• Vận dụng các tính chất tia phân giác của một góc để tìm mối liên hệ giữa các góc. Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác EP, FQ. Từ đỉnh A kẻ đường cao AH[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | => BD = DC
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Cụ thể:
1 2, 2,
A =A B =B C =C => ID = IE = IF 2 Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao tam giác Ngược lại, tam giác có đường phân giác vẽ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến (hoặc đường cao) tam giác tam giác cân đỉnh
ABC : AB = AC A1= A2
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất:
• Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm đường phân giác góc thứ ba
• Giao điểm đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1B Tìm x hình vẽ sau biết I, H giao điểm ba đường phân giác góc tam giác
2A Cho hình vẽ bên, biết KN = 12 cm, IN = 13 cm I giao điểm, phân giác tam giác MNL
a) So sánh IP IH b) Tính IH
2B. Cho xOy, tia phân giác Oz Trên tia Ox lấy điểm A cho
OA = 4cm Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Ox cắt Oz H, cắt Oy K Lấy điểm B tia Ox cho A trung điểm OB Hạ HI ⊥ OK
a) Chứng minh AH = HI
b) Biết OH = cm, tính khoảng cách từ điểm H đến BK Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng
Phương pháp giải: Vận dụng tính chất ba đường phân giác tam giác
3A. Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC
b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy H c) Giả sử có MN = MP = NP, tính tỉ số HM
MK
3B Cho tam giác MNP có MN = MP Hạ MK⊥ NP (K NP) Gọi NE, PF tia phân giác góc N P tam giác MNP Chứng minh:
a) MK tia phân giác góc NMP; b) MK, NE, PF đồng quy
4A Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng
4B Cho góc xOy nhọn Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Trên tia Ox lấy điểm C cho BC tia phân giác góc ABy Gọi I giao điểm hai tia phân giác góc xAB xOy Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tam giác cân, đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao
5A. Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm.I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng
5B Cho tam giác ABC cân A Gọi I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh AI vng góc với BC
6A. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC cân A
6B. Cho tam giác ABC có đường cao AH đồng thời đường phân giác góc A Chúng minh tam giác ABC cân A
Dạng Chứng minh mối quan hệ góc Phương pháp giải:
• Vận dụng tính chất tia phân giác góc để tìm mối liên hệ góc • Dùng định lí tổng ba góc tam giác 180°
7A. Cho ABC, Các tia phân giác góc B C cắt I a) Biết A = 70°, tính số đo góc BIC
b) Biết BIC = 140°, tính số đo góc A c) Chứng minh BIC = 90° +
2 A
7B. Cho tam giác DEF cân D Gọi I giao điểm tia phân giác EP, FQ a) Biết EIF = 110°, tính số đo góc D
b) Biết D = 50°, tính số đo ba góc tam giác IPF
8A Cho tam giác ABC có BC Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân giác AD a) Biết B= 70 ,C= 50 , tính số đo HAD
B) Chứng minh
2 B C HAD= −
8B Cho ABC (AB > AC), I giao điểm ba đường phân giác Tia AI cắt BC D Hạ IH vng góc với BC H
a) Nếu B=40 ,C=60, Tính số đo góc HID b) Chứng minh
2 B C HID= − III BÀI TẬP VỀ NHÀ
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi H, J, K chân đường vng góc kẻ từ I đến AB, AC, BC Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm
a) Chứng minh BHI = BKI
b) Chứng minh tam giác AHI tam giác vuông cân c) Tính chu vi tam giác ABC
11 Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho MB = AB, tia đối tia CB lấy điểm N cho NC = AC Qua M kẻ đường thẳng song song với AB Qua N kẻ đường thẳng song song với AC Hai đường thẳng cắt P Chứng minh:
a) MA, NA tia phân giác PMB PNC,
b) Tia PA cắt BC K Chứng minh PA tia phân giác MPN , từ suy AK tia phân giác BAC
12 Cho tam giác ABC Các đường phân, giác góc ngồi đỉnh A C cắt K a) Chứng minh BK phân giác góc ABC
b) Cho tia phân giác góc A C tam giác ABC cắt I Chứng minh B, I, K thẳng hàng c) Cho biết ABC = 70° Tính AKC
13 Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác Bx Cy cắt E Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy
2
BEC = FEH
14 Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng
15 Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai cạnh bên
16 Cho tam giác ABC cân A CP, BQ tia phân giác tam giác ABC (P AB, Q AC) Gọi O giao điểm CP BQ
a) Chứng minh tam giác OBC tam giác cân
b) Chứng minh điểm O cách ba cạnh tam giác ABC
c) Chứng minh đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vuông góc với d) Chứng minh CP = BQ
e) Tam giác APQ tam giác gì? Vì
17 Chứng minh tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh bên
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) Tính số đo góc AEB
b) Các đường AE, BE cắt phân giác ngồi góc xOy K, F Biết OBA = 40°.Tính góc tam giác KEF
19 Cho tam giác ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC (H BC) Tia phân giác HAB cắt BC D
a) Chứng minh tam giác ACD tam giác cân
b) Các tia phân giác HACvà AHC cắt I Chứng minh CI qua trung điểm, AD Từ tính góc AIC
20 Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C Gọi D giao điểm AI BC Kẻ IH vng góc với BC (H BC) Chứng minh:
a) AD tia phân giác A b) 90
2 CID= −B c) BIH =CID
21 Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B đến AI Chứng minh:
a) Các góc ICBvà BIH hai góc phụ nhau; b) IBH = ACI
22*. Cho tam giác ABC Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC hạ BM vng góc với AC (M AC) Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB hạ CN vng góc vói AB (NAB) Hai đường thẳng xy x'y' cắt P Chứng minh:
a) Đường phân giác A hai đường BM, CN đồng quy;
b) Đường phân giác A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy HƯỚNG DẪN 1A.a) Ta có + B C =2IBC + 2ICB=2(IBC+ICB) 120= =A =180−( + B C) 18= 0−120 =60
Mà BI, CI tia phân giác B C nên I giao điểm ba đường phân giác ABC => AI tia phân giác
2 A
A = =x = 30° b) Ta có DEF cân D => F= =E 2HEF = 64 => FH tia phân giác DEF 32
2
DFE= =x = 1B.Tương tự 1A
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2A. a) I giao điểm ba đường phân giác MLN Do I cách ba cạnh MLN => IP = IH b) Xét IKN vuông K :IK= IN2−IK2 =5cm
=> IH = IK = cm
2B. a) Do KA vừa đường cao vừa trung tuyến nên OKB cân K Suy KA phân giác OKB Vì H nằm tia phân giác xOy nên H cách Ox, Oy => AH = HI b) Tính AH = 2
5 −4 =3cm Từ giả thiếp ta suy H giao điểm
của ba đường phân giác OBK nên H cách ba cạnh tam giác Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK AH = 3cm
3A. a) Chứng minh AMB = AMC (c.c.c) Từ suy AM tia phân giác góc BAC b) Xét ABC có AM, BD,CE tia
phân giác Từ tính chất ba đường phân giác tam giác, suy ba đường thẳng AM,BD,CE đồng quy
3B a) b) tương tự 3A
c) Khi MNP tam giác
MN, KE, PF ba đường trung tuyến Vậy H trọng tâm, hay
3 HM MK = 4A Gọi F,H,G hình chiếu vng góc điểm E xuống đường thẳng AB, AC BC Từ giả thiết suy EF = EG EH = EG
=> EF = EH nên E thuộc tia phân giác góc BAC Mà AD tia phân giác góc BAC
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng 4B Tương tự 4A.
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | giác góc M
Do MNP cân M nên đường giác MI đường trưng tuyến G trọng tâm MNP nên G nằm MI Từ đó, suy M,G, I thẳng hàng
5B Tương tự 5A
6A. Hạ MD ⊥AB, ME ⊥AC Vì AM tia phân giác A nên MD = ME
Do BDM = CEM (ch-cgv) Suy B=C Vậy ABC cân A 6B. Tương tự 6A.
Chứng minh ABH = ACH (g.c.g) => ABC cân A
7A a) Xét ABC, ta tính B C+ = 110° Do đó, IBC+ICB= 55°
Vậy BIC = 180° - 55° = 125° b) Xét BIC, từ giả thiết suy
IBC+ICB= 40° Do đó, ta có: ABC+ACB= 80°
Vậy BAC = 100°
c) Ta có: = BIC=180 - ( IBC+ICB) =180 - 180 - 180
2
B+C = −A
180 - 90 - + 2 90
A A
= =
7B Tương tự 7A. a) D = 40°
b) EIF=115 ; IPF = 82 30';IFP = 32 30' ; EIF =115 8A a) Từ giả thiết, ta tính được:
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 30
2 BAC
DAC DAB
= = = =
=> ADH =DAC+ = C 80 Do đó, xét AHD ta tính
10 HAD=
Có thể tính BAH = 90° - 70° = 20° Vậy HDA = 30°- 20° = 10°
b) HAD = 90° - HDA
= 90 - 180
2
2
A A C B C
C
− −
+ = − =
8B Tương tự 8A. 9. Tương tự 1A.
a) x = 19° b) x = 33°; y = 24° 10 a) BHI = BKI (ch-gn) Do đó, BH = BK = 2cm b) AI tia phân giác góc A nên 45
2 A HAI = = Do đó, AHI tam giác vng cân
c) Ta có IH = IK = IJ = 1cm Từ đó, suy AH = HI = lcm
Tương tự ý b), ta có AJ = KI = cm IKC = IJC (ch-gn)
=> IC = KC = 3cm
IBH = IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm Do đó, ta có: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm Vậy chu vi tam giác ABC 12cm
11. a) ABM cân nên A1=M1
Có AB // MP => M2 =A1 (so le trong) Vậy M1=M2, nên MA tia phân giác PMB
Tương tự, ACN có NA tia phân giác PNC
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Có: AB //MP => BAK =P1 ( đồng vị)
AC // PN => KAC=P2 (đồng vị)
Mà P1=P2(do PA tia phân giác góc MPN) nên Do đó, AK tia phân giác BAC
12 a) Tương tự 4A
b) Vì I giao điểm tia phân giác góc A C ABC nên BI phân giác ABC Suy B, I, K thẳng hàng c) Sử dụng 7A, ta có:
90 125
2 ACB
AIC= + =
Chú ý IAK =ICK = 90° nên suy KAC= 180° - 125° = 55°
13. Từ 4A, ta chứng minh E thuộc tia phân giác góc BAC Do đó, tia AD qua điểm E Chú ý:
1
;
2
BEG= FEG CEG= HEG Suy ĐPCM
14 Vì ABC cân A nên tia phân giác AK đồng thời đưòng trung tuyến Mà BD trung tuyến ABC nên K trọng tâm ABC
Do I, K, C thẳng hàng
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 BQ ABC nên O giao điểm
ba đường phân, giác ABC Do đó, O cách ba cạnh ABC
c) Ta có ABC cân A, AO tia phân giác đỉnh A nên AO đồng thời trung tuyến đường cao ABC
Vậy đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với d) PBC = QCS (g.c.g) => CP = BQ
e) Từ ý d), ta suy AP = AQ Vậy tam giác APQ cân A
17. Vì ABC cân A nên ABC= ACB Do , B1=C1
ABD = ACE (g.c.g) => BD = CE 18. a) Xét OAB, O= 50° nên ta có
130 OAB OBA+ = Mặt khác 180 180 xAB OAB yBA OBA − = = −
nên
230
xAB+yBA=
Do đó,
230
115
EAB+EBA= = Xét AEB, ta tính
180 115 65
AEB= − = b) Tương tự, tính
70
EKF = Suy 45
KFE = 19. a) Ta có:
1 90 90 DAC A DAC ADC ADC A + = = = + =
=> ACD cân C
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 phân giác CI đồng thời đường
trung tuyến Do CI qua trung điểm M AD
Do AMI vuông cân M nên AIM = 45 , hay AIC = 135° 20 Xét ABC có I giao điểm
các tia phân giác góc B C nên AI tia phân giác A
=> AD tia phân giác A
b) 90
2
A C B
CID=A +C = + = − c) Ta có 90 90
2 B BIH = −B = −
Kết hợp với câu b), suy BIH =CID 21 a) Từ giả thiết suy
IA, IB, IC tia phân giác ABC
Tương tự 20 ý b), chứng minh I1=90 −C1
Vậy góc ICB BIH hai góc phụ
b) Vì IBH vng H nên:
1 1
90 90 (90 )
IBH = −I = − −C =C =C Vậy IBH = ACI
22*. a) Vì ABC nên đường cao BM,CN đồng thời đường phân giác ABC
Vậy đường phân giác gócA hai đường BM, CN đồng quy b) Từ giả thiết suy BM ⊥ BP, mà BM tia phân giác
ABC nên BP tia phân giác ABC
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Từ 5A, ta chứng minh P thuộc
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -