Bài giảng Thống kê máy tính và ứng dụng - Bài 2: Xác suất có điều kiện cung cấp cho người học các kiến thức: Xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần, định lý Bayes, biến cố độc lập,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
THỐNG KÊ MÁY TÍNH & ỨNG DỤNG Bài XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Vũ Quốc Hồng (vqhoang@fit.hcmus.edu.vn) FIT-HCMUS, 2018 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung • Xác suất có điều kiện • Công thức nhân xác suất • Công thức xác suất tồn phần • Định lý Bayes • Biến cố độc lập • Mơ hình xác suất “lặp lại thí nghiệm độc lập” • Độc lập có điều kiện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xác suất có điều kiện • Ở vòng chung kết World Cup 2018, xét biến cố: 𝐴: Đội đương kim vô địch Đức vô địch 𝐵: Đội mạnh Pháp vô địch 𝐶: Đội chủ nhà Nga vô địch • • • • • Trước vòng bảng: 𝑃 𝐴 lớn; 𝑃 𝐵 lớn; 𝑃 𝐶 nhỏ Sau vòng bảng: 𝑃 𝐴 = 0; 𝑃 𝐵 tăng khơng nhiều; 𝑃 𝐶 tăng nhiều Sau vòng tứ kết: 𝑃 𝐵 tăng nhiều; 𝑃 𝐶 = Sau vòng bán kết: 𝑃 𝐵 lớn Sau trận chung kết: 𝑃 𝐵 = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xác suất có điều kiện • Cần điều chỉnh, cập nhật xác suất (khả xảy ra) biến cố liên quan đến thí nghiệm 𝑇 có thêm thơng tin 𝑇: • Thông tin 𝑇 thể việc biết (các) biến cố xảy • Xác suất biến cố 𝐴 biết biến cố 𝐵 xảy gọi xác suất có điều kiện (conditional probability) 𝐴 biết 𝐵 xảy ra, kí hiệu P 𝐴 𝐵 tính định nghĩa: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃 𝐴𝐵 = (với 𝑃 𝐵 > 0) 𝑃(𝐵) • 𝐴 ∩ 𝐵 “𝐴 biết 𝐵 xảy ra” • Chia cho 𝑃(𝐵) giúp chuẩn hóa xác suất CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xác suất có điều kiện Tính chất • Với 𝐵 cho trước 𝑃 𝐵 > 𝑃 𝐵 độ đo xác suất hợp lệ: • • • • • • ≤ 𝑃(𝐴|𝐵) ≤ 𝑃 Ω|𝐵 = 𝑃 ∅|𝐵 = 𝑃 𝐴𝑐 |𝐵 = − 𝑃 𝐴 𝐵 Nếu 𝐴 ⊂ 𝐶 𝑃 𝐴|𝐵 ≤ 𝑃(𝐶|𝐵) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐶|𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 + 𝑃 𝐶|𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶|𝐵) • 𝑃 𝐴 𝐶, 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐶 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴∩𝐶|𝐵) 𝑃(𝐶|𝐵) (với 𝑃 𝐶|𝐵 > 0) •… • “Các cơng thức, tính chất xác suất lấy điều kiện” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xác suất có điều kiện Ví dụ • Tung đồng xu đồng chất lần: Ω = 𝐻𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝑇, … , 𝑇𝑇𝑇 • Biến cố “lần ngửa”: 𝐵1 = 𝐻𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝑇, 𝐻𝑇𝐻, 𝐻𝑇𝑇 ; Biến cố “lần ngửa”: 𝐵2 = 𝐻𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝑇, 𝑇𝐻𝐻, 𝑇𝐻𝑇 ; Biến cố “được lần ngửa”: 𝐴 = 𝐻𝐻𝑇, 𝐻𝑇𝐻, 𝑇𝐻𝐻 ; Biến cố “được lần ngửa”: 𝐶 = 𝐻𝐻𝑇, 𝐻𝑇𝐻, 𝑇𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝐻 |𝐴| |𝐶| 𝑃 𝐴 = = ;𝑃 𝐶 = = Ω Ω 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵1 ) |𝐴 ∩ 𝐵1 | |{𝐻𝐻𝑇, 𝐻𝑇𝐻}| 𝑃 𝐴 𝐵1 = = = = = 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 𝑃(𝐵1 ) |𝐵1 | |𝐵1 | 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵1 ∩ 𝐵2 ) |{𝐻𝐻𝑇}| 𝑃 𝐴 𝐵1 , 𝐵2 = 𝑃 𝐴 𝐵1 ∩ 𝐵2 = = = 𝑃(𝐵1 ∩ 𝐵2 ) |{𝐻𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝑇}| 𝑃(𝐶 ∩ 𝐵1 ∩ 𝐵2 ) |{𝐻𝐻𝑇, 𝐻𝐻𝐻}| 𝑃 𝐶 𝐵1 , 𝐵2 = 𝑃 𝐶 𝐵1 ∩ 𝐵2 = = =1 𝑃(𝐵1 ∩ 𝐵2 ) |{𝐻𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝑇}| CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xác suất có điều kiện Ví dụ • Chọn ngẫu nhiên bóng đèn Kiểu dáng Đạt Độ sáng Không đạt Đạt Không đạt 117 125 • 𝐴: “bóng đèn chọn thỏa tiêu chí kiểu dáng” • 𝐵: “bóng đèn chọn thỏa tiêu chí độ sáng” 125 120 117 𝑃 𝐴 = ;𝑃 𝐵 = ;𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 130 130 130 𝑃 𝐴∩𝐵 117/130 117 117 𝑃 𝐴|𝐵 = = = từ bảng ta có 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃(𝐵) 120/130 120 120 120 10 130 𝑃 𝐵∩𝐴 117/130 117 117 𝑃 𝐵|𝐴 = = = từ bảng ta có 𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃(𝐴) 125/130 125 125 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xác suất có điều kiện Ví dụ • Một hộp gồm bi trắng bi đỏ Lần lượt bốc viên khơng hồn lại Tính xác suất “lần hai bốc bi đỏ” biết “lần bốc bi trắng”? • Cách giải thông thường: Không gian mẫu chỉnh hợp chọn từ 10 bi Gọi 𝐴, 𝐵 biến cố “lần hai bốc bi đỏ”, “lần bốc bi trắng” Ta có: 𝑃81 × 𝑃91 8×9 𝑃81 × 𝑃21 8×2 𝑃 𝐵 = = ;𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = = 2 10 × 10 × 𝑃10 𝑃10 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) × 2 𝑃 𝐴|𝐵 = = = 𝑃(𝐵) 8×9 • Cách giải vi diệu ☺: Khi lần bốc bi trắng hộp bi trắng bi đỏ Do xác suất để lần hai bốc bi đỏ là: 𝑃 𝐴|𝐵 = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cơng thức nhân xác suất • Cơng thức nhân xác suất (multiplication rule): • 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 • 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐵 > 𝑃 𝐴 > • Trong nhiều trường hợp, xác suất có điều kiện 𝑃 𝐴 𝐵 dễ tính 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) • Cơng thức nhân tổng qt: giả sử có 𝑛 biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 với 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛−1 > 0, ta có: 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐴2 𝐴1 × 𝑃 𝐴3 𝐴1 ∩ 𝐴2 × ⋯ × 𝑃(𝐴𝑛 |𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛−1 ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cơng thức nhân xác suất Ví dụ • Một hộp gồm bi trắng bi đỏ Lần lượt bốc viên khơng hồn lại Tính xác suất “lần lần hai bốc bi trắng lần ba bốc bi đỏ”? • Gọi 𝐴𝑖 biến cố “lần thứ 𝑖 bốc bi trắng” (Khi 𝐴𝑐𝑖 biến cố “lần thứ 𝑖 bốc bi đỏ”.) Ta có: 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴𝑐3 = 𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐴2 𝐴1 × 𝑃 𝐴𝑐3 𝐴1 ∩ 𝐴2 7 = × × = 10 45 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công thức xác suất tồn phần • 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 gọi họ đầy đủ biến cố (hay phân hoạch) Ω nếu: • 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗 • Ω = 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ ⋯ ∪ 𝐵𝑛 • Cơng thức xác suất toàn phần (law of total probability): giả sử có phân hoạch 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 với 𝑃 𝐵𝑖𝑛 > 0, ta có: 𝑃 𝐴 = ( ) ì (| ) c bit: =1 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 × 𝑃 𝐴 𝐵 + 𝑃(𝐵𝑐 ) × 𝑃 𝐴 𝐵𝑐 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cơng thức xác suất tồn phần Ví dụ • Một hộp gồm bi trắng bi đỏ Lần lượt bốc viên khơng hồn lại Tính xác suất “lần hai bốc bi đỏ”? • Gọi 𝐴𝑖 biến cố “lần thứ 𝑖 bốc bi trắng” (Khi 𝐴𝑐𝑖 biến cố “lần thứ 𝑖 bốc bi đỏ”.) Ta có: 𝑃 𝐴𝑐2 = 𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐴𝑐2 𝐴1 + 𝑃 𝐴1𝑐 × 𝑃 𝐴𝑐2 𝐴1𝑐 2 18 = × + × = = 10 10 90 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý Bayes • Giả sử bạn xét nghiệm bệnh nan y kết dương tính (positive) • Biết rằng: • Độ nhạy (sensitive) xét nghiệm 90%: nghĩa là, 100 người bị bệnh khoảng 90 người cho kết xét nghiệm dương tính • Độ đặc hiệu (specificity) xét nghiệm 95%: nghĩa là, 100 người khơng bệnh khoảng 95 người cho kết xét nghiệm âm tính • Độ phổ biến (prevalence) bệnh 1/10000: nghĩa là, 10000 người có khoảng người bị bệnh • Vậy bạn có nên lo chuẩn bị hậu khơng? ☺ • Trước xét nghiệm: xác suất bạn bị bệnh 1/10000 • Sau xét nghiệm: kết dương tính, xác suất bạn bị bệnh tăng 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý Bayes • Định lý Bayes (Bayes’ theorem): giả sử có phân hoạch 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 với 𝑃 𝐵𝑖 > 0, có biến cố 𝐴 với 𝑃 𝐴 > Khi đó, với 𝑖 = 1, … , 𝑛 ta cú: ( ) ì (| ) 𝑃(𝐵𝑖 ) × 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) 𝑃 𝐵𝑖 |𝐴 = = 𝑛 σ𝑗=1 𝑃(𝐵𝑗 ) × 𝑃(𝐴|𝐵𝑗 ) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵𝑖 ): xác suất tiên nghiệm (prior probability) 𝐵𝑖 𝑃(𝐵𝑖 |𝐴): xác suất hậu nghiệm (posterior probability) 𝐵𝑖 biết 𝐴 𝑃 𝐴|𝐵𝑖 : xác suất hợp lý (likelihood) 𝐴 theo 𝐵𝑖 Lưu ý, 𝑃(𝐴) không phụ thuộc vào 𝐵𝑖 nên ta có: 𝑃 𝐵𝑖 |𝐴 ∝ 𝑃 𝐵𝑖 × 𝑃 𝐴 𝐵𝑖 (kí hiệu ∝ “tỉ lệ với”) 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý Bayes Ví dụ • Trong thí nghiệm xét nghiệm Đặt biến cố: • 𝐵: bạn bị bệnh • 𝐴: bạn xét nghiệm dương tính • Ta có: • 𝑃 𝐴 𝐵 = 0.9 • 𝑃 𝐴𝑐 𝐵𝑐 = 0.95 ⟹ 𝑃 𝐴 𝐵𝑐 = − 𝑃 𝐴𝑐 𝐵𝑐 = 0.05 • 𝑃 𝐵 = 1/10000 = 0.0001 ⟹ 𝑃 𝐵𝑐 = − 𝑃 𝐵 = 0.9999 • Áp dụng định lý Bayses ta có: 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴|𝐵) 0.0001 × 0.9 𝑃 𝐵|𝐴 = = 𝑐 𝑐 𝑃 𝐵 × 𝑃 𝐴 𝐵 + 𝑃(𝐵 ) × 𝑃(𝐴|𝐵 ) 0.0001 × 0.9 + 0.9999 × 0.05 ≈ 0.0018 = 18/10000 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý Bayes Tính xác suất hậu nghiệm qua nhiều giai đoạn • Nếu thí nghiệm tiến hành qua nhiều giai đoạn xác suất hậu nghiệm giai đoạn trước xác suất tiên nghiệm giai đoạn • Ví dụ: giả sử, để ăn, bạn xét nghiệm lần dương tính • Trước xét nghiệm: xác suất bạn bị bệnh 1/10000 • Sau xét nghiệm lần 1: kết dương tính, xác suất bạn bị bệnh 18/10000 • Sau xét nghiệm lần 2: kết dương tính, xác suất bạn bị bệnh tăng • Ta có: 𝑃 𝐵 = 18/10000 = 0.0018 ⟹ 𝑃 𝐵𝑐 = − 𝑃 𝐵 = 0.9982 • Áp dụng định lý Bayses ta có: 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴|𝐵) 0.0018 × 0.9 𝑃 𝐵|𝐴 = = 𝑐 𝑐 𝑃 𝐵 × 𝑃 𝐴 𝐵 + 𝑃(𝐵 ) × 𝑃(𝐴|𝐵 ) 0.0018 × 0.9 + 0.9982 × 0.05 ≈ 0.0314 = 314/10000 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến cố độc lập • Tung ngẫu nhiên đồng xu đồng chất lần, Ω = {𝐻𝐻, 𝐻𝑇, 𝑇𝐻, 𝑇𝑇}: • Làm hình thức hóa trực quan “lần hai ngẫu nhiên so với lần một” hay “lần hai không phụ thuộc (về xác suất) lần một” hay “lần hai độc lập (về xác suất) lần một”? • Đặt 𝐴𝑖 biến cố “tung mặt ngửa lần 𝑖 = 1, 2” • 𝐴1 = 𝐻𝐻, 𝐻𝑇 ; 𝐴2 = 𝐻𝐻, 𝑇𝐻 ; 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝐻𝐻 Ta có: |𝐴1 | |𝐴2 | |𝐴1 ∩ 𝐴2 | 𝑃 𝐴1 = = ; 𝑃 𝐴2 = = ; 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = = |Ω| |Ω| |Ω| • Do ta có: 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) 1/4 𝑃 𝐴2 𝐴1 = = = = 𝑃(𝐴2 ) 𝑃(𝐴1 ) 1/2 • Tương tự ta có: 𝑃 𝐴2 𝐴1𝑐 = 𝑃 𝐴2 (hoặc suy từ 𝑃 𝐴2 𝐴1 = 𝑃(𝐴2 )) • Cũng suy được: 𝑃 𝐴𝑐2 𝐴1 = 𝑃 𝐴𝑐2 𝑃 𝐴𝑐2 𝐴1𝑐 = 𝑃 𝐴𝑐2 • Vậy xác suất mặt lần hai không thay đổi dù mặt lần 17 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến cố độc lập • Hai biến cố {𝐴, 𝐵} gọi độc lập (independent) với nếu: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) Một cách tương đương: 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴 (nếu 𝑃 𝐵 > 0) hay: 𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃 𝐵 (nếu 𝑃 𝐴 > 0) • Định lý: {𝐴, 𝐵} độc lập cặp biến cố 𝐴𝑐 , 𝐵 , 𝐴, 𝐵𝑐 , {𝐴𝑐 , 𝐵𝑐 } độc lập • Ví dụ tung xúc xắc ta có: 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = = 𝑃(𝐴1 ) × 𝑃(𝐴2 ) {𝐴1 , 𝐴2 } độc lập Từ ta có {𝐴1𝑐 , 𝐴2 } {𝐴1 , 𝐴𝑐2 } {𝐴1𝑐 , 𝐴𝑐2 } độc lập 18 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến cố độc lập Ví dụ • Gieo xúc xắc đồng chất, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: • • • • Đặt biến cố “gieo mặt chẵn”: 𝐴 = {2, 4, 6} Đặt biến cố “gieo mặt không 4”: 𝐵 = 1, 2, 3, Đặt biến cố “gieo mặt không 3”: 𝐶 = 1, 2, Ta có: 𝑃 𝐴∩𝐵 = =𝑃 𝐴 ×𝑃 𝐵 = × 6 3 𝑃 𝐴∩𝐶 = ≠𝑃 𝐴 ×𝑃 𝐶 = ì 6 Vy {, } c lập {𝐴, 𝐶} khơng độc lập Giải thích trực quan? 19 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến cố độc lập • Ba biến cố {𝐴, 𝐵, 𝐶} gọi độc lập (với nhau) đôi 𝐴, 𝐵 , 𝐴, 𝐶 , {𝐵, 𝐶} độc lập và: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = () ì () ì () Vớ dụ, tung ngẫu nhiên đồng xu đồng chất lần, Ω = {𝐻𝐻, 𝐻𝑇, 𝑇𝐻, 𝑇𝑇}: • • • • Đặt biến cố “tung mặt ngửa lần một”: 𝐴 = {𝐻𝐻, 𝐻𝑇} Đặt biến cố “tung mặt ngửa lần hai”: 𝐵 = 𝐻𝐻, 𝑇𝐻 Đặt biến cố “tung mặt giống hai lần”: 𝐶 = 𝐻𝐻, 𝑇𝑇 Hãy cho thấy biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 độc lập đôi khơng độc lập với Giải thích trực quan? 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mơ hình xác suất “lặp lại thí nghiệm độc lập” • Họ biến cố {𝐴1 , 𝐴2 , … } gọi độc lập với tập khác rỗng, hữu hạn {𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑘 } họ, ta có: 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ ⋯ ∩ 𝐵𝑘 = 𝑃 𝐵1 × 𝑃 𝐵2 × ⋯ × 𝑃(𝐵𝑘 ) • Lưu ý: định nghĩa tính độc lập dùng theo hai chiều • Chiều ngược: dùng thấy (hay kiểm tra, chứng minh) tính độc lập • Chiều xi: dùng giả thuyết tính độc lập để tính tốn xác suất đơn giản • Chẳng hạn, chiều xi, dùng mơ hình xác suất “lặp lại thí nghiệm độc lập”: thực lặp lại thí nghiệm 𝑇 nhiều lần cách độc lập, gọi 𝐴𝑖 biến cố “liên quan đến lần thực thứ 𝑖” thì: 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐴2 × ⋯ × 𝑃(𝐴𝑛 ) 21 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mơ hình xác suất “lặp lại thí nghiệm độc lập” Ví dụ • Một đồng xu khơng đồng chất với xác suất ngửa 0.7 Tung đồng xu (một cách độc lập) đến mặt sấp dừng Tính xác suất phải tung đồng xu 10 lần? • Đặt 𝐴𝑖 biến cố tung mặt ngửa lần thứ 𝑖 (𝑖 = 1, 2, … ) • Ta có: 𝑃 𝐴𝑖 = 0.7 𝑃 𝐴𝑐𝑖 = − 0.7 = 0.3 với 𝑖 = 1, 2, … • Theo giả thuyết độc lập ta có: họ {𝐴1 , 𝐴2 , … } độc lập • Từ ta có xác suất phải tung đồng xu 10 lần là: 𝑐 𝑐 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴9 ∩ 𝐴10 = 𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐴2 × ⋯ × 𝑃 𝐴9 × 10 = 0.79 ì 0.3 = 0.0121 Lu ý: không gian mẫu vô hạn Ω = {𝑇, 𝐻𝑇, 𝐻𝐻𝑇, 𝐻𝐻𝐻𝑇, … } 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Độc lập có điều kiện • Cho biến cố 𝐶 với 𝑃 𝐶 > 0, họ biến cố {𝐴1 , 𝐴2 , … } gọi độc lập có điều kiện (conditionally independent) biết 𝐶, với tập khác rỗng, hữu hạn {𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑘 } họ, ta có: 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ ⋯ ∩ 𝐵𝑘 |𝐶 = 𝑃 𝐵1 |𝐶 × 𝑃 𝐵2 |𝐶 × ⋯ × 𝑃(𝐵𝑘 |𝐶) • Hai biến cố {𝐴, 𝐵} gọi độc lập có điều kiện biết 𝐶 nếu: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵|𝐶 = 𝑃(𝐴|𝐶) × 𝑃(𝐵|𝐶) Một cách tương đương: 𝑃 𝐴|𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴|𝐶 (nếu 𝑃 𝐵|𝐶 > 0) hay: 𝑃 𝐵|𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐵|𝐶 (nếu 𝑃 𝐴|𝐶 > 0) 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Độc lập có điều kiện Ví dụ • Gieo xúc xắc đồng chất, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: • • • • • • Đặt biến cố “gieo mặt chẵn”: 𝐴 = {2, 4, 6} Đặt biến cố “gieo mặt không 4”: 𝐵 = 1, 2, 3, Đặt biến cố “gieo mặt không 3”: 𝐶 = 1, 2, Đặt biến cố “gieo mặt không 2”: 𝐷 = 1, Ta biết {𝐴, 𝐵} độc lập {𝐴, 𝐶} không độc lập Ta có 𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) 1/6 𝑃 𝐴|𝐷 = = = 𝑃(𝐷) 2/6 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) 1/6 𝑃 𝐴|𝐶 ∩ 𝐷 = = = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷) 2/6 • Vậy {𝐴, 𝐶} độc lập có điều kiện biết 𝐷 Giải thích trực quan? 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... 1, 2 •