* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Do đó[r]
(1)SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Định lí 1:Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm phương trình D : f(x) = k khơng nhiều f(x) = f(y) x = y với x,y thuộc D
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x=a, tức f(a) = k Do f đồng biến nên * x > a suy f(x) > f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy f(x) < f(a) = k nên pt f(x )= k vô nghiệm Vậy pt f(x) = k có nhiều nghiệm
Chú ý:
* Từ định lí trên, ta áp dụng vào giải phương trình sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0 Ta thực phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng f(x) = k f(u) = f(v) ( u = u(x), v = v(x)) ta chứng minh f(x) hàm đồng biến (nghịch biến)
Nếu pt: f(x) = k ta tìm nghiệm, chứng minh nghiệm Nếu pt: f(u) = f(v) ta có u = v giải phương trình ta tìm nghiệm * Ta áp dụng định lí cho tốn chứng minh phương trình có nghiệm
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm D pt: f(x)=g(x) không nhiều
Chứng minh:
Giả sử x = a nghiệm pt: f(x) = g(x), tức f(a) = g(a) Ta giả sử f đồng biến g nghịch biến
(2)* Nếu x < a suy f(x )< f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến pt f(x) = g(x) vô nghiệm x < a
Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nghiệm
Chú ý: Khi gặp pt F(x) = ta biến đổi dạng f(x) = g(x), f g khác tính đơn điệu Khi ta tìm nghiệm pt chứng minh nghiệm
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
1) VT hàm đồng biến x = nghiệm phương trình nên theo định lí ta có x = nghiệm Vậy ta có cách giải sau ĐK:
Xét hàm số , ta có f(x) hàm liên tục D hàm số f(x) đồng biến
Mặt khác, ta thấy f(1) =
* Nếu x > suy f(x) > f(1) = nên pt vô nghiệm * Nếu x < suy f(x) < f(1) = nên pt vô nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình cho
Chú ý:
* Vì hàm số y = ax + b với a > hàm đồng biến f(x) hàm đồng biến hàm ( với điều kiện thức tồn tại) hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận VT pt hàm đồng biến
(3)2) VT pt hàm đồng biến pt có nghiệm x = Do pt có nghiệm x=1 ( Các giải tương tự 1)
3) Bài có điểm khác, làm hai gặp khó khăn Tuy nhiên nhìn kĩ ta thấy biểu thức dấu hai vế có mối liên hệ x + = (x + 1) + 2x2 + =(2x2) + 1, đặt thì
phương trình cho trở thành:
, hàm liên tục f(t) ln đồng biến Do
Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = -1/2
Ví dụ 3: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm
Giải:
Để chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm D ta tiến hành theo cách sau
* Chứng minh phương trình f(x) = ln có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục D tồn hai số a,b cho
f(a).f(b) <
* Tiếp theo ta chứng minh f(x) hàm đồng biến ln nghịch biến Trở lại tốn:
Xét hàm số Ta có f(x) hàm liên tục R f(0).f(2) < 0, dẫn đến pt f(x) = ln có nghiệm
Giả sử nghiệm phương trình f(x)=0,
Từ ta suy Do ta cần khảo sát f(x) với x 1
Ta có f(x) hàm đồng biến
(4)Chú ý:
* Nếu khảo sát hàm f(x) khơng thể có f(x) hàm đồng biến, ta cần hạn chế miền xác định x Điều ta có nhờ vào thân phương trình
* Để chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm D ta cịn có cách khác khảo sát hàm f(x) D, lập bảng biên thiên từ bảng biến thiên ta suy đồ thị hàm f(x) cắt Ox điểm
Ví dụ : Giải bất phương trình sau:
Giải:
1) ĐK: Xét hàm số
Ta dễ dàng chứng minh f(x) hàm nghịch biến f(1) = Do
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bpt là: 2) ĐK:
Xét hàm số , ta có f(x) hàm đồng biến Mặt khác:
Do Bpt
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm Bpt
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Giải:
Từ (2) ta suy |x|,|y| 1
,
(5)nên Thay x=y vào (2) ta có nghiệm
Chú ý:
* Qua hai ví dụ ta thấy hai chung phương pháp, phương trình hệ có dạng f(x) = f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu hàm số f(t)
* Một ý sử dụng tính đơn điệu có f(t) liên tục đơn điệu
Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình sau: