Chuyên đề Hàm số lũy thừa mũ và Logarit - Giải tích 12

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo Chuyên đề Hàm số lũy thừa mũ và Logarit - Giải tích 12 dưới đây. Hi vọng đây sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi THPT Quốc gia 2021 sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

Giải tích Họ tên HS: _ Trường: Lớp: M CL C Chủ đề LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA Vấn đề LUỸ THỪA VÍ DỤ MINH HOẠ Vấn đề HÀM SỐ LUỸ THỪA VÍ DỤ MINH HOẠ Dạng Tìm tập xác định hàm số luỹ thừa Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số luỹ thừa BÀI TẬP RÈN LUYỆN 12 Bài tập rèn luyện vấn đề 12 Bài tập rèn luyện vấn đề 15 Chủ đề LOGARIT 26 VÍ DỤ MINH HOẠ 26 Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức logarit 26 Dạng Rút gọn tính giá trị biểu thức logarit 28 Dạng Biểu diễn logarit theo logarit biết 29 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 32 Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức logarit 32 Dạng Rút gọn tính giá trị biểu thức logarit 37 Dạng Biểu diễn logarit theo logarit biết 41 Chủ đề HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT 44 VÍ DỤ MINH HOẠ 46 Dạng Tìm tập xác định hàm số logarit 46 Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số mũ - logarit 48 Dạng Các toán thực tế hàm số mũ 53 Dạng Cực trị hàm số mũ – logarit max hàm nhiều biến 57 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 61 Dạng Tìm tập xác định hàm số logarit 61 Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số mũ - logarit 64 Dạng Các toán thực tế hàm số mũ 83 Dạng Cực trị hàm số mũ – logarit max hàm nhiều biến 88  Cực trị hàm số mũ hàm số logarit 88  Giá trị lớn nhỏ hàm số mũ logarit 90 Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 105 VÍ DỤ MINH HOẠ 107 Dạng Phương trình mũ khơng chứa tham số 107 Dạng Phương trình logarit khơng chứa tham số 113 Dạng Phương trình mũ - logarit chứa tham số 119 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 130 Dạng Phương trình mũ khơng chứa tham số 130 Dạng Phương trình logarit khơng chứa tham số 135 Dạng Phương trình mũ - logarit chứa tham số 139 Chủ đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 143 VÍ DỤ MINH HOẠ 144 Dạng Bất phương trình mũ khơng chứa tham số 144 Dạng Bất phương trình logarit khơng chứa tham số 152 Dạng Bất phương trình mũ - logarit chứa tham số 158 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 163 Dạng Bất phương trình mũ khơng chứa tham số 163 Dạng Bất phương trình logarit khơng chứa tham số 166 Dạng Bất phương trình mũ - logarit chứa tham số 168 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit H M S LU TH A – H M S M  H M S LOGARIT CHỦ ĐỀ LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA Vấn đề LUỸ THỪA ◈ CÔNG THỨC VỀ LUỸ THỪA ② a  , với a  ① a n  a a a (n thừa số a) ③ a n  n , với a  a m ④ a n  n am ,   a  b  b n  a , với a  n ◈ TÍNH CHẤT CỦA LUỸ THỪA Với a  0, b  ta có: m n ① a a  a am ② n  a m n a m n ③ a m   a n   a mn n m ④ ab   a n b n n n n a  a ⑤    n b b  Với a, b  0; m, n  ℕ*; p, q  ℤ, ta có: ① n ab  n a n b ③ n ap    a n p a   a na  b nb ② n ④ m n Nếu a  a m  a n  m  n Nếu  a  a m  a n  m  n Với  a  b m ℤ ta có: a m  b m  m   m m a  b  m  Nếu b   p q  n a p  m a q a   n m Nếu n số nguyên dương lẻ a  b n a  n b Nếu n số nguyên dương chẵn  a  b n a nb a  mn a VÍ DỤ MINH HOẠ 1 1 9 3 Ví dụ 1: Tính P        4 7 A P  B P  31 48 C P  Lời giải 21 D P   141 112   2 Ví dụ 2: Cho a số dương Biểu thức a  a viết dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ Ta có P  11 A a B a 2 C a Lời giải D a Ta có a  a  a  a  a Ví dụ 3: Cho a , b số thực dương Rút gọn biểu thức P   Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy  a 3b  a 12b CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit A P  ab a b  P a b  4 12 C P  ab Lời giải B P  a 2b 1 D P  a 2b a 3b  ab a 2b  Ví dụ 4: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ biểu thức a a (với a  ) A a B a 1 C a Lời giải D a a a  a  a 12  a Ví dụ 5: Cho biểu thức T  a a với a  Viết biểu thức T dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A a B a C a 15 D a 15 Lời giải 4 Ta có T  a a  a  a 15 Ví dụ 6: Hãy rút gọn biểu thức A  a 1  a 1 1 A A  B A  4 a a A a 1 a 1 a 1 1 Lời giải a     2   2017    2   2018 C P  2  Lời giải B P   D A  a Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức P   A P   C A  a D P   Ta có:     22  ( 3)2   2017 Do đó: P   63 Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức A   2018  2 Ta có A  63  2 5 1 3  23  33 2 5 1 3 Ví dụ 9: Cho x số thực dương P  2017   2  2018   2  2017  2018 2 22  31 B 6 A   C 18 Lời giải D   32  18 x2 x  Biết P biểu diễn dạng P  x m n m phân số tối giản m, n số nguyên dương Tính m  n n A m  n  21 B m  n  25 C m  n  29 D m  n  31 Lời giải với P  x2 x    x2 x  10 25  x x  x  m  n  25   31 Ví dụ 10: Rút gọn biểu thức A  A A  a  a  3a   a 1 B A  2a  a a  a a C A  a  Lời giải D A  a   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Ta có A a  3a  a 1  a a  a a    a 1 a  a  a 1  a a a 1  a  a  a   a  a   a  Ví dụ 11: Cho  x x  14 ; A P  10   3x   x   23 x 1 1 x 3 1 x   a , với a 23 3 b B P  10 9x  x  14  3x  3x  3x   x x 1     34   34 b phân số tối giản Tính P  a b C P  45 Lời giải D P  45  16  3x  3x  18 Vậy P  a b  45  10 5  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Vấn đề HÀM SỐ LUỸ THỪA ◈ ĐỊNH NGHĨA VỀ HÀM SỐ LUỸ THỪA Định nghĩa: Hàm số y  x  , với   ℝ, gọi hàm số lũy thừa Tập xác định: Có trường hợp TXĐ ① D  ℝ  số nguyên dương ② D  ℝ \ 0 với  nguyên âm ③ D   0;   với  không nguyên Đạo hàm: Hàm số y  x  ,   ℝ  có đạo hàm với x  x     x  1   ◈ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA y  x,   y  x,    Tập khảo sát:  0;  Tập khảo sát:  0;   Sự biến thiên: y    x  1  0, x   Sự biến thiên: y    x  1  0, x  Giới hạn đặc biệt: lim x   0, lim x    x 0 x  Tiệm cận: Khơng có  Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến  0;   Đồ thị: Giới hạn đặc biệt: lim x   , lim x   x 0 x  Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng  Bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến  0;  Đồ thị hàm số lũy thừa y  x  qua điểm I 1;1 Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: ◈ Hàm số y  x ta xét ℝ ◈ Hàm số y  x 2 ta xét ℝ \ 0 ◈ Hàm số y  x  ta xét  0;   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit VÍ DỤ MINH HOẠ  TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA  Dạng  Xét hàm số y   f  x   : ① Khi  nguyên dương: hàm số xác định f  x  xác định ② Khi  nguyên âm: hàm số xác định f  x  xác định f  x   ③ Khi  không nguyên: hàm số xác định f  x  xác định f  x   Ghi nhớ Lưu ý: Theo định nghĩa, đẳng thức n x  x n xảy x  Do hàm số y  x n không đồng với hàm số y  n x n  ℕ *  Như vậy, cần nhớ lại: y  2n f  x , n  ℕ*  : Hàm số xác định f  x  xác định f  x   y  2n 1 f  x , n  ℕ*  : Hàm số xác định f  x  xác định Ví dụ 1: Với x số thực tuỳ ý, xét mệnh đề sau 1) x n  x x ⋯.x n  ℕ, n  1 2)  2x    n so 3)  4x  1  2  4x  1 4)  x  1    x    x    x  2 Số mệnh đề A B C Lời giải Ta thấy x n  x x ⋯.x n  ℕ, n  1 mệnh đề D n so Ta thấy  2x    mệnh đề sai phải có thêm điều kiện 2x    x  Ta thấy  4x  1  2  4x  1 mệnh đề sai phải có thêm điều kiện 4x    x   Ta thấy  x  1    x    x    x  mệnh đề sai phải có thêm điều x   kiện    x  Vậy có mệnh đề 5  x  Ví dụ 2: Tìm tập xác định D hàm số y   x  1 2 B D  (; 1)  (1; ) D D  ℝ \{1} Lời giải A D  ℝ C D  (1;1) Hàm số y   x  1 2 có số mũ số nguyên âm nên xác định x    x  1 Vậy D  ℝ \{1} tập xác định hàm số cho Ví dụ 3: Tập xác định hàm số y   x  x  12  3  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit A D   4;3  B D  ℝ \ 4;3 C D  ℝ \  4;3  D D   ; 4    3;   Lời giải  x  4 Do số mũ số nguyên âm nên ta có điều kiện x  x  12    x  Vậy tập xác định hàm số cho D  ℝ \ 4;3 Ví dụ 4: Hàm số y   4x  1 4 có tập xác định  1  1 B D  ℝ \   ;  C D  ℝ D D    ;   2  2 Lời giải  1 Điều kiện: 4x    x   nên tập xác định hàm số D  ℝ \   ;   2 A D   0;   Ví dụ 5: Tập xác định hàm số y  x  B D   0;   A D  ℝ Ta có y  x sin2020   sin2020  D D   0;   C D  ℝ \ 0 Lời giải  x nên tập xác định D  ℝ \ 0 Ví dụ 6: Tìm tập xác định D hàm số y  x 2 3 B D   0;   A D  ℝ Hàm số y  x 2  D D   0;   C D  ℝ \{0} Lời giải có số mũ khơng ngun nên xác định x  Vậy tập xác định D   0;   Ví dụ 7: Tập xác định hàm số y    x  A D  2;   B D   2;   D D   ;2 C D   ;2  Lời giải Hàm số y    x  có số mũ khơng ngun nên xác định  x   x  Vậy tập xác định D   ;2   Ví dụ 8: Tìm tập xác định D hàm số y  25  x  3 2x  5x   x     2x A D   5;  1  1;5  B D   5;  1  1;5 C D   5;5 D D    ;  1  1;    Lời giải 5  x  1  x  25  x     x   Hàm số xác định   5  x  1 x    x  1  Vậy tập xác định D   5;  1  1;5  Ví dụ 9: Tìm tập xác định D hàm số y  x  6x  17  x  4x   6  1  x  A D    ;1   3;    \ 1 B D    ;1   3;    C D  1;3  D D  1;3 2020  2x   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Lời giải x  6x  17   x    Hàm số xác định x  4x     x  x    x  1  Vậy tập xác định D    ;1   3;    \ 1 x 3 Ví dụ 10: Tìm tập xác định D hàm số y  25  x   x 3  A D   5;5  \ 3 B D   5;5  \ 3 C D   5;5   1 18 2020 D D   5;5  \ 3 Lời giải 25  x    5  x  x  Hàm số xác định  Vậy tập xác định D   5;5  \ 3 0  x  3 x  x   ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA  Dạng Ví dụ 1: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số sau a) y  x b) y  x 4  c) y   x  1 d) y   x   Lời giải a) TXĐ: D  ℝ y   9x b) TXĐ: D  ℝ \ 0 y   4x 5   c) TXĐ: D  1;   y    x5   x  1  x  1   d) TXĐ: D   3; y    x2  x2     x  1   8x  3 3  x  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số sau: a) y   x  1 3;15 b) y    3x   0;1 Lời giải 3 x   0, x  3;15  hàm số ĐB 3;15 a) y    x  1  2 Vậy y  y    max y  y 15   64 3;15 3;15 15   3x    3x      3x   0, x  0;1  hàm số NB 0;1 2 Vậy y  y 1  max y  y    32 b) y   0;1 0;1 Ví dụ 3: Trong đồ thị đây, đồ thị đồ thị hàm số y  x ?  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy ... hàm số logarit 61 Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số mũ - logarit 64 Dạng Các toán thực tế hàm số mũ 83 Dạng Cực trị hàm số mũ – logarit max hàm nhiều biến 88  Cực trị hàm số mũ. ..  Đồ thị hàm số lũy thừa y  x  qua điểm I 1;1 Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: ◈ Hàm số y  x ta xét ℝ ◈ Hàm số y  x... Minh biên soạn & giảng dạy 47 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT  Dạng ◈ GHI NHỚ HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT ① a x   a x ln a ② a u   u .a u ln