Ung dung cua Tich vo huong

Trong tam gi¸c ABC chøng minh r»ng:... Cho h×nh chãp S ABC.[r]

Ph¸t triĨn t cho häc sinh qua dạy học Tích vô hớng

nh ngha: (Cú nhiều định nghĩa tích vơ hớng hai véc tơ, ta nêu

một số định nghĩa quen thuộc chơng trình phổ thơng).

Cho hai véc tơ u,v(0) tích vơ hớng hai vec tơ kí hiệu u.vđợc xác định nh sau: u.vu.v.cosu,v

Trong hệ toạ độ Oxy tích vơ hớng cịn đợc xác định nh sau: Cho ux1,y1 ,v x2,y2

 

u.v x1.x2 y1.y2

 

Trong hệ toạ độ oxyz tích vơ hớng đợc xác định Cho ux1,y1,z1 ,v x2,y2,z2

 

u.v x1x2 y1y2 z1z2

 

Ngoài ta viết 2 2

2

.v u v u v

u     

Từ định nghĩa ban đầu ta suy u.vu.v (*)

Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức.

ThÝ dơ 1. Cho ba sè x,y,zd¬ng Chøng minh r»ng:

2

2 x y z

y x

z x z

y z y

x  

     

Giải. Trong hệ toạ độ Oxyz lấy ; ; ,v y z; z x; x y, y

x z x z

y z y

x

u   

    

  

 



 

Theo (*) ta suy ra:

   

2 2

2

y x x z z y y x

z x z

y z y

x z

y

x      

  

  

       

Hay

2

2

2 x y z

y x

z x z

y z y

x  

    

 (đpcm)

Dấu = xảy hai véc tơ cïng híng x y z

y x

z x z

y z y

x

        

ThÝ dơ 2. Víi sè a,b,c,d bÊt k×, cmr: a2b2  c2d2  ac2bd2

Gi¶i. Chän ba vÐc t¬ wac,bd ,ua,b ,vc,d ta cã:

w.u v a c2 b d2

 

Mặt khác: w.u v w.u v a c2 b d2. a2 b2 c2 d2

   

    

    



Từ hai điều suy ra: a2 b2 c2 d2 a c2 b d2

     

ThÝ dô 3. Trong tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: cos cos

cosA B C 

Giải. Gọi đờng trịn (I;r) nội tiếp ABC có tiếp điểm A1,B1,C1 lần lợt thuộc

AB CA

BC, , xét:

2 1

IA IB IC

                                                  

1 1 1

2 2

1  

                    IA IC IC IB IB IA IC IB

IA (1)

Mµ ; cos ; cos ; 2.cos

1 1 1 1

1 IB IC r IA IB r C IB IC r A IC1 IA r B

IA      

         Nªn (1) 2 2cos cos cos 

 

 

 r r A B C



2 cos cos

cosA B C

Dễ thấy đấu có đợc I trùng với G hay tam giác ABC

ThÝ dô 4. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC cã: sin

sin

sin2 2

 

 B C

A Từ cmr:

sin sin

sinA B C 

Giải. Gọi (O;R) đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC xét:             OC OB OA

2 2

                      OA OC OC OB OB OA OC OB

OA (1)

Ta cã: 2 2 2sin2

2

2 OB OA OB OA OB AB R R C

OA OB

OA      

                 

Tơng tự cho hai tích vơ hớng lại ta thu đợc: (1) 2.sin2 sin2 sin2 

 

 

 R R A B C



4 sin

sin

sin2 2

 

 B C

A

Dấu có đợc O trùng với Ghay tam giác ABCđều

§Ĩ chøng minh:

2 3 sin sin

sinA B C Ta chọn usinA;sinB;sinC,v1;1;1 áp

dụng (*) ta có ngay:

2 3 sin sin sin sin sin

sin 2

     

 B C A B C

A

Dấu đạt đợc tam giác ABCđều

Vận dụng toán liên quan đến ph ơng trỡnh v

hệ ph ơng trình.

Thí dụ 5. Giải phơng trình sau: 2   

 x x

x

Giải. Điều kiện x

Chọn

         ; 1 , ; 2 x x x v x

u v



3 cosx sinx

1

2

       

 x x

x x

x x

Nh dấu đạt đợc khi:

7 1

1 2

  

 x

x x

Kết luận phơng trình cho có nghiệm  x

Thí dụ 6. Giải phơng trình sinx 3.cosx1

Giải:

Đặt u 3;1 , vcos ;sinx x, suy ra: 2, 1, ,  ,

u              v  OA u  sđ             OA v  , x Khi pt trở thành: u v . 1.Hay: u v .cos , u v 1

   

 

2.cos ,u v

    cos , 

2

u v

   

 ,

u v 

   

Theo hƯ thøc Sa- L¬ ta cã:               OA v,                OA u,                  u v, k.2 (k Z )  , 

6

OA v       k 

                     

 

 

,

2

,

6

OA v k

OA v k



 

 

 

  

  

    

.2

.2

x k

x k



 

 

 

  

  



(k Z )

ThÝ dụ 7. Giải hệ phơng trình sau:

  

 

 

 

0 0 1

2 2

zy z

zx y

yz x

Giải. Chọn ba véc tơ: uy;z,vx;z,wy; x

Từ phơng trình thứ hai suy : u.w0

NÕu u0 th× suy v,w cộng tuyến x2yz0 trái với phơng trình đầu

Nh u0 hay yz0 Từ pt đầu x2yz 0 x1

KiĨm tra l¹i ta cã nghiƯm cđa hƯ (x;y;z) lµ: (1;0;0) vµ (-1;0;0)

ThÝ dơ 8. Giải hệ phơng trình sau: 2

3 3

1

x y z

x y z

x y z

   



  

 

  



Giải. Chọn u x y z v x y z ; ; ,  2; ;2 2 từ đề suy u 1, u v x3 y3 z3 1.

    

   MỈt khác ta lại có v x4 y4 z4 1 2x y2 y z2 z x2 2 1.

       



Nªn suy u v  1

Nh dẫn đến

 

 

0

1, 0,

1

0, 1,

0

cos ,

0, 0,

,

xy

x y z

v yz

x y z

zx u v

x y z

u v  

  

 

  

       

  

 

 

    



 

 

 

 

Thử lại ta đợc nghiệm hệ x y z; ;  1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1    

ThÝ dô 9. Gi¶i hƯ

 

   

     

    

     

   

  

2 2

2

1 3

2

0 3

2

0 1

z y

z x z

z x y z

x

yz y

x

Gi¶i Chän ux;y ,v y1;z,w2z 3;x z

Từ pt đầu suy ra: u.v0 (1) Từ pt hai suy ra: u.w 0 (2) Tõ pt ba suy ra: v2 w2

 (3)

NÕu u0  xy 0 thay vµo hƯ suy ra: z 1 hc z 2 NÕu u0 tõ (1) vµ (2) suy v,w céng tuyÕn

Mµ tõ (3) cã v2 w2

 nªn ta suy ra: vw

Víi

   

    

  

zx zy zxz

zy wv

2 22 321 

Thay y z, vào (1) ta đợc

3 , ,

 

 y z

Víi

   

    

  

0 24 231

x zy xzz

z y wv

Thay vào (1) ta đợc x0,y 4,z 0 x 0,y 0,z 2

KÕt ln nghiƯm cđa hƯ (x;y;z) lµ: (0;0;1), (0;0;2), (0;4;0) vµ ; ;

   

 

ThÝ dơ 10. Gi¶ sư hƯ

   

  

  

16 3

2

2

z yz y

y xy x

cã nghiƯm Cmr: xyyzzx8

Gi¶i. Chän 

  

  

 

   

  



2 ;

3 ,

3 ;

z y z v x x y

u  Tõ hÖ ta cã: u  3,v

Mặt khác: uv xyyzzx

3 

 , mµ . . 4 3.

 u v v

u  

Nh vËy suy ra: xyyzzx8.(®pcm)

ThÝ dơ 11. Cho a,b,c,d R Cã a2b2c2d2 1 vµ acbd 0 TÝnh abcd

Giải. Chọn ua;b,vc;d Khi theo đề có: u v 1 u.v0

Do u.v0 nªn ua;b céng tuyÕn víi w d;c.Theo gt cã u w 1.Nªn  uw

NÕu     .0

  

  

 ab dc ab dc

cb d a w u 

NÕu     .0

  

  

 ab dc ab dc

c b

da w

u 

KÕt luËn: abdc0

ThÝ dơ 12. Gi¶ sư hƯ     

 

 

 

b ay cx

a cy bx

c by ax

Giải. Chọn ua;b;c,vb;c;a,wc;a;b mx;y;1 Nh hệ tơng đơng với:

    

  

0 .

0 .

0 .

m w

m v

m u

 

 

 

, m0 nên ta suy ba véc tơ

a b c vb c a wc a b

u ; ; , ; ; ,  ; ; đồng phẳng Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra đợc góc

u,vv,w w,u Điều tơng đơng với uvw u,vv,w w,u=

3 2

NÕu uvw abc a3b3c3 3abc.(đpcm)

Nếu u,v v,ww,u=

3 2

th× suy uvw    .0

    

 

 

 

 a b c

b a c

a c b

c b a

Theo đẳng thức

a b ca b c ab bc ca abc

c b

a3 3 3    2 2 2    a3b3c3 3abc0 a3b3c3 3abc.(đpcm)

Thí dụ 13.Giả sử hệ

  

  

  

4 8

2 2

zx yz xy

z y x

cã nghiÖm, cmr:

3 , ,

 

 x y z

Gi¶i. (Qui ớc số có dấu dơng âm)

Do vai trò x y z, , nh nên ta cần chứng minh cho biến x đủ Từ hệ ta đợc x y z, , dấu Thật không tổng qt:

Gi¶ sư x,y 0;z0.Ta 4.

2

2

2 2 2

       

 xy x y x y z ( V« lÝ)

Gi¶ sư x0;y,z0 Ta suy ra: 4

2

2

2 2 2

      

yz y z x y z (V« lÝ)

Nên ba số x,y,z x,y,z0

Ta có xyz2x2y2z22xyyzzx, theo gt suy ra:

  

 

   

      

4 16

2

z y x

z y x z y x

-Trêng hỵp xyz 4  x,y,z 0

Trong hệ tọa độ oxyz chọn điểm Mx;y;z thay đổi, chọn A1;1;1 nh

 ; ; ,  1;1;1



OA z y x

OM tõ gt   8, 

 

OA

OM vµ OM .OA xyz4 Từ suy

ra khix,y,z thay i thỡ

OM nằm góc phần tám thứ tạo với OA

mt gúc khụng đổi Chiếu M lên trục Oxta xác định đợc hoành độ x hay cos( , )

x OM OM i               , nh x đạt giá trị lớn phụ thuộc vào góc (OM i               , ) Xét góc tam diện (OM OA Ox, , ) tổng hai góc tam diện ln lớn góc cịn lại, OM OA ,  ,

OA i , không đổi nên góc(OM i  , ) đạt lớn nhất, nhỏ khi ba véc tơ

 ; ; ,  1;1;1



OA z y x

OM i1;0;0 đồng phẳng OM,OA i 0 yz 

 

 



 

Víi y z

thay vào hệ đợc

    

 

3 x x

Tức trờng hợp

3 0x

- Trêng hỵp xyz 4  x,y,z Đặt x a;y b;z cvới a,b,c0 ta quay

vỊ trêng hỵp võa xÐt

3 4

3

0        

 a x x

Nh vËy tõ hai trêng hỵp cho ta kÕt qu¶

4

 

 x

Vai trò x,y,z nh nên ta có đợc , ,

 

 x y z (®pcm)

Cuối xin đa tốn hình học nhng cách giải lại mang đậm chất đại số

Thí dụ 14. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC, , vng góc với đơi một, M điểm thuộc phần tam giác ABC Gọi   , , lần lợt góc đờng thẳng

SM víi SA SB SC, , Chøng minh r»ng cos2 cos2 cos2 1.

   

Giải. Lấy SM SA SB SC, , , véc tơ đơn vị lần lợt m, a, b, c Theo đề suy :

- Ba véc tơ a b c, ,  vng góc với đơi

-Tồn số thực x y z, , để m x a y b z c    (1) Từ (1) suy x2 y2 z2 1

   (*) Nh©n hai vế (1)lần lợt với véc tơ a, b, c bình phơng lên ta suy

2 cos2

x   ,y2 cos2 , z2 cos2

Nh vËy theo (*) suy ra: cos2 cos2 cos2 1.

   (®pcm)