Thống kê máy tính

1. Một lô hàng có 9 sản phẩm. Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Sau khi kiểm tra xong thì trả lại lô hàng. Bắn hai lần độc lập nhau, mỗi lần một viên đạn vào cùn[r]

Nội dung

• Lý thuyết xác suất: xác suất, biến ngẫu nhiên,

luật phân phối

• Thống kê Cơ bản: thống kê mơ tả, ước lượng,

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

• Chương 1: Biến cố – Xác suất – Các định lý

• Chương 2: Biến ngẫu nhiên chiều – Qui luật

phân phối xác suất

• Chương 3: Các qui luật phân phối xác suất

thơng dụng

• Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều

Xác suất

• Tính xác suất gọi ngẫu nhiên sinh viên

trong lớp sinh viên sinh tháng 12

• Tính xác suất sinh viên không học đánh trắc

nghiệm ngẫu nhiên điểm

• Lớp có 60 sinh viên gồm 20 nam, 40 nữ Nếu lập

ngẫu nhiên tổ gồm sinh viên khả có sinh viên nữ nhiều

• Trung bình có 60 gọi đến tổng đài

THỐNG KÊ CƠ BẢN

• Chương 6: Lý thuyết mẫu

• Chương 7: Ước lượng tham số • Chương 8: Kiểm định giả thuyết

Thống kê

• Trung bình xe bạn km

lít xăng?

• Nếu tơi nói trung bình xe bạn 35km/l

ý kiến bạn nào?

• Chiều cao trung bình sinh viên lớp này?

• Chiều cao trung bình sinh viên lớp thuộc

khoảng với độ tin cậy 95%?

• Nếu nói chiều cao sinh viên lớp thấp

CHƯƠNG 1

Nội dung chính

• Các loại biến cố

• Các phép tốn biến cố ý nghĩa • Các cách tính xác suất biến cố

• Cơng thức tính xác suất biến cố phức

Phép thử ngẫu nhiên

• Là thí nghiệm, quan sát mà kết quả

khơng thể dự báo trước

• Kí hiệu: T.

• Ta liệt kê biểu diễn được tất

kết phép thử

Biến cố sơ cấp – Khơng gian mẫu

• Các kết phép thử gọi biến

cố sơ cấp (bcsc) Kí hiệu: wi

• Khơng gian mẫu: tập hợp tất biến cố sơ

cấp Kí hiệu: Ω

• Ví dụ: T : gieo đồng xu • Khơng gian mẫu là:

Biến cố (sự kiện)

• Một biến cố (bc) liên quan đến phép thử T

một kiện mà việc xảy hay không xảy tùy thuộc vào kết phép thử T

• Kí hiệu: chữ in hoa A, B, C,…, A1, A2,…

• Kết w T gọi thuận lợi cho biến

cố A A xảy kết T w

• Tập hợp kết thuận lợi cho biến cố A kí

Biến cố (sự kiện)

• Ví dụ: T: tung cục xúc sắc

Biến cố (sự kiện)

• Một biến cố (event), kí hiệu chữ hoa A,

B, C …, tập không gian mẫu Ω Chú ý:

• Mỗi bc A tương ứng với tập

ΩA  Ω

Biến cố đặc biệt

• Bc khơng thể: bc khơng xảy

thực T Nó khơng chứa bcsc Kí hiệu: ϕ

• Bc chắn: bc luôn xảy thực

Kéo theo

Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký

hiệu AB, A xảy B xảy  Ta có:

A B

  



Tương đương (bằng nhau)

Biến cố A đgl tương đương với biến cố B A

xảy B xảy ngược lại

Kí hiệu: A=B

Ta có:

A B A B

B A

 

  

 

A B

Biến cố đối

• Biến cố đối biến cố A, kí hiệu biến cố xảy

ra A không xảy

• Ta có:

• Ví dụ: gieo xúc sắc

• A: bc số chấm chẵn bc số chấm lẻ

A \ A A    A       1,2,3,4,5,6

2,4,6 1,3,5 \

A A A

 

Tổng (hợp) hai biến cố

• Cho A, B hai bc liên quan đến phép thử T Khi

đó, tổng (hợp) A B biến cố, kí hiệu A B hay A+B∪

• Bc xảy hai bc A, B

xảy

Tổng (hợp) biến cố

• A1, A2,…,An bc phép thử T

• Tổng (hợp) bc kí hiệu:

• Bc xảy bc A1, A2, …,An xảy

• Ta có:

1 n n

A  A   A hay A  A   A

1 n n

A A  A A A A

Tích (giao) hai biến cố

• Cho A, B hai bc liên quan đến phép thử T Khi

đó, tích (giao) A B biến cố, kí hiệu A∩B hay A.B

• Bc xảy hai bc A, B xảy ra

A B

Tích (giao) biến cố

• A1, A2,…,An bc phép thử T

• Tích (giao) bc kí hiệu:

• Bc xảy tất bc A1, A2,…,An xảy

• Ta có:

1 2 n n

A A A hay A  A   A

1 n n

A A A A A A

Hai biến cố xung khắc

• Hai biến cố A, B gọi xung khắc nếu:

A B xung khắc

AB 

B

A

Một số tính chất           ) ) ) ) ) ) )                                   

i A A A A A A

A A A A A A

ii A B B A A B B A

iii A B C AB AC

iv A B C A B A C

v A A

vi A B A B A B A B

Ví dụ

• Có xạ thủ bắn vào mục tiêu

• A, B, C bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng

Biểu diễn biến cố sau theo A, B, C phép toán

a) Có xạ thủ bắn trúng

Kiểm tra chất lượng sản phẩm Gọi Ak biến cố sản phẩm thứ k tốt Biểu diễn biến cố sau theo Ak.

• A bc sản phẩm tốt • B bc có sản phẩm tốt

• C biến cố có sản phẩm xấu • D biến cố có sản phẩm tốt • E biến cố có tối đa sản phẩm xấu

Có sinh viên thi Gọi A biến cố sinh viên đậu; B biến cố sinh viên đậu Biểu diễn biến cố sau qua A B

• C =“cả sv thi đậu”; • D=“khơng sv đậu”

• E=“có người đậu”; • F=“chỉ sv đậu”

• G=“sinh viên thi đậu”; • H=“chỉ có sv đậu”

• I=“có nhiều sv đậu”; • J=“có sv thi đậu”

XÁC SUẤT CỦA BC

• Con số đặc trưng cho khả xuất của

biến cố phép thử gọi xác suất biến cố

• Kí hiệu xác suất bc A: P(A)

• Xác suất khơng có đơn vị • Điều kiện:

 

   

     

)

) 0,

)

i P A

ii P P

iii P A B P A P B AB

 

   

Các cách tính xác suất

• Theo quan điểm cá nhân

Quan điểm cá nhân

• Dễ dàng nhất, độ tin cậy nhất • Ví dụ: Xác suất của

• Một ngày bạn die?

• Bạn bơi vịng quanh trái đất vịng

30h?

• Bạn trúng vé số?

Quan điểm tần suất

• Thực hành bước:

• Thực phép thử với số lần n, lớn

• Đếm số lần biến cố A xuất hiện, giả sử n(A) • Xác suất bc A là:

  n A 

P A

Ví dụ

Người tung

Số lần tung

Số lần sấp

Tần suất

Buyffon 4040 2048 0,5069

Pearson 12000 6019 0,5016

Pearson 24000 12012 0,5005

• Nghiên cứu khả xuất mặt sấp gieo

đồng xu cân đối, đồng chất

Quan điểm tần suất

• Vậy:

• Trên thực tế ta lấy với n đủ lớn

  lim   lim n  

n n

n A

P A f A

n

   

 

  n  

Quan điểm cổ điển

• Được sử dụng nhiều (trên lớp)

• Nếu bcsc đồng khả năng, hữu hạn bcsc

Ví dụ

1. Một tây có 52 Rút ngẫu nhiên Gọi:

A: rút 2,3

B: rút cơ, rơ, bích K chuồn Tính xác suất:

A) Rút số 2,

B) Rút cơ, rơ, bích K chuồn

C) Rút số 2, hoặc cơ, rơ, bích K chuồn

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm):

Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế xem phép thử biến cố khơng xảy

• Ngun lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác

Ví dụ

• Trong lớp có 50 sinh viên định có bạn

có sinh nhật trùng Vì biến cố “có người có sinh nhật” có xác suất lớn P(A)= 0,970374

• Chú ý:

• Việc qui định mức xác suất đủ nhỏ hay đủ

lớn tùy thuộc vào toán cụ thể

Về nhà

• Một lớp có 50 sinh viên Thầy giáo gọi ngẫu

nhiên học sinh lên bảng học sinh khơng thuộc Hãy dự đốn xem hơm lớp có học sinh khơng thuộc

• Hướng dẫn:

• A: sinh viên không thuộc bài

Một vài cơng thức

• Cơng thức cộng

• Cơng thức xác suất điều kiện • Cơng thức nhân xác suất

• Cho hai biến cố A, B Ta có:

• Nếu A, B xung khắc:

• Hệ quả:

Công thức cộng

      P . 

P A B P A  P B  A B

     

P A B P A  P B

   

Ví dụ 1

Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 0,1; trúng điểm 0,2; trúng điểm 0,25 điểm 0,45 Tìm xác suất để xạ thủ điểm

• A1: “trúng điểm 10” A2: “trúng điểm 9” • A: “ít điểm”

• Ta có: A=A1+A2 A1, A2 XUNG KHẮC

• Vậy:    

   

1

1 0,1 0, 0,3

P A P A A

P A P A

 

Ví dụ 2

• Sinh viên A tốt nghiệp Sau tham gia hội

chợ việc làm trường, công ty vấn đánh sau:

• Xs cơng ty A chọn 0,8. • Xs cơng ty B chọn 0,6.

• Xs cơng ty chọn 0,5.

• Tính xác suất chọn

• Cho biến cố:

• Cho biến cố:

Cơng thức cộng mở rộng

 

       

( ) ( ) ( )

P A B C P A P B P C

P AB P BC P CA P ABC

                                  

1

1

1

1

4

1

4 4

4

( ) (

)

)

(

P A A A A

P A A P A A P A A P A A P A A

P A P A P A P A P A A A P A A A P A

P A A P A A A

A A P A

• Nếu biến cố A1, A2, …, An liên quan đến

phép thử T thì:

• Bộ chẵn: – • Bộ lẻ: +

Cơng thức cộng tổng quát

          1 1 ( )

n

n i i j

i i j

n

i j k n

i j k

P A A P A P A A

P A A A P A A A

Xác suất điều kiện

• Một tây gồm 52 Rút ngẫu nhiên bài. • A: rút số 2

• B: rút bích

a) Tính P(A), P(B), P(A+B), P(AB)

b) Nếu biết A xảy xác suất B bao nhiêu?

Xác suất điều kiện

• Định nghĩa: Xác suất biến cố A với giả thiết

là biến cố B xảy gọi xác suất A với điều kiện B

• Kí hiệu: P(A|B) • Cơng thức tính:

• Nếu P(B)=0 xác suất khơng xác định.

   

  ( ) 0

P AB

P A B neu P B

P B

Ví dụ

• Xác suất chuyến bay khởi hành

0,83

• Xác suất chuyến bay đến 0,82

• Xác suất chuyến bay vừa khởi hành

giờ vừa đến 0,78

• a) XS chuyến bay đến biết khởi

hành

• b) Khởi hành biết đến khơng

• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0 Ta có: Tính chất                     1             ) , ) , ) )

i P B A P A A ii P A P A

Ví dụ

• Một hộp có bóng trắng bóng đỏ Ta lấy

ngẫu nhiên bóng (khơng hồn lại) Tính xác suất:

Cơng thức nhân

• Xác suất để biến cố A B xảy là:

• Hoặc:

     .  

P AB P A P B A

     .  

Ví dụ

• Hộp có bóng trắng bóng đỏ Lấy

Cơng thức nhân mở rộng

• Xác suất để biến cố A, B, C xảy ra:

• Chứng minh:

 .     .   . . 

P A B C P A P B A P C A B

     

     

 

. . .

. . .

P A B C P A B P C A B

Ví dụ

• Ba chia ngẫu nhiên từ tây 52

Công thức nhân tổng quát

• Cho A1, A2,…,An biến cố phép thử

T

• Điều kiện:

• Cơng thức chứng minh qui nạp.

 .2 n   1    n .2 n 

P A A A P A P A A P A A A A 

 1 .2 n  0

Ví dụ 3

• Tại giải vơ địch Taekwondo giới, Việt Nam có

hai vận động viên A, B tham gia Khả lọt vào vòng chung kết A, B theo đánh giá 0,9 0,7 Biết A B không bảng vịng đấu loại Tính xác suất

• A) Cả hai lọt vào vòng chung kết.

Ví dụ 4

• Một hộp đựng cầu chì có 20 có

cái bị hỏng

• A) Chọn ngẫu nhiên cầu chì khơng

hồn lại xác suất hỏng bao nhiêu?

• B) Câu hỏi tương tự chọn có

Ví dụ 5

• Hộp có bóng trắng bóng đen • Hộp có 10 trắng đen

• Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp bỏ vào hộp

2 (khơng nhìn bóng lúc bỏ)

• Tính xác suất lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp

Hai biến cố độc lập_1

• A B độc lập việc A xảy hay không

xảy không ảnh hưởng đến xác suất B ngược lại

• Vậy hai bc A B độc lập nếu

• Hoặc:

    

P B A P B

    

Hai biến cố độc lập_2

• Hai biến cố A, B gọi độc lập nếu:

• Hai biến cố khơng độc lập gọi bc

phụ thuộc.

 .      .

Chú ý

• Cho A B hai biến cố độc lập Khi cặp

biến cố sau độc lập

• Thơng thường dựa vào chất phép thử

ta công nhận biến cố độc lập mà chứng minh

&

A B

&

Độc lập đơi

• Hệ biến cố A1, A2,…,An gọi độc lập đôi cặp hai biến cố n biến cố độc lập với

Độc lập tồn phần

• Hệ biến cố A1, A2,…,An gọi độc lập toàn

phần biến cố hệ độc lập với tổ hợp biến cố lại

• Chú ý:

Bài tập tổng hợp

1 Một lơ hàng có sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên sản phẩm Sau kiểm tra xong trả lại lơ hàng Tính xác suất để sau lần kiểm tra lơ hàng tất sản phẩm kiểm tra

2 Bắn hai lần độc lập nhau, lần viên đạn vào bia Xác suất bắn trúng đích viên đạn thứ 0,7 viên đạn thứ 0,4

a) Tìm xác suất để có viên đạn trúng bia

Bài tập tổng hợp

3 Xác suất để động thứ máy bay trúng đạn 0,2; để động thứ máy bay bị trúng đạn 0,3; cịn xác suất để phi cơng bị trúng đạn 0,1 Tìm xác suất để máy bay rơi, biết máy bay rơi động bị trúng đạn phi công bị trúng đạn

4 Có 12 thăm có trúng thưởng Hai người A B bốc thăm sau Người A bốc trước khơng hồn lại Sau người B bốc ngẫu nhiên

Hệ biến cố đầy đủ

Hệ gồm biến cố đầy đủ Hệ gồm biến cố đầy đủ

1

) ,

)

i j

n

i H H i j

ii H H H

  

Công thức xác suất đầy đủ

• Cho H1, H2,…,Hn hệ đầy đủ biến cố. • A biến cố phép thử

• Xác suất A bị phụ thuộc vào hệ biến cố • Khi đó:

     

1

n

i i

i

P A P H P A H



Ví dụ 1

• Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên

ra sản phẩm Tính xác suất để lấy phẩm phế phẩm?

6 phẩm phế phẩm

15 phẩm phế phẩm

10 phẩm phế phẩm

HỘP 1

HỘP 3

Chú ý

• Nếu phép thử gồm giai đoạn biến cố A liên

quan đến giai đoạn sau kết có giai đoạn đầu hệ biến cố đầy đủ

• Khi trình bày cần:

– Ghi rõ cơng thức.

– Tính đủ thành phần.

– Có thể khơng cần q chi tiết: gọi phép thử, khơng

Ví dụ 2

Từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm đem giao cho khách hàng

Sau sản phẩm lại kiện dồn chung vào kiện hàng trống

5 loại A loại B

0 loại A loại B

2 loại A loại B Kiện 1

Kiện 3

a) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng Tính xác suất chọn sản phẩm loại B?

b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng Tính xác suất để có sản phẩm loại B sản phẩm chọn?

Ví dụ 3

• Cơng ty có máy sản xuất sản phẩm Tương

ứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% 25% sản phẩm cơng ty Theo đánh giá có 2%; 3% 1% sản phẩm máy tương ứng chất lượng

• Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Xác suất sản

phẩm chất lượng bao nhiêu?

• Giả sử sp chọn sp tốt Khả cao

Ví dụ 4

• Một loại bệnh ung thư phát

các phụ nữ 60 tuổi với xác suất 0,07 Để phát ung thư, người ta làm xét nghiệm máu Theo đánh giá, xét nghiệm cho giá trị âm giả với tỷ lệ 10% (nghĩa bị sai đưa kết âm tính) tỷ lệ dương giả 5% (cho kết dương tính sai)

• Giả sử phụ nữ 60 tuổi xét nghiệm có kết

Có xạ thủ loại I xạ thủ loại II Xác suất bắn trúng đích xạ thủ loại I 90% xạ thủ loại II 80%

a) Lấy ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn

viên đạn Tính xác suất viên đạn trúng đích

b) Lấy ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn

viên đạn Xác suất hai viên trúng bao nhiêu?

Bài tập tổng hợp 2

1 Có lơ loại lô loại 2; lô chứa sản phẩm Lô loại chứa tồn sản phẩm tốt cịn lơ loại chứa sản phẩm tốt Chọn ngẫu nhiên lô trộn chung sản phẩm lô với Sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất lấy sản phẩm tốt?

2 Lơ có a phế phẩm b phẩm Lơ có c phế phẩm d phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô cho sang lô 2; sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ cho vào lơ Sau từ lại lấy sản phẩm từ lơ Tính xác suất sản phẩm sản phẩm tốt

• Vẽ sơ đồ phép thử này.

Bài tập tổng hợp 2

3 Tỉ lệ người dân nghiện thuốc 30% Tỉ lệ bị viêm họng số người nghiện 60% Tỉ lệ bị viêm họng số người không nghiện 20%

a) Lấy ngẫu nhiên người thấy người bị viêm họng Tính xác suất người nghiện thuốc lá?

Bài tập tổng hợp 2

4 Một nhân viên bán hàng năm đến bán công ty A lần Xác suất lần đầu bán hàng 0,8 Nếu lần trước bán hàng xác suất lần sau bán hàng 0,9 Cịn lần trước khơng bán đươc hàng xác suất lần sau bán 0,4 Tính xác suất

Cơng thức Bayes

• Cho H1, H2,…,Hn hệ đầy đủ biến cố

• A biến cố phép thử

• Xác suất A bị phụ thuộc vào hệ biến cố • Khi đó:

• Điều kiện: P(A)>0.

          k k k n i i i

P H P A H P H A

P H P A H

 

Công thức Bayes           k k k n i i i

P H P A H P H A

P H P A H

 



 . k 

P A H

 

Cơng thức Bayes

Ví dụ 1

• Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên

3 sản phẩm Kết phẩm phế phẩm Tính xác suất để sp thuộc hộp 3?

6 phẩm phế phẩm

15 phẩm phế phẩm

10 phẩm phế phẩm

HỘP 1

HỘP 3

Ví dụ 1

• Cơng thức Bayes thường dùng với công thức

xác suất đầy đủ

• Giúp ta đánh giá lại xác suất hệ biến cố

có biến cố xảy

     

 

3

3 0,3165

P H P A H P H A

P A

Ví dụ 2

• Người ta vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng

về loại sản phẩm định đưa thị trường thấy có:

– 34 người trả lời: “Sẽ mua”

– 96 người trả lời: “Có thể mua” – 70 người trả lời: “Không mua”

Ví dụ 2

• Hãy đánh giá thị trường tiềm sản

phẩm đó? (tỷ lệ người thực mua)

• Trong số khách hàng mua sản phẩm, có bao

Công thức Bernoulli

Định nghĩa Thực n phép thử độc lập; phép thử bc A xuất với xác suất p khơng xuất với xác suất q=1-p

Khi xác suất để A xuất k lần n phép thử là:

  k k n k

n n

P k C p q 

Ví dụ 1

Một hộp có 10 viên bi gồm bi vàng bi đỏ

Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi, lần bi có hồn lại

Tính xác suất bi lấy có bi đỏ?

Ví dụ 1

Xem việc lấy bi phép thử ta có dãy phép thử độc lập

Xác suất để lấy bi đỏ lần là: P(A)=0,7 Gọi F biến cố lấy bi đỏ

Ta có:

  4  3 43.0,7 0,33

Ví dụ 2

• Một sinh viên thi trắc nghiệm mơn Ngoại Ngữ

gồm có 10 câu hỏi Mỗi câu có phần để lựa chọn trả lời, có phần Giả sử sinh viên làm cách chọn ngẫu nhiên phần câu hỏi Tính xác suất trường hợp sau:

Ví dụ

• Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh 0,8

Ví dụ 3

• Ở hệ dịch vụ, khách hàng chọn loại

hình dịch vụ A, B, C Theo thống kê số khách hàng hệ dịch vụ này, tỷ lệ khách hàng dùng loại hình dịch vụ A, B, C tương ứng 30%; 50%; 20%

•

• a) Tìm xác suất để số 10 khách hàng vào hệ dịch vụ

có người chọn loại hình dịch vụ B Giả thiết cho họ độc lập việc chọn loại hình dịch vụ?

•

• b) Có khách hàng vào hệ dịch vụ họ độc lập

Bài 1

Bài 2

Có kiện hàng 1, kiện có 20 sản phẩm Số sản phẩm tốt tương ứng kiện 12 Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện cho vào kiện Sau từ kiện ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất:

a) Tổng số sản phẩm tốt lần lấy nhỏ

Bài 4

Có máy 1,2,3 sản xuất loại sản p Cửa hàng có : 30 loại A 70 loại B

Cửa hàng có : 70 loại A 50 loại B Cửa hàng có : 90 loại A 60 loại B

Một người chọn ngẫu nhiên cửa hàng mua ngẫu nhiên sản phẩm

a) Tính xác suất người mua sản phẩm loại A?

Bài 5

• Một lơ có 20 sản phẩm có phế phẩm

Lấy ngẫu nhiên sản phẩm (xét hai trường hợp khơng hồn lại có hồn lại) Tính xác suất để:

Bài 6

• Trong kỳ thi, giáo viên cho sinh viên 100