TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi h×nh ph¼ng (D) khi nã quay quanh:a. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy..[r]
(1)Phan TiÕn DiƯn
NGUN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A NGUYÊN HÀM
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 ðịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác ñịnh K Hàm số F(x) ñược gọi nguyên hàm f(x) K nếu: F x'( )= f x( ) ∀ ∈x K
GHI NHỚ: 1) Nếu F(x) nguyên hàm của f(x) F(x) + C (C: hằng số) nguyên hàm của f(x)
2) Họ nguyên hàm f(x) K kí hiệu là: ∫ f x dx( ) =F x( )+C 2 Các tính chất nguyên hàm:
• Tính chất 1: ∫ f '( )x dx= f x( )+C
• Tính chất 2: ∫k f x dx ( ) =k.∫ f x dx( ) ( k: hằng số)
• Tính chất 3: ∫[f x( )±g x dx( )] =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( ) 3 Bảng tính nguyên hàm bản:
TT Nguyên hàm Nguyên hàm số hợp
( ) u=u x
1 ∫0.dx=C ∫0.du=C
2 ∫dx= +x C ∫du= +u C
3
1
1 x
x dx C
α α
α +
= +
+
∫ (α ≠ −1)
1
1 u
u du C
α α
α +
= +
+
∫ (α ≠ −1)
4 1dx ln x C
x = +
∫ 1du lnu C
u = +
∫
5 ∫cos x dx=sinx C+ ∫cos u du=sinu+C
6 ∫sin x dx= −cosx C+ ∫sin u du= −cosu+C
7 ∫tanxdx=- ln cosx +C ∫tanudu=- ln cosu +C
8 ∫cotxdx=ln sinx +C ∫cotudu=ln sinu +C
9 2 tan
cos dx
x C
x= +
∫ tan
cos du
u C
u = +
∫
10 2 cot
sin dx
x C
x = − +
∫ cot
sin du
u C
u = − +
(2)TT Nguyên hàm Nguyên hàm su=u x( )ố hợp
11 ln tan
cos
dx x
C x
π
= + +
∫ ln tan
cos
du u
C u
π
= + +
∫
12 ln tan
sin
dx x
C
x = +
∫ ln tan
sin
du u
C
u = +
∫
13 ∫e dxx = +ex C ∫e dxx = +ex C
14
ln
x
x a
a dx C
a
= +
∫ ( 0< ≠a 1)
ln
x
x a
a dx C
a
= +
∫ ( 0< ≠a 1)
15 2 2 ln
2
dx x a
C
x a a x a
−
= +
− +
∫ 2
1 ln
du u a
C
u a a u a
−
= +
− +
∫
16 2dx 2 ln x x2 a2 C
x ±a = + ± +
∫ 2
2 ln du
u u a C
u ±a = + ± +
∫
17
2
2 2 2
ln
2
x a
x ±a dx= x ±a ± x+ x ±a +C
∫ 2 2 2
ln
2
u a
u ±a du= u ±a ± u+ u ±a +C ∫
4 Bài tập tìm nguyên hàm cách sử dụng định nghĩa tính chất ngun hàm
Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số
1 f(x) = x2 – 3x + x
ðS F(x) = x − x +lnx+C
2 3
2
f(x) = 2
4
3
x x +
ðS F(x) = C
x x −3+
2
f(x) = 21
x x−
ðS F(x) = lnx +
x
+ C f(x) = 2
2
) (
x x −
ðS F(x) =
3
1 x
x C
x
− − +
5 f(x) =
x x
x + + ðS F(x) = x + x + x +C
5 4 3
2
5
6 f(x) =
3
2
x x −
ðS F(x) = x−33 x2 +C
7 f(x) = x x 1)2
( −
ðS F(x) = x−4 x+lnx+C
8 f(x) =
3
1 x x−
ðS F(x) = x − x3 +C
2
5
2
3
9 f(x) =
2 sin
2 x ðS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ðS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ðS F(x) = x+ sin2x+C
4
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ðS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
(3)Phan TiÕn DiÖn 14 f(x) =
x x
x
2
cos sin
2 cos
ðS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ðS F(x) = − cos3x+C
3
16 f(x) = 2sin3xcos2x ðS F(x) = − cos5x−cosx+C
5
17 f(x) = ex(ex – 1) ðS F(x) = e2x −ex +C
1
18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x e−x
ðS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ðS F(x) = C
a
ax + x + ln
3 ln
20 f(x) = e3x+1 ðS F(x) = e3x+1 +C
3 Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = ðS f(x) = x2 + x +
2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ðS f(x) =
3
+ − x
x
3 f’(x) = x−x f(4) = ðS f(x) =
3 40
8x x − x2 −
4 f’(x) = x - 12 +2
x f(1) = ðS f(x) = 2
2
− +
+ x
x x
f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ðS f(x) = x4 – x3 + 2x +
6 f’(x) = ax + 2 , f'(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2 x
b
ðS f(x) =
2
2
+ +
x x
Bài 3: Chứng minh hàm số: F(x) = ln
x+ x +k (k hằng số khác 0) nguyên hàm hàm số f(x) =
2
1 x +k
khoảng mà chúng xác định Áp dụng: tính
3
2
0 16
dx x +
∫
Bài 4: Tính đạo hàm hàm số u(x) = x + x2+1 Suy nguyên hàm hàm số sau :
a) f(x) = ( )
2
2
1
x x
x
+ +
+ b) h(x) =
1 x +
c) g(x) =
( )
2
1
1
x + x+ x +
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số
Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx bằng cách ñặt t = u(x)
(4)Chú ý: Một số dấu hiệu cách ñặt thường gặp
TT Dạng Cách biến ñổi
1 ∫ f ax b dx( + ) ðặt t=ax b+ ⇒dt=adx
2 ( n 1) n
f x + x dx
∫ ðặt t=xn+1⇒dt= +(n 1).x dxn
3 f( x) dx
x
∫ ðặt
2 dx
t x dt
x
= ⇒ =
4 ∫ f(sin ).cosx xdx ðặt t=sinx⇒dt=cosxdx ∫ f(cos ).sinx xdx ðặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
6 (tan ) 2
cos dx
f x
x
∫ ðặt tan 2
cos dx
t x dt
x
= ⇒ =
7 (cot ) 2
sin dx
f x
x
∫ ðặt cot 2
sin dx
t x dt
x
= ⇒ = −
8 ∫ f e( ).x e dxx ðặt t=ex⇒dt=e dxx
9 f(ln ).x dx
x
∫ ðặt t lnx dt dx
x
= ⇒ =
10 ( )
1
n n
x ax + +b dxα ∫
(n∈ℕ,α∈ℝ) ðặt
1 n
t=ax + +b
Bài tập: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(5x−1)dx ∫
−
)
( x
dx
∫ 5−2xdx ∫
−1 2x
dx
5 ∫(2x2 +1)7xdx ∫(x3 +5)4x2dx ∫ x2 +1.xdx ∫
+ dx
x x
5
2
9 ∫
+ x dx
x
3
2
3
10 ∫x.ex2+1dx 11 dx x
x
∫ln3 12 ∫
+
)
( x
x dx
13 ∫ dx
x e x
14 ∫
−3
x x
e dx e
15 cot xdx∫ 16 tan xdx∫
17 ∫ x dx
sin 18 ∫ x
dx
cos 19 ∫ x
tgxdx
2
cos 20 ∫ xdx
etgx
2
cos
21 ∫ dx
x x
5
cos sin
22 ∫sin4 x cosxdx 23 ∫cos3 xsin2 xdx 24 ∫
−
4 x dx
25 ∫x2 1−x2.dx 26 ∫
+
1 x
dx
27 ∫
−
2
1 x
dx x
28 ∫x3 x2 +1.dx
29 ∫ 1−x 2 dx 30 ∫x x−1.dx 31 ∫
+1
x
e dx
32 ∫
+
+
2
x x
(5)Phan TiÕn DiÖn
2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx
Hay: ∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) CHÚ Ý: Cách ñặt số dạng thường gặp
TT Dạng Cách biến ñổi
1 ∫P x( ).sin(ax b dx+ ) ðặt u = P(x) , dv=sin(ax b dx+ ) ∫P x( ).cos(ax b dx+ ) ðặt u = P(x) , dv=cos(ax b dx+ ) ∫P x e( ) ax b+ dx ðặt u = P(x) , dv=eax b+ dx
4 ∫P x( ).log (nm ax b dx+ ) ðặt u=log (m ax b+ ), dv=P x dx( )
5 ∫eax b+ sin(mx+n dx) ðặt u=sin(mx+n), dv=eax b+ dx ∫eax b+ cos(mx+n dx) ðặt u=cos(mx+n), dv=eax b+ dx
Bài tập: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
1 ∫x sin xdx ∫xsin2xdx ∫(x2 +5)sinxdx ∫x cosxdx ∫(x2 +2x+3)cosxdx ∫xcos2xdx ∫x2cos2xdx ∫lnxdx ∫x lnxdx 10 ∫x lgxdx 11 ∫
x xdx ln
12 ∫2xln(1+x)dx
13 ∫ + dx
x x
2
) ln(
14 ∫xln(1+x2)dx 15 ∫ln(x2 +1)dx 16 ∫ln2 xdx 17 ∫x.exdx 18 ∫2xxdx 19 ∫x3ex2dx 20 ∫ex.cosxdx
21 ∫ dx
x x
2
cos 22
2
tan
x xdx
(6)B TÍCH PHÂN
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 ðịnh nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục [ ]a b; Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x)
Thì: ( ) [ ( )] ( ) ( )
b
b a a
f x dx= F x =F b −F a
∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2 Các tính chất tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định a : ∫ ( ) =0
a
a
dx x f
• Tính chất 2: ( ) ( )
b a
a b
f x dx= − f x dx
∫ ∫
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c khơng đổi [ ]a b; thì: ( )
b
a
cdx=c b a− ∫
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục [ ]a b; f x( ) 0≥ ( )
b
a
f x dx≥ ∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ ]a b; f x( )≥g x( ) x∀ ∈[ ]a;b
( ) ( )
b b
a a
f x dx≥ g x dx
∫ ∫
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục [ ]a b; m≤ f x( )≤M ( m,M hai số)
( ) ( ) ( )
b
a
m b a− ≤∫ f x dx≤M b a−
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ ]a b;
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
∫ ∫ ∫
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục [ ]a b; k số
( ) ( )
b b
a a
k f x dx=k f x dx
∫ ∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục [ ]a b; c số ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx= f x dx+ f x dx
∫ ∫ ∫
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số [ ]a b; cho trước không phụ thuộc vào biến số ,
nghĩa : ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx= f t dt= f u du=
∫ ∫ ∫
3 Bài tập tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa tính chất tích phân Bài 1: Tính tích phân sau:
1 ∫ −
+ +
1
1
)
( x x dx ∫ − −
2
0
) 2
( x x dx ∫
−
−
2
2
)
(x dx
x ∫
− −
4
3
)
(7)Phan TiÕn DiÖn
5 dx
x x ∫ + 1
6 ∫ −
2 2 dx x x x
∫
e e x dx 1
∫
16
1
.dx x
9 dx
x x x e ∫ + −
10 dx
x x ∫ − 3
4 11 ∫
− + 2 dx x x
12 dx
x x ∫ − + − 2
13 ∫ − + − − − 1 2 dx x x x
14 x dx
x x ∫ − − + − 2
15 dx
x x x
∫1 ++ +
0 3
16 x dx
x x x ∫ − + − − + + 2 1
17 x dx
x x x ∫ + − + − + 1 2
18 ∫
+ + 4x x dx 19 ∫ − 2 cos cos π π xdx x 20 ∫ − 2 sin sin π π xdx
x 21 ∫
4 cos sin π xdx x
22 ∫
4
0
sin π
xdx 23 ∫e x dx − +
24 ∫ −
1
0 dx e x
Bài 2: Tính tích phân sau: 3 x 1dx − −
∫
4
x 3x 2dx
−
− +
∫
5
3
( x x )dx
− + − − ∫ 2 2 x 2dx x + − ∫ x
2 −4dx
∫
0
1 cos 2xdx
π
+
∫
2
0
1 sin xdx
π
+
∫ 2∫ x −xdx
0
II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến số
a) ðổi biến số dạng 1: Tính I = b
' a
f[u(x)].u (x)dx
∫ cách đặt t = u(x) Cơng thức ñổi biến số dạng 1: ∫ [ ] = ∫
) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( b u a u b a dt t f dx x u x u f Cách thực hiện:
Bước 1: ðặt t =u(x)⇒dt =u'(x)dx Bước 2: ðổi cận :
) ( ) ( a u t b u t a x b x = = ⇒ = =
Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta ñược
=∫ [ ] = ∫ ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( b u a u b a dt t f dx x u x u f
I (tiếp tục tính tích phân mới)
CHÚ Ý: Cách đổi biến giống nguyên hàm Bài 1: Tính tích phân sau:
1) x dx (2x 1)+
∫ 2)
1
0
x dx 2x 1+
∫ 3)
1
0
x xdx−
∫ 4)
1
4x 11 dx x 5x
+ + + ∫ 5) 2x dx x 4x
−
− +
∫ 6)
3
2
x
dx x +2x 1+
∫ 7)
6
6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫ 8)
3
0
4 sin x dx cos x
π
+
(8)9)
4
1 sin 2x dx cos x
π
+
∫ 10)
2
cos 2xdx
π
∫ 11)
2
6
1 sin 2x cos 2x dx sin x cos x
π
π
+ +
+
∫ 12)
1 x
1 dx e +1
∫
13) (cos x sin x)dx 4 ∫ − π
14) ∫
+
4
01 2sin2
2 cos π dx x x
15) ∫
+
2
02cos3
3 sin π dx x x
16) ∫
−
2
05 2sin
cos π
dx x x
17) ∫
− + − + 2 2 dx x x x
18) ∫
+ +
−
1 x2 2x
dx
Bài 2: Tính tích phân sau: 1)
2
3
0
cos x sin xdx
π ∫ 2) cos xdx π
∫ 3)
4
2
sin 4x dx cos x
π + ∫ 4)
x x dx−
∫ 5)
2
2
sin 2x(1 sin x) dx
π + ∫ 6) 4 dx cos x π
∫ 7)
e
1
1 ln x dx x + ∫ 8) dx cos x π ∫ 9) e
1 ln x dx x
+
∫ 10)
1
5
x (1 x ) dx−
∫ 11) cos x dx 5sin x sin x
π
− +
∫ 12)
3 tg x dx cos 2x ∫ 13) cos sin sin
x x dx x π + +
∫ 14) ∫
+
2
0 cos2 4sin2
2 sin π dx x x x
15) ∫
−
+ −
5 ln
3
ln ex 2e x
dx
16) ∫
+
2
0(2 sin )2
2 sin π dx x x
17) ∫3 sin ) ln( π
π x dx
tgx
18) ∫4 −
0 ) ( π dx x
tg 19)∫
+ − sin cos sin π
π x dx
x x
20) ∫
+ +
2
0 3cos
sin sin π dx x x x
21) ∫
+
2
0 cos
cos sin π dx x x x
22) ∫2 +
0 sin cos ) cos ( π xdx x e x
23) ∫
− +
2
11
dx x x
24)∫ + e dx x x x ln ln
25) ∫
+ − 2 sin sin π dx x x
b) ðổi biến số dạng 2: Tính I = b
a
f(x)dx
∫ cách đặt x = ϕ(t)
Cơng thức đổi biến số dạng 2: =∫ =β∫ [ ] α f ϕ t ϕ t dt dx x f I b a ) ( ' ) ( ) (
Cách thực hiện:
Bước 1: ðặt x=ϕ(t)⇒dx=ϕ'(t)dt Bước 2: ðổi cận :
α β = = ⇒ = = t t a x b x
Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta ñược
=∫ =β∫ [ ]
α f ϕ t ϕ t dt dx x f I b a ) ( ' ) ( )
(9)Phan TiÕn DiÖn
CHÚ Ý: Một số cách biến ñổi thường gặp
TT Dạng Cách biến ñổi
1 ∫ f x( , x2+a dx2) ðặt tan 2
cos a
x a t dx dt
t
= ⇒ =
2 2
( , )
f x x −a dx
∫ ðặt sin2
cos cos
a a t
x dx dt
t t
= ⇒ =
3 2
( , )
f x a −x dx
∫ ðặ⇒t dxx==aacos sintt dt với −π/2≤t ≤π/2 x a x a − +
x a x a + −
x = acos2t
5 (x−a)(b−x) x = a+(b-a)sin2t
Bài tập: Tính tích phân sau:
1)
1
2
1 x dx−
∫ 2)
1
1 dx x+
∫ 3)
1
2
1 dx x−
∫ 4) dx x − +x
∫ 5) x dx x +x +1
∫ 6)
2
0
1
1 cosx sinxdx π + + ∫ 7) 2 2 x dx x−
∫ 8)
2
2
1
x x dx−
∫ 9) 2 dx x x −1
∫ 10)
3 2 3x dx x + ∫ 11) (1 ) x dx x − + ∫ 12) 2 1dx
x x −
∫ 13)
2
0
cos cos
x dx x π
+
∫ 14)
1 1 x dx x + + ∫ 15) cos cos x dx x π +
∫ 16) ∫
+ +
−
1x2 2x
dx
17) ∫
+ +
1
01 3x
dx
18) ∫
− − dx x x x 19) 1dx
x x +
∫ 20)
7 3 x dx x + ∫ 21)
x +x dx
∫ 22) ln x dx e +2
∫ 23) 3 x dx x + + ∫ 24) 2
x x + dx
∫ 25) ∫
+
3
5 x x2
dx
2 Phương pháp tích phân phần
Cơng thức tích phân từng phần:
∫b =[ ] −∫ a
b a b
a v x u x dx
x v x u dx x v x
u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) Hay: ∫b =[ ] −∫
a b a b a vdu v u udv
Cách thực hiện:
Bước 1: ðặt
(10)Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng phần : b∫ =[ ] −∫ a
b a b
a vdu
v u
udv
Bước 3: Tính [ ]u.v ba ∫ b a
vdu
CHÚ Ý: Cách ñặt số dạng thường gặp giống nguyên hàm phần
Bài tập: Tính tích phân sau
1) ∫
1
0
.e dx
x x 2) ∫ −
2
0
cos ) ( π
xdx
x 3) ∫ −
6
0
3 sin ) ( π
xdx
x 4) ∫
2
0
2 sin π
xdx
x
5) ∫
e
xdx x
1
ln 6) ∫ −
e
dx x x
1
ln )
( 7) ∫
3
1
ln
4x xdx 8) ∫ +
1
0
2
) ln(
x dx
x
9) ∫ +
2
1
)
(x ex dx 10) ∫ π
0
cos xdx
x 11) ∫
2
0
cos π
dx x
x 12) ∫ +
2
0
sin ) ( π
dx x x x
13)
2
ln x dx x
∫ 14)
2
x cos xdx
π
∫ 15)
1 x
e sin xdx
∫ 16)
2
0
sin xdx
π
∫ 17)
e
x ln xdx
∫ 18)
3
x sin x dx cos x
π
+
∫ 19)
0
x sin x cos xdx
π
∫ 20)
4
2
x(2 cos x 1)dx
π
−
∫
21)
2
ln(1 x) dx x
+
∫ 22)
1
2 2x
(x 1) e dx+
∫ 23)
e
2
(x ln x) dx
∫ 24)
2
0
cos x.ln(1 cos x)dx
π
+
∫
25) 2
1
ln ( 1)
e
e
x dx x+
∫ 26)
1
xtg xdx
∫ 27) ∫1 −
0
2
)
(x e xdx 28) 1∫ +
2
)
ln( x dx
x
29) ∫e dx x
x
1
ln
30) ∫2 +
0
3
sin ) cos (
π
xdx x
x 31) 2∫ + +
0
) ln( )
( x x dx 32) ∫3 −
2
)
ln(x x dx
III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1 Tính diện tích hình phẳng
a) Cơng thức tính:
•••• Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường sau: y= f x( ), y=0 (truc Ox), x=a x=b
Ta có: ( )
b
a
(11)Phan TiÕn DiÖn
•••• Hình phẳng giới hạn hai đường cong
Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường sau:
1( )
y= f x , y= f x2( ), x=a x=b
Ta có: 1( ) 2( )
b
a
S =∫ f x − f x dx
b) Bài tập
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) y=x4+3x2+1; x=1; x=0; b) y=0; y=2x-x2; c) y=x+1; y=x3-3x2+x+1; d) y+x=0; x2-2x+y=0;
e) y=4-x2; y=0; x=±1; f) y=x3+3x; y=4x2;x=-1; x=2; g) y=x2-2x+2; Oy tt M(3;5); h) y=x2-2x; y=-x2+4x;
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng sau:
1) (H1):
2 x y 4 x y = − =
2) (H2) :
2
y x 4x y x
= − +
= +
3) (H3):
3x y x y x − − = − = = 4) (H4):
2 y x x y = = −
5) (H5):
y x y x
=
= −
6) (H6):
2
y x
x y
+ − =
+ − =
7) (H7):
= = = = ln x y , y
2 x x e, x
8) (H8) :
2
y x 2x y x 4x
= −
= − +
9) (H9):
2 3
y x x 2 y x = + − =
10) (H10):
2
y 2y x x y
− + =
+ =
11)
(12)Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: 1) y= +3
x
x ;y=3 (ĐS: 8(đvdt)) 2) y= ; = +5 x y
x (§S: (
3 73
®vdt)) 3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0 (ĐS: (
6
đvdt)) 4) y=x2 ; y=
x y
x
;
2
= (§S: 8ln3) 5) y=x2 ; y=
x y
x 27
; 27
2
= (§S: 27ln3) 6) y=x2 ; x=y2 7) y=ex ; y=e-x ;x=1
2 Tính thể tích vật thể trịn xoay
a) Cơng thức tính
Tính thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường: ( )
y= f x , x=a x=b quay quanh trục Ox
Ta có: 2( )
b
a
V =π∫ f x dx
b) Bài tập: TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh quay miỊn (D) giíi hạn đờg
quay quanh Ox:
1 y=4-x2 ; y=2+x2 (§S : 16
)
π y=x2 ; x=y2
3 y=2x-x2 ; y=x2-2x (§S :
) 16π
y=-x2+4x (§S :
) 15 512π
y=(x-2)2 ;y=4 (§S :
) 256π
y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2 §S :
) 15 206π
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho miền D giới hạn hai ñường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn ñường : y= x; y x; y 0= − =
Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai ñường : y (x 2)= − y =
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn hai ñường : y= −4 x y2; =x2+2
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn ñường :
2
1 ;
x
y y
x
= =
+
(13)Phan TiÕn DiÖn
Bài 6: Cho miền D giới hạn ñường y = 2x2 y = 2x +
Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn ñường y = y2 = 4x y = x
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn ñường y = 2
x
e
x ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn ñường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn ñường y = x ln(1+x3) ; y = ; x = Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên D quay quanh trục Ox
BÀI TRONG CÁC ðỀ THI
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ðỀ THI
1/ ∫
+
1
0
3 1dx
x x
- Dự bị – 02 ðs: (1 ln2)
1
− 2/ ∫
+
3 ln
0
3
) (
dx e
e
x x
- Dự bị – 02 ðs: 2−1
3/ ∫ −
+ +
0
1
3
) 1
(e x dx
x x - Dự bị – 02 ðs:
7 4
3
2 −
e
4/ ∫
Π −
2
0
5
6
. .
1 Cos x SinxCos xdx - Dự bị – 02 ðs:
91 12
5/ ∫
+
3
5
4
x x
dx
- K A – 03.ðs:
3 ln
6/ ∫
Π + −
4
0
2 2 sin 1
sin 2 1
dx x
x
- K B – 03 ðs: ln2
7/ ∫ −
2
0
dx x
x - K D – 03 ðs: 1 8/ ∫
Π
+
4
01 cos2
dx x x
- Dự bị – 03 ðs: ln2 −
Π
9/ ∫ −
1
0
2
1
. x dx
x - Dự bị – 03 ðs:
15
10/ ∫
−
5 ln
2 ln
2
1
dx e
e
x x
- Dự bị – 03 ðs:
3 20
11/ Cho hàm số : bxex
x a x
f .
) 1 ( )
( 3 +
+
= ; Tìm a b biết f '(0)=−22, và ∫ =
1
0
5 ) ( dxx
f ,
ðs: a=8, b=2
12/ ∫
1
0
3
dx e
x x - Dự bị – 03.ðs:
2
13/ ∫ +
e
xdx x
x
1
ln 1
- Dự bị – 03.ðs: ( 3)
4 1 +
e
14/ ∫
− +
2
11 1
dx x x
- K A – 04 ðs: 4ln2
11
− 15/ ∫ + e
dx x
x x
1
ln . ln 3 1
- K B – 04.ðs:
(14)16/ ∫ −
3
2
)
ln(x x dx - K D – 04 ðs: 3ln3−2
17/ ∫
+ + − 2 ln 4 1 xdx x x x
- Dự bị – 04 ðs:
8 17 ln 16 Π + − −
18/ ∫
Π cos 2 sin . xdx
e x - Dự bị – 04 ðs: 2 19/ ∫
+ 3 1 dx x
x - Dự bị – 04 ðs: ln 20/ ln ln . 1 x x
e e + dx
∫ - Dự bị – 04 ðs:
15 1076
21/ ∫ −
1
0
1
. xdx
x - Dự bị – 04 ðs:
15
22/ ∫
Π +
+
2
0 1 3cos
sin 2 sin dx x x x
- K A – 05 ðs:
27 34
23/ ∫
Π +
2
0 1 cos
cos . 2 sin dx x x x
- K B – 05 ðs:
1 ln
2 −
24/ ∫ Π + sin cos ) cos
(e x x xdx - K D – 05 ðs:
4 1+Π
−
e
25/ ∫
+ 1 ln ln e dx x x x
- Dự bị 1– 05.ðs:
15 76
27/ ∫ Π2
0
sin
. xdx
x - Dự bị 3– 05.ðs:
8 2Π2−
26/ ∫
Π − 2 cos ) 1 2
( x xdx - Dự bị 2– 05 ðs:
2 − Π − Π
28/ ∫
Π + sin ) cos .
(Tanx e x x dx - Dự bị 4– 05.ðs: ln2
1 22
− +e
29/ ∫
+ + 1 dx x x
- Dự bị 5– 05 ðs:
10 231
30/ ∫
Π tan .
sin x xdx - Dự bị 6– 05.ðs: ln2
3
+ −
31/ ∫
Π + 2 sin cos sin dx x x x
- KA 06 ðs:
3
32/ ∫
Π
− − +
2
0
1
dx e
ex x - K B – 06 ðs:
3
ln 33/ ∫ −
1
0
2
)
(x e xdx - K D– 06 ðs:
4 5− e2
34/ ∫
+ +
+
6
2 2 1 4 1
1
dx x
x - D.bị 1– 06 ðs: 12
ln − 35.∫
− −
10
5 2 1
1
dx x
x -D.bị 2-06.ðs: 2ln2+1
36/ ∫
+ − e dx x x x
1 2ln
ln
- D.bị 4– 06 ðs:
3 11
10 −
37/ ∫
Π + 2 sin )
(x xdx - D.bị 5– 06 ðs:
4 1+Π
38/ ∫ −
2
1
ln )
(x xdx - Dự bị 6– 06 ðs:
4 ln
2 +
− 39/ ∫
e xdx x
ln - K D– 07 ðs:
(15)Phan TiÕn DiÖn
40/
4
0
2x
I dx
1 2x
+ =
+ +
∫ -D.bị A1-07-ðs: 2+ln2 41/ ∫ ( ) −
− =
1
0
2 4 dx
x x x
I - D.bị D1-07-ðs: 1+ln2- ln3
42/ ∫
π
=
2
0
2cosxdx
x
I - D.bị D2-07-ðs :
4
2
−
π
43/ ∫
Π
0
2 cos
tan dx x x
- K A– 08 ðs:
27 10 ) ln(
− + 44/ ∫
2
1
ln dx x
x
- K D– 08 ðs:
16 ln
1
+ −
45/ ∫
Π
+ +
+
Π −
4
0sin2 2(1 sin cos )
) 4 sin(
dx x x
x
x
- K B – 08 ðs:
4 4−
46/ ∫ Π
−
2
0
2
cos )
(cos x xdx- KA-09-ðs :
4 8−π
47/
( )
∫3 ++
1
2
1 ln
dx x
x
- KB 2009- ðs: ) 16 27 ln (
1 +
48/ ∫
−
3
1
1 dx
ex - KD – 09 – ðs: ln(e
2
+e+1) –
TÍNH DIỆN TÍCH THỂ TÍCH 1 (§H C.Đoàn 99- 00)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng:
2
;
8
x
y=x y= vµ y 8
x
=
2. (HV Ngân Hàng TP HCM 1999 - 2000)
a TÝnh diƯn tÝch cđa miỊn kÝn giới hạn đờng cong (C): y =x 1+x2 , trục Ox; đờng thẳng x =1 b Cho (H) miền kín giới hạn đờng cong (L): y =x ln(1+x3), trục Ox đờng thẳng x = Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo cho (H) quay quanh trơc Ox
3. (§H HuÕ A, B, V CPB 99- 00)
TÝnh diện tích tam giác cong giới hạn đờng: y= +(x 1 ; )5 y =ex; x=1 4. (§H HuÕ A, B, V CB 99- 00)
TÝnh diện tích tam giác cong giới hạn đờng: 1; ; 0; ln 2
x
x x e y y
x
= = = =
5. (ĐH Nông Nghiệp I A99- 00)
a (CPB) Cho D miền phẳng bị giới hạn đờng cong: 1 2 1
y
x
=
+ vµ
2
2
x y =
- TÝnh diÖn tÝch miỊn D
- TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ tròn xoay đợc tạo thành cho D quay quanh trục Ox b (CB) Cho miền phẳng D bị giới hạn đờng: tan3 ; 0; ; .
4 4
y= x y= x= −π x=π
(16)- TÝnh thÓ tÝch vật thể tròn xoay đợc tạo thành cho D quay quanh trục Ox 6. (ĐH Nông Nghiệp I B99- 00)
(Phần chung) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng:y= f x( ); y=0; x=0; x=2.
(Phần dành cho chơng trình CPB) Cho hình D giới hạn đờng:
sin cos ; 0; 0;
2
x
y = x y= x= x=π
H·y tÝnh thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo nên cho D quay quanh trơc Ox 7. (§H QG Hµ Néi B99- 00)
TÝnh thĨ tÝch khối tròn xoay đợc tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn parabol: y =x2 4x+6; y= x2 2x+6
8. (ĐHSP Hà Nội II 99- 00)
a (CPB khối A, B) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn đ−ờng: y= x y; =x x; =5
b (Cð khối A) Tìm họ nguyên hàm hàm số sau:
3 sin ( )
3sin sin 3sin x
f x
x x x
=
9. (ĐH Thơng Mại 99- 00)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: x = -1; x = 2; y = vµ y = x2 - 2x
10. (ĐH Thuỷ Lợi 99- 00)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn ®−êng: 3 3
2 2
y=x + x 24. (ĐH Công Đoàn 00- 01)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng có phơng trình: x= y x; + =y 2 0; y=0 25. (ĐH Kiến Trúc Hà Nội 00- 01)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong (C), trục hoành Ox ®−êng th¼ng 1, 1
x= − x=
26. (ĐH Thuỷ Sản 00- 01)
a (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ®−êng: y =x2 −2x+2;y =x2 +4x+5;y=1 b (CB) Cho h×nh phẳng (G) giới hạn đờng y= 4 x2; y = +2 x2 Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta đợc vật thể Tính thể tích vật thể
27 (CĐ A, B00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y= 1 x2; y=0 28. (CĐSP Nhà Trẻ- Mẫu giáo Trung ¦¬ng I - CPB 00- 01)
(17)Phan Tiến Diện
29. (ĐHDL Hùng Vơng D00- 01) Trong mặt phẳng xOy, hÃy tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: trục Ox, x= -2, x= 2, y = x(x + 1)(x - 2)
30. (CĐ Kiểm Sát 00- 01) (CB) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn đờng:
( )2
1 ; sin
y= x+ x= πy vµ y = 0, víi (0≤ ≤y 1)
31. (ĐH BKHN-A2000) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn đờng cong có phơng trình
2
sin cos
y= x x, trục Ox hai đờng thẳng x=0 x=π
32. Cho hµm sè
4 x y
x
=
+ (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong (C), trục Ox
các đờng thẳng x=1, x=-1
33. (§H QG TP HCM A00- 01) Cho D miền kín giới hạn đờng y= x y, = −2 x y, =0. a TÝnh diÖn tÝch cđa miỊn D
b TÝnh thĨ tÝch vËt thể tròn xoay đợc tạo thành ta quay (D) quanh trục Oy
34. (ĐH Hàng Hải 00- 01) Cho hình phẳng (D) giới hạn đờng y = −(x 2)2 vµ y = TÝnh thĨ tích vật thể tròn xoay sinh hình ph¼ng (D) nã quay quanh:
a Trơc Ox b Trục Oy 35. (ĐH Thuỷ Sản 00- 01)
a (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: y =x2 2x+2;y =x2 +4x+5;y=1
b (CB) Cho hình phẳng (G) giới hạn ®−êng y= −4 x2; y= +2 x2
Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta đợc vật thể Tính thể tích vật thể 36. (ĐHDL Hải Phßng A00- 01)
a (CPB) Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Oy phần mạt phẳng hữu hạn đ−ợc giới hạn hai trục toạ độ, đ−ờng thẳng x=1 đ−ờng cong 1 2
1
y
x
=
+
b (CB) Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh trục Ox phần mạt phẳng hữu hạn đ−ợc giới hạn hai trục toạ độ, đ−ờng thẳng x=1 đ−ờng cong y= + x3
37. (ĐH BK Hà Nội A2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng có phơng trình: y = 4x2 x2 +3y=0
38. (HV CN BC VT 2001- 2002)
TÝnh diện tích hình phẳng hữu hạn giới hạn ®−êng: y=xex, y=0, x= −1, x=2
39. (§H KTQD 2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đ−ờng Parabol y=4x−x2 đ−ờng tiếp tuyến với Parabol này, biết tiếp tuyến qua điểm ( )5 ;6
2
(18)40. (ĐH TCKT Hà Nội 01- 02)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y = +2 sinx y = +1 cos2x víi
[0 ; ]
x∈ π
41. (ĐH Công Đoàn 2001- 2002)
Cho a > 0, tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng có phơng trình:
2
4
2
1
x ax a
y
a
+ +
=
+ vµ
2
1 a ax y
a − =
+
Tìm giá trị a để diện tích đạt giá trị lớn 42. (ĐH Y Hà Nội 2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng:
2
,
8
x
y=x y = vµ y 27
x
= 43. (ĐH Y Thái Bình 2002- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: y=5x2,y =0,x=0 y = 3 x 44. (ĐH Y Dợc TP HCM 01- 02)
Gọi (D) miền đợc giới hạn đờng:y= +3x 10;y=1;y =x x2( >0)
Vµ (D) n»m ngoµi parabol y=x2 Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo nên (D) quay xung quanh trục Ox
45. (§H An Giang A, B 01- 02)
TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ sinh bëi phÐp quay quanh trục Ox hình giới hạn ®−êng:
; ; 0; 2.
x x
y=e y =e− + x= x=
46. (ĐH Đà Lạt A, B01- 02) Tính diện tích S(t) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
2
1
( 1)( 2)
y
x x
=
+ + trªn đoạn [0;t] (t > 0) trục hoành Tính tlim ( )S t
47. (ĐHDL Bình Dơng A01- 02)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng:y=x2 +2 ; x y= +x 2
48. (ĐH CĐ-A2002)
Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn đờng
| |
y= x − x+ vµ y= +x
49. (ĐH CĐ-A2007) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn đờng y= +(e 1)x, (1 x)
y= +e x
50. (§H C§-B2007) Cho hình H giới hạn đờng y=xln ,x y=0, x=e TÝnh thĨ tÝch cđa khèi trßn xoay quay h×nh H quanh trơc Ox