Đang tải... (xem toàn văn)
Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.[r]
(1)Trường THPT Mỹ Đức A
ĐỀ CHÍNH THỨC
-KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) oOo
-Họ tên thí sinh: ……… … Số báo danh: ………… Câu (5 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác:
2
sin sin 5 2cos 2cos 2
4 4
x x x x
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y2sin2 x3sin cosx x5cos2x.
Câu (4 điểm)
a) Cho n,n2 tính tổng S sau: S 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 n n 1Cnn.
b) Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn
1;20 Tính xác suất để tổng lập phương ba số viết chia hết cho
Câu (5 điểm)
a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành cấp số nhân số đo góc lớn gấp lần số đo góc nhỏ Tính số đo góc tứ giác.
b) Cho dãy số u xác định n
1
1 1
2 3 ,n
n n
u
u u n
Tìm cơng thức số hạng tổng quát u theo n n Câu (5 điểm)
Cho mặt phẳng hai đường thẳng chéo d d cắt 1, ,A B Gọi là đường thẳng thay đổi song song với , cắt d tại1 M, cắt d 2 N. Đường thẳng d qua Nluôn song song với d cắt 1 N.
a) Tứ giác AMNNlà hình gì? b) Tìm tập hợp điểm N.
c) Gọi Olà trung điểm AB I, là trung điểm MN. Chứng minh OI là đường thẳng cố định M di động.
Câu (1 điểm)
Cho số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện: xyz Tìm giá trị nhỏ của1. biểu thức H biết:
2 2
.
2 2 2
x y z y z x z x y
H
y y z z z z x x x x y y
(2)HẾT
-HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11 Câu 1
5,0 đ Nội dung Điểm
a) 3,0 đ
sin sin cos cos
2
PT x x x x
0,5 đ
sinx sin 5x sin 2x sin 4x
0,5 đ
2sin cos2x x 2sin cosx x
0,5 đ
sin cos cos
x x x
0,5 đ
3
2
2
x k x x k
x x k
0,5 đ 3 k x k
x k x
k x 0,5 đ b) 2,0 đ 2
2sin 3sin cos 5cos cos
1 cos sin
2
3
cos sin
2 2
y x x x x
x x x x x 0,5 đ
3
cos
2 x
0,5 đ
Giá trị nhỏ hàm số :
7 2
y
đạt
5
,
x k k Z 0,5 đ
Giá trị lớn hàm số : max
7 2
y
đạt x k k,
Z 0,5 đ
Câu 2
4,0 đ Nội dung Điểm
a) 2,0 đ
Số hạng tổng quát uk k k 1Cnk 0,5 đ
22 !
! !
1 !
2 ! 2 !
1
n
k n
n
u k k
k n k
n n n
k n k
n n C k n
0,5 đ
2
2
1 n
n n n n
S n n C C C C
0,5 đ
2 n
S n n
0,5 đ
(3)2,0 đ
Số phần tử không gian mẫu là: n 203 0,25 đ Đoạn 1;20 có số chia hết cho 3; có số chia cho dư 1; số chia cho dư
2 0,25 đ
Với số tự nhiên n ta ln có n3 n n n 1 n 3
Do tổng lập phương ba số chia hết tổng ba số chia hết cho
0,5 đ TH1: Cả số viết chia hết cho 3: có khả xảy ra3
TH2: Cả số viết chia cho dư 1: có khả xảy ra.3 TH3: Cả số chia cho dư : có khả xảy ra.3
TH4: Cả số viết gồm số chia hết cho 3; số chia dư số chia dư 2: có 6.7.7.3! khả xảy
0,5 đ
Số kết thuận lợi 6373736.7.7.3! 2666 0,25 đ Xác suất cần tính
3 3
6 7 6.7.7.3! 1333
20 4000
P
0,25 đ
Câu 3
5,0 đ Nội dung Điểm
a) 2,5 đ
Giả sử bốn góc A, B, C, D A B C D theo thứ tự lập thành cấp số nhân
với công bội q Ta có
2
3
B qA C q A D q A
0,5 đ
Ta có hệ
360
A B C D
D A
3
1 360
A q q q
A q A
0,5 đ 0,5 đ
2 24
q A
0,5 đ
Suy B48 ,C96 , D192 0,5 đ
b) 2,5 đ
Với n , ta có :
1 3
n n n
n n n n
u u u u
0,5 đ
Xét dãy số vn , với vn un ,n n
ta có vn12vn
Do đó, dãy số vn cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu -22
0,5 đ 0,5 đ Suy 1
n n
n
v v q
0,5 đ
3n 3n 2n
(4)Câu 4
5,0 đ Nội dung
Điể m
a) 2,0 đ
0,5 đ
Có AM // NN’
Do d // d1 nên tồn mặt phẳng chứa d d1
0,5 đ
'
'/ / , / /
AN
AN MN
MN MN
0,5 đ
AMNN
hình bình hành 0,5 đ
b) 2,0 đ
Gọi (P) mặt phẳng chứa d d2, d // d1 nên (P) // d1 0,5 đ Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 song song với đường thẳng cố định d1 nên (P) cố
định 0,5 đ
N’ điểm chung (α) (P) nên N' P 0,5 đ Gọi P Vậy tập hợp điểm N’ đường thẳng b.b 0,5 đ
c) 1,0 đ
0,5 đ
Dựng đường thẳng qua E song song với d1 cắt d2 N0, Dựng đường thẳng qua N0 song song với AE, đường thẳng cắt d1 M0
(5)Câu 5 1,0 đ
Nội dung Điểm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
0,25 đ
Đặt:
1
2
9
1
2
9
2 1
4
9
x x a b c
a y y z z
b z z x x y y a b c
c x x y y
z z a b c
0,25 đ
Khi
3
2 4
9
6
2
6 4.3
2
a b c a b c a b c
H
a b c
b a c c a b
a c a a b c
b a c c a b
a c a a b c
0,25 đ
2
H a b c x y z Vậy giá trị nhỏ H 2.1 0,25 đ Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác đáp án vẫn cho điểm