Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập- tự – hạnh phúc
ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN
Thời gian: 150 phút Bài 1:( điểm)
Cho biểu thức M =
1
6
3
x x x
x x
:
2 10
2
x x x
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị M x = Bài 2:(4 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 – 5x2 + 8x –
b) x11 x7 1
c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 d )(x2+x+1)(x2+x + ) –12 Bài 3 : (4điểm )
a)Cho hai số thực x, y thoả mãn x3 3xy2 10
vaø y3 3x y2 30
Tính giá trị biểu thức P = x2 y2
.
b) Chứng minh :Nếu 1 1 2
a b c vaø a + b + c = abc thì
2 2
1 1 1
2 a b c Bài 5) (6 điểm)
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB AC E F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF
c) Chứng minh S2
FDC 16 SAMC.SFNA Bài 6) ( điểm)
Chứng minh
b c a b c a a c c b b a
2
2 2 2
với số a, b, c khác 0.
(2)Bài 1: a) Rút gọn M
M=
1
6
3
x x x
x x
:
2 10
2
x x
x =
1 ) (
6 )
2 )( (
2
x x
x x x
x
:
x
M = 62
) )( (
6
x
x
x = 2 x
1
( điểm) b)Tính giá trị M x =
2 x =
2
x =
x = -2
Với x =
ta có : M = 2
1
=
2
=
Với x = -
ta có : M = 2
1
=
2
=
( điểm) Bài 2:
a) ) x3- 5x2 + 8x - = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x –
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
= ( x – ) ( x – ) 2 ( điểm)
b) x11 x7 1
= (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +
(x2+x+1)
= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm)
c) Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) =
(b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm)
d) đặt y= x2 +x +1 suy x2 + x+ 2= y+1 ta :M =y(y+1) – 12
=y2+y –12 =y2-3y +4y –12
=(y-3)(y +4)
Thay y =x2 +x +1 Ta :M =(9x2+x –2 )(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5) (1ñiểm)
Bài 3:
a) Ta coù: x3 3xy2 10 => x3 3xy22 100 => x6 6x y4 9x y2 100 vaø y3 3x y2 30
=> y3 3x y2 2 900 => y6 6x y2 49x y4 900 Suy ra: x6 3x y4 3x y2 y6 1000
=> x2y23 1000 x2y2 10 ( điểm )
b) Ta coù : (1 1)2 4
a b c
2 2
1 1 1
4 2.( )
a b c ab bc ca
ù 2
1 1
4 2.a b c
a b c abc
(3)N
E
D M C
A
B F
Vì a+b+c = abc nên ta có : 2
1 1
a b c ( điểm) Bài :
a : Lý luận : DF DC
AM MC ( Do AM//DF) (1) DE BD
AM BM ( Do AM // DE) (2) Từ (1) (2) DE DF BD DC BC
AM BM BM
( MB = MC) DE
+ DF = AM ( 2,25điểm) b: AMDN hình bành hành
Ta có NE AE ND AB NF FA DM DM AE
ND AC MC BM AB NE NF
ND ND => NE = NF ( 2.25 điểm) c: AMC FDC đồng dạng
2
AMC FDC
S AM S FD
FNA FDC đồng dạng
2
FNA FDC
S NA S FD
2
AMC FDC
S ND S FD
2
FNA FDC
S DM S DC
AMC FNA
FDC FDC
S S S S
2
ND FD
2
DM DC
4
1 16
ND DM FD DC
S2 FDC
16 SAMC.SFNA ( Do
0
x y x y 2 4xy
x y 416x y2 với x 0; y 0) ( 1.5 điểm)
Bài 6:
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có: c
a c a c
b b a c
b b
a 2 . 2
2 2 2
2 2
Tương tự:
a b a c c
b
2 2
b c b a a
c
2 2