TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC LỚP ƠN THI VÀO LỚP 10 Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Bµi Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chứng minh rằng: => CEH + CDH = 1800 1)Tứ giác CEHD, nội tiếp 2)Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn 3)AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC 4)H M đối xứng qua BC 5)Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEC = 900 CF đờng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900 Nh vËy E F nhìn BC dới góc 900 => E F nằm đờng tròn đờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ;  góc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AE AH = => AE.AC = AH.AD AD AC * XÐt hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; ∠C lµ gãc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => BE BC = => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phụ với góc ABC) C2 = A1 ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH => ∠C1 = ∠C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB đơng trung trực HM H M ®èi xøng qua BC Theo chøng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) E1 = E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tơng tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) => ∠CEH + ∠CDH = 1800 Mµ ∠CEH vµ CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp S – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THNH PH VINH Theo giả thiết: BE ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900 AD đờng cao => AD BC => BDA = 900 Nh E D nhìn AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m đờng tròn đờng kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đờng cao nên đờng trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC Vì O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm cđa AH => OA = OE => tam gi¸c AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => ∠E3 = ∠B1 (2) Mµ ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phơ víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mµ ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE E Vậy DE tiếp tuyến đờng tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta cã ED = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bµi Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt t¹i N Chøng minh AC + BD = CD 6.Xác định vị trí Chứng minh COD = 900 cđa M ®Ĩ chu vi AB 3.Chøng minh AC BD = 4.Chøng minh OC // BM 5.Chứng minh AB tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải: tiếp tuyến đờng tròn đờng kÝnh CD 5.Chøng minh MN ⊥ AB Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM ∠BOM lµ hai gãc kỊ bï => ∠COD = 900 Theo COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM tiếp tuyến ) áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông ta có OM = CM DM, Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB 4.Theo trªn ∠COD = 900 nªn OC ⊥ OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD lµ trung trùc cđa BM => BM ⊥ OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO bán kính Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO ®êng trung b×nh cđa h×nh thang ACDB ⇒ IO // AC , mµ AC ⊥ AB => IO ⊥ AB O => AB tiếp tuyến O đờng tròn đờng kính CD Theo AC // BD => CN AC = , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy BN BD CN CM = BN DM Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH => MN // BD mµ BD ⊥ AB => MN ⊥ AB ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc C2 + I1 A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn = 900 (2) ( Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) IHC = 900 ) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lêi gi¶i: (HD) Vì I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kỊ bï ®Ønh B Do ®ã BI ⊥ BK hay∠IBK = 900 T¬ng tù ta cịng cã ∠ICK = 900 nh B C nằm đờng tròn đờng kính IK B, C, I, K nằm đờng tròn Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O) Từ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC VËy AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Từ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = CH2 = AH.OH => OH = OC = 20 − 12 = 16 ( cm) CH 12 = (cm) = AH 16 OH + HC = + 12 = 225 = 15 (cm) Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THNH PH VINH Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chøng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Vì K trung ®iĨm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hƯ ®êng kính Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Lời giải: (HS tự làm) Và d©y cung) => ∠OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900; ∠OBM = 900 nh vËy K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 900 nên nằm đờng tròn đờng kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Ta có MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cđa AB => OM ⊥ AB t¹i I Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI đờng cao áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => OI.OM = OA hay OI.OM = R2; vµ OI IM = IA2 Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH ⊥ AB; cịng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đờng thẳng vuông góc với AB) S – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THNH PH VINH (HD) Theo OAHB h×nh thoi => AH = AO = R VËy M di động d H di động nhng cách A cố định khoảng R Do ®ã q tÝch cđa ®iĨm H M di chuyển đờng thẳng d nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu cđa A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đờng trßn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Lêi gi¶i: (HD) 1.∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2) Vì AB CE (gt), AB vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, ∠B1 = ∠B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH AI = AH vµ BE ⊥ AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M (HS tù Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc làm) đờng tròn Chứng minh BM // OP 2.Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N AOM góc tâm Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành chắn cung AM => Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải: ABM = AOM (1) OP tia phân giác Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH ∠ AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ) => ∠AOM ∠ AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) => ∠ABM = AOP (3) Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) 3.Xét hai tam giác AOP OBN ta có : PAO=900 (vì PA lµ tiÕp tuyÕn ); ∠NOB = 900 (gt NO⊥AB) => ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau) Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta cịng cã PM ⊥ OJ ( PM lµ tiÕp tuyến ), mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K lµ trung điểm PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP hình chữ nhật => APO = ∠NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn cắt Ta có PO tia phân giác APM => ∠APO = ∠MPO (8) Tõ (7) vµ (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đông thời đờng cao => IK PO (9) Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH 1) Chøng minh r»ng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chøng minh BAF lµ tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Lêi gi¶i: Ta cã : ∠AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (vì hai góc kề bù) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (vì hai góc kề bù) => KMF + ∠KEF = 1800 Mµ ∠KMF vµ ∠KEF lµ hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên) áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => AI2 = IM IB Theo gi¶ thiÕt AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) => ∠ABE =∠MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1) Theo trªn ta cã ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE đờng cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B BAF tam giác cân B có BE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm AF (3) Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng) (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang S – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 10 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH a Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD B b Chứng minh AE trung tuyến ∆PAB · HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vì: BEA chung E · · = EBD (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến…) EAB ⇒ EB ED ⇒ EB2 = EA.ED (1) = EA EB O P D C · · · · * EPD = PCA (s.l.t) ; EAP = PCA (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến…) A · · · ⇒ EPD = EAP ; PEA chung ⇒ ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) ⇒ EP ED ⇒ EP2 = EA.ED (2)Từ & ⇒ EB2 = EP2 ⇒ EB = EP ⇒ AE trung tuyến ∆ = EA EP PAB Bài 47: Cho ∆ABC vuông A Lấy cạnh AC điểm D Dựng CE vng góc BD a Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD b Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c Chứng minh FD vng góc BC, F giao điểm BA CE · d Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a Tính AC; đường cao AH ∆ABC bán kính đường C trịn ngoại tiếp tứ giác ADEF HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) E b) tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp (Quĩ tích cung chứa góc 900) c) Chứng minh D trực tâm ∆ CBF K D · d) AC = BC.sin ABC = 2a.sin600 = 2a =a · AB = BC.cos ABC = 2a.cos600 = 2a =a a 2a H 600 A F B · · · AH = AB.sin ABC = a.sin600 = a ; ∆ FKB vng K , có ABC = 600 ⇒ BFK = 300 · ⇒ AD = FD.sin BFK ⇒ AD = FD.sin300 ⇒ a = FD.0,5 ⇒ FD = a : 0,5 = 2a · Bài 48: Cho ∆ABC vuông ( ABC = 900; BC > BA) nội tiếp đường trịn đưịng kính AC Kẻ dây cung BD vng góc AC H giao điểm AC BD Trên HC lấy điểm E cho E đối xứng với A qua H Đường trịn đường kính EC cắt BC I (I ≠ C) B Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 48 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH a Chứng minh CI CE = CB CA I b Chứng minh D; E; I thẳng hàng c Chứng minh HI tiếp tuyến đường trịn đường kính EC HD; a) AB // EI (cùng ⊥ BC) ⇒ A H O E CI CE = (đ/lí Ta-lét) CB CA O’ b) chứng minh ABED hình thoi ⇒ DE // AB mà EI //AB ⇒ D, E, I nằm đường thẳng qua E // AB D ⇒ D, E, I thẳng hàng · · c) EIO' = IEO' ( ∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R(O’)) · · · · = HED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH trung tuyến ⇒ ∆HID cân ⇒ HIE = HDI IEO' · · Mà HDI + HED = 900 ⇒ đpcm Bài 49: Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R) Hạ OH ⊥ (d) (H ∈ d) M điểm thay đổi (d) (M ≠ H) Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ (P, Q tiếp điểm) với (O; R) Dây cung PQ cắt OH I; cắt OM K a Chứng minh điểm O, Q, H, M, P nằm đường tròn P b Chứng minh IH.IO = IQ.IP · c Giả sử PMQ = 600 Tính tỉ số diện tích tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ HD: a) điểm O, Q, H, M, P nằm đường trịn (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 90 ) K M I IO IQ ⇒ IH.IO = IQ.IP = b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) ⇒ IP IH PQ PQ · c) ∆v MKQ có : MK = KQ.tg MQK = KQ.tg600 = 3= 2 O Q H PQ PQ · ∆v OKQ có: OK = KQ.tg OQK = KQ.tg300 = KQ = = 3 ⇒ SMPQ SOPQ = PQ PQ : =3 Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 49 C TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Bài 50: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB=2R Trên tia đối tia AB lấy điểm E (E ≠ A) Từ E, A, B kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B theo thứ tự C D a Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn b Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ suy DM CM = DE CE D c Gọi N giao điểm AD BC Chứng minh MN // BD d Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO · e Đặt AOC = α Tính theo R α đoạn AC BD C N Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc giá trị R, không phụ thuộc vào α HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) b) AC // BD (cùng ⊥ EB) ⇒ ∆EAC ~ ∆EBD ⇒ M E B O A CE AC CE CM = = (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ (2) ⇒ DE BD DE DM DM CM = DE CE c) AC // BD (cmt) ⇒ ∆NAC ~ ∆NBD ⇒ NC AC NC CM ⇒ MN // BD = = (3) Từ 1; 2; ⇒ NB BD NB DM d) ¶O1 = ¶O ; ¶O3 = ¶O mà ¶O1 + ¶O + ¶O3 + ¶O = 1800 ⇒ ¶O + ¶O3 = 900 ; ¶O + ¶D1 = 900 (…) OB R ⇒ ¶D1 = ¶O = ¶O1 = α Vậy: DB = = ; Lại có: AC = OA.tgα = R.tgα ⇒ AC.DB = R.tgα tgα tgα R tgα ⇒ AC.DB = R2 (Đpcm) Bài 51: Cho ∆ABC có góc nhọn Gọi H giao điểm đường cao AA1; BB1; CC1 a Chứng minh tứ giác HA 1BC1 nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn b Chứng minh A1A phân giác ·B1A1C1 c Gọi J trung điểm AC Chứng minh IJ trung trực A1C1 A Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 50 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH d Trên đoạn HC lấy điểm M cho MH = MC B1 So sánh diện tích tam giác: ∆HAC ∆HJM C1 HD: a) HA1BC1 nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) Tâm I trung điểm BH b) C/m: ·HA1C1 = ·HBC1 ; ·HA1B1 = ·HCB1 ; M ·HBC = ·HCB ⇒ ·HA C = ·HA B ⇒ đpcm 1 1 1 c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 … ⇒ ỊJ trung trực A1C1 d) S HJM = J H I K 12 C A1 B 1 HM.JK ; SHAC = HC.AC1 2 ⇒ SHAC : S HJM = HC.AC1 MH HC HM+MC MC AC1 = ⇒ = = 1+ = 1+ = ; = (JK// mà HM.JK MC HM HM HM JK AC1 ⇒ SHAC : S HJM = Bài 52: Cho điểm C cố định đường thẳng xy Dựng nửa đường thẳng Cz vng góc với xy lấy điểm cố định A, B (A C B) M điểm di động xy Đường vng góc với AM A với BM B cắt P a Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp tâm O đường tròn nằm đường thẳng cố định qua điểm L AB b Kẻ PI ⊥ Cz Chứng minh I điểm cố định c BM AP cắt H; BP AM cắt K Chứng minh KH ⊥ PM d Cho N trung điểm KH Chứng minh điểm N; L; O thẳng hàng z HD: a) MABP nội tiếp đ/trịn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 900…) trung điểm AB… B b) IP // CM ( ⊥ Cz) ⇒ MPIC hình thang ⇒ IL = LC khơng đổi A,B,C cố định ⇒ I cố định d) AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc…) ⇒ N tâm đ/tròn ngoại tiếp … ⇒ NE = NA = R(N) H O N c) PA ⊥ KM ; PK ⊥ MB ⇒ H trực tâm ∆ PKM ⇒ KH ⊥ PM P I OA = OB = R(O) ⇒ O thuộc đường trung trực AB qua L K L A ⇒ N thuộc đường trung trực AB x Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 51 y TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH ⇒ O,L,N thẳng hàng M C Bài 53: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB K điểm cung AB Trên cung AB lấy điểm M (khác K; B) Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Kẻ dây BP song song với KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP, BM a So sánh hai tam giác: ∆AKN ∆BKM b Chứng minh: ∆KMN vuông cân c Tứ giác ANKP hình gì? Vì sao? U HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c) K b) HS tự c/m ∆ KMN vuông cân c) ∆ KMN vuông ⇒ KN ⊥ KM mà KM // BP ⇒ KN ⊥ BP P · = 900 (góc nội tiếp…) ⇒ AP ⊥ BP APB M ⇒ KN // AP ( ⊥ BP) · · KM // BP ⇒ KMN = PAT = 450 ¼ PKM · · Mà PAM = PKU = = 450 T // N = B O A · · PKN = 450 ; KNM = 450 ⇒ PK // AN Vậy ANPK hình bình hành Bài 54: Cho đường trịn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vng góc với M điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC Nối MB, cắt CD N a Chứng minh: tia MD phân giác góc AMB b Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA Chứng minh: BM.BN không đổi c Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONMA, I di C động nào? · · HD: a) AMD = DMB = 450 (chắn cung ¼ đ/trịn) · ⇒ MD tia phân giác AMB M b) ∆ OMB cân OM = OB = R(O) ∆ NAB cân có NO vừa đ/cao vừa đường trung tuyến ⇒ ∆ OMB ~ ∆ NAB F N I B A E O Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 52 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH ⇒ BM BO ⇒ BM.BN = BO.BA = 2R không đổi = BA BN c) ONMA nội tiếp đ/tròn đ/k AN Gọi I tâm đ/tròn ngoại tiếp ⇒ I cách A O cố định ⇒ I thuộc đường trung trực OA D Gọi E F trung điểm AO; AC Vì M chạy cung nhỏ AC nên tập hợp I đoạn EF Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm AC; tia BD cắt tiếp tuyến A với đường tròn (O) điểm E; EC cắt (O) F a Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến đường tròn (O) A b Tứ giác ABCE hình gì? Tại sao? · · c Gọi I trung điểm CF G giao điểm tia BC; OI So sánh BGO với BAC A · d Cho biết DF // BC Tính cos ABC E HD:a) Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC (∆ ABC cân A) lập luận AH ⊥ AE ⇒ BC // AE (1) b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) ⇒ AE = BC (2) D M N Từ ⇒ ABCE hình bình hành F O I _ c) Theo c.m.t ⇒ AB // CF ⇒ GO ⊥ AB · · · · ⇒ BGO = 900 – ABC = BAH = BAC d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) N.; DF // BC AH trục H B _ C G đối xứng cuarBC đ/tròn (O) nên F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH ⇒ FD = MN = MD = ⇒ 2BH2 = 1 BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) ⇒ DF.DN = DA.DC 2 BH 2 · AC2 ⇒ BH = AC ⇒ cos ABC = = AB 4 Bài 56: Cho đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Các đường thẳng AO; AO’ cắt E đường tròn (O) điểm C; D cắt (O’) E; F a Chứng minh: C; B; F thẳng hàng b Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp D A c Chứng minh: A tâm đường trịn nội tiếp ∆BDE d Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’) · · HD: a) CBA = 900 = FBA (góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn) O O’ Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 53 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH · · ⇒ CBA + FBA = 1800 ⇒ C, B, F thẳng hàng · · ⇒ CDEF nội tiếp (quĩ tích …) b) CDF = 900 = CEF F C B · · c) CDEF nội tiếp ⇒ ADE = ECB (cùng chắn cung EF) · · Xét (O) có: ADB = ECB (cùng chắn cung AB) = ADB Tương tự EA tia phân giác DEB · · · · ⇒ ADE ⇒ DA tia phân giác BDE Vậy A tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE · · · · · · d) ODEO’ nội tiếp Thực : DOA = DCA ; EO'A = EFA mà DCA = EFA (góc nội tiếp · · · · · · ⇒ ODEO’ chắn cung DE) ⇒ DOA = EO'A ; mặt khác: DAO = EAO' (đ/đ) ⇒ ODO' = O'EO nội tiếp Nếu DE tiếp xúc với (O) (O’) ODEO’ hình chữ nhật ⇒ AO = AO’ = AB Đảo lại : AO = AO’ = AB kết luận DE tiếp tuyến chung (O) (O’) Kết luận : Điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’) : AO = AO’ = AB Bài 57: Cho đường tròn (O; R) có đường kính cố định AB ⊥ CD a) Chứng minh: ACBD hình vng b) Lấy điểm E di chuyển cung nhỏ BC (E ≠ B; E ≠ C) Trên tia đối tia EA lấy đoạn EM = · EB Chứng tỏ: ED tia phân giác AEB ED // MB c) Suy CE đường trung trực BM M di chuyển đường tròn mà ta phải xác định tâm bán kính theo R C HD: a) AB ⊥ CD ; OA = OB = OC = OD = R(O) ⇒ ACBD hình vng · b) AED = E // · · · = DOB = 450 AOD = 45 ; DEB 2 · · · ⇒ AED ⇒ ED tia phân giác AEB = DEB · · = 450 ; EMB = 450 (∆ EMB vuông cân E) AED M = A O B · · ⇒ AED = EMB (2 góc đồng vị) ⇒ ED // MB c) ∆ EMB vuông cân E CE ⊥ DE ; ED // BM ⇒ CE ⊥ BM ⇒ CE đường trung trực BM D d) Vì CE đường trung trực BM nên CM = CB = R Vậy M chạy đường tròn (C ; R’ = R ) Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 54 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH Qua A vẽ đường thẳng phía ngồi tam giác, tạo với cạnh AC góc 400 Đường thẳng cắt cạnh BC kéo dài D Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AD E Đường thẳng vng góc với CD O cắt AD M a Chứng minh: AHCE nội tiếp Xác định tâm I đường trịn b Chứng minh: CA = CM c Đường thẳng HE cắt đường tròn tâm O K, đường thẳng HI cắt đường tròn tâm I N cắt đường thẳng DK P Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp Bài 59: BC dây cung đường tròn (O; R) (BC ≠ 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm ∆ABC Các đường cao AD; BE; CF đồng quy H a Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC b Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh: AH = 2.A’O c Gọi A1 trung điểm EF Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’ d Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC Suy vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN Bài 60: Cho đường trịn tâm (O; R) có AB đường kính cố định cịn CD đường kính thay đổi Gọi (∆) tiếp tuyến với đường tròn B AD, AC cắt (∆) Q P a Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp b Chứng minh: Trung tuyến AI ∆AQP vng góc với DC c Tìm tập hợp tâm E đường trịn ngoại tiếp ∆CPD µ < 900), cung tròn BC nằm bên ∆ABC tiếp xúc với AB, Bài 61: Cho ∆ABC cân (AB = AC; A AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi Q giao điểm MB, IK a Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp · b Chứng minh: tia đối tia MI phân giác HMK c Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp ⇒ PQ // BC Bài 62: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB, C trung điểm cung AB; N trung điểm BC Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) M Hạ CI ⊥ AM (I ∈ AM) C a Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp đường tròn Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 55 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH b Chứng minh: Tứ giác BMCI hình bình hành M = · · c Chứng minh: MOI = CAI N d Chứng minh: MA = 3.MB I · · HD: a) COA = 900 (…) ; CIA = 900 (…) ⇒ Tứ giác CIOA nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) b) MB // CI ( ⊥ BM) (1) = O A B · · ∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) ¶N1 = ¶N (đ/đ) ; NC = NB ; NCI (slt) = NBM ⇒ CI = BM (2) Từ ⇒ BMCI hình bình hành 1· · · c) ∆ CIM vuông cân ( CIA = 900 ; CMI = COA = 45 ) ⇒ MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC OI chung ; · · · · · · ⇒ MOI IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) ⇒ MOI mà: IOC = IOC = CAI = CAI d) ∆ ACN vng có : AC = R ; NC = Từ : AN = ⇒ MB = R AC (với R = AO) = 2 R2 R 10 NC2 R 10 MI ; NI = AC +CN = 2R + =R = = = MN = 2 NA 10 2 NC − MN = R2 R2 2R R 10 ⇒ AM = AN + MN = R 10 + R 10 = − = = 10 10 10 3R 10 ⇒ AM = BM µ = 600 nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH cắt đường trịn D, Bài 63: Cho ∆ABC có A đường cao BK cắt AH E · · a Chứng minh: BKH = BCD · b Tính BEC c Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động cung lớn BC Hỏi tâm I đườngtròn nội tiếp ∆ABC chuyển động đường nào? Nêu cách dựng đường (chỉ nêu cách dựng) cách xác định rõ (giới hạn đường đó) d Chứng minh: ∆IOE cân I · · HD: a) ABHK nội tiếp ⇒ BKH ; = BAH A Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 56 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH · · · · ( chắn cung BD) ⇒ BCD BCD = BAH = BKH K b) CE cắt AB F ; · · AFEK nội tiếp ⇒ FEK = 1200 = 1800 − ¶A = 1800 − 600 = 1200 ⇒ BEC F E ¶B + ¶C 1200 0 · c) BIC = 180 − = 180 − = 1200 2 Vậy I chuyển động cung chứa góc 1200 dựng đoạn BC, cung B nằm đường tròn tâm (O) I C H º » IO DS · · d) Trong đ/trịn (O) có DAS = sđ ; đ/trịn (S) có ISO = sđ 2 D S º » IO DS º = IE · · » = IE º ⇒ IO º ⇒ đpcm DAS = ISO (so le trong) nên: = mà DS 2 Bài 64: Cho hình vng ABCD, phía hình vng dựng cung phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB nửa đường trịn đường kính AB Lấy điểm P cung AC, vẽ PK ⊥ AD PH ⊥ AB C D M Chứng minh rằng: Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB I PB cắt nửa đường trịn a I trung điểm AP b Các đường PH, BI AM đồng quy c PM = PK = AH d Tứ giác APMH hình thang cân · HD: a) ∆ ABP cân B (AB = PB = R(B)) mà AIB = 900 (góc nội tiếp …) P K M ⇒ BI ⊥ AP ⇒ BI đường cao đường trung tuyến ⇒ I trung điểm AP I b) HS tự c/m c) ∆ ABP cân B ⇒ AM = PH ; AP chung ⇒ ∆vAHP = ∆v PMA ⇒ AH = PM ; AHPK hình chữ nhật ⇒ AH = KP ⇒ PM = PK = AH d) PMAH nằm đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) » = AH » ⇒ PA // MH ⇒ PM A B H Vậy APMH hình thang cân Bài 65: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M điểm thay đổi Bx; AM cắt (O) N Gọi I trung điểm AN a Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp đường tròn b Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 57 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH c Tìm vị trí điểm M tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN · · HD: a) BOIM nội tiếp OIM = OBM = 900 A · · · · b) INB (2 góc nội tiếp chắn cung BM) = OBM = 900 ; NIB = BOM B I ⇒ ∆ IBN ~ ∆OMB c) SAIO = HO AO.IH; SAIO lớn ⇔ IH lớn AO = R(O) N M Khi M chạy tia Bx I chạy nửa đường trịn đ/k AO Do SAIO lớn · Khi IH bán kính, ∆ AIH vuông cân, tức HAI = 450 Vây M cách B đoạn BM = AB = 2R(O) SAIO lớn Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi AI đường kính cố định D A điểm di động cung nhỏ AC (D ≠ A D ≠ C) · a Tính cạnh ∆ABC theo R chứng tỏ AI tia phân giác BAC D b Trên tia DB lấy đoạn DE = DC Chứng tỏ ∆CDE DI ⊥ CE c Suy E di động đường tròn mà ta phải xác định tâm giới hạn = d Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D điểm cung nhỏ AC E HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp đường tròn (O; R) HS tự c/m : O = ⇒ AB = AC = BC = R Trong đ/trịn (O; R) có: AB = AC ⇒ Tâm O cách cạnh AB AC · ⇒ AO hay AI tia phân giác BAC C B · · » ) b) Ta có : DE = DC (gt) ⇒ ∆ DEC cân ; BDC = BAC = 600 (cùng chắn BC º ⇒ BDI » ⇒ IB º = IC · · ⇒ ∆CDE I điểm BC = IDC I · ⇒ DI tia phân giác BDC ⇒ ∆CDE có DI tia phân giác nên đường cao ⇒ DI ⊥ CE c) ∆CDE có DI đường cao đường trung trực CE ⇒ IE = IC mà I C cố định ⇒ IC không đổi ⇒ E di động đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC Giới hạn : I » ∈ AC (cung nhỏ ) » nhỏ đ/t (I; R = IC) chứa ∆ ABC D → C E → C ; D → A E → B ⇒ E động BC Bài 67: Cho hình vng ABCD cạnh a Trên AD DC, người ta lấy điểm E F cho : a AE = DF = Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 58 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH a So sánh ∆ABE ∆DAF Tính cạnh diện tích chúng b Chứng minh AF ⊥ BE c Tính tỉ số diện tích ∆AIE ∆BIA; diện tích ∆AIE ∆BIA diện tích tứ giác IEDF IBCF µ = 450 Vẽ đường cao BD CE Bài 68: Cho ∆ABC có góc nhọn; A Gọi H giao điểm BD, CE a Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn.; b Chứng minh: HD = DC c Tính tỷ số: DE BC d Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh: OA ⊥ DE Bài 69: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh: a Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn · · b Khi điểm D di động đường trịn ( BMD + BCD ) không đổi c DB.DC = DN.AC Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với đường tròn (O) cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB CD; AD CE Chứng minh: a BC // DE b Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp c Tứ giác BCQP hình gì? Bài 71: Cho đường trịn (O) (O’) cắt A B; tiếp tuyến A đường tròn (O) (O’) cắt đường tròn (O) (O’) theo thứ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh: a ∆ABD ~ ∆CBA · · b BQD = APB c Tứ giác APBQ nội tiếp Bài 72: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F a Chứng minh: AEMO tứ giác nội tiếp b AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? Tại sao? Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 59 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH c Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH d.Cho AB = 2R gọi r bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF Chứng minh: r < < R Bài 73: Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD//AC Nối BK cắt AC I a Nêu cách vẽ cát tuyến AKD cho BD//AC b Chứng minh: IC2 = IK.IB · c Cho BAC = 600 Chứng minh: Cát tuyến AKD qua O Bài 74: Cho ∆ABC cân A, góc A nhọn Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN ⊥ AC Gọi M trung điểm BC Hai đ/thẳng AM EN cắt F a Tìm tứ giác nội tiếp đường trịn Giải thích sao? Xác định tâm đường trịn b Chứng minh: EB tia phân giác ∠AEF c Chứng minh: M tâm đường tròn ngoại tiếp VAFN Bài 75: Cho nửa đường trịn tâm (O), đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường trịn Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi F giao điểm AE nửa đường tròn (O) K giao điểm CF ED a Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm đường tròn b ∆BKC tam giác gì? Vì sao? c Tìm quỹ tích điểm E A di động nửa đường tròn (O) Bài 76: Cho ∆ABC vng C, có BC = AB Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B C) Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm d với AE, AC kéo dài I, K · a Tính độ lớn góc CIK b Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK c Gọi H giao điểm đường trịn đường kính AK với cạnh AB Chứng minh: H, E, K thẳng hàng d Tìm quỹ tích điểm I E chạy BC Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 60 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Bài 77: Cho ∆ABC vng A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F a Chứng minh: CDEF nội tiếp · b Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác CKD cắt EF CD M N Tia phân giác · cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình gì? Tại sao? CBF c Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh: r2 = r12 + r22 Bài 78: Cho đường trịn (O;R) Hai đường kính AB CD vng góc với E điểm cung nhỏ BC; AE cắt CO F, DE cắt AB M a Tam giác CEF EMB tam giác gì? b Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp Tìm tâm đường trịn c Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy Bài 79: Cho đường tròn (O; R) Dây BC < 2R cố định A thuộc cung lớn BC (A khác B, C khơng trùng điểm cung) Gọi H hình chiếu A BC; E, F thứ tự hình chiếu B, C đường kính AA’ a Chứng minh: HE ⊥ AC b Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC c Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định Bài 80: Cho ∆ ABC vuông A Kẻ đường cao AH Gọi I, K tương ứng tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABH ∆ ACH 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK 2) Đường thẳng IK cắt AB, AC M N a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AM = AN c) Chứng minh S’ ≤ S , S, S’ diện tích ∆ ABC ∆ AMN Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 61 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH TRUNG TÂM GIA SƯ, LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Địa chỉ: Số 04 - Ngõ 03 - Đường Tân Hùng - Tp.Vinh Điện thoại : 0917.638.972 – 0984.638.972 Emai: trungtamgiasu.alpha@gmail.com Website: giasualpha.edu.vn Facebook: https://www.facebook.com/groups/giasualpha/ Số – Ngõ – Tân Hùng –Tp Vinh Website: giasualpha.edu.vn ĐT:0984.638.972 – 0917.638.972 62