[r]
(1)Trờng THPT Phan Bội Châu Đề thi hsg cÊp trêng Tỉ khoa häc tù nhiªn Khèi 12 Năm học 2009 2010
Môn toán - Thời gian làm : 120 phút
Câu (3 điểm): Cho hàm số y = f(x) = x3 3x (C)
a) Viết phơng trình tiếp tuyÕn (C) biÕt hÖ sè gãc tiÕp tuyÕn b»ng b) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) qua A(-1; 2)
c) Cho (P) : y = 4x2 – 6x, chứng minh (P) (C) cắt điểm phân biệt, tìm toạ độ điểm
Câu (3 điểm) : Giải phơng trình sau : a) 4x-1 – 13.6x-2 + 9x-1 = 0
b) 23 6.2 3(1 1) 12
2
x x
x x
c) 2 3 x 2 3x 4
Câu (2 điểm) : Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh đáy cạnh bên đều a
Câu (1 điểm) : Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục D, có f(x0) = g(x0) với x0 D Hàm số y = f(x) đồng biến D, hàm số y = g(x) nghịch biến D Chứng minh phơng trình f(x) = g(x) có nghiệm D
C©u (1 ®iĨm) : Chøng minh r»ng hai khèi lËp ph¬ng cã diện tích toàn phần bằng tích b»ng
- HÕt -§Ị thi cã : 01 trang, thí sinh không sử dụng tài liệu
Giám thi coi thi không giải thích thêm
Họ tên thí sinh : Lớp
Hớng dẫn chấm thi, đáp án, biểu điểm
Hớng dẫn, đáp án Biểu điểm Câu (3 điểm): y = f(x) = x3 – 3x (C), y’ = 3x2 - 3
a) Gäi (x0; y0) lµ tiÕp ®iĨm, hƯ sè gãc tiÕp tun b»ng
f’(x0) = 3x02 = 12
0
2
x x
(2)+) x0 = y0 = Pttt : y = 9x – 16
+) x0 = - y0 = - Pttt : y = 9x + 16 KL b) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) qua A(-1; 2) Gọi đờng thẳng qua A có d có hệ số góc k
PT d : y = k(x +1) + §Ĩ d lµ tiÕp tun cđa (C)
3
3 ( 1)
3
x x k x
x k 1 x k x k
+) k = Pttt : y = +) k =
4
Pttt : y =
4
x
4
KL c) (P) : y = 4x2 – 6x, y = x3 – 3x (C), Số giao điểm (P) (C) số nghiệm PT :
4x2 – 6x = x3 – 3x x3 – 4x2+ 3x = x(x2 – 4x + 3) = 0 18 x y x y x y
Vậy (P) cắt (C) điểm O(0; 0), A(1; -2), B(3; 18)
b) Lập hệ PT đợc : 0,5đ, Phần lại : 0,5đ
c) Lập PT: 0,5đ Giải PT, tìm điểm : 0,5đ
Câu (3 điểm) : Giải phơng trình sau : a) 4x-1 13.6x-2 + 9x-1 = 0
4x-1 – 13
6
x-1 + 9x-1 = 6.4x-1 – 13.6x-1 + 6.9x-1 = 0
1 x -13 x
+ = Đặt t =
1 x
(t > 0)
6t2-13t + =
2 3 t x t x KL
b) 23 6.2 3(11) 12
2
x x
x x
23 6.2 83 12
2
x x
x x
23 83 2
2 x x x x
Đặt t = 2
2 x x 3 2 x x
= t
3 + 6t
Mỗi phần 1đ
(3) t3 + 6t – 6t = t = 1 2
2
x x
=
Đặt y = 2x (y > 0) y2 – y – = 1( )
2
y l
y
+) y = 2x = x = KL
c) 2 3 x 2 3x
Đặt t =(2 3)x(t > 0) t2- 4t + =
2
t t
2
t x =
2
t x = -1 KL
Câu (2 điểm) : Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh đáy cạnh bên a
Gọi khối chóp tứ giác S.ABCD, O tâm ABCD Cạnh đáy cạnh bên a Diện tích đáy S0 = a2 AC = a 2
OA = a
2 SO = a 2
ThÓ tÝch khèi chãp lµ : V =
3 a 2 a
2 = a3
6 KL
O
C B
D A
S
E
+) Vẽ hình : 0,5 đ +) Tính diện tích đáy : 0,5đ+) Phần cịn lại :
Câu (1 điểm) : f(x0) = g(x0) víi x0 D PT cã nghiƯm x0 trªn D
+) Víi x1> x0 (x1D)
Hàm số y = f(x) đồng biến D f(x1) > f(x0) Hàm số y = g(x) nghịch biến D g(x1) < g(x0) f(x1) > f(x0) = g(x0) > g(x1) f(x1) > g(x1)
Víi x1> x0 (x1 D) x1 nghiệm +) Với x2< x0 (x2D)
Hàm số y = f(x) đồng biến D f(x2) < f(x0) Hàm số y = g(x) nghịch biến D g(x2) > g(x0) f(x2) < f(x0) = g(x0) < g(x2) f(x2) < g(x2)
Với x2< x0 (x2 D) x2 nghiệm Vậy D, PT cho có nghiệm
+) ChØ cã nghiƯm : 0,5 ®
+) CM nghiƯm nhÊt : 0,5đ
Câu (1 điểm) : Chứng minh hai khối lập phơng có diện tích toàn phần th× cã thĨ tÝch b»ng
(4)Gọi hai hình lập phơng (H1), (H2) có cạnh, diện tích toàn phần, thể tích tơng ứng a, b, S1, S2, V1, V2
Theo bµi ta cã : S1 = S2 6a2 = 6b2 a = b a3= b3 V1= V2 ®pcm
+) CM đợc hai thể tích : 0,5đ
Đáp án có tính chất định hớng, đáp số Không phải lời giải chi tiết hay đáp án
Thí sinh có cách giải khác phù hợp, logic kiến thức, đáp số đợc điểm tối đa
Giám khảo chấm linh động việc cho điểm lẻ
Điểm lẻ làm tròn đến 0,5 ( 0,25đ làm tròn 0,5đ, 0,75đ làm tròn 1đ)