Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt là điều kiện cần và đủ, các bước đánh giá.. Học sinh có thể giải bài toán theo các cách khác nhau.[r]
(1)PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 2
1 x y
x
có đồ thị ( )C
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2 Cho A(0; )a , tìm giá trị a để từ A kẻ hai tiếp tuyến với ( )C hai tiếp điểm hai tiếp tuyến nằm hai phía trục hoành
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình lượng giác 3cot2 3(cot 1) 4 cos( 7 ) 1
sin 4
x
x x
x
2 Giải hệ phương trình
3
2 1 ( 1)
7
x y x y x y
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
0cos cos( )
4 dx I
x x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB tam giác SCD vng S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB, SC Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn abc1 Chứng minh
3
4 a b c
b c a a b c
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết B(1; 1) , trung tuyến kẻ từ A B có phương trình x y20 7x y 6 0 Cho diện tích tam giác 2, tìm tọa độ điểm A C Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1; 1) ;B(1;1;2);C( 1;2; 2) mặt phẳng ( )P có phương trình x2y2z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua A, vng góc với mặt phẳng ( )P
và cắt đoạn thẳng BC I cho IB2IC Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình
3
4
1
2log ( 1) log (2 1) log ( 1) 2
x x x
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1), đỉnh A thuộc đường thẳng
2x y 1 0, đỉnh B, C thuộc đường x2y 1 0 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(2;0; 5) , B( 3; 13;7) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A, B tạo với mặt phẳng (Oxz) góc nhỏ
Câu VII.b (1,0 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác khơng có chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ
(2)ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
CÂU ĐÁP ÁN B.ĐIỂM
I.1 a TXĐ D \ {1}
b Giới hạn tiệm cận
lim lim 1
xy x nên đường thẳng y 1 tiệm cận ngang ĐTHS
1
lim
x
lim
x
nên đường thẳng x1 tiệm cận đứng ĐTHS
0.25
c Chiều biến thiên ' 3 2 0 ( 1)
y x D
x
Hàm số nghịch biến khoảng (;1) (1;)
0.25
d Bảng biến thiên 0.25
e Đồ thị
Điểm cắt trục tung (0;-2); điểm cắt trục hoành (-2;0)
ĐTHS nhận giao điểm I(1;1) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0.25
I.2 Đường thẳng d qua A với hệ số góc k có phương trình ykxa
Để d tiếp tuyến với (C) hồnh độ tiếp điểm nghiệm ẩn x hệ
3 ( 1)
2 1
k x
x
kx a x
Do
2
2
( 1) (2 4) 2 0 (1)
2 3
1 ( 1) 1
a x a x a
x
x a
x x x
0.25
Để từ A kẻ tiếp tuyến với (C) (1) phải có nghiệm phân biệt x x1; 2 khác Khi hai hệ số góc tương ứng k k1; 2khác k1k2 x1x2 2 khơng tồn a Do kẻ tiếp tuyến
Chỉ
2
1
1
' 3 3 0
1
( 1).1 (2 4).1 2 0
a
a a
a
a a a
0.25 x
y
O 1
(3)Các tung độ tiếp điểm 1 2
1
2 2
;
1 1
x x
y y
x x
phải trái dấu nên
1 0
y y hay 2
1 2
2( ) 4 0 ( ) 1 x x x x
x x x x
0.25
Tính 9 6 0 2
3 3
a
a
Vậy 2
3
a a1
0.25
II.1 Điều kiện sinx0
Quy đồng biến đổi
2 2
3cos x3(cosxsin )x 4(cosxsin )sinx xsin x
0.25
2 2
(3cos x sin x) (cosx sin )(3 4sinx x) 0
2
(3 4sin x)(1 sinx cos )x 0
0.25
Giải trường hợp đầu
3
x k (thỏa mãn) 0.25
Giải trường hợp sau 2 2
x k (thỏa mãn); xk2 (loại)
Vậy họ nghiệm phương trình ; 2
3 2
x k x k
0.25
II.2 Từ phương trình thứ hai suy x0, kết hợp với đkiện pt đầu ta x0;y 1 0.25 Biến đổi phương trình đầu (y1) x y( 1)2x0, chia vế cho x0
được y 1 y 1 2 0
x x
Tính y 1 1
x
0.25
Thế y x1 vào pt sau x3x2 2x 8 0 x2 0.25 Tính y1
Vậy nghiệm (x;y) hệ (2;1) 0.25
III
6 2
0 0
(tan ) cos
2 2 2
cos (cos sin ) 1 tan 1 tan
dx
dx x d x
I
x x x x x
0.25
Đặt ttanx Đổi cận … 0.25
Đưa
3
3
3 0
2 2 ln 1
1
dt
I t
t
0.25
Tính 2 ln3 3 2
I 0.25
IV Gọi I, J trung điểm AB CD
(4)Do hình chiếu S (ABCD) hình chiếu S IJ Chỉ tam giác SIJ vuông S (định lý Pitago)
Tính 3
4
a
SH
3
3 12
a
V (đvtt) 0.25
Chỉ khoảng cách AB, SC khoảng cách từ AB đến (SCD) khoảng cách từ I đến (SCD)
0.25
Chứng minh SI vng góc với (SCD) khoảng cách 3
2
a
SI 0.25
V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta có
3
3 3
a a b a
a
b b c bc Tương tự 3
b b c b
c c a 3 c c a
c a a b
Do a b c a b c
b c a
0.25
Ta chứng minh a b c 3 4
a b c
Đặt t a b c, t3 0.25
Biến đổi BĐT thành t 3 4 (t 1)(t 3) 0 t
0.25
Chỉ BĐT t3
BĐT cho chứng minh Dấu “=” xảy a b c 1 0.25 VI.a.1
Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC ( ; )2 4 3 3 G Gọi M, N trung điểm BC, CA
Tính 3 5
2 2
BN BG
0.25
Vì 1 1
2
ABN ABC
S S nên ( ; ) 2.1 2 2
5 5
2
A BN
d
0.25
A D
B
S
C
(5)Gọi A a( ;2a) ta pt | 6 4 | 2 2
5 50
a
, giải 0; 4
3 a a
Với a0, tính A(0;2); (1;3)C 0.25
Với 4
3
a , tính ( ; ); (4 2 1 13; ) 3 3 3 3
A C 0.25
VI.a.2
Dựa vào IB 2IC, tính tọa độ điểm I ( 1 5; ; 2) 3 3
0.5 Dựa vào vectơ IA n ; p vuông góc với nQ , tính vec tơ pháp tuyến (Q)
(2;3;2)
Q
n
0.25
Phương trình (Q) 2x3y2z 3 0 0.25
VII.a
Điều kiện 1; 1
2
x x Biến đổi log (4 x3 1)log | 24 x1| log ( 4 x1) 0.25
Tương đương x2 x 1 | 2x1| 0.25
Xét 1
2
x nghiệm 1x2 0.25
Xét 1 1
2 x
nghiệm 1 x0
Vậy tập nghiệm S ( 1;0][1;2]
0.25 VII.a.1 Gọi B(1 ; ); (1 ; ) b b C c c A(1 2 b2 ;3c b c)
Do A thuộc đường 2x y 1 0 nên b c 0 Do A(1;3) 0.25 Tính khoảng cách từ A đến BC 6
5 nên BC 2 5 0.25
Mà B(1 ; ); (1 ; b b C b b ) nên BC 20b2 Do b 1 0.25 Từ A(1;3); ( 1;1); (3; 1)B C A(1;3); (3; 1); ( 1;1)B C 0.25 VII.a.2 Gọi n( ; ; )a b c vec tơ pháp tuyến (P)
( 5; 13;12) AB
, ta có 5a13b12c0 Góc (P) (Oxz) xác định
2 2
| |
cos b
a b c
0.25
Nếu b=0 900
Nếu b0, chọn b=1 ta 5a12c13 0
2
1 cos
1 a c
0.25 Khi
2 2
2
1 12 12 1
cos
2 169 130 313 (13 5) 288 5 13
1 12
a a a
a a
(6)nên 450
Do nhỏ 5; 1; 12
13 13
a b c PT (P) 5x13y12z700
0.25 VII.b - Chọn chữ số chẵn từ chữ số chẵn chữ số lẻ từ chữ số lẻ có
4.
C C cách 0.25
- Chọn vị trí cho chữ sổ chẵn có C52 cách 0.25
- Cho chữ số chẵn vào vị trí có 2! cách, cho chữ số lẻ vào vị trí cịn lại có 3!
cách 0.25
- Số số thỏa mãn đề C C C42. 53. 52.2!3! 7200 số 0.25 Yêu cầu:
Học sinh trình bày chi tiết lời giải bước tính tốn
Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt điều kiện cần đủ, bước đánh giá