + 60 + 24 + 40 = + + 2. H

íng dÉn

Cách 1: Biến đổi vế trái Cách 2: Bình phơng hai vế

Rót gän biÓu thøc :

A = 6 2 3  2 12 18 128 D = 12 5 29 - 12 529

Híng dÉn :

Khư tõ ra.: A= 6 2 3  2 12 18 128

= 6 2 3  2 12 4  2 = 6 2 3  4 3

= 6 2 2  3 = 6 3  = 1    = 3 1

Đáp số: A = 3 1 D = -

* C/m: 22499 9100 093  N

k – k

Híng dÉn

22499 00 099 = (15.10k - 2)2

k - k

(4)

Híng dÉn

C¸ch 1:A = 2{( + 5) + }2

2 2

C¸ch 2: 2A = 2 + + 5)2

Đáp số: A = + +

3

* TÝnh P =

2002 2001 2002

2001 2002

1 2

2

 



Híng dÉn

20022 = (2001 + 1)2 = 20012 + 2.2001 + - > 20012 + = 20022 - 2.2001

- > P = )

2002 2001 2002

( 2002 2001 2002

2001 2001

2002

2

 

 

 +

2002

2001 = 2002

* Cho x  Rót gän y = x2 x 1  x 2 x 1

Híng dÉn

y = + + x 1- 1

+ NÕu x  th× y = + NÕu  x < th× y =

* TÝnh:

A = 1 2 12 12 12 12 12 2

( 1) B 2 ( 1)

n n n n

            

 

Híng dÉn .*Cm x;y 0 th× A = 2( x2 y2 x)( x2 y2 y)

    ) - x 2 y2 - x - y không phụ thuộc vào x; y.

(5)

   

2 2 2

2

2 2

2( ( )

0

x y x y x y xy x y x y

x y x y x y x y

          

         

* Cho x, y, z > 0; xy + xz + yz = TÝnh

2 2 2 2 2 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( z y x z y z x y x z y x              Híng dÉn

1 + x2 = (x + y) (x + z) ; + y2 = (y + z) (y + x) ; + z2 = (z + x) (z + y)

 A = (xy + xz) + yz) =

* Cho a, b, c  Q, a, b, c đôi khác

C/m : Q

a c c b b

a     



 2 2 2

) ( ) ( ) ( Hớng dẫn

Đặt a - b = x ; b - c = y; c - a = z  x + y + z =

1 1 1 1 1 1

0 2

2 Q z y x z y x z y x yz xz xy xyz z y x                          

* Tìm m; n (m < n) để :

3 19 ) (        

 x x x x x lµ h»ng sè

Híng dÉn ) ( ) ( )

( 2

           

 x x x x x 

(6)

                            13 ; ; 2 3 2 13 ; 2 13 2 n m x x x x x vËy nÕu nÕu nÕu

* Cho xy  TÝnh 

                  

 xy x y x xy x y y

2 2

2

Híng dÉn

x y

y x xy y x xy B

C        

              2 2 :

V× B1 > 0; B12 = (x + y)2  B1 = x + y = x + y (Do xy  0)

Từ B =

C2: XÐt TH : x; y  ; x; y <

                                            0 ; 2 1 2 1 0 ; 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 y x y x y x y x y x y x y x y x y x y xy x xy y x nÕu nÕu =

C3: Do

2 2 2 2

2            

            

x y xy x y xy x y xy x y x y

xy

T×m x biÕt x = 5 13 5 13

x = 5 13 5 13

NhËn thÊy: x >

XÐt : x2 = + 13 5 13 5

(7)

 (x2 - 5)2 = 13 + x  x4 - 10x2 - x + 12 = 0

 (x - 3)[( x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1] = V× x >  ( x + 3)(x + 1)(x - 1) - >

 x =

.* Chøng minh c«ng thức phức tạp.

b a =

2

2 b

a

a  

2

2 b

a a

Hớng dẫn

C1: Bình phơng vế

C2: Biến đổi vế phải

C3: TÝnh a b a b (bình phơng BT) = > a  b

ViÕt díi d¹ng hiệu bình phơng + 7a (a < 0) H

íng dÉn

Víi a < th× + 7a = ()2– ()2

Cho: x 1 y2

 + y 1 x = Chøng minh r»ng: x2 + y2 = 1.

Tõ gi¶ thiÕt  x 1 y2

 = - y 1 x

Bình phơng vế biến đổi dạng: x2 = -2y 1 x2

 + y2

 (y - 1 x2

 ) =

 y = 1 x2

  x2 + y2 =

(8)

G = a22x21 H = x2  4x5

I = 2 

 x

x K = 9 x2



L = 

 x

x M = 12



 x

x

N = P = 10

  x

x

Q = 2 10



 x

x T =

1  

x x

U = 26

x x x  

 V =

3

1

2

  x

H

íng dÉn

Điều kiện để biểu thức có nghĩa mẫu thức khác không biểu thức lấy bc hai khụng õm

Dạng 3: giải phơng trình Giải phơng trình:

c x2 4x 2x

   

d 1    



 x y y

x

e x12 x1 x x1 2

f) x6 x2  x11 x2 1

h x + y + z + = x14 y 26 2

i + x 3 = x

k x1 5x 1 3x 2

n 

 x

x + 5 10 14 4 2

x x x

x     

p 2

2

3 

 

 x

x x

x

H

íng dÉn

(9)

e) Đa phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối

f) Đa phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối S = 1;2 x2;7 g) Đánh giá gía trị vế ta cú S

h) Đa phơng trình có vế trái tổng bình phơng, vế phải i) Xét khoảng bình phơng vế

l) Đa phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối ta có: 1x2) m) đkxđ: x1VT<  VP) S

n) Đánh giá gía trị vế ta có x = -

Giải phơng trình: 4

x

x = 4 25 x2

 - 10 x2 3

H

íng dÉn

a ( 2)2 (2 3)2

  

x

x-2=2+

*x-2=2+ x=4+

*x-2=-(2+ 3) x=-

Vậy phơng trình cho có nghiệm x1=4+ 3; x2=-

b Đặt 25 x 2 a; 10 x 2 b( a  0; b  0)

 a-b=3  a=b+3 (1) vµ a2 – b2 = 15 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy (3+b)2 – b2 = 15

Giải ta đợc a=4; b=1 Với a=4  25 x2

 =4 Giải đợc x=3

Víi b=1 

10 x =1 Giải ta đợc x=3

Giải phơng trình : x2 +3x +1 = (x+3) x 2 1

Phơng trình dạng

(  x2 1 3 x2 1 x 0

=>

2

1

x

x x

  



  

(10)

=>

2

1

x

x x

  



 

 => x 2

* Tìm số a;b;c biết: abc 2( a2 b13 c 2)110

H

íng dÉn

- ChØ §KX§: a0, b1, c2

- Biến đổi tơng đơng đẳng thức cho dạng ( a  1)2 + ( b 1 2)2 +( c 2 3)2 =

0



    

  

 

0

c b

a



    

 

 11

5

c b a

- Đối chiếu với ĐKXĐ kết luËn: a = 1, b = 5, c = 11

Dạng 4: so sánh thức bậc hai So sánh a9 + a a7 + a1 víi a >

Gi¶ sö a9 + a > a7 + a1

 a + + a + a( a 9) > a+ + a + + 2 

 a

a

 + a2 9a

 > a28a1

Ta thÊy + a2 9a

 > a28aa > a28a7 v× a >

Điều giả sử luôn

VËy a9 + a > a7 + a1 víi a>7

Tìm giá trị lớn A = x + x

Đặt x = y (y 0)  y2 = 2- x

A = – y2 + y = -(y -

2

)2 +

4



4

Max A =

t¹i y =

 x =

.* C/m: 2, (3) <

3 23

(11)

Híng dÉn

2, (3) =

=

25

17  <

3 23

17  <

3 16

17  = 3

C2: Bin i tng ng

Tân Việt,ngày tháng năm 2009

Bui : Bin i thức(tiếp) A Mục tiêu:

- HS nắm vững liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phơng, qui tắc khai phơng tích, qui tắc nhân bậc hai, qui tắc khai phơng thơng, qui tắc chia hai thức bậc hai

B ChuÈn bÞ:

- HS: Ôn tập liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phơng, qui tắc khai phơng tích, qui tắc nhân bậc hai, qui tắc khai phơng thơng, qui tắc chia hai thức bậc hai

C tiến trình dạy học: I Lí thuyết :

1 Liên hệ phép nhân phép khai phơng.

a Định lí: Với hai số a b không âm, ta có =

* Chú ý: + Định lí mở rộng cho tích nhiều số không âm + Với hai biểu thức A B không âm ta có =

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có ()2 = 2

(12)

b Qui tắc khai ph ơng tích

Muốn khai phơng tích số không ©m, ta cã thĨ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nhân kết với

c Qui tắc nhân bậc hai

Mun nhõn cỏc cn bậc hai số khơng âm, ta nhân số dới dấu với khai phng kt qu ú

2 Liên hệ phép chia phép khai phơng.

a Định lí: Với số a không âm số b dơng, ta có: a

b = a b

b Qui tắc khai ph ơng th ơng

Mun khai phơng thơng , số a khong âm số b dơng, ta khai phơng lần lợt số a số b, lấy kết thứ chia cho kết thứ hai

c Qui tắc chia hai thức bậc hai

Mun chia bậc hai số a không âm cho bậc hai số b dơng, ta chia số a cho số b khai phơng kết

d Chó ý: Víi biĨu thøc A không âm biểu thức B dơng, ta có A

B =

A B II Bµi tËp:

Đối với tập, dạng GV chữa mẫu, khơng, HS làm chỗ, (nếu khơng có HS làm đợc GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau GV chữa bài, chốt cách làm

TÝnh A =  7 -  7 -

Híng dÉn

C¸ch 1: TÝnh A

C¸ch 2: áp dụng CT phức tạp ĐS: A =

TÝnh A 3 5  3 5 .

H

íng dÉn

(13)

C¸ch 2: TÝnh A

Cách 3: Sử dụng công thức thức phức tạp (hai chiều) Cách 4: Sử dụng đẳng thức

A = A §¸p sè: A = -

TÝnh : A = 2 3 2

Híng dÉn

C¸ch 1: TÝnh A2 (Chó ý A < 0)

C¸ch 2: TÝnh A

C¸ch 3: Sư dơng CT thức phức tạp (2 chiều) Cách 4: Sử dụng A = {A}

Tính giá trị biểu thức P = 40 2 57 - 40 257

40 2< 57  40 2 57 = 57 - 40 2

p < P2 = 100

suy P = - 10

TÝnh giá trị biểu thức A=

3

 



+

3

 



B= 12  23 - 12  23 -

Híng dÉn

A= 2

) (

3

 



+ 2

) (

3

 



A=

3

3 3

3

    

A= 2 2

) (

) 3 ( ) ( ) 3 )( (



 

(14)

Từ suy A=1

2B= 242 23  24 23 

2B= 232 231- 23 231-2

2B= ( 231)2  ( 231)2 -2 2B= 231 231

2B =0 B=0

TÝnh A =

3

  

  

+

3

  

  

. H

íng dÉn

A =

3

  

  

+

3

  

  

.

Cách 1: Nhân tử mẫu biểu thức lấy với Cách 2: Qui đồng mẫu

C¸ch 3: ¸p dụng công thức thức phức tạp

Cỏch 4: Tính số bị trừ , số trừ nghịch o ca s b tr

Đáp số:

Đơn giản: A = 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 . H

íng dÉn

Nh©n tõ phải qua trái Đáp số: A =

Chứng minh sè a = 2( 31) 2 3 lµ mét sè h÷u tØ.

sè b =  6 ( 3  2) 3 lµ mét sè h÷u tØ.2

H

íng dÉn

(15)

b =

( 31)( 3 2) 42 ( 31) ( 3 2)2

TÝnh A = ( 6 2). 2  2

B = (4 + 15)( 10 6) 4 15

H

íng dẫn

Cách 1: Đa thừa số vào dấu làm xuất bình phơng Cách 2: Tính A2 råi suy A = - 2.

C¸ch 3: Sử dụng công thức thức phức tạp

* Cho x =

2 

 ; y =

2 

 TÝnh x3 + y3

H

íng dÉn

TÝnh

   

xy y x

§S: -

* Cho 13 10     

 x x x

x TÝnh 13 10

   

 x x x

x

H

íng dÉn

§S:

* Cho A = x x xy;By y  xy (x; y > 0)

3 

 y

x ; xy 1; so sánh A + B AB

Hớng dÉn

A + B = A.B ( = 20)

.* Chứng minh a, b, c a', b', c' độ dài cạnh tam giác đồng dạng thì: aa' bb' cc' (abc)(a'b'c')

Híng dÉn

C1: gt - > a b c VP

c b a

c b a c b a k VT k c b a

c b a c c b b a a

     

     

   

   



' ' ' '

' ' ' ' '

) (

} {

(16)

(Đây TH x¶y dÊu b»ng)

* Cho: S = x 1 y2 y 1 x2

 

Tính giá trị S biết xy + (1x)2(1y2)a

Híng dÉn

gt: - >

                 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1( 1( 2 ) 1 )( 1( 2 2 1 y x y x y y x S y x xy y x y x a

- > S2 = a2 - - > S = +

1

2



a

* Cho A = a a  ab; B = b b ab (a; b> o) a So sánh A + B A.B a b3; ab1

b C/m nÕu a  bQ; ab  Q th× A + B  Q; A.B  Q Híng dÉn

a/ A + B = a b b ab ( a)3 ( b)3 ab  a b  ( a b)2 ab)  ab

          (*)

Khi a b3; ab 1 th× A + B = 20 (2)

A.B = (a a ab)(b b ab) ab( ab 1) ab( a b)( a b)2 ab) 

        (**)

Khi a b3; ab 1 th× A.B = 20 (2)

(1)(2) - > nÕu a b3; ab 1 th× A + B = A B

b/ (*)(**) - > NÕu a  b Q ; ab  Q th× A + B  Q; A.B  Q

* C/m : a) ab 

2

b a 

( a; b 0 )

b) 2   a a 2

c) 1x1y12 1xy  1yz  1xz ( víi x; y; z > 0)

Híng dÉn

áp dụng bất đẳng thức Cơ si

Cho A= 2   + 3   + ….+ 24 25 24 25 

 Chøng minh r»ng A < 0,4

Chỉ đợc

 

1 1        n n n n n n

 A

(17)

KÕt luËn: A <0,4

* Tìm giá trị nn: A = 2x2 +

2

7 x

Híng dÉn

áp dụng bất đẳng thức Cơ si

* Cho biĨu thøc A = x – xy + 3y - 2 x+ 1

Tìm giá trị nhỏ mà A đạt đợc. Hớng dẫn

Điều kiện: x  0; y  để x; y ; xy Có nghĩa

A = x - xy + 3y - 2 x + 1

Biến đổi đồng đợc: A = ( x - y - 1)2 +

2

( y - 1)2 -

2

Cho x, y , z số dơng thoả mÃn xyz x + y + z + tìm giá trÞ lín nhÊt cđa x + y + z

áp dụng BĐT Cautry cho ba số dơng x, y, z Ta cã x + y +z 3 xyz3

Biến đổi đợc ( x + y + z)3  27(x + y + z +2 )

Đặt T = x + y + z > Biến đổi đợc ( T - 6) ( T + 3)2

  T 

Tìm đợc GTNN T = x = y = z =2

* Chøng minh: (ab)(cd) ac bd (a, b, c, d >0)

(18)

Buổi 10: Biến đổi thức(tiếp)

A Mơc tiªu:

- HS nắm vững phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai: Đa thừa số dấu căn, đa thừa số vào dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mẫu

- Rèn luyện cho HS kĩ suy nghĩ, trình bày, diễn đạt dạng toán - Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS

B Chuẩn bị:

- GV: + Giáo ¸n + B¶ng phơ

- HS: Ôn tập phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai: Đa thừa số dấu căn, đa thừa số vào dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mu

a Đ a thừa số dấu Víi a  0; b  ta cã : = a * Tỉng qu¸t: Víi hai biĨu thøc A, B mµ B  0, ta cã = A Nếu A B = A

NÕu A < 0; B  th× = - A b Đ a thừa số vào dấu Nếu A B th× A = NÕu A < 0; B  th× - A = c Khư mÉu cđa biĨu thøc lấy

Với biểu thức A, B mà A.B B A

B =

AB B

d Trục thức ë mÉu

+ Víi c¸c biĨu thøc A, B mµ B > ta cã A A B

(19)

+ Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A  vµ A  B2, ta cã

2

( )

C C A B

A B A B  



+ Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A  vµ A  B, ta cã

2

( )

C C A B

A B

A B  



II Bµi tËp:

* Cho a > b > Chứng minh biểu thức sau có gía trị khơng đổi.

S =  

 

 

2 2

2

2 2

a a + b - a + b 2a

-b a + b + a + b

. H

íng dÉn

S =     

2 2 2 2 2

a a + b - a + b 2a a + b - a + b

-b 2ab

= 0.

Chøng minh A =  

   

6 3

2 10 12

2

x x x

x x x x

x x x

  

 

    

   kh«ng phơ

thc vào x.

H

ớng dẫn

Đặt = a   A =

             

3 2

a - 6a + + 6a 3 1

+ +

2 a - a - a - 3 2 a - a - 3 a - a - 2

=      

     

1

2

a a a

  



  

Sè A = 1

3  5  1992 1993

   

1

2 lµ sè hữu tỉ hay số vô tỉ?.

H

íng dÉn

Trục thức mẫu ta đợc A =  1993 2là số vô tỉ

* TÝnh A = 2

1

2 5

  

  

H

íng dÉn

(20)

* Rót gän: B =

13 6

9 

Híng dÉn

B = 1

3 ) 16 (   

Rót gän: A =

n n       1 2 1 B = n n       1 2 1 C = 99 100 100 99 2 1       D = 1

 +3 2

1

 + + 2006 2005 2005 2006

 +2007 2006 2006 2007

1

Hớng dẫn

a) Trục thøc ë mÉu

b) Trục thức mẫu Đa đợc đẳng thức vận dụng CM

( 1) 1

 

 k k k

k = k

1

-

1



k (0, 75đ)

c) ( ĐS: C = 10

9 ) ¸p dơng:

d) D =

3 2 1   

 + 2006 2005 2005 2006

1

 +2007 2006 2006 2007  = 1 - + - + + 2006 - 2007 = 1 - 2007 = 2007 2007 

* Chøng minh r»ng :

5 10

50 1

2      

H

íng dÉn 5 2< +

2 + + + 50

< 10

(21)

Ta cã S > 50 + 50 + + 50 = 50

.50 =

Mặt khác có : =

1 2 <  2 2 2    50 = 49 50 50 2   Cộng vế ta đợc :

S < 49 50 2      

= 2{( 1 0)( 2 1) ( 50 49)}

= 50 = 10 (2)

Tõ (1) vµ (2)  2< S < 10 (®pcm)

Cho A= 2   + 3   + 24 25 24 25   Chøng minh r»ng A < 0,4

HD :

 

1 1        n n n n n n

 A

1 - 2 - + + 24 - 25 = - 10 = 10 = 0,4

Chøng minh r»ng:

2 2006 2007     

Víi k ≥ Ta cã : 

                          1 1 1 1 1 ( k k k k k k k k k k                     1 1 k k k k k k

(22)

   

 

 

   

 

 

3 2

2 1 2

   

 

 

2007 2006

1 2006 2007

1

2 2007

1 2004 2005

1

2

1

    

 

  

   

**********************************************************

Ngày tháng năm 2008

Bui 11 : Bin i thức(tiếp) Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên

(23)

b) - 4

Híng dÉn

a x2 - 4x + = 0

b x2 - 12x + = 0

* Rót gän A =

9

2

9

3

22

  

 



x x

B = 2 2

2

9 ) (

9

x x

x x x x

   

  

Hớng dẫn

a Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn b Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn

Rót gän: A =

3 2

3

2

3

 

   



Híng dÉn

Qui đồng mẫu cộng

* So s¸nh: A =

5 2

5

3 2

5

 

   



B =

7

4

7

 

   



Híng dÉn

A = B ( = )

* Chøng minh A =

2

1 12

10

3 )

2 )( (

3 ) (

    

    

 



x x x

x x

x

Kh«ng phụ thuộc vào x

Hớng dẫn

Đặt x a0  A =

(24)

* Rót gän A =

1

 

x x

x

Híng dÉn

x > x  1;2

* Cho biÓu thøc : A = 

  

  

         

  



1

2

2 x

x x x

x x x x



a) Rót gän biĨu thøc A.

b) Tìm giá trị x để A > - 6.

Híng dÉn

a) Đặt x = a, rút gọn đợc A = - 2a

do A = - x (0<x ;x1) b) Để A > -  - x > -

Suy ra: < x <

Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã : n1 - n >

1

1 

n - Biến đổi

n n

 

  

   

1

) )( (

=

n n1

1

- So sánh đợc:

n n1

1

>

1

1 

n

- Từ suy ra:

1

   

n n n

Cho biÓu thøc Q=

x x x

x x

  

    



3 2

5

2

a, Tìm giá trị x để Q có nghĩa. b, Rút gọn Q

(25)

®iỊu kiƯn x 0;x4;x9

 Q nguyªn  3 x lµ íc cđa

a, Tìm

b, Rút gọn đợc Q =

3  

x

c, Biến đổi Q =

1-3



x

- Giải tìm x : 49 ; 25 ; ; ; 16 (1 điểm) - Trả lời: Q nguyên x giá trị

Cho

x x x x

x x

x x M

3

1 : 3

2

        

 

   

 .

a Rót gän biĨu thøc M.

b TÝnh giá trị biểu thức M x = 5977, x = 2 .

c Với giá trị x M có giá trị nguyên.

a, Rỳt gn, bin i M =

1 

x

b, TÝnh giá trị M x = 5977 (0,25đ) Tính x = 2 - ( 2 1)2

= + thay vào tìm M

Cho biÓu thøc: P =

x x x

x x

x x x

   

 



3

) (

3

a) Rót gän biĨu thøc P.

b) Tính giá trị P với x = 14 - 6 c) T×m GTNN cđa P.

Híng dÉn

Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định : x0; x P =

3

) ( ) )( (

3

   

 

 



x x x

x x

x x x

=

) )( (

) )( ( ) (

3

 

 

  



x x

(26)

= ) )( ( 3 18 12           x x x x x x x x x = ) )( ( 24      x x x x x x = ) )( ( ) ( ) (      x x x x x =   x x

Cho biÓu thøc:

A = 

                          1 1 : 1 1 xy x xy x xy xy x xy xy x

a Rót gän biĨu thøc. b Cho  6

y

x T×m Max A.

Đk : x  0; y  0; x.y  Quy đồng rút gọn ta đợc: A = x.1y

b)  6  9

y x A y

x

 Max A =   3 xy91

y x

* Rót gän: B =

) ( 2 2 y x y x x y x x      

(Víi x > y > 0) Híng dÉn

B = 2(x  y)

* Rót gän: C =

1 2 2            x x x x x x x x Híng dÉn

§S: A = 2

2

x neu x neu x         

* Cho a, b, c > ; ab + ac + bc = TÝnh M = (b + c) -

(27)

Híng dÉn

b2 + = (b + a) (b + c)

** Cho x > vµ 4 x + x a tÝnh A =

2 2    x x

x theo a

Híng dÉn A = ) ( ) ( 2    x x x = ) ( ) (    x x x = ) ( ) (      x x x x x = ) ( ) (    x x

x =

) (   x x x

V× x > - > 2x > - > - x - > x> 4 x

- > A =

) (   x x x = x x x x x      )( ( ) ( A = a a x x ) ( ) (   

* TÝnh A =

2 1

1

 + 3 2

 + 99 100 100 99  Híng dÉn 1 1 ) (      

 n n n n n

n §S: A = 10

9

* T×m x biÕt cos x =

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1

1 2

         Híng dÉn

gt - > socx =

20 1 1 1 )( 1 1 ( 1             =

2 - > x = 45

* Hai thức sau có đồng dạng khơng? A = 3 2 2 3

b a b

a  B =

3 2

3 a b ab b

a   

Híng dÉn A = ) ( b a

ab  a  b; B = (a + b) a  b

(28)

* Rót gän: A = x yx x y   

2

Híng dÉn

A =

} }{(

) {(

(2

yxy xy

xy x

yxy xx

   

 

=

xy

y x y x x

2

) (

2   

=

xy

xy y x y x

x(    )

=

y

xy y x y

x )

(   

* Có thể phải trục nhiều lần

Cho B =

1  

a a

a, Tìm số nguyên a để B số nguyyên. b, Chứng minh với a =

9

B số nguyên. c, Tìm số hữu tỷ a để B số nguyên.

a, M =

1

 

a §Ĩ M nguyên

5

a nguyên Ta biết a số nguyên

a nguyên ( a số phơng) Hoặc số vô tỉ ( a không số

chính phơng) Để

1



a số ngun a khơng thể số vơ tỉ, a số ngun, suy : a + ớc tự nhiên ta có:

a + 1

a

a 16

B

b, Víi a=

th× B =

1

6

(29)

c, Ta cã : B =

1

 

a Để B số nguyên

5

a phải số nguyên Đặt

1



a = n  Z Ta có: n a + n = a = n n



(do n 0)

Giải điều kiện

n n

Ta đợc 0<n5 Do n  Z nên n1;2;3;4;5 Ta có

N

a

2

3

4

1

a 16

4

9

16

1

B

Hoµn chØnh câu c (1đ)

* Tỡm(m; n) mx n2x x my n2y y x,y

   

  

Híng dÉn

C1: VT = ( x y)( m n21)0x;y  m  n2 10

 (m; n) = (0; 1) V (m; n) = (0; - 1) C2: XÐt (x; y) = (1; 0) - > §S råi thư lại

** Tìm (m; n) Z Z cho:

m(n x2x 2x22x n1( x2x 2) x2x 0x  Z Híng dÉn

C1: VT = (mn - m 2 n 2) x2x (mnmn 2 2)

   

  

 



0 )1 () 2 (

0 )2 )(

1 (

n m

 (m - n) = (1 - ; - 1) ( V× m; nz)

C2: Đẳng thức x - > x = c (1)

- > - mn - m - n - =

(30)

* Cho x, y số cho phơng tr×nh.

C/m A = - 2x - 2y + 10 x + 4 y + 2 xy - 29 Z

Híng dÉn

A = - ( x - y)2 - ( x - 5)2 - ( y - 2)2

(Có thể đặt x = a; y = b)

* Cho A =

2

16

4 4

4

x x

x x x

x

 

    

Rút gọn: A Tìm x  Z để A Z

Híng dÉn

A = 2

2

) (

) ( (

x x x



    

=

4 16

 

x

4



x x

 + NÕu 4< x <8 th× AZ  x {5; 6; 8}

+ NÕu x > th× A  Z  x 4z  x - = m2(mz)  x = m2 +  A =

m m m m

m

  



2 ( 2

{4; 8}

(V× x >  m >  x {20; 68}

* Cho B =

) (

) ( 64

30



 

x x

x x x

Chứng minh không tồn x chẵn để B  Z Hớng dẫn

B =

2

15

  

x

x  Z  x  15  x 1 {1; 3; 5} x  Z  

** BiÕt x = 2 lµ nghiƯm cđa PT: x3 + ax2 + bx + c = (1)(a, b, c  Q) Tìm nghiệm khác.

Hớng dẫn

gt ( )3 + 2a + b =  (2 + b) + (2a + c) =

NÕu < x<8

(31)



  

 

0 2

c a b



  

 

a c b

2 2

Khi (1)  x3 + ax2 - 2x - 2a =  (x2 - 2)(x + a) = 

  

 

 

2

x a x

Vậy nghiệm lại là: - a; -

** C/m n  N , PT (x + y 3)n =  3(1) nghiệm hữu tỉ.

Hớng dẫn

Gi sử tồn n để (1) có nghiệm hữu tỉ - > 7x1; y1 Q cho:

x1 + y1 =  - > x2 + 3y2 - = (a - 2xy)

- > I =

  

 

 

0 2 1

1 3

2

xy y x

- > 4x4 - 4x4 + = (v« lý PT VN) - > gs sai - >

C2: (I) 

    

  

2 1

1 3 2

xy y x

Theo v« = x2 + 3y2 > 2 3{xy} = x 3 x

2

= v« lý  (1)VN

C3: (1)  (x + y 3)2n = +

** Có hay không số hữu tỷ a, b, c, d th¶o m·n: (a + b 2)2 + (c + d 2)2n = + 5 2. Hớng dẫn

Giả sử tồn a, b, c, d  Q tho¶ m·n (1)

- > (a - b 2)2n + (C - d 2)2n = -

Đẳng thức vô lý VT > 0; VP <

(32)

** Chøng minh ( - 1)n = an - an 1 (a; n  N)

Híng dÉn

C1: Quy n¹p

C2: gs:

   

  

  

2 )1

2 (

2 )1

2

( ()1

b a

n

 a2 – 2b2 =  a2 = 2b2 + 1(1) ( 2 1)n = a2 2b2 b2 1 2b2

   

Chän an = 2b2 + - >

Chøng mÞnh r»ng : 10 số vô tỉ

Gi s 10 l số hữu tỉ đặt 10 =

b a

( a  N ; b  N vµ ( a ; b ) =

 2

2 b

a = 10

 a2 = 10 b2  a2

  a   a2  25

 10b2

10 số vô tỉ

** Có hay kh«ng a, b  R cho a + b  Q; an + bn I n> (n N)

Hớng dẫn

Có chẳng hạn a = + 3; b = - th×

   

        

  

) (2 )3

( )3 3( 3

n n n I b

a

Q b

a

n n

** Cã hay không số thực a, b cho:

  

   

 

2

n Q b a

I b a

n n

Híng dÉn

Gi¶ sử: tồn a, b thoả mÃn BT

Vì (a2 + b2)2 = a4 + b4 + 2a2b2 - > a2b2 =

2

(33)

a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) – a2b2 (a + b)

 > a + b = ( 3)( 2 22) ( 5)

b a

b a b a b

a      Q (>< gt)

Vởy điều giả sử sai - >không tồn a, b R thỏa mÃn to¸n

* Cho

2 

< x <

2

vµ 2x -  2x = a. TÝnh A =

x x2

4

6  theo a (x  0) Híng dÉn

6 + 2

) 3 ( ) )( ( ) (

9 x   x   x  x   x  x  x

- > A =

x x

x

x x

2 3 (

) ( )

  

=

ax x

4 =

a

4

* Chøng minh sè 99999 + 111111 3 kh«ng thĨ biĨn diƠn díi d¹ng (A + B 3)2 (A B ’  Z)

Híng dÉn

Giả sử tồn A; B để 99999 + 111111 = (A + B 3)2 (A; B  Z) - > 111111 = 2B (vô

lý) - >

Ngày tháng năm 2008

Bui 11 : Bin i thức(tiếp) A Mục tiêu

- HS nắm vững định nghĩa bậc hai số học, bậc ba, cách so sánh

bậc hai số học, đẳng thức

(34)

B ChuÈn bÞ:

- HS: Ôn tập định nghĩa bậc hai số học, bậc ba, cách so sánh bậc hai số học, đẳng thức

A = A , liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phơng, phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai, bậc ba

(GV nêu câu hỏi, HS lần lợt trả lêi, HS nhËn xÐt, bỉ sung, GV n n¾n, cđng cố hệ thống lại kiến thức)

a Định nghĩa

Căn bậc ba số a sè x cho x3 = a.

b Chó ý:

+ Mỗi số a có bậc ba +  3 a 3 a3 a

c NhËn xÐt

- Căn bậc ba số dơng số dơng - Căn bậc ba số âm số âm - Căn bậc ba số sè

d TÝnh chÊt





3

3 3

3

a < b a < b ab = a b

a a

= (b 0)

b b

Các phép biển đổi: n A.B n A.n B (n lẻ) n

n

(35)

n n An B A B



(n lỴ)

n n An.B {A} B

 (n ch½n; B > 0) n

m n a2 a /

 = nk amk II Bµi tËp:

Đối với tập, dạng GV chữa mẫu, không, HS làm chỗ, (nếu HS làm đợc GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau GV chữa bài, chốt cách làm

II Bµi tËp:

TÝnh: A = 3 5 2 7 5 2 7

 

 B = 3 20 14 2 3 20 14 2

C =  

3

2

4 3

 

 

Híng dÉn

A = ( 21)3  ( 21)3 2 B = + + - = C =

Tính giá trị biểu thøc: B = 3 2 5(6 94 3 2 5)

Ta cã : 69 4 5 (2 5)2 2 5

  





Do B = 

  



   

 3

32 5 2 5 2 5

B = 

  



 



3 2 5 2 2 5

B = 23 (2 5)(2 5)

B = 23

 



TÝnh: B = 17 94 + 4 28  16

Híng dÉn

B = 17 4( 52)4 (4 3)2  ( 5 2)2  (31)2  5 3

.* TÝnh: D = (19 10) 2

1

(36)

Híng dÉn

C2: D = (19 10)(3 2 5) 1

2

1 10

10    

C2: D = (3 10) 2(3 10) 1

2

1 5

5    

Híng dÉn                              ) )( 2 ( ) ( ) ( ) 12 ( 1 )( ( 2 2 3 4 x x x x MT x x x x x

- > E = (víi x > 0; x1)

** TÝnh F = 3

27 847  + 3

27 847  ;

G = 3

3  

a a

a + 3

3  

 a a

a (a>

8

) Híng dẫn

Cách 1: Đặt

27 847

6  = a;

27 847

6  = b - > a3 + b3 = 12; ab =

3

Mµ a3 + b3 = (a + b) {(a + b)2 - 3ab} nªn a + b = - > F = 3; T2 - >G = 1

Cách 2: Làm xuất lập phơng BT dới

Cho biÓu thøc:

A = 

                          1 1 : 1 1 xy x xy x xy xy x xy xy x

a Rót gän biÓu thøc. * b Cho  6

y

x T×m Max A.

* TÝnh: E = 4

(37)

Híng dÉn

a) Đk : x  0; y  0; x.y  Quy đồng rút gọn ta đợc: A = x.1y

b)  6  9

y x A y

x

 Max A =   3 xy91

y x

** C/m: 3 2  1 = 3

9 -

3

9 +

3

9 (1)

Híng dẫn

Đặt = a a3 =

- > (1)  3

2

9

1 a a

a   

 3 9( 1)

  

 a a

a

 (a2 - a + 1)3 = (a - 1) (2)

ThËt vËy, VT(2) = (a2 - a + 1)2(a2 - a + 1)

= 3(a2 - 1)(a2 - a + 1)

= 3(a - 1)(a3 - 1) = 9(a - 1)

= VP (2)

- > (2) - > (1)

* Rót gän: H =

2 3

57

20 12 64

8   3 8 3 5

      

  

 

3

81

9 2

2

Hớng dẫn:Đặt 3 3a; 2b - > ĐS: H = 12

* Rót gän: I = 4 4 125

2

2   

Híng dÉn

C¸ch 1:

(38)

- > A = ) 31 ( ) ( ) ( 2 2        

 x x

x x x x = ) (

5  

 

x x

x

v× - x5 + 5x = x (5 - x4) (5 - x4) =

C¸ch 2: x BT dới = ( x 5 + 5 - 5 - 1)2 - > §S: + 4 5

C¸ch 3: I2 =

4 4 125 ( ) ( 125 5 (      

= 2 4

4 125 ( ) ( 125 5 (      

= (5 51)

= > I = 51

** Trục thức mẫu: A = 1: (53 59 27 581 243

  

 )

6 81 ) (5  55

* Cho x =

1 3 3 

 ; y = 3 3 

 tÝnh M =

3 3  xy y x

Híng dÉn :x = 3(3 1)

 ; y = 3 3(3 31) - > M = 18

* Cho ax3 = by3 = cz3; x

1

+ 1y +

z

1

= Chøng minh: 3ax2 by2 cz2 a 3b c

     Hớng dẫn

Cách 1: Đặt ax3 = by3 = cz3 = k =

3

3 ; ; z

k c y k b x k                      3

3 2

3 3 3 ) 1 ( ) 1 ( k z y x k cz by ax k z y x k c b a

 3ax2 by2 cz2 a 3b c

    

C¸ch 2: VT =

z cz y by x

ax 3.1 3.1

3   =

x VT a a x z y x

ax     3 

(39)

T2 - > 3 a + 3 b + 3 c = VT (1 1) VT.

z y

x   

* 3 a + 3 b + 3 c = 3 a b c



 C/m: n a + n b + x c = n abc(n lỴ)

Híng dÉn

gt : (3 a + 3 b + 3 c)3 = a + b + c

- > (3 a 3 b)(3 a 3 c)(3 b 3 c) =

(Do (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)



    

 

c b

c a

b a

- >

* Cho 3 a + 3 b + 3 c = ; C/m (a + b + c)3 = 27abc

Híng dÉn

gt : a + 3 b = - 3 c lập phơng vế lần - >

C2: gt: (3 a + b + c ){(3 a)2 + (3 b )2 + (3 c) - ab ac bc 0

 a + b + a = abc

 a + b + a = 270abc

Chứng minh a, b, c a', b', c' độ dài cạnh hai tam giác đồng dạng thì:

+ + =

Vì a; b; c a'; b'; c' độ dài cạnh hai tam giác đồng dạng nên = = Đặt = = = k ta có: a = ka'; b = kb'; c = kc'

Khi đó, + + =

(Vì (a' + b' + c') )

* TÝnh A = 3/4 11/2

x x

x  

+

x x

  /

4 / /

+ x1/2 + x = 16

Hớng dẫn

Thay vào ĐS: A(16) =

2

(40)

* C/m: NÕu x 2 x4y2 + y 2 x2y4 = a th× x2/2 + y2/3 = a2/3

Híng dÉn

A = (x2 + x4/3y2/3)1/2 + (y2 + x2/3y4/3)1/2

= {x4/3(x2/3 + y2/3)}1/2 + {y4/3(y2/3 + x2/3)}1/2

= (x2/3 + y2/3)1/2 (x2/3 + y2/3) = (x2/3 + y2/3)3/2

- > a2/3 = x2/3 + y2/3

* Cho a  Z + ; a luỹ thừa bậc n số nguyên dơng Chứng

minh n a I.

Hớng dẫn:Chứng minh phơng pháp ph¶n chøng

* C/m: 3 2 3 4Q (cã thÓ thay bëi sè a; bëi a2 (a số tự nhiên không lập

phơng số tự nhiên).

Hớng dẫn

CMPC: giả sö 2 3 4Q - > 3 2(3 2) + 1Q - >

1 2

1

3

 



Q

- > 2 1Q - > 2Q( v« lý)

* Thay dấu * chữ số thich hợp để giá trị thức sau số nguyên a) 5 *****4 ; b) 5 ******7

Híng dÉn

a) §K: *****4 = x5(xz) - > 10 < x < 20 vµ x5 cã t/c lµ - > x = 14 - > §S

b) §S: 51419857 17 

* Lập PT b3 có hệ số nguyên đó.

a) 3 2 3 4 lµ nghiƯm cđa PT

b) 3 9  3 lµ nghiƯm cđa PT

Híng dÉn

(41)

b, Đặt x = 2 3 4, lập phơng vế đợc x3 = - 9x

* TÝnh: C = 4 23  7 4 23  7 + 4 9  17 .4 9  17

Híng dÉn: C = 4 23  7 + 4 81  17 = 4 64 416 = 2 2 2

* TÝnh: D = 3 26 15 3 (2 - 3) + 3 9  80 + 3 9  80

Híng dÉn               3 80 9 80 9 1 ) 3 2 )( 3 2( 3 2 .( 3 15 26 3

- > D =

* C/m: 3 23 20 253 5 4

Hớng dẫn:Bình phơng hai vế (đều dơng)

* Rót gän: E = b

ab b a b ab a 2     

Híng dÉn :E = 4

4 ) ( 2 ) ( b a b ab b a ab b a       

* Rót gän: F = ( )2

1

q

p  ( )

1

q

p + ( )3

2

q

p  ( )

1

q p 

Híng dÉn

F = ( 1/2 1/2)2

1

q

p  ( )

1

q

p  + ( 1/2 1/2)3

2

q

p  ( )

1 / / q p 

= pq(p1/2 q1/2)2

q p   + pq q p q p q p ) ( ) ( / / / / / /   

* Rót gän: G =

a x a x a x a x ) ( ) ( 3 3 3       + /

3 3 3

           a x ax x a a Híng dÉn

G = ( )  

(42)

** Rót gän: H = 3

2

4 )

1 (

3 2

3

 



 x x x

x + 3

2

4 )

1 (

3 2

3

 



 x x x

x

Híng dÉn:§a

2

ngoài, làm xuất lập phơng BT dới H =

2

(3 (3 x2  4)3 3 (x x2 4)3 x

* Thay dấu * chữ số thích hợp cho giá trị thức 6 4****

số nguyên.

Hớng dẫn

4**** phải luỹ thừa bậc số nguyên - > 2** lập phơng sè nguyªn - > 4**** = 46656 = 216 = 166.

TÝnh A = 3 7 5 2 7 5 2

  

H

ớng dẫn

Cách 1: SĐ DNN a Cách 2: A3 ĐS: A = 2

* Rút gän: A =

1

2

3

 



 B = 3

3 10

3  

C = 3 4529 2 3 45 29 2 D = 3

27 10 27

1 10

2  

H

íng dÉn

A =

1

2

3

 



 = 3

B = 3 3 310 6 3

  

 = 1

C = 4529 2 3 45 29 2 =

D = 3

27 10 27

1 10

2   =

* Cho E = 3 2x3 2 x1. T×m x;

H

(43)

Cho x = 3 3

2

1

5

Tính giá trị cđa biĨu thøc : A = x3 + 3x – 14

Tõ : x = 3

2

1

5

  

 : x3=7+5

2

1



 - 3.1.x.

 x3 = 7+5 3x

) )( (

2

2 

 

 

 x3 = 7 5 2 7 5 2 3x

  

  x3 = 14 - 3x

 x3 + 3x- 14 = 0 VËy A = 0

* Cho x =  

 

3

10 ( 1)

6 5

TÝnh P = (x3 - 4x +1)2007

H

íng dÉn x = ( 1)( 1)

5

 

=  P =

Cho biÓu thøc: P =

2 2

2     



 zx z

z y

yz y x

xy x

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,55 MB