Bài giảng Thống kê máy tính và ứng dụng: Bài 5 - Vũ Quốc Hoàng

Bài giảng Thống kê máy tính và ứng dụng - Bài 5: Một số phân phối xác suất cung cấp cho người học các kiến thức: Phân phối siêu bội, phân phối nhị thức, phân phối nhị thức âm và phân phối hình học, phân phối nhị thức âm và phân phối hình học,... Mời các bạn cùng tham khảo.

THỐNG KÊ MÁY TÍNH & ỨNG DỤNG Bài MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Vũ Quốc Hoàng (vqhoang@fit.hcmus.edu.vn) FIT-HCMUS, 2018 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung • Phân phối Bernoulli • Phân phối nhị thức • Phân phối siêu bội • Phân phối nhị thức âm phân phối hình học • Phân phối Poisson • Phân phối (liên tục) • Phân phối chuẩn • Phân phối mũ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối Bernoulli • B.n.n rời rạc 𝑋 gọi có phân phối Bernoulli (Bernoulli distribution) với tham số 𝑝 ≤ 𝑝 ≤ , kí hiệu 𝑋 ∼ Bernoulli(𝑝), 𝑋 có tập giá trị 0, với xác suất 𝑃 𝑋 = = 𝑝 𝑃 𝑋 = = − 𝑝 • Khi đó, 𝑋 có kì vọng phương sai 𝐸 𝑋 = 𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝(1 − 𝑝) • Ví dụ: • Xét thí nghiệm tung đồng xu đồng chất, gọi 𝑋 b.n.n “số lần ngửa”, 𝑋 ∼ Bernoulli(0.5) • Xét thí nghiệm 𝑇 với biến cố 𝐴 có 𝑃 𝐴 = 𝑝, 𝐼𝐴 ∼ Bernoulli(𝑝) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối nhị thức • B.n.n rời rạc 𝑋 gọi có phân phối nhị thức (binomial distribution) với tham số 𝑛 𝑛 > , 𝑝 (0 ≤ 𝑝 ≤ 1), kí hiệu 𝑋 ∼ 𝐵 𝑛, 𝑝 , 𝑋 có tập giá trị 0, 1, … , 𝑛 với xác suất 𝑓 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 • Đặt 𝑞 = − 𝑝, ta có 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) • Nếu 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 b.n.n độc lập, có phân phối Bernoulli(𝑝) 𝑋 = σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑋 ∼ 𝐵 𝑛, 𝑝 • Nếu 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 b.n.n độc lập, 𝑋𝑖 ∼ 𝐵 𝑛𝑖 , 𝑝 𝑋 = σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑋 ∼ 𝐵 σ𝑛𝑖=1 𝑛𝑖 , 𝑝 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối nhị thức Ví dụ • Xét thí nghiệm 𝑇 với biến cố 𝐴 có 𝑃 𝐴 = 𝑝 Xét thí nghiệm 𝑅 “thực 𝑇 lặp lại 𝑛 lần độc lập”, gọi 𝑋 b.n.n “số lần 𝐴 xảy ra” 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝) • Đề thi gồm 50 câu trắc nghiệm, câu trắc nghiệm chọn lựa chọn Chọn đáp án ngẫu nhiên cho câu, gọi 𝑋 b.n.n “số câu đúng” 𝑋 ∼ 𝐵(50, 1/4) Khi đó: 25 • Xác suất điểm là: 𝑃 𝑋 = 25 = 𝐶50 (1/4)25 (3/4)25 = 8.45 × 10−5 • Xác suất điểm ≤ là: 10 𝑃 𝑋 ≤ 10 = ෍ • Xác suất điểm ≥ là: 50 𝑃 𝑋 ≥ 40 = ෍ 𝑥=0 𝑥 𝐶50 (1/4)𝑥 (3/4)50−𝑥 = 5.2 × 10−16 𝑥=40 • Kì vọng điểm đạt là: 𝐸 CuuDuongThanCong.com 𝑥 𝐶50 (1/4)𝑥 (3/4)50−𝑥 = 0.26 10 𝑋 50 = 10 𝐸 50 𝑋 = 10 × 50 50 × = 2.5 https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối nhị thức Ví dụ • Trong tổng thể 𝑁 phần tử có 𝐾 phần tử có tính chất 𝑃, xét thí nghiệm “chọn ngẫu nhiên mẫu 𝑛 phần tử có hoàn lại từ tổng thể”, gọi 𝑋 b.n.n “số phần tử có tính chất 𝑃 mẫu” 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝) với 𝐾 𝑝= 𝑁 • Trong hộp có 10 bi đỏ 20 bi đen Bốc ngẫu nhiên 10 viên có hồn lại Gọi 𝑋 b.n.n “số bi đỏ bốc được” 𝑋 ∼ 𝐵(10, 1/3) Khi đó: • Xác suất bốc bi đỏ là: 𝑃 𝑋=𝑘=5 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = 𝐶10 5 = 0.1365 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối siêu bội • B.n.n rời rạc 𝑋 gọi có phân phối siêu bội (hypergeometric distribution) với tham số 𝑛, 𝑁, 𝐾 ≤ 𝐾 ≤ 𝑁, ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 , kí hiệu 𝑋 ∼ Hypergeometric 𝑛, 𝑁, 𝐾 , 𝑋 có tập giá trị ሼmax(0, 𝑛 + 𝐾 − 𝑁), … , min(𝑛, 𝐾)ሽ với xác suất 𝑛−𝑘 𝐶𝐾𝑘 𝐶𝑁−𝐾 𝑓 𝑘 =𝑃 𝑋=𝑘 = 𝐶𝑁𝑛 • Đặt 𝑝 = 𝐾 ,𝑞 𝑁 =1−𝑝 = 𝑁−𝐾 , 𝑁 ta có 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = (𝑁−𝑛) 𝑛𝑝𝑞 (𝑁−1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối siêu bội Ví dụ • Trong tổng thể 𝑁 phần tử có 𝐾 phần tử có tính chất 𝑃, xét thí nghiệm “chọn ngẫu nhiên mẫu 𝑛 phần tử khơng hồn lại từ tổng thể”, gọi 𝑋 b.n.n “số phần tử có tính chất 𝑃 mẫu” 𝑋 ∼ Hypergeometric(𝑛, 𝑁, 𝐾) • Trong hộp có 10 bi đỏ 20 bi đen Bốc ngẫu nhiên 10 viên khơng hồn lại Gọi 𝑋 b.n.n “số bi đỏ bốc được” 𝑋 ∼ Hypergeometric(10, 30, 10) Khi đó: • Xác suất bốc bi đỏ là: 𝑛−𝑘 10−5 5 𝐶𝐾𝑘 𝐶𝑁−𝐾 𝐶10 𝐶30−10 𝐶10 𝐶20 𝑃 𝑋=𝑘=5 = = = = 0.13 𝑛 10 10 𝐶𝑁 𝐶30 𝐶30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối nhị thức âm phân phối hình học • B.n.n rời rạc 𝑋 gọi có phân phối nhị thức âm (negative binomial distribution) với tham số 𝑟 𝑟 > , 𝑝 (0 < 𝑝 < 1), kí hiệu 𝑋 ∼ 𝑁𝐵 𝑟, 𝑝 , 𝑋 có tập giá trị 0, 1, 2, … với xác suất 𝑘 𝑓 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑟+𝑘−1 𝑝𝑟 (1 − 𝑝)𝑘 • Khi đó, 𝑋 có kì vọng phương sai 𝐸 𝑋 = 𝑟(1−𝑝) 𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑟(1−𝑝) 𝑝2 • Xét thí nghiệm 𝑇 với biến cố 𝐴 có 𝑃 𝐴 = 𝑝 Xét thí nghiệm 𝑅 “thực 𝑇 lặp lại độc lập có 𝑟 lần 𝐴 xảy dừng”, gọi 𝑋 b.n.n “số lần 𝐴 khơng xảy ra” 𝑋 ∼ 𝑁𝐵(𝑟, 𝑝) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối nhị thức âm phân phối hình học • Nếu 𝑋 ∼ 𝑁𝐵 1, 𝑝 𝑋 gọi có phân phối hình học (geometric distribution) với tham số 𝑝 (0 < 𝑝 < 1) Khi 𝑋 có tập giá trị 0, 1, 2, … với xác suất 𝑓 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑝(1 − 𝑝)𝑘 • Khi đó, 𝑋 có kì vọng phương sai 𝐸 𝑋 = 1−𝑝 𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 1−𝑝 𝑝2 • Xét thí nghiệm 𝑇 với biến cố 𝐴 có 𝑃 𝐴 = 𝑝 Xét thí nghiệm 𝑅 “thực 𝑇 lặp lại độc lập 𝐴 xảy dừng”, gọi 𝑋 b.n.n “số lần 𝐴 khơng xảy ra” 𝑋 ∼ 𝑁𝐵(1, 𝑝) 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối nhị thức âm phân phối hình học Ví dụ • Xét thí nghiệm bắn đạn vào bia trúng dừng Giả sử lần bắn độc lập với xác suất trúng 1/20, gọi 𝑋 b.n.n “số viên đạn trật” 𝑋 ∼ 𝑁𝐵(1, 0.05) Khi đó: • Xác suất bắn trật viên đạn là: 𝑃 𝑋 = = 0.05(1 − 0.05)5 = 0.0387 • Xác suất dùng ≤ viên đạn là: 𝑃 𝑋≤4 =෍ 0.05(1 − 0.05)𝑥 = 0.2262 𝑥=0 • Xác suất dung nhiều 100 viên đạn là: 99 𝑃 𝑋 > 99 = − 𝑃 𝑋 ≤ 99 = − ෍ 0.05(1 − 0.05)𝑥 = 0.0059 𝑥=0 • Số viên đạn trung bình: 𝐸 𝑋 + = 𝐸 𝑋 + = 1−0.05 0.05 = 20 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối Poisson • B.n.n rời rạc 𝑋 gọi có phân phối Poisson (Poisson distribution) với tham số 𝜆 𝜆 > , kí hiệu 𝑋 ∼ 𝑃 𝜆 , 𝑋 có tập giá trị 0, 1, 2, … với xác suất 𝑘 𝜆 𝑓 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑒 −𝜆 𝑘! • Khi đó, 𝑋 có kì vọng phương sai 𝐸 𝑋 = 𝜆 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜆 • Nếu 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 b.n.n độc lập, 𝑋𝑖 ∼ 𝑃 𝜆𝑖 𝑋 = σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑋 ∼ 𝑃 σ𝑛𝑖=1 𝜆𝑖 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối Poisson • Cho 𝑋 ~ 𝐵(𝑛, 𝑝), 𝑛 lớn, 𝑝 nhỏ phân phối 𝑋 “xấp xỉ” phân phối Poisson với tham số 𝜆 = 𝑛𝑝, tức 𝑘 𝜆 𝑃 𝑋 = 𝑘 ≈ 𝑒 −𝜆 𝑘! • Ví dụ: lượng khách đến tiệm có tỉ lệ trung bình 4.5 khách Gọi 𝑋 số lượng khách đến giờ, xác định phân phối 𝑋 • Giả sử khoảng thời gian giây có tối đa khách đến với xác suất tỉ lệ khách đến giây, tức 4.5/3600 = 0.00125 Giả sử lượng khách đến khoảng thời gian độc lập 𝑋 ~ 𝐵(𝑛, 𝑝) với 𝑛 = 3600, 𝑝 = 0.00125 • 𝑋 có phân phối Poisson với tham số 𝜆 = 𝑛𝑝 = 4.5 • Xác suất tiệm vắng khách 𝑘 𝜆 4.5 𝑃 𝑋 = = 𝑘 = 𝑒 −𝜆 = 𝑒 −4.5 = 0.0111 𝑘! 0! 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối (liên tục) • B.n.n liên tục 𝑋 gọi có phân phối (uniform distribution) với tham số 𝑎, 𝑏 (𝑎 < 𝑏), kí hiệu 𝑋 ∼ 𝑈 𝑎, 𝑏 , 𝑋 có tập giá trị [𝑎, 𝑏] với hàm mật độ xác suất 𝑓 𝑥 = ቐ𝑏 − 𝑎 với 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 khác • Khi đó, 𝑋 có kì vọng phương sai 𝑎+𝑏 (𝑏−𝑎)2 12 𝐸 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = • Gọi 𝑋 kết thí nghiệm “chọn ngẫu nhiên điểm khoảng [𝑎, 𝑏]” 𝑋 ∼ 𝑈 𝑎, 𝑏 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối chuẩn • B.n.n liên tục 𝑋 gọi có phân phối chuẩn (normal distribution) với trung bình 𝜇 phương sai 𝜎 (𝜎 > 0), kí hiệu 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎 ) 𝑋 có hàm mật độ xác suất: (𝑥−𝜇) − 𝑓 𝑥; 𝜇, 𝜎 = 𝑒 2𝜎2 , 𝑥 ∈ ℝ 𝜎 2𝜋 • Trường hợp 𝑍 ~ 𝑁(0, 1) 𝑍 gọi có phân phối chuẩn tắc (standard normal distribution) Khi 𝑍 có hàm mật độ xác suất: −𝑧 𝑓 𝑧 = 𝑒 ,𝑧 ∈ ℝ 2𝜋 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối chuẩn Hàm mật độ 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối chuẩn Các tính chất • 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎 ) 𝐸 𝑋 = 𝜇 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 • 𝑍 ~ 𝑁(0, 1) 𝐸 𝑍 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍 = • Nếu 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎 ) 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0) 𝑌 ~ 𝑁(𝑎𝜇 + 𝑏, 𝑎2 𝜎 ) • Nếu 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎 ) 𝑍 = 𝑋−𝜇 𝜎 𝑍 ~ 𝑁(0, 1) • Nếu 𝑋1 ~ 𝑁 𝜇1 , 𝜎12 , 𝑋2 ~ 𝑁 𝜇2 , 𝜎22 𝑋1 , 𝑋2 độc lập 𝑋1 + 𝑋2 ~ 𝑁 𝜇1 + 𝜇2 , 𝜎12 + 𝜎22 17 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối chuẩn Hàm phân phối tích lũy hàm phân vị • Hàm phân phối tích lũy b.n.n chuẩn tắc 𝑍 ~ 𝑁(0, 1) 𝑧 −𝑡 Φ 𝑧 = 𝐹𝑍 𝑧 = 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = න 𝑒 𝑑𝑡 −∞ 2𝜋 • Do tính đối xứng 𝑓𝑧 nên với 𝑧 < 𝑝 < ta có: Φ −𝑧 = − Φ(𝑧) Φ−1 𝑝 = −Φ−1 − 𝑝 • Φ = 0.5, Φ−1 0.5 = Với 𝑎 ≥ ta có 𝑃 −𝑎 ≤ 𝑍 ≤ 𝑎 = 2Φ 𝑎 − Φ(𝑧) 𝑓(𝑧) −𝑧 𝑧 CuuDuongThanCong.com Φ−1 (𝑝) 𝑝 = Φ(𝑧) −𝑧 𝑧 18 https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối chuẩn Ví dụ • Cho b.n.n 𝑍 ~ 𝑁(0, 1), ta có: • 𝑃 𝑍 ≤ 0.6 = Φ 0.6 = 0.7257 • 𝑃 𝑍 ≤ −0.6 = − Φ 0.6 = 0.2743 • 𝑃 0.6 ≤ 𝑍 ≤ 1.2 = 𝑃 𝑍 ≤ 1.2 − 𝑃 𝑍 < 0.6 = Φ 1.2 − Φ 0.6 = 0.8849 − 0.7257 • Xác định 𝑧 để 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 0.56 𝑧 = Φ−1 0.56 = 0.15 • Xác định 𝑧 để 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 0.44 𝑧 = −Φ−1 − 0.44 = −Φ−1 0.56 = −0.15 19 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối chuẩn Chuẩn tắc hóa 𝑁(𝜇, 𝜎 ) • Ta biết 𝑋 ~ hóa 𝑋 thành 𝑍 cách đặt 𝑍 = 𝑋−𝜇 𝜎 ta chuẩn tắc 𝑍 ~ 𝑁 0, • Khi với số thực 𝑎 ta có: 𝑋−𝜇 𝑎−𝜇 𝑎−𝜇 𝑎−𝜇 𝑃 𝑋≤𝑎 =𝑃 ≤ =𝑃 𝑍≤ =Φ 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 • Tương tự với 𝑎 ≤ 𝑏 ta có: 𝑏−𝜇 𝑎−𝜇 𝑃 𝑎≤𝑋≤𝑏 =Φ −Φ 𝜎 𝜎 • Lưu ý, 𝑋 b.n.n liên tục nên 𝑃 𝑋 = 𝑎 = 0, 𝑃 𝑋 < 𝑎 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân phối chuẩn Ví dụ • Xét thí nghiệm bắt cá hồ, gọi 𝑋 chiều dài cá bắt Giả sử 𝑋 có phân phối chuẩn với trung bình 𝜇 = 16cm độ lệch chuẩn 𝜎 = 4cm 𝑋−𝜇 𝑋−16 Chuẩn tắc hóa 𝑍 = = 𝜎 • Xác suất bắt cá nhỏ 10cm 10 − 16 𝑃 𝑋 24 = − 𝑃 𝑋 ≤ 24 = − 𝑃 𝑍 ≤ = − Φ = 0.0228 • 10% cá nhỏ hồ có chiều dài ≤ 𝑎 bao nhiêu? 𝑎 − 16 𝑃 𝑋≤𝑎 =𝑃 𝑍≤ = 0.1 𝑎 − 16 ⟹ = Φ−1 0.1 = −Φ−1 0.9 = −1.2816 ⟹ 𝑎 = 10.87cm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 21 Phân phối mũ • B.n.n liên tục 𝑋 gọi có phân phối mũ (exponential distribution) với tham số 𝜆 (𝜆 > 0), kí hiệu 𝑋 ~ Exponential(𝜆) 𝑋 có hàm mật độ xác suất: −𝜆𝑥 𝜆𝑒 𝑥≥0 𝑓 𝑥; 𝜆 = ቊ 𝑥