2- ÑIEÀU KIEÄN CAÀN CUÛA CHUOÃI HOÄI TUÏ.. TIEÂU CHUAÅN LEBNITZ.[r]
(1)BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TỐN 4
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
(2)NỘI DUNG
1- CHUỖI NHƯ TỔNG VÔ HẠN CHUỖI CẤP SỐ NHÂN
2- ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CHUỖI HỘI TỤ T/C PHÂN KỲ
3- CHUỖI SỐ DƯƠNG TIÊU CHUẨN SO SÁNH –
4- CHUỖI ĐIỀU HOAØ (RIEMAN)
5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI
7- CHUỖI ĐAN DẤU TIÊU CHUẨN LEBNITZ
(3)CHUỖI SỐ NHƯ TỔNG VÔ HẠN
- chuỗi số un: số hạng tổng quát (số hạng thứ n)
n
n
n
n u u
u u
u Ký hiệu
1
1 :
Cho dãy {un}, n Tổng số hạng liên tiếp dãy
Biểu thức có dạng:
Thực tế: Giá trị tổng chuỗi số (vô hạn số hạng)
1
n
n
u
VD: Cần thời gian phép tính để tính
1
2
1
n n
VD: Sử dụng tổng S = – + – + … chứng tỏ !
2 1
(4)ĐỊNH NGHĨA TỔNG CHUỖI CHUỖI HỘI TỤ (PHÂN KỲ)
-Xét chuỗi un = u1 + u2 + … + un + … Tổng n số hạng đầu
tiên chuỗi u1 + u2 + … + un: tổng riêng thứ n Ký hiệu:
n
k
k n
n u u u u
S
1
1 S1 u1, S2 u1 u2
Nếu giới hạn hữu hạn: S S
n n
lim chuỗi hội tụ &
tổng chuỗi S:
n n
n n
n
n S S u u u
u
1 2
1
lim lim
Nếu giới hạn không tồn = un phân kỳ
(đương nhiên un giá trị!)
VD: Khảo sát hội tụ tính tổng (nếu tồn tại) của:
1
1 1
1 /
1
n n n n n n
a
n
: yù
(5)CHUỖI CẤP SỐ NHÂN
-VD: Tính
n
2
1
1
VD: Khảo sát hội tụ chuỗi – + – + … = (–1)n–1
Keát luận: Tính tổng chuỗi Tính tổng riêng Sn &
n n S
lim
VD: Tính
27
1
1
Chuỗi cấp số nhân:
1
1
1
0
q q
q q
q
q n
n
n :
Ghi nhớ:
Chuỗi cấp số nhân hội tụ
0
n
n
n a q
aq aq
aq
a
q u q
(6)TÍNH CHẤT & PHÉP TOÁN TRÊN CHUỖI HỘI TỤ
-Các chuỗi un & vn hội tụ Các chuỗi sau hội tụ và
1 n n n n n n
n v u v
u
1 n n n
n c u
cu
Sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi không thay đổi bỏ một số hữu hạn số hạng đầu (hoặc bất kỳ) chuỗi:
1 n N0
n N
n
n u u u u
u định cố hạn hữu trị Giá
Phần dư: Khi chuỗi un hội tuï
n k k n n
n u u u
R
n n
n
n S R
u
S
(7)ĐIỀU KIỆN CẦN CHUỖI HỘI TỤ – T/C PHÂN KỲ
-VD: Kiểm tra lại điều kiện cần với chuỗi hội tụ xét
1
1 /
n n
a / 1
1
q q
b
n
n
1 1
1 /
n n n
c
Sai laàm: lim 0
n
n u
Chuỗi un hội tụ! VD:
1
1 ln
n n
VD: Khảo sát chuỗi a/ – + – … = (–1)n
1
/
n n
n b
Đkiện cần: Chuỗi un hội tụ lim 0
n
n u
0 lim
: lim
n n
n n
u
u khơng có giới hạn
Chuỗi phân kỳ Tiêu chuẩn
(8)CHUỖI DƯƠNG
-VD: Khảo sát hội tụ chuỗi
1 1
1 /
n n
a
2 ln
1 ln
/ *
n n
n n
b Tìm lim Từ khảo sát chuỗi
n
dương hội tụ bị chặn: M n u M n
k
k
1
:
Dấu hiệu so sánh 1: un, vn với < un vn, n N0 vn (chuỗi lớn) htụ un (nhỏ) htụ:
un (nhỏ) ph.kỳ vn (lớn) ph.kỳ:
vn un
un vn
Dãy tổng riêng {Sn}:
(9)CHUỖI ĐIỀU HOAØ (CHUỖI RIEMAN)
-Tính tổng riêng Lập bảng giá trị {n Sn} Tính chất hội tụ:
“Đốn” tính hội tụ chuỗi:
1 1
2 / / / n n n n c n b n a
Chuỗi điều hoà (Rieman)
1 1
n n
n k k 1 2000000000 21.99362868 4000000000 22.68677586 6000000000 23.09224097 8000000000 23.37992304 10000000000 23.60306659 n n k k 1 2000 87.99354447 4000 125.0386585 6000 153.4654350 8000 177.4306720 10000 198.5446431 n
Chuỗi Rieman hội tụ > 1 So sánh với chuỗi Rieman
(10)DẤU HIỆU SO SÁNH 2
-VD: Khảo sát hội tụ tính tổng (nếu dễ tính!) của:
1 1
1 /
n n n n
a
1
3
/
n n n n
b
1
1 1
/
n
n
e n c
n n n
n n
n v k u kv
u
0, ~
lim :2 chuỗi chất hội tụ
Chuỗi dương un, vn (từ số N0) Nếu tồn giới hạn
k=0 un < vn n N1 & k= un > vn: Aùp dụng so sánh
Ngun tắc: Dùng tương đương, so sánh un với chuỗi 1/n
(tương tự tích phân suy rộng!) Một số trường hợp áp