biến đỏi đòng nhất các biểu thức

Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 1 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC –&— 1.1 Đồng nhất thức trên một tập – Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức. ëHai biểu thức f(x 1, x 2 ,… x n ) và g(x 1, x 2 ,… x n ) trên A được gọi là đồng nhất bằng nhau trên tập T, nếu tại mỗi điểm của tập T giá trị của chúng bằng nhau. ëĐẳng thức (1) f(x 1, x 2 ,… x n )=g(x 1, x 2 ,… x n ) trên T được gọi là một đồng nhất thức trên T nếu biểu thức f(x 1, x 2 ,… x n ) và g(x 1, x 2 ,… x n ) là đồng nhất bằng nhau trên T. ëNếu biểu thức f(x 1, x 2 ,… x n ) đồng nhất bằng g(x 1, x 2 ,… x n ) trên tập T 1 và biểu thức g(x 1, x 2 ,… x n ) đồng nhất bằng h(x 1, x 2 ,… x n ) trên tập T 2 , thì biểu thức f(x 1, x 2 ,… x n ) đồng nhất với h(x 1, x 2 ,… x n ) trên tập T=T 1 Ç T 2 . Đặt biệt khi T=T 1 =T 2 ta có: nếu f(x 1, x 2 ,… x n ) º g(x 1, x 2 ,… x n ) trên T và g(x 1, x 2 ,… x n ) º h(x 1, x 2 ,… x n ) trên T thì f(x 1, x 2 ,… x n ) º h(x 1, x 2 ,… x n ) trên T. ëCác ví dụ về đồng nhất thức trên một tập hợp 1. x 2 - 1= x + 1 trên C là đồng nhất thức trên tập {-1;2} 2. (x + y) 3 = x 3 + y 3 +3xy(x + y) trên C là đồng nhất thức 3. 3 2 (1) (1) 1 x x x - =- - trên Q là đồng nhất thức trên Q\{1}. 1.2 Phép biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ nguyên, hữu tỉ phân FĐịnh lí (Bơzu). Giả sử f(x) là một đa thức một ẩn. bậc n ³ 1 trên trường P. Khi đó f(x) có trong P không quá n nghiệm và a là nghiệm của đa thức f(x) trong P khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x – a. FĐịnh lí Bơzu mở rộng Giả sử f(x, y, …, z) là đa thức của k – 1 ẩn (k>1) ẩn bậc n ³ 1 trên trường P, g(y, …, z) là đa thức của k – 1 ẩn trên P. Nếu f( g(y,…, z), y,…,z) là đa thức không thì f (x, y, …, z) chia hết cho x- g(y, …, z). FĐịnh lí. Đa thức f(x) trên trường số phức C là bất khả quy trên C khi và chỉ khi bậc của nó bằng đơn vị. FĐịnh lí. Đa thức f(x) trên trường số thực R là bất khả quy trên R khi và chỉ khi nó là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai với nghiệm ảo. Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 2 FĐịnh lí. Nếu phân số tối giảm (,) p pq q Î Z là nghiệm của đa thức 1 10 n n axaxa +++ với các hệ số nguyên () nN Î thì 0 pa (p chia hết 0 a ) và n qa . R Một số dạng toán biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ nguyên, hữu tỉ phân J Bài toán 1: Phân tích một đa thức trên trường số thực R thành tích những nhân tử. Ví dụ . Phân tích đa thức 432 22 xxxx +- thành các nhân tử bậc nhất. Giải: Phương pháp thứ nhất. 432 22 xxxx +- 4322 222 xxxxx = ++- 4232 22 (2)(2)(2) (2)(1) 1313 (2)(2)()() 22 xxxxx xxx ii xxxx = +- = + -+ =+ Phương pháp thứ hai. (Phương pháp hệ số bất định). ( ) 43222 22(ax+b) xxxxxxcxd +-=+++ so sánh các hệ số của các luỹ thừa tương ứng của x ta có hệ 1 1 2 2 ac bacd adbc bd +=- ì ï ++=- ï í += ï ï =- î , ta tìm được a= - 1,b=1,c=0,d= - 2 (hoặc a=0,b=-2,c=-1,d=1). J Bài toán 2 : Chứng minh một đẳng thức là đẳng thức đúng. Để giải bài toán này ta thường biến đổi cả hai vế này thành vế kia hoặc ngược lại, hoặc biến đổ cả hai vế cùng một biểu thức, hoặt rút ra kết luận dẳng thức đúng từ một đẳng thức đúng nào đó,… Ví dụ : Chứng minh dẳng thức là đẳng thức đúng : 1. 777 22 555 ()7 () ()5 xyxy xxyy xyxy + =-+ + trên R. 2. ()()() 0 ()()() xyyzzxxyyzzx xyyzzxxyyzzx +++= ++++++ trên C Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 3 3. ()()()()()() axbxcxx aabacbbcbaccacbabc +++ ++= trên R J Bài tốn 3 : Đơn giản hay rút gọn một biểu thức. Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức 333 222 3 ()()() +-+ = -++++ xyzxyz P xyyzzx trên R. Giải Ta có : 3333322 3()333 xyzxyzxyzxyzxyxy +-+=+-+ 33 22 222 222 222 (())3() ()(()())3() ()()) 1 ()(222222 2 1 ()(()()()). 2 xyzxyxyz xyzxyxyzzxyxyz xyzxyzxyyzzx xyzxyzxyyzzx xyzxyyzzx =+ +- =+-++++-+- =+-++-++ =+-++-++ =+ ++++ Vậy 1 () 2 =+- Pxyz với xy;yz;zx. ¹¹-=- J Bài tốn 4 : Tính giá trị của một biểu thức ứng với một giá trị cụ thể nào đó của tham số chứa trong biểu thức. Ví dụ : tính tổng 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 Giải : Ta có hằng đẳng thức (x+1) 3 -x 3 =3x 2 +3x+1. Thay hằng đẳng thức này lần lượt cho x bằng 1, 2, 3,…., n và cộng vế theo vế n đẳng thức tạo thành, ta được : 3(1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 )+3(1+2+3…+n)+n=(n+1) 3 -1 Mà 1+2+3…+n= ( ) nn1 2 + Nên 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 = n(n1)(2n1) 6 ++ 1.3 Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức vơ tỉ trên một tập. 1. Căn thức trên trường số thực Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 4 1.1. Đònh lý: Với mỗi số thực a≥ 0, với mỗi số tự nhiên n cho trước tồn tại duy nhất một số thực x≥ 0 sao cho x n =a. 1.2. Đònh nghóa 1: Với mỗi số thực a≥ 0 với mỗi số tự nhiên n cho trước, số thực x≥0 sao cho x n =a được gọi là căn số học bậc n của a và kí hiệu là n a 1.3. Các hệ quả - Với mỗi số thực a> 0, với mỗi số tự nhiên n chẵn(n= 2k), tồn tại hai số thực đối nhau x và –x sao cho x n =(-x) n =a. - Với mỗi số thực a, với mỗi số tự nhiên n lẻ( n=2k+1), tồn tại duy nhất số thực x sao cho x n =a. 1.4. Đònh nghóa 2: Với mỗi số thực a cho trước, với mỗi số tự nhiên n cho trước, số thực x sao cho x n =a được gọi là căn bậc n của a. Như vậy: - Mỗi số thực có một căn số thực duy nhất bậc lẻ cùng dấu với nó. - Các số thực âm không có căn số thực bậc chẵn - Với mỗi số thực dương a có hai căn số thực bậc chẵn đối nhau, trong đó giá trò dương được gọi là căn số học của a và được kí hiệu k a 2 , giá trò âm ký hiệu là k a 2 - - Căn số bậc bất kỳ của 0 là bằng 0 1.5. Các tính chất của phép khai căn 1) n n nnn n aaaaaa 2121 = , với mọi a i ≥ 0, i=1,2,…,n Nếu các a i là các số thực tùy ý thì tính chất này vẫn đúng với các căn thức bậc lẻ(n= 2k+1). 2) n n n b a b a = , ba " ³ " ,0 >0 Nế a, b là các số thực tùy ý, b≠ 0 thì tính chất này còn dúng cho các căn số bậc lẻ 3) Nâng bậc và hạ bậc của một căn thức: nk k n aa = , 0 ³ " a Nếu a<0 thì tính chất trên vẫn đúng với n lẻ, k lẻ. Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 5 4) 0, ³"= aaa nk n k Nếu a<0 thì tính chất trên vẫn đúng khi n lẻ, k lẻ. 5) Nâng một căn thức lên lũy thừa: ( ) 0, ³"= aaa n k k n Nếu a<0, n lẻ, k tùy ý thì tính chất vẫn đúng. 6) Đưa một thừa số ra ngoài căn: 0,0, ³³"= bababa n n n - Nếu a<0, b<0 công thức trên vẫn đúng khi n lẻ - Nếu b≥ 0, a tùy ý và n chẵn, công thức trên trở thành: 0,, ³"Ỵ"= bRababa n n n 7) Đưa một thừa số vào trong căn: 0,0, ³"³"= bababa n n n - Nếu a<0, b<0 công thức vẫn đúng khi n lẻ - a<0, b≥ 0, n chẵn công thức trên trở thành: n n n baba = hay n n n baba -= 8) 2. Một số dạng toán biến đổi đồng nhất các biểu thức vô tỉ JBài toán 1: Đưa một biểu thức về một biểu thức không chứa căn Phương pháp: - Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng khai căn được - Nhân vào biểu thức đã cho một biểu thức liên hợp - Nâng biểu thức đã cho lên một lũy thừa thích hợp để làm mất căn thức Ví dụ 1: Tính A= (2x 3 + 2x 2 + 1) 2010 , biết rằng: ú ú û ù ê ê ë é - + + - = 1 4 51323 4 51323 3 1 33 x Giải == aa k k2 2 a, nếu a ≥ 0 - a, nếu a < 0 Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 6 Đặt: 33 4 51323 4 51323 + + - =y , Ta được: y= 3x+ 1 Û y 3 = (3x+ 1) 3 Û 27x 3 + 27x 2 + 9x+ 1= y3 2 23 + Û 27x 3 + 27x 2 + 9x+ 1= ( ) 133 2 23 ++ x Û 27(2x 3 + 2x 2 + 1)- 25= 29 Û 2x 3 + 2x 2 + 1= 2 Vậy A= 2 2010 Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu số của 239 1 33 ++ =B Giải Cách 1: Dùng đồng nhất thức Ta có: x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz= (x+ y+ z)(x 2 + y 2 + z 2 -xy –yz- xz) xyzzyx xzyzxyzyx zyx 3 1 333 222 -++ ++ = ++ Þ Đặt: 2,3,9 33 === zyx Ta được: 2 139 2.393839 9232274981 239 1 33 33 33333 33 ++- = -++ ++ = ++ Cách 2: Dùng biểu thức liên hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = -+- - = -+++ - = ++ = ++ 1313 13 131133 13 233 1 239 1 3 3 33 3 2 3 3 3 2 33 ( ) ( ) ( )( ) 2 139 13913 13913 13 13 33 333 333 3 3 ++- = +-+ + = + - = JBài toán 2: Đưa một biểu thức vào trong dấu căn Ví dụ 3 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, hãy chứng minh rằng: 2 3 ³ + + + + + b a c a c b c b a (1) Giải Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 7 Ta có: (1) Û 3 2 3 111 +³+ + ++ + ++ + b a c a c b c b a ( ) 9 111 2 ³ ÷ ø ư ç è ỉ + + + + + ++Û baaccb cba Ta có: ( ) ÷ ø ư ç è ỉ + + + + + ++= baaccb cbaA 111 2 ( ) ( ) ( ) [ ] ÷ ø ư ç è ỉ + + + + + +++++= baaccb cbcaba 111 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú û ù ê ê ë é + + + + + ú û ù ê ë é +++++= 222 222 111 baaccb baaccb Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: A≥ (1+ 1+ 1) 2 = 9 Dấu bằng xảy ra khi a= b= c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 1.4 Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức mũ và logarit. 1. Phép tốn mũ và phép tốn logarit Định lý 1: Giả sử số vơ tỉ a là giới hạn của hai dãy số hữu tỉ gần đúng thiếu và gần đúng thừa { } - m a và { } + m a , trong đó - m a = p, m qqq 21 ; + m a = p, )1 ( 21 + m qqq ; +- << mm aaa Khi đó: Nếu a>1thì dãy các đoạn [ ] { } +- mm aa aa , là dãy các đoạn thắt. Nếu 0<a<1thì dãy các đọan [ ] { } -+ mm aa aa , là dãy các đoạn thắt. Định nghĩa 1: Với a , - m a , + m a đã nêu trong định lý 1. Ta gọi giới hạn chung duy nhất +- ¥®¥® = mm aa mm limlim a là lũy thừa của cơ số a với số mũ vơ tỉ a và kí hiệu là a a . Chú ý: Nhờ phép chuyển qua giới hạn ta chứng minh được: baba + = aaa ( ) ab b a aa Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 8 Với là các số vô tỉ và 0<a 1 ¹ Định lý 2: Với 0<a 1 ¹ , b là một số dương tùy ý cho trước, thế thì tồn tại duy nhất một số a sao cho ba = a Định nghĩa 2: Với 0<a 1 ¹ , b>0 cho trước, số a sao cho ba = a được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là ab a =log . Với 0<a 1 ¹ , dựa vào định nghĩa phép toán logarit ta chứng minh được các tính chất sau: 1. Số âm và số 0 không có logarit 2. ( ) naana bbbb log log log 11 ++= , b i >0 ( i= 1,2,…,n) 3. 21 2 1 logloglog bb b b aaa -= , b 1 >0, b 2 >0 4. bb aa log.log a a = , b>0 5. a b b c c a log log log = hay bba cac loglog.log = , (b>0, 0<a 1 ¹ ) 6. a b b a log 1 log = , (b>0) 7. cc a a log 1 log a a = , (c>0, a 0 ¹ ) 2. Một vài bài toán cụ thể về biến đổi dồng nhất các biểu thức mũ và logarit JBài toán 1: Thực hiện các phép toán dựa trên định nghĩa và các tính chất của phép toán mũ và logarit Ví dụ 1: Tính 8log 30 , biết rằng a=5log 30 và b=3log 30 GIẢI Ta có: 5log3log2log5.3.2log130log 3030303030 ++=== Vậy: ba = 12log 30 Do đó: )1(32log38log 3030 ba == JBài toán 2: Tìm giá trị của một biểu thức Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức B= 5log 2 1 2log 6 6 6 1 - ÷ ø ö ç è æ Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 9 GIẢI Ta có: B= ( ) ( ) ( ) 2 5 5.2 1 62 1 6 2 6 1 6 6 1 6 1 11 5log 5log 1 1 5log 1 2log 5log 2 1 2log 6 6 6 6 6 6 ==== ÷ ø ö ç è æ = ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ - - - JBài toán 3: Chứng minh đẳng thức Ví dụ 3: Cho a>0, a 1 ¹ ,b>0, b 1 ¹ .Chứng minh rằng: b nn bbbb a aaa a n log2 )1( log 1 log 1 log 1 log 1 32 + =++++ (*) GIẢI VT (*) = n bbbb aaaa log logloglog 32 ++++ = anaaa bbbb log log3log2log ++++ = (1+2+3+…+n) a b log = ( ) b nn a nn a b log2 )1( log 2 1 + = + JBài toán 4: Đơn giản biểu thức Ví dụ: Đơn giản biểu thức A = )log(log2log(loglog bbabb ababaa -++ GIẢI Ta có: A = ) log1 1 (log1log2log 2 a bab b aba + -++ = a b b b a a log1 log ).log1( + + = b b b a a a log 1 1 log )log1( + + = b b b b a a a a 2 2 log log1 log ).log1( = + + 1.5 Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức lượng giác. Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 10 JBài toán 1: Đơn giản biểu thức: tức là đưa biểu thức về biểu thức có chứa ít phép toán hơn, các phép toan dễ thực hiện hơn. Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức Asin()sin() 33 pp =+a a . Giải Ta có : Asin()sin() 33 pp =+a a ()()()() 3333 2cos.sin 22 pppp æöæö +a+-a+a a ç÷ç÷ = ç÷ç÷ ç÷ç÷ èøèø 1 2cos.sin2 sinsin 32 p =a=a=a JBài toán 2 : Chứng minh một đẳng thức là một đẳng thức đúng : Ví dụ 2: Chứng minh rằng : 1sin2cos2 tan 1sin2cos2 +a-a =a +a+a Giải: Ta có : 2 2 1sin2cos21cos2sin2 VT 1sin2cos21cos2sin2 2sin2sincos2sin(sincos) 2cos2sincos2cos(sincos) sin tanVP.(dpcm) cos +a-a-a+a == +a+a+a+a a+aaaa+a == a+aaaa+a a ==a= a JBài toán 3:Tìm giá trị của biểu thức tại một giá trị cụ thể nào đó của tham số : Ví dụ 3: Tính 2222 1111 A tancotsincos =+++ aaaa biết 2 8 sin2,(0;) 92 p a=aÎ Giải : Ta có 22 22 11 Acottan sincos =a+a++ aa = 44 22 cossin1 sin.cos a+a+ aa . Thực hiện : nhóm 1 Trang 1 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC –&— 1.1 Đồng nhất thức trên một tập – Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức. ëHai biểu thức f(x 1, x 2 ,… x n ) và g(x 1,. Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức lượng giác. Đại số sơ cấp Thực hiện : nhóm 1 Trang 10 JBài toán 1: Đơn giản biểu thức: tức là đưa biểu thức về biểu thức có chứa ít phép toán hơn, các. pháp: - Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng khai căn được - Nhân vào biểu thức đã cho một biểu thức liên hợp - Nâng biểu thức đã cho lên một lũy thừa thích hợp để làm mất căn thức Ví