hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 4 chuoãi vaø phöông trình vi phaân baøi 1 chuoãi soá t

2- ÑIEÀU KIEÄN CAÀN CUÛA CHUOÃI HOÄI TUÏ.. TIEÂU CHUAÅN LEBNITZ.[r]

(1)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TỐN 4

CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(2)

NỘI DUNG

1- CHUỖI NHƯ TỔNG VÔ HẠN CHUỖI CẤP SỐ NHÂN

2- ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CHUỖI HỘI TỤ T/C PHÂN KỲ

3- CHUỖI SỐ DƯƠNG TIÊU CHUẨN SO SÁNH –

4- CHUỖI ĐIỀU HOAØ (RIEMAN)

5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI

7- CHUỖI ĐAN DẤU TIÊU CHUẨN LEBNITZ

(3)

CHUỖI SỐ NHƯ TỔNG VÔ HẠN

- chuỗi số un: số hạng tổng quát (số hạng thứ n)



 

 



 n

n

n u u

u u

u Ký hiệu

1

1   :

Cho dãy {un}, n  Tổng số hạng liên tiếp dãy

 Biểu thức có dạng:

Thực tế: Giá trị tổng chuỗi số (vô hạn số hạng)



 1

n

u

VD: Cần thời gian phép tính để tính



1

2

1

n n

VD: Sử dụng tổng S = – + – + … chứng tỏ !

2 1

(4)

ĐỊNH NGHĨA TỔNG CHUỖI CHUỖI HỘI TỤ (PHÂN KỲ)

-Xét chuỗi un = u1 + u2 + … + un + … Tổng n số hạng đầu

tiên chuỗi u1 + u2 + … + un: tổng riêng thứ n Ký hiệu:





 

 



n

k

k n

n u u u u

S

1

1   S1 u1, S2 u1 u2

Nếu  giới hạn hữu hạn: S S

n n 

lim  chuỗi hội tụ &

tổng chuỗi S:





n n

n

n S S u u u

u      

  

 





1

lim lim

Nếu giới hạn không tồn =   un phân kỳ

(đương nhiên un giá trị!)

VD: Khảo sát hội tụ tính tổng (nếu tồn tại) của:









1

1 1

1 /

1 

  







 n n n n n n

a

n

: yù

(5)

CHUỖI CẤP SỐ NHÂN

-VD: Tính     

n

2

1

VD: Khảo sát hội tụ chuỗi – + – + … =  (–1)n–1

Keát luận: Tính tổng chuỗi  Tính tổng riêng Sn &

n n S

lim

VD: Tính    

27

1

Chuỗi cấp số nhân:

1

0

 

 

 





 

q q

q

q n

n

n :

 

Ghi nhớ:

Chuỗi cấp số nhân hội tụ



 

 

 

0

n

n a q

aq aq

aq

a  

q u q

  

(6)

TÍNH CHẤT & PHÉP TOÁN TRÊN CHUỖI HỘI TỤ

-Các chuỗi un & vn hội tụ  Các chuỗi sau hội tụ và







n

n v u v

u



    1 n n n

n c u

cu

Sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi không thay đổi bỏ một số hữu hạn số hạng đầu (hoặc bất kỳ) chuỗi:



1 n N0

n N

n

n u u u u

u         định cố hạn hữu trị Giá

Phần dư: Khi chuỗi un hội tuï 



n

k

n

n u u u

R 

n n

n

n S R

u

S   

(7)

ĐIỀU KIỆN CẦN CHUỖI HỘI TỤ – T/C PHÂN KỲ

-VD: Kiểm tra lại điều kiện cần với chuỗi hội tụ xét



 1

1 /

n n

a /





1





 

q q

b

n









1 1

1 /

n n n

c

Sai laàm: lim 0



 n

n u

 Chuỗi un hội tụ! VD:





   

 



1

1 ln

n n

VD: Khảo sát chuỗi a/ – + – … = (–1)n





1 

/

n n

n b

Đkiện cần: Chuỗi un hội tụ  lim 0



 n

n u

   

 

 

0 lim

: lim

n n

u

u khơng có giới hạn

 Chuỗi phân kỳ Tiêu chuẩn

(8)

CHUỖI DƯƠNG

-VD: Khảo sát hội tụ chuỗi





1 1

1 /

n n

a



  



2 ln

1 ln

/ *

n n

b Tìm lim Từ khảo sát chuỗi

n

 dương hội tụ bị chặn: M n u M n

k

k  





1

:

Dấu hiệu so sánh 1: un, vn với < un  vn,  n  N0 vn (chuỗi lớn) htụ  un (nhỏ) htụ:

un (nhỏ) ph.kỳ  vn (lớn) ph.kỳ:

  







vn

un

  







un

vn

 Dãy tổng riêng {Sn}:

(9)

CHUỖI ĐIỀU HOAØ (CHUỖI RIEMAN)

-Tính tổng riêng Lập bảng giá trị {n Sn}  Tính chất hội tụ:

“Đốn” tính hội tụ chuỗi:



1 1

2 / / / n n n n c n b n a

Chuỗi điều hoà (Rieman)



n n

  



n

k

n



n

k

n

Chuỗi Rieman hội tụ   > 1 So sánh với chuỗi Rieman

(10)

DẤU HIỆU SO SÁNH 2

-VD: Khảo sát hội tụ tính tổng (nếu dễ tính!) của:











1 1 

1 /

n n n n

a







1

3

/

n n n n

b











1

1 1

/

n

e n c





n

n n

n v k u kv

u 



   0,  ~

lim :2 chuỗi chất hội tụ

Chuỗi dương un, vn (từ số N0) Nếu tồn giới hạn

k=0  un < vn n  N1 & k=  un > vn: Aùp dụng so sánh

Ngun tắc: Dùng tương đương, so sánh un với chuỗi 1/n

(tương tự tích phân suy rộng!) Một số trường hợp áp