Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P.. BiÖn luËn:.[r]
(1)Rót gän biĨu thøc chøa biÕn
NGun b¸ - GV: Trêng THCS M· thµnh
Trong chơng trình Tốn lớp 9, việc rút gọn biểu thức vấn đề vô quan trọng(chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm kì thi), thế, mà tơi muốn giới thiệu Toán tới bạn đọc Mong em hiểu sâu nắm vửng cách làm dạng toán
A lÝ thuyÕt.
1) Bài Toán quy đồng mẩu thức phân thức.
Trong chơng trình lớp 8, SGK giới thiệu cho phơng pháp quy đồng mẩu thức phân thức nh sau
B íc 1 T×m mÈu thøc chung(MTC)
Trong bớc em cần làm việc sau:
- Phân tích mẩu thức thành nhân tử
- Lp tớch gm cỏc NTC có số mủ cao NT riêng để có MTC B ớc 2 Tìm NTP phân thức (để tìm NTP em cần lấy MTC vừa tìm đợc chia cho MT riêng phân thức)
B ớc 3 Quy đồng (Nhân tử mẩu phân thức với NTP tơng ứng)
Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức phân thức sau: a)
1
1
x
vµ2
1
1
x
x
b)4
1
x
vµ4
4
1
x
x
Giải:
a) Đầu tiên ta phải tìm MTC:
Ta có: x2 = (x – 1)(x + 1)
vµ: x2 – 2x + = (x – 1)2 phân tích xong ta thấy Nhân tử chung (x
1), nhân tử riêng (x + 1) MTC lµ: (x – 1)2 (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ(NTP) phân thức: Để tìm NTP phân thức
1
1
x
ta lÊy MTC lµ (x – 1)2 (x + 1) chia choMÈu thøc riªng cđa nã lµ (x2 – 1) hay (x – 1)(x + 1)
V× (x – 1)2 (x + 1)
(x – 1)(x + 1) = x –
NTP cđa ph©n thøc
1
1
x
lµ: (x – 1)Tơng tự, để tìm NTP phân thức
1
2
2
1
x
x
ta lÊy MTC lµ (x – 1)2 (x +1) chia cho Mẩu thức riêng x2 – 2x + hay (x – 1)2
V× (x – 1)2 (x + 1)
(x – 1)2 = x +
NTP cđa ph©n thøc
1
2
2
1
x
x
lµ: (x + 1)Cơng việc cịn lại quy đồng phân thức cho
- Để quy đồng mẩu phân thức ta lấy “tử” “mẩu”cùng nhân với nhân tử
phô cđa nã lµ (x – 1) Tøc lµ:
1
1
1
1
1
1
2
1
1
x
x
x
x
(2)T¬ng tù:
1
1
1
1
1
2
22
1
x
x
x
x
x
x
b) Ta cã: x – = ( x )2- 22 = ( x – 2)( x + 2)
vµ: x – x + = ( x – 2)2
MTC lµ: ( x – 2)2 (x + 2)
+) NTP cđa ph©n thøc
4
1
x
lµ: ( x - 2)+) NTP cđa ph©n thøc
4
4
1
x
x
lµ: ( x + 2)
4
1
x
=
2
2
1
x
x
=
2
2
2
x
x
x
Vµ
4
4
1
x
x
=
2
21
x
=
2
2
2
x
x
x
B Các dạng toán liªn quan.
Dạng
Bài tốn tìm x để biểu thức P = m (m số)
Bíc Sư dơng tÝnh chÊt ad bc d
c b a
để làm mẩu phơng trình
Bớc Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí
VÝ dơ: Cho A =
1
x
x
(với x x 1) Tìm giá trị x để:
a) A = b) A =
3
c) A =
2
Gi¶i: Ta cã: a) A =
1
x
x
= x = 2( x - 1) x = x - = x - x x = x = (TM§K)
VËy víi x = th× A =2.
b) A =
3
1
x
x =
3
x = 2( x - 1) x = x -
x - x = - x = - (VN) Vậy khơng có giá trị x để A =
3
.
c) A =
2
1
x
x =
2
x = - ( x - 1) x = - x +
x + x = x = x =
x =
9
(TM§K)
VËy víi x =
9
th× A =
2
Dạng
Bài tốn tìm x để biểu thức P < m P > m, P
m,
(3)Bớc Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức phân thức làm gọn vế trái
Bớc Xác định dấu tử mẩu vế trái, từ có đợc bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu)
Bớc Giải bất phơng trình để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí
VÝ dô: Cho A =
1
x
x (víi x
0)
Tìm giá trị x để: a) A >
3
b) A <
5
c) A
2
Gi¶i: Ta cã: a) A >
3 1 x x > 1 x x -
>
) ( ) ( x x - ) ( ) ( x x > ) ( ) ( ) ( x x x
>
) ( 3 x x x
>
) ( x x > (*)
Vì với điều kiƯn x th× 3( x + 1) > (*) x - > x > x > x >
VËy víi x > th× A >
3
.
b) A <
5 1 x x < 1 x x -
<
) ( ) ( x x - ) ( ) ( x x < ) ( ) ( ) ( x x x
<
) ( 2 5 x x x
<
) ( x x < (**)
Vì với điều kiện x 5( x + 1) > (**) x - < x < x <
3
x <
9 49
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc x <
9 49
VËy víi x <
9 49
th× A <
5
.
c) A
2 1 x x 1 x x -
2
) ( ) ( x x - ) ( ) ( x x
) ( ) ( ) ( x x x
) ( 2 x x x
) ( x x
(***)
Vì với điều kiện x th× 2( x + 1) > (***) x - x x
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc x
VËy víi 0 x th× A
2
.
D¹ng
Bài toán so sánh biểu thức P với m (m lµ h»ng sè)
Bíc TÝnh P – m = ?
Bớc Nhận xét dấu hiệu P – m để có kết so sánh +) Nếu P – m > P > m
+) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m
VÝ dơ: Cho P =
x
(4)HÃy so sánh P với
Giải: Ta có: P – =
x
x 1 - =
x x 1 -
x x =
x x x 1)
( =
x
V×
x
< P – < P <
Dạng
Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m số) với mọi
giá trị x thuộc ĐKXĐ.
Bíc TÝnh P – m = ?
Bớc Nhận xét dấu hiệu P – m để có điều phải chứng minh +) Nếu P – m > P > m
+) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m
VÝ dô: Cho P =
x
x 1 (víi x > 0).
Chøng minh r»ng: P > víi mäi gi¸ trị x >
Giải: Ta có: P – =
x
x 1 - =
x x1 -
x x =
x x x1)
(
=
x
V× víi x > th× x >
x
> P – > P > (®pcm)
Dạng
Bài tốn tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên
d-ơng)
Bớc Biến đổi biểu thức P dạng: P = m +
) (x A
n
(m, n
Z, A(x) lµ biĨu thøc chøa x) Bíc BiƯn ln:Vì m
Z nên để P nguyên) (x A
n
phải nguyên, mà
) (x A
n
nguyên A(x)
phải ớc n
Bc Gii cỏc phơng trình: A(x) = Ư(n) để tìm đợc x
Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hỵp lÝ
VÝ dơ 1: Cho P =
1
x
x (víi x
vµ x 1)
Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên
Gi¶i: Ta cã: P =
1
x
x =
1 ) (
x x
=
1
x
x +
1
x = +
x
§Ĩ P nhận giá trị nguyên
1
x phải nhận giá trị guyên, mà
x
nguyên
x - phải ớc
1
1
3
3
x x x x
0
) (
x x
VN x
x
0 16
x x x
) (
) (
) (
TMDK TMDK TMDK
VËy víi x = 0, x = x = 16 P nhận giá trị nguyên
Ví dụ 2: Cho M =
2
x
x
(víi x vµ x 4)
Tìm giá trị x để M nhận giá trị nguyên dơng
Gi¶i: Ta cã: M =
2
x
x =
2 ) (
x x
=
2
x
x +
2
x = + 2
(5)Để P nhận giá trị nguyên
2
x phải nhận giá trị guyên, mà 2
x
nguyên
x - phải ớc cña
1
1
2
2
x x x x
1
x x x x
1 16
x x x x
) (
) (
) (
) (
TMDK TMDK TMDK TMDK
Víi x = 16 th× M =
2 16
16
=
4
= > (TM)
Víi x = th× M =
2
0
=
0
= (loại)
Với x = M =
2
9
=
3
= > (TM)
Víi x = th× M =
2
1
=
1
= - < (loại)
Vậy với x = 16 x = M nhận giá trị nguyên dơng
Dạng
Bài toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P.
a) Khái niƯm:+) NÕu P(x) m (m lµ h»ng số) m gọi giá trị nhỏ P(x)
+) NÕu P(x) k (k lµ h»ng số) k gọi giá trị lớn P(x)
b) Cách giải:
Bc Bin i biểu thức P dạng: P = m +
) (x A
n
(m, n
Z, A(x) lµ biĨu thøc chøa x) Bíc BiƯn ln:Trêng hỵp n > “ ”
+) P đạt giá trị lớn A(x) đạt giá trị nhỏ +) P đạt giá trị nhỏ A(x) đạt giá trị lớn
(Vì: Để P đạt giá trị lớn
) (x A
n
phải đạt giá trị lớn tức là A(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Cịn để P đạt giá trị nhỏ
) (x A
n
phải đạt giá trị nhỏ tức là A(x) phải đạt giá trị lớn nhất).
Trêng hỵp n < “ ”
+) P đạt giá trị lớn A(x) đạt giá trị lớn +) P đạt giá trị nhỏ A(x) đạt giá trị nhỏ
Bớc Tiến hành tìm giá trị nhỏ lớn A(x) để có đợc giá trị lớn nhỏ P
Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu Bớc Kết luận
VÝ dô 1: Cho P =
1
x
x (víi x
0) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa P
Gi¶i: Ta cã: P =
1
x
x =
1 ) (
x x
=
1
x
x +
1
x = +
x
Ta thấy: Vì n = > nên: Để P đạt giá trị nhỏ x + phải đạt
giá
trị lớn
V×: x x + Giá trị nhỏ x +
Giá trị lớn cđa P lµ: +
1
(6)Mặt khác: x + = x = x =
Vậy: Giá trị lớn P 3, đạt đợc x = 0. Ví dụ 2: Cho M =
1
x
x (víi x
0)
Tìm giá trị nhỏ M
Gi¶i: Ta cã: M =
1
x
x =
1 ) (
x x
=
1
x x -
1
x = +
x
Ta thấy: Vì n = - < nên: Để M đạt giá trị nhỏ x + phải đạt giá trị nhỏ
V×: x x + Giá trị nhỏ x +
Giá trị lớn M là: +
1
= - Mặt khác: x + = x = x =
Vậy: Giá trị nhỏ M - 1, đạt đợc x = 0.
C Bµi tËp.
Bµi 1 Cho biĨu thøc : A =
x x
x
1 1 1
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A
b) Tính giá trị biểu thức A x = - 2
c) Tìm giá trị x để x.A =
3
Bµi 2 Cho biĨu thøc : B =
x x
x x
x .1
1 1
1
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn B
b) Tính giá trị biểu thức A x = + c) Tìm giá trị x để B =
Bµi 3.( ®iĨm ) Cho biĨu thøc : P = 4 a > ; a 4
4
2
a a a
a
a a
a) Rót gọn P b) Tính giá trị P víi a =
Bµi 4 Cho biĨu thøc : Q = x x x x
x x x
, a) Tìm ĐKXĐ rút gọn Q
b) Tìm số ngun x lớn để Q có giá tr nguyờn
Bài 5. ( điểm ) Cho biÓu thøc :
2 ) 1 1
( 2
x x
x x
A
1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rỳt gn biu thc A
3) Giải phơng trình theo x A = x
Bài 6 Cho biÓu thøc: C = 3 :
9
3 3
x x x x
x
x x x x x
(7)Bµi 7 Cho biÓu thøc: :
2 2
x x x x
P
x x x x x
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tính giá trị nhỏ
P
d) Tìm giá trị m để có giá trị x > thoả mãn: m( x- 3).P = 12m x -
Bài 8.( điểm ) Cho biểu thøc :
1 :
) 1 (
x x
x x
x x
x x A
a) Rót gän biểu thức b) Tính giá trị A x42
Bài 9.( điểm ) Cho biÓu thøc :
x x x x x x
x A
: 2
Rót gän biĨu thøc A
Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A
Bµi 10.( 2,5 ®iĨm )Cho biĨu thøc : A= 1 : 1
1- x x x x x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x =
7 3
c) Với giá trị x A đạt giỏ tr nh nhtBài 11.( 2,5 điểm ) Cho biÓu thøc : A = 1 :
2
a a a a a
a
a a a a
a) Tìm ĐKXĐ vµ Rót gän biĨu thøc A
b) Víi giá trị nguyên a A có giá trị nguyên
Bài 12.( điểm ) Cho biÓu thøc : A = 1 1
1 1 1
a a
a a a a a
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Chứng minh biểu thức A dơng víi mäi a
Bµi 13 Cho biĨu thøc 2
4
2 2
( x ) : ( x x x )
P
x
x x x x x
a) Rót gän P b) Cho 23 11
x x
HÃy tính giá trị P
Bài 14
Xét biÓu thøc
52
21 1 :4
x x
A
x x x x x
a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A =
Bµi 15. Cho biĨu thøc
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
(
x
x
) : (
x
)
P
x
x
x
x
x
a) Rót gän P
(8)Bµi 16.Cho biểu thức
a a a a 1
P :
a a a
a a
a) Rút gọn P b) Tìm a để a 1
P
Bµi 17.Cho biểu thức P x : x
x x x x x x
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P x nhận giá trị ngun Bµi 18 Cho biĨu thøc: P =
1
1
a a a a
a a
a) Rút gọn P b) Tìm a biết P > c) Tìm a biết P = a
Bµi 19.Cho biểu thức B x x x : x x
x x
x x x
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị B x 2
c) Chứng minh B 1 với giá trị x thỏa mãn x 0; x 1
Bµi 20. Cho biĨu thøc: P =
1
4 :
1
x x x
x x x
x
a) Rót gän P
b) Tìm x để P < c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ
Bµi 21 (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc:
ab b a a ab
b b ab
a
N
(với a, b hai số dơng khác nhau) a) Rót gän biĨu thøc N
b) TÝnh giá trị N khi: a 62 ; b
Bài 22.(2 điểm) Cho biểu thøc:
; 0; 11
1
x x
x x
x x
x M
a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M ≥
Bµi 23. : Cho biĨu thøc M = 25 : 25
25 10
a a a a a
a a a a a
(9)Bµi 24.Cho biĨu thøc P =
2
2
1 2
1
3
a a
a a a
a a
a) Rót gän P b) So s¸nh P víi biĨu thøc Q = 1 a a
Bµi 25.Cho biĨu thøc A = : 1
1 1 1
m m m m m
m m m m m
a) Rót gän A b) So s¸nh A víi
Bµi 26. : Cho biĨu thøc A = 2
1
x x x x x x x x
x x x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A =
6
6
5
c) Chøng tá A
2
3
bất đẳng thức saiBµi 27.Cho biĨu thøc P = :
2
2 1
x x x x
x
x x x x x
a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > c) Tính giá trị P, biết x2 x
d) Tìm giá trị x để :
2 x 2
p5
2 x 2
2 x 4
Bµi 28. : Cho biÓu thøc P =
2
1 1
:
1 1
x x x x x x
x x
x x x
a) Rút gọn P b) Xác định giá trị x để (x + 1)P = x -1 c) Biết Q = x
P x
Tìm x để Q max
Bµi 29.Cho biĨu thøc P = 2xy x 2xy y : 2xy 2xy
x y x xy y xy
a) Rót gän P
b) Tìm m để phơng trình P = m – có nghiệm x, y thoả mãn x y 6
Bµi 30.Cho biĨu thøc P =
1
1 2
x x x x x x x x
x
x x x x x
a) Rót gän P b) Tìm giá trị lớn A = P.5 x
x x
(10) 1 : 2 1 x x x x x x x x P : 2 x x x x x x x x x P
P x x m x x
Bµi 31.Cho biĨu thøc a/ Rót gän P
b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ
Bµi 32.Cho biĨu thøc: P =
1 : x x x x x x x
a/ Rót gän P
b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ
Bµi 33.Cho biĨu thøc
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để
2 P
Bµi 34.Cho biĨu thøc:
1 x 2 x 2 x 3 x 2 x x 3) x 3(x P
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để
4 15
P
Bµi 35.Cho biÓu thøc:
2 x x x 2 x : x 2 3 x 2 x 4 x P
a/ Rút gọn P ; b/ Tìm x để P 3x-3 x
c/ Tìm giá trị a để có x thoả mãn : P( x1) xa
Bµi 36 Cho biĨu thøc:
1 x 1 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x x 3) x 3(x P
a/ Rót gän P
b/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm giá trị x để P x
Bµi 37.Cho
x x 2 x x x x x P
a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P<1 c Tìm xZ để PZ
Bµi 38.Cho biểu thức
a a a a 1
P :
a a a
a a
a) Rút gọn P
b) Tìm a để a 1
P
Bµi 39.Cho biểu thức P x : x
x x x x x x
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên.
Bµi 40.Cho biÓu thøc P =
1 1 a a a a a a
(11)b) T×m a biÕt P > -
c) Tìm a biết P > a Bài 41 1) Cho biÓu thøc:
1
M a :
1 a 1 a
a) Tìm tập xác định M b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị M a =
3
3
2) Tính 40 2 57 40 257
Bµi 42.Cho biĨu thøc: N = a a a a
a a
a) Rót gän biĨu thøc N
b) Tìm giá trị a để N = - 2004
Bµi 43 Cho biĨu thøc: A =
2
1 :
1 1
x x x
x x
x
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) So sánh A với
c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình A.x = m có nghiệm
Bµi 44. Cho biĨu thøc: M =
x x x
x x
x .
1 1
1
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn M
b) Chứng minh M > với giá trị x thuộc tập xác định c) Tìm giá trị x để: M x <
d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình M = 2m có hai nghiệm
Bµi 45 Cho biĨu thøc: P =
x x
x x x
x x
1 1 1
2
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Chứng minh P <
3