Các bài toán dãy tỷ số bằng nhau có lời giải chi tiết

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.. Phương pháp 4[r]

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC – DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết 1.Tìm số hạng chưa biết

a) Phương pháp: áp dụng tính chất tỉ lệ thức Nếu a c a d b c a b c ;b a d ;c a d

b  d    d  c  b

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ biết

b) Bài tập:

Bài tập 1: tìm x tỉ lệ thức sau - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

 

9,36 0.52.16,38 0,52.16,38

0,91 9,36

x x

 



  



* Lưu ý: Học sinh tìm x cách xem x số chia, ta nâng mức độ khó sau :

a) :2 :3 3x

  

 

 

b) 0, :11 2: 6 7 5 x Bài tập 2: Tìm x biết: 60

15 x

x    Giải :

2 2

60

15 60

15

900 30

x

x.x ( ).( )

x

x x

Suy x = 30 x = - 30

* Lưu ý: Ta thấy tỉ lệ thức có số hạng chưa biết số hạng giống nên ta đưa luỹ thừa bậc hai nâng cao tỉ lệ thức

1 60 15 x

x   

  ;

1

7

x

x

 

Bài tập 3: Tìm x tỉ lệ thức

5

x x

 

 Cách 1: ta có:

3

7 5

5

7 21 25 12 46

23 x

( x ) ( x )

x

x x

x x

Cách 2: từ 5

5 7

x x x

x

     



Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :

3 5

5 7 12

3

6

5

5 23

3

6

x x x x

x

( x )

x x

Bài tập 4: Tìm x tỉ lệ thức

2

2

1

2

7 14

5 14

2 10

x x

x x

( x )( x ) ( x )( x )

x x x x x x-4

x x

x x

Trong tập x nằm số hạng tỉ lệ thức hệ số sau biến đổi x2 bị triệt tiêu, làm tập cách áp dụng tính chất dãy tỉ số 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết

a) Xét toán thường gặp sau: Tìm số x, y, z thoả mãn

x y z

a  b c (1) x +y + z =d (2)

- Cách 1:

Đặt x y z k

a b c thay vào (2) ta có: Ta có k.a + k.b + k.c = d

  d

k a b c d k

a b c

     

 

Từ tìm x a d ;y bd ;z cd

a b c a b c a b c

  

     

- Cách 2: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có

; ;

x y z x y z d

a b c a b c a b c

a d b d c d

x y z

a b c a b c a b c

 

   

   

   

     

b) Khai thác

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) sau: * k x k y1  k z3 e

* 2

1

k x k y k z  f *x.y.z = g

+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện (1) sau:



1

;

x y y z

a  a a a  a x2 a y a y1 ; a z3  b x1 b y2 b z3

 b x b z1 b y b x2 b z b y3

a b c

    

 2 3

1

z b

x b y b

a a a



   

+Thay đổi hai điều kiện c) Bài tập

Bài tập 1 : Tìm hai số x y biết x y

Đặt x y k

2  3 , suy ra: x = 2k, y = 3k

Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = Do đó: x = y = 12

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số

x y x y 20 3



   



Do đó: x = y = 12 Cách 3: Phương pháp

x y 2y

x   3 mà x + y = 20 suy

3 y

= 20 nên y = 12

Do đó: x =

Bài tập 2: Tìm số x, y, z biết

2 x  y z

x +y + z = 27

Giải: - Cách 1.

Đặt , ,

2

x y z

k x k y k z k

      

Từ x + y + z = 27 ta suy 2k3k4k279k27 k Khi x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

- Cách 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

27

2 4

2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

x y z x y z

x y z

 

    

 

      

Từ tập ta thành lập tốn sau:

Bài tập 3: Tìm số x, y, z biết

2

x y z

Giải: - Cách 1: Đặt

2 x  y z

=k

- Cách 2: Từ

2 x  y z

suy 20

x  y  z

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

2 5 21

3

4 20 20

6; 9; 12

x y z x y z

x y z

  

    

  

   

Bài tập 4: Tìm số x, y, z biết

2 x y z

2

2x 3y 5z  405

Giải: - Cách 1: Đặt

2

x y z

  =k

- Cách 2: từ

2 x y z

suy

2 2

2 2

4 16

2

8 27 90

x y z

x y z

 

  

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

2 2 2

2 5 405

9

8 27 90 27 90 45

x y z x  y  z 

    

  

Suy

2

2

2

2

2

9 36

4

9 81

9

9 144 12

16 x

x x

y

y y

z

z z

     

     

     

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 x = -6; y = -9; z = -12

Bài tập 5: Tìm số x, y, z biết

2 x  y z

x.y.z = 648

Giải:

- Cách 1: Đặt

2 x  y z

= k - Cách 2: Từ

2

x y z

3

3

3

648 27 2 24 24

27 216

8

x x y z xyz

x

x x

 

       

 

     

Từ tìm y = 9; z = 12

Bài tập 6. Tìm x,y, z biết ;

x y z

x

  x +y +z = 27

Giải: từ

6

x y x y

  

Từ

2

z x z

x   suy

2

x y z

  Sau ta giải tiếp tập

Bài tập 7. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z x + y+ z = 27

Giải: Từ

2

x y

x y 

Từ

2 x z x z 

Suy

2

x y z

  sau giải tập

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z 2x + 3y – 5z = -21

Giải: từ 6x = 4y = 3z

12 12 12

x y z x y z

     

Sau giải tiếp tập

Bài tập 9: Tìm x, y, z biết 6

5

x z  y x  z y

2x +3y -5z = -21

Giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có

6 3 6 3

0

5 9

6 ; ;3

x z y z z x x z y z z x

x z y z z x

           

 

   

4

2

x  y  z

x +y +z =27

Giải:

- Cách 1: Đặt

2

x y z

  =k

- Cách 2: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có

4

2

x  y  z

4 18 27 18

1

2 9

4

1

2

1

3

1 12

4

x y z x y z

x

x y

y z

z

        

   

  

   



       Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số nhau: 1) Các phương pháp:

Để chứng minh tỷ lệ thức :a c

b d Ta có phương pháp sau : Phương pháp : Chứng tỏ rằng: ad= bc

Phương pháp : Chứng tỏ tỷ số a c;

b d có giá trị đề cho trước tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung tỷ số tỷ lệ thức cho k, từ tính giá trị tỷ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k

Phương pháp 3: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức biến đổi tỷ số vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải

Phương pháp 4: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức để từ tỷ lệ thức cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

2) Bài tập:

Bài tập 1: Cho a, b, c, d khác từ tỷ lệ thức:a c

b  d suy tỷ lệ thức:

a b c d

a c

  

- Cách 1: Xét tích     (1) (2) a b c ac bc a c d ac ad

  

  

Từ a c ad bc(3) b  d 

Từ (1), (2), (3) suy (a-b)c= a(c- d) suy a b c d

a c

  

- Cách 2: Đặt a c k a bk c, dk

b    d 

Ta có:

   

1

(1), ( 0)

1

(2), ( 0) b k

a b bk b k

b

a bk bk k

d k

c d dk d k

d

c dk dk k



      



  

   

Từ (1) (2) suy ra: a b c d

a c

  

- Cách 3: từ a c b d b   d a c

Ta có: a b a b b d c d

a a a a c c

        

Do đó: a b c d

a c

  

- Cách 4: Từ

a c a b a b

b d c d c d

    



a a b a b c d

c c d a c

  

   

 - Cách 5: từ

1

a c b d b d

b       d a c a c

a b c d

a c

 

 

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức a c

b d ta suy tỉ lệ thức sau: ;

a b c d a b c d

b d a c

     

(Tính chất gọi t/c tổng hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh

a)

2

2

; ) , ( 0)

a b c a a c c

b b

a b c a b a b

  

  

  

(với ab a, c) Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ a c

a bc

b a

  

Đặt a c k a bk c, ak

b    a 

Ta có:  

   

1

, (1)

1

b k

a b bk b k

b

a b bk b b k k



      

   

 

   

1

0 , (2)

1

a k

c a ak a k

a

c a ak a a k k



      

   

Từ (1) (2) suy ra: a b c a

a b c a

  

 

- Cách 3: Ta có

 

   

 

   

2

2

2 ,

, a a b

a b a ab bc ab

do a bc

a b a a b a ab bc ab

b c a c a

a b

b c a c a



      

   

 

  

 

Do đó: a b c a

a b c b

  

 

Ngược lại từ a b c a

a b c b

  

  ta suy a2 = bc

Từ ta có tốn cho a b c a

a b c b

  

  chứng minh số a, b, c khác từ số a, b, c có số dùng lần, lập thành tỉ lệ thức

- Cách 4: Từ a2 = bc

a c a b a b a b

b a c a c a c a

a b c a

a b c a

 

     

 

 

 

b)

- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c) = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)

Do (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

2

2

a c c

b a b



 

 - Cách 2: Từ a2 = bc a c

b a

  Đặt a c k

b  a suy a = bk, c = ak = bk

2

Ta có:  

   

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

1

,

1

b k k

a c b k b k

k b

b a b b k b k



     

  

2 c k b

k b  b 

Do đó:

2

2

a c c

b a b

 



- Cách 3: từ a2 = bc a c

b a

 

2 2

2 2 (1)

a c a c

b a b a



  



Từ

2

2 (2), ( 0)

a c a a c c

a b  a b   b a b 

Từ (1) (2) suy ra:

2

2

a c c

b a b

 



- Cách 4: Ta có    

2 2

2 2 ,

c b c

a c bc c c

b c

b a b bc b b c b



      

  

Do đó:

2

2

a c c

b a b

  

Bài tập 3: Cho số khác a a a a1, 2, 3, 4 thoả mãn 3;

a a a a a a chứng tỏ

3 3

1

3 3

2 4

a a a a

a a a a

 



 

2

2

2

3

3

3

(1) (2)

a a

a a a

a a

a a

a a a

a a

  

  

Từ (1) (2) suy

3

3

3 3

1 2

3 3

2 4 4

(3)

a a a

a a a a a a a

a  a  a a  a  a a a a  a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

3 3

3

3

1

3 3 3

2 4

(4)

a a a a

a a

a a a a a a

 

  

 

Từ (3) (4) suy ra:

3 3

1

3 3

2 4

a a a a

a a a a

 



 

Ta chuyển tập thành tập sau:

Cho

2

a a a

a  a a chứng minh

3

1

2 4

a a a a

a a a a

    

   

 

Bài tập 4: Biết bz cy cx az ay bx

a b c

    

Chứng minh x y z a  b c

Giải: Ta có bz cy cx az ay bx abz 2acy bcx baz2 cay cbx2

a b c a b c

          

2 2

abz acy bcx bay cay cbx

a b c

    

 

 

2 (1)

abz acy y z

abz acy bz cy

a b c



       

bcx baz2 bcx baz cx az z x(2)

b c a

       

Từ (1) (2) suy ra: x y z a  b c Bài tập 5: Cho

c b a z c b a y c b a x       

2 4 Chứng minh

z y x c z y x b z y x a       

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :

) ( 2 4 2 2 4 2 a z y x c b a c b a c b a z y x c b a y c b a z c b a y c b a

x   

                      ) ( ) 4 ( 2 2 4 2 b z y x c b a c b a c b a b y x c b a x c b a z c b a y c b a

x  

                       ) ( 4 4 ) 4 ( 4 4 4 4 4 2 c z y x c b a c b a c b a z y x c b a y c b a x c b a z c b a y c b a x                            

Từ (1),(2),(3) suy

c b y x b z y x a z y x 4 9

2  

      suy z y x c z y x b z y x a       

2 4

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ 1. Phương pháp giải

Bước 1:Dùng chữ để biểu diễn đại lượng chưa biết Bước 2:Thành lập dãy tỉ số điều kiện

Bước 3:Tìm số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận

2. Bài tập

Bài tập 1 (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài cạnh tam giác biết chu vi 22 cm cạnh tam giác tỉ lệ với số 2;4;5

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh tam giác a,b,c (cm,a,b,c0) Vì chu vi tam giác 22 nên ta có a+b+c=22

Vì cạnh tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

5

c b a  

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ,ta có :

11 22 5

2    

   

 b c a b c

a

2

2

4

2 10

5 a

a b

b c

c

Thử lại giá ta thấy thoả mãn

Vậy độ dài ba cạnh tam giác 4cm,8cm,10cm

Có thể thay điều kiện (2) sau: biết hiệu cạnh lớn cạnh nhỏ 3.Khi ta có được: c-a=3

Bài tập 2:

Ba lớp 7A,7B,7C tham gia lao động trồng ,số lớp trồng tỉ lệ với số 2;4;5 lần số lớp 7A cộng với lần số lớp 7B số lớp 7C 119 cây.Tính số lớp trồng

Lời giải:

Gọi số trồng lớp 7A,7B,7C a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)

Theo ta có

17 119

16

4 16

2    

      

b c a b c a b c

a

Suy

7 21

3

7 28

4

7 35

5 a

a b

b c

c

Thử lại giá ta thấy thoả mãn

Vậy số trồng lớp 7A,7B,7C 21cây, 28cây, 35cây

Bài tập 3: Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009 Biết tỉ số số thứ số thứ hai

3

, số thứ hai số thứ

.Tìm ba số

Gọi số phải tìm a,b,c

Theo ta có 2;

3

a a

b  c 

3 3

Giải tiếp ta a=-4 , b=-6, c=-

Bài tập 4: Ba kho thóc có tất 710 thóc, sau chuyển

5 số thóc kho I,

6 số thóc kho II

11số thóc kho III số thóc cịn lại kho Hỏi lúc đầu kho có thóc

Lời giải:

Gọi số thóc kho I, II, III lúc đầu a, b, c (tấn, a, b, c>0)

Số thóc kho I sau chuyển 5 a a a

Số thóc kho II sau chuyển 6 b b b

Số thóc kho III sau chuyển 10 11 11 c c c

theo ta có 10

5a6b11cvà a+b+c=710

từ 10 10

5a6b11c5.20a6.20b11.20c 710

10 25 24 22 25 24 22 71

a b c a b c 

     

 

Suy a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220 Thử lại giá ta thấy thoả mãn

Vậy số thóc lúc đầu của kho I, II, III 250 , 240 tấn, 220 Bài tập 3: Trong đợt lao động ba khối 7, 8, chuyển 912

m đất, trung bình học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm 3

1, 2m ;1, 4m ;1, 6m

Số học sinh khối khối tỉ lệ với 3; số học sinh khối khố tỉ lệ với Tính số học sinh khối

Lời giải:

Gọi số học sinh khối 7,8,9 a, b, c (học sinh) (a,b,c số nguyên dương) Số đất khối chuyển 1,2a

Số đất khối chuyển 1,6c

Theo rat a có ; a b bc

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ta a= 80, b= 240, c= 300 Thử lại giá ta thấy thoả mãn

Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

- H2 khóa nền tảng kiến thức lun thi mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội

II. Lớp Học Ảo VCLASS

- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh khơng phải đưa đón con học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập

Các chương trình VCLASS:

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

- Hoc Toán Nâng Cao/Tốn Chun/Tốn Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8,

-Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia