90 câu trắc nghiệm về Số phức và các phép toán trên số phức có đáp án

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm [r]

90 CÂU TRẮC NGHIỆM VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ PHỨC CĨ ĐÁP ÁN

I – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Khái niệm số phức

 Tập hợp số phức: C

 Số phức (dạng đại số) : z a bi

(a, bR, a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0)

z ảo  phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo

 Hai số phức nhau: a bi a’ b’i a a ' (a, b,a ', b ' R) b b '

 

     

 Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 -1; i4k 3 -i

2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, bR) biểu diễn điểm M(a; b) hay u(a; b)

trong mp(Oxy) (mp phức)

3 Cộng trừ số phức:

 a bi   a’ b’i   a a’   b b’ i   a bi   a’ b’i   a a’   b b’ i   Số đối z = a + bi –z = –a – bi

 u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u u ' biểu diễn z + z’ u u ' biểu diễn z – z’ 4 Nhân hai số phức :

 a bi a ' b'i     aa’ – bb’  ab’ ba’ i   k(abi)kakbi (kR)

5 Số phức liên hợp số phức z = a + bi z a bi

 1

2

z z z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z ';

z z

 

      

  ;

2 z.za b

O

M(a;b) y

x a

6 Môđun số phức : z = a + bi  2

z  a b  zz  OM

 z   0, z C , z   0 z  z.z '  z z '  z z

z '  z '  z  z '    z z ' z z ' 7 Chia hai số phức:

 Chia hai số phức: a+bi aa'-bb'2 2 ab ' a ' b2 2 i a'+b'i a ' b ' a ' b '



 

 



1

z z

z

  (z  0) 

2

z ' z '.z z '.z z ' z

z z z.z



    z ' w z ' wz

z   

8 Căn bậc hai số phức:

 z x yi bậc hai số phức w a bi 

z w 

2 x y a

2xy b

  



 

 w = có bậc hai z =  w 0 có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a >  a

 Hai bậc hai a <  a.i 9 Phương trình bậc hai Az2

+ Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A 0)

2

B 4AC

  

  0: (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 B 2A

  

 , ( bậc hai )   0: (*) có nghiệm kép: z1 z2 B

2A

  

Chú ý: Nếu z0 C nghiệm (*) z0 nghiệm (*)

10 Dạng lượng giác số phức (dành cho chương trình nâng cao)

Cho số phức z ≠ Gọi M điểm biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Nếu  acgumen z acgumen z có dạng  + k2 (kZ)

b) Dạng lượng giác số phức :

Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0)



2

r a b

a cos

r b sin

r 

  

         

( acgumen z,  = (Ox, OM)

c) Nhân, chia số phức dạng lượng giác :

Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( +’)]

 

z r

cos( ') i sin( ')

z'r '       

d) Công thức Moa-vrơ :

Với n số nguyên, n  :  n n

r(cos i sin ) r (cos n i sin n )

Khi r = 1, ta : n

(cosi sin ) (cos ni sin n ) e) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác :

Các bậc hai số phức z = r(cos + isin) (r > 0) : r cos i sin

2

 

  

 

 

r cos i sin r cos i sin

2 2

     

     

           

II – CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho số phức z = 1i

2 2 Tính số phức sau: z; z

; (z)3; + z + z2

Giải:

a) Vì z = 1i

2 2  z =

3

i 2 b) Ta có z2 =

2

3

i

2

 



 

 

  =

2

3

i i

44  =

1

i 2  (z)2 =

2

2

3 3

i i i i

2 4 2

 

     

 

 

 

(z)3 =(z)2 z = 3i 1i 1i 3i i

2 2 4

  

      

  

  

  

Ta có: + z + z2 = 1i 3i 3 3i

2 2 2

 

     

Ví dụ 2: Tìm số thực x, y thoả mãn:

3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

 3x y 2y

5x x y

  



  

 Giải hệ ta được:

1 x

7 y

7         Ví dụ 3: Tính:

i105 + i23 + i20 – i34

Giải: Để tính tốn này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau:

Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…

Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N

Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n =  

n

n

i i





     

 

Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được:

i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + =

Ví dụ 4: Tính số phức sau: z =

16

1 i i i i

 

   

     

   

Giải: Ta có: 1 i (1 i)(1 i) 2i i

1 i 2

     

  i i

1 i

  

 Vậy

16

1 i i i i

 

   

     

    =i

16

+(-i)8 = 2

Ví dụ 5: Tìm phần ảo z biết: z 3z 2 i  3 i (1) 

Giải: Giả sử z=a+bi

 3     

(1)  a bi 3a 3bi  8 12i 6i i i  11i i 

4a 2bi 2i 22i 11i 20i 15

        a 15; b 10

4

   

Vậy phần ảo z -10

Ví dụ 6: Cho z1  3 i, z2  2 i Tính z1z z1 2 Giải:

  

1

z z z    3 i i i 10 10 0i  2 1

z z z 10 10

    

Ví dụ 7: Cho z1 2 3i, z2  1 i Tính z13z2 ; 2 z z

z



; z133z2

Giải:

+) z13z2      2 3i 3i 6i  2

1

z 3z  6  61

+)   

2

3 4i i

z z 4i i

z i i

 

     

   2

z z 49

z 4



  

+) z133z2  8 36i 54i 227i3    3 3i 49 6i 

1

Ví dụ 8: Tìm bậc hai số phức z 12i  Giải: Giả sử m+ni (m; nR) bậc hai z

Ta có: (m ni)  5 12i

2 2 2

m 2mni n i 12i m 2mni n 12i

         

2

2 m n 5(1)

m n

6 2mn 12 m (2)

n

  

   

 

 

 

Thay (2) vào (1) ta có:

2

2

6

n 36 n 5n n

        

 

4 2

n 5n 36 n 4; n 9(loai)

       

n m

n m

  



      

Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15

Giải:

Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Biết số phức z x iythỏa z2   8 6i Mệnh đề sau sai? A

2 x y xy

   

 

 B

4

x 8x

y x

   

 

  C x hay x

y y

  

 

    

  D

2

x y 2xy  8 6i Câu 2: Cho số phức zm 1  m i, m   R Giá trị m để z 

A   2 m B   6 m C 0 m D m

m

      Câu 3: Viết số phức    

2

2 i 2i

3 i

  

A 11 7i 5

  B 13 7i

5

  C 11 7i

5 5 D

11 i 5

 

Câu 4: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Số phức z  a bi a

b

    

B Số phức z a biđược biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng phức Oxy C Số phức z a bicó mơđun a2b2

D Số phức z a bicó số phức đối z ' a bi

Câu 5: Cho số phứcz a bi, a, bR mệnh đề Khi số 1 z z  là:

1) Điểm biểu diễn số phức z M a; b   2) Phần thực số phức 1 z z

2  a;

3) Môdul số phức 2zz 9a2b2

4) z  z

A Số mệnh đề B Số mệnh đề

C Số mệnh đề sai D Cả

Câu 6: Mệnh đề sau sai

A z1 z2  z1  z2 B z   0 z

C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  1là đường trịn tâm O, bán kính R = D Hai số phức phần thực phần ảo tương ứng

Câu 7: Cho hai số phức z1  3i, z 2    3i, z3 z z1 2 Lựa chọn phương án đúng: A z3 25 B z3  z12 C z1z2  z1 z2 D z1 z2 Câu 8: Cho số phức z i , z ' i

5 7i 7i

 

 

  Trong kết luận sau:

Kết luận đúng?

A Cả I, II, III B Chỉ II III C Chỉ III, I D Chỉ I, II

Câu 9: Cho số phức z1 Xét số phức

2009

2

i i

z z

z 

   



3

2

z z

z z z



   

 Khi

A  , R B  , số ảo C  R, số ảo D  R, số ảo Câu 10: Cho số phức z = 3i

2

  Số phức + z + z2 bằng:

A 3i

2

  B - 3i C D

Câu 11: Giá trị biểu thức 2017 i i    i i là:

A 1 i B i C i D 1 i

Câu 12: Đẳng thức đẳng thức sau:

A (1 i) 2018 21009i B (1 i) 2018 21009i C (1 i) 2018  21009 D (1 i) 201821009 Câu 13: Cho z , z1 2 đẳng thức:

1

1 2 2 2

2

z z

z z z z ; ; z z z z ; z z z z z z

       

Số đẳng thức đẳng thức là:

A B C D

Câu 14: Đẳng thức sau đẳng thức đúng?

A (1 i)  16 B (1 i) 16 C (1 i) 16i D (1 i)  16i Câu 15: Đẳng thức sau đẳng thức đúng?

A i2006  i B i2345i C i1997  1 D i2005 1 Câu 16: Số số phức sau số ảo ?

A 2 2i 2 B  23i  23i C  23i   3i  D 3 2i

2 3i

  Câu 17: Giá trị 4k

1 i   i i với *

kN

A 2ki B 2k C D

A - B - C 13 D - 13

Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y  thỏa mãn z3 = 18 + 26i Giá trị T (z 2)2012 (4 z)2012 là:

A 21007 B 1007

3 C 21007 D 21006 Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức

n

13 9i 12 i

  

 

  

  số thực ? số ảo ? là:

A n = + 6k, k  B n = + 4k, k  C n = 2k, k  D n = 3k, k  Câu 21: Cho số phức z 2i z

z bằng:

A 5 12i

13



B 5 6i

11



C 5 12i

13



D 5 6i

11



Câu 22: Tính số phức

3

1 i z

1 i

  

   

  :

A + i B + 2i C – 2i D – i

Câu 23: Cho

5 i z

1 i



 

    , tính z5  z6 z7 z8

A B C D

Câu 24: Tính giá trị 11 P    i i i i

A −1 B C + i D – i

Câu 25: Tính P1 5i   1 3i2007 kết

A 22007i B 2007i C 22007 D 22007i

Câu 26: Giá trị biểu thức A i 105i23i – i20 34 là:

A 2i B C 2i D 2

Câu 27: Nếu z 1

2

z

z 

A Là số ảo B Bằng C Lấy giá trị phức D Lấy giá trị thực

Câu 28: Số phức

16

1 i i z

1 i i

 

   

   

 

A i B C i D 2

Câu 29: Biết số phức z a bi c c

   ( với a, b, c số tự nhiên) thỏa mãn iz 1 3i z z2

1 i  



 Khi

giá trị a là:

A - 45 B 45 C - D

Câu 30: Cho x, y số thực thỏa điều kiện: x y

x 1 i

  

  là:

A x 1; y 1 B x 1; y2 C x1; y 3 D x1; y3

Câu 31: Cho z1 2 3i; z2  1 i

3

1

1 z z Tính :

(z z )

 

A 85 B 61

5 C 85 D

85 25

Câu 32: Cho hai số phức z1 ax b, z 2 cx d mệnh đề sau:

(I) 2 2

1

1 z

a b

z   ; (II) z1z2  z1 z2; (III) z1z2  z1 z2 Mệnh đề là:

A Chỉ (I) (III) B Cả (I), (II) (III) C Chỉ (I) (II) D Chỉ (II) (III)

Câu 33: Tìm bậc hai số phức z 7 24i

A z  4 3i z 4 3i B z  4 3i z  4 3i C z 4 3i z 4 3i D z 4 3i z  4 3i Câu 34: Cho z 5 3i Tính  z z

2i  ta kết là:

A 3i B C 3 D 6i

Câu 35: Cho số phức z a bi, a, b   Nhận xét sau đúng?

A z 2 a b B z  a b C z  a  b D z  a b Câu 36: Tìm bậc số phức z 9i 5i

1 i



 



A 4i B 2i C 2 D 4

Câu 37: Tính  1 i ta kết là:

Câu 38: Giá trị

2024 i i

 

  

 

A 20241

2

 B 10121

2 C 2024

1

2 D 1012

1



Câu 39: Tính

7

3 i

z

2

 

  

  ta kết viết dạng đại số là: A i

2 2 B

1 i

2 C

3 i 2

  D i

2

  Câu 40: Tìm bậc hai -

A - B C 3i D 3i

Câu 41: Cho z i 2

   Tính z z2

A B - C D

Câu 42: Tìm số phức   z1 2z ,2 biết rằng: z1 1 2i, z1 2 3i

A    3 4i B    3 8i C   3 i D   5 8i Câu 43: Tích số phức z1 1 2i zi  3 i

A B - 2i C - 5i D 5 5i

Câu 44: Tổng hai số phức 3 i;5 7i 

A 8 8i B 8 8i C 8 6i D 5 6i

Câu 45: Các số thực x y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i

A Kết khác B

9 x

11 y

11        

C

9 x

11 y

11        

D

9 x

11 y

11        Câu 46: Biết số phức z 3 4i Số phức 25i

z là:

A  4 3i B  4 3i C 4 3i D 4 3i

Câu 47: Cho biết:

       3

A Chỉ (3) sai B Chỉ (2) sai C Chỉ (1) (2) sai D Cả (1), (2), (3) sai

Câu 48: Tổng số phức 1 i i

A 1 B 2i C 1 i D 1 2i

Câu 49: Cho số phức z1 2 i, z2  1 i Hiệu z1z2

A + i B C 2i D + 2i

Câu 50: Tính 3 4i  (2 3i) ta kết quả:

A 3 i B 5 7i C 7i D 1 i

Câu 51: Đẳng thức

A (1 i) 4 B (1 i) 4i C (1 i)  16 D (1 i) 16 Câu 52: Cho số phức z = 2i + z

z bằng:

A z 12i 13

 

 B

5 12i z

13

 

 C

5 6i z

11



 D z 6i

11

  Câu 53: Số 12 5i bằng:

A - 12.5 B C 13 D `

Câu 54: Giá trị biểu thức (1 - i )6 bằng:

A 64 B 25 C 24 D Kết khác

Câu 55: Tính z

z , với ` z2  2 i

A - i B - i C + i D I

Câu 56: Giá trị `

A i B - C - i D

Câu 57: Nghịch đảo số phức 2i  là:

A ` B ` C ` D

Câu 58: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: `

A x y

  B x 1; y

3

  C x y D x 1; y

3

   

119

1

z  1 2i

2008

i

5

i

29 29

  i

2929

5 i 29 29

 

   

Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)10

A i B Kết khác C – 32i D 32i

Câu 60: ạng đơn giản biểu thức (4 3i) (2 5i)   là:

A + 7i B + 2i C – 8i D – 7i

Câu 61: Các bậc hai + 6i

A Kết khác B

2 i

3 i

   

   

 C

1

3 i i

   

  

 D

1

3 i i

   

    

Câu 62: Số sau số 2 i 4i   

A 5 4i B 6 11i C 10 5i D 6 i

Câu 63: Cho z 2 i 2i  2 i 2i 

2 i i

   

 

  Trong két luận sau, kết luận đúng? A z.z 22

5

 B z số ảo C z D z z 22

Câu 64: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được:

A z = + 3i B z = - – 2i C z = + 2i D z = - – i

Câu 65: Thu gọn z = i(2 – i)(3 + i) ta được:

A z 2 5i B z5i C z6 D z 7i 

Câu 66: Kết phép tính (2 3i)(4 i)  là:

A - 14i B - - 14i C - 14i D + 14i

Câu 67: Số phức z = 1 i 3 bằng:

A 4 3i B 3 2i C 4 4i D  2 2i

Câu 68: Số phức z thỏa mãn: là:

A z 3i

  B z 1i

2

  C z 3i

2

   D z 3i

2

  

Câu 69: Số phức z 4i i

 

 bằng: A z 16 11i

15 15

  B z 16 13i

17 17

  C z 4i

5

  D z 23i

25 25

 

Câu 70: Thực phép tính sau: A = (2 3i)(1 2i) i 2i



  

 ; A 114 2i

13

 

B 114 2i

13



C 114 2i

13



D 114 2i

13

 

Câu 71: Rút gọn biểu thức z  i (2 4i) (3 2i)  ta được:

A z   2i B z –1– i C z –1– i D z 5 3i Câu 72: Rút gọn biểu thức zi(2 i)(3 i)  ta được:

A z6 B z 7i  C z 2 5i D z5i

Câu 73: Thực phép tính sau: B = 4i (1 4i)(2 3i)



 

A 4i

14 5i   B 62 41i 221 

C 62 41i

221



D 62 41i

221

  Câu 74: Kết phép tính (a bi)(1 i)  (a, b số thực) là:

A a b (b a)i   B a b (b a) i   C a b (b a) i   D    a b (b a)i

Câu 75: Cặp số (x; y) thõa mãn điều kiện (2x 3y 1) ( x    2y)i(3x 2y 2) (4x    y 3)i là: A 9;

11 11

 

 

 

  B

9 ; 11 11

 

 

  C

4 ; 11 11      

  D

4 ; 11 11      

Câu 76: Các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – + (x – y)i

A (x; y) 4; 7

 

   B (x; y) 4; 7

 

  

  C

1 (x; y) ;

7

 

  

  D

1 (x; y) ;

7

 

   

 

Câu 77: Các số thực x, y thoả mãn: x -y-(2y 4)i   2i là:

A (x; y)( 3; 3);(x; y)  ( 3;3) B (x; y)( 3;3);(x; y)( 3; 3)

C (x; y)( 3; 3);(x; y)  ( 3; 3) D (x; y)( 3;3);(x; y) ( 3; 3)

Câu 78: Thu gọn z =  

2

23i

ta được:

A z 11 6i  B z = - - i C z 4 3i D z = - + 6 2i Câu 79: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 – 3i) ta được:

A z4 B z 9i C z 4 9i D z 13

A – 5i B – i C + i D + 5i

Câu 81: Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x 5i   y 2i 3   35 23i

A (x; y) = ( - 3; - 4) B (x; y) = ( - 3; 4) C (x; y) = (3; - 4) D (x; y) = (3; 4)

Câu 82: Tìm bậc hai số phức sau: + 6 i

A z1 = - i z2 = - - i B Đáp án khác

C z1 = - + i z2 = + i D z1 = + i z2 = - - i Câu 83: Các bậc hai số phức 117 44i là:

A  2 11i B  2 11i C  7 4i D  7 4i

Câu 84: Cho số thực x, y thỏa phương trình: 2x (1 2y)i   2(2 i) 3yi  x Khi đó:

x 3xy y  A 49

45

 B 47

45 C

43

45 D -

Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z (2 i)    4 i Hiệu phần thực phần ảo số phức z là:

A B C D

Câu 86: Cho mệnh đề

i  1, 12

i 1, 112

i 1, 1122

i 1 Số mệnh đề là:

A B C D

Câu 87: Tìm số nguyên x, y cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i

A x

y

    

 B

x

y     

 C

x

y    

 D

x

y

     Câu 88: Xét số phức z m (m R)

1 m(m 2i) 

 

  Tìm m để z.z1

A m0, m 1 B m 1 C m 1 D m1

Câu 89: Cho hai số phức z w thoả mãn z  w 1 z.w 0 Số phức z w

1 z.w



 là:

A Số thực B Số âm C Số ảo D Số dương

Câu 90: Cho số phức

2017

1 i z

1 i 

 

    Khi 15 z.z z 

A i B C i D 1

5

5

ĐÁP ÁN

1.D 2.C 3.D 4.D 5.A 6.A 7.A 8.D 9.C 10.D

11.D 12.A 13.D 14.B 15.B 16.A 17.D 18.D 19.A 20.D

21.C 22.B 23.B 24.A 25.A 26.B 27.C 28.B 29.B 30.A

31.A 32.D 33.D 34.C 35.B 36.B 37.C 38.D 39.C 40.C

41.C 42.B 43.D 44.C 45.D 46.A 47.D 48.D 49.D 50.C

51.D 52.A 53.C 54.A 55.D 56.D 57.C 58.C 59.D 60.B

61.D 62.C 63.C 64.D 65.D 66.C 67.D 68.D 69.B 70.B

71.C 72.B 73.B 74.B 75.B 76.C 77.C 78.D 79.D 80.B

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II Khoá Học Nâng Cao HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

- - - - -