Sự bất biến giúp chúng ta có thể phân biệt được mọi sự vật với nhau, ví dụ như xác định mối quan hệ giữa người và người trong cùng một dòng tộc, ta sử dụng sự bất biến trong cấu trúc A[r]
(1)Bất biến vấn đề vô tinh tế thú vị Cái tên bất biến nghe xa lạ lại gần gũi với bạn sống nói chung Tốn học nói riêng Sự bất biến giúp phân biệt vật với nhau, ví dụ xác định mối quan hệ người người dòng tộc, ta sử dụng bất biến cấu trúc AND, phân biệt người châu Á người châu Âu,ta sử dụng dự bất biến hình dạng họ qua thời đại Trong Tốn Học, có bất biến đẳng thức dãy số, bất biến cấu trúc đồ thị…Tóm lại bất biến gì, đặc điểm có tính cố định đối tượng suốt q trình biến đổi, chuyển hóa đối tượng Xác định bất biến giúp ta phân biệt mối quan hệ vật thể trước sau q trình biến đổi, để từ giải đáp nhiều vấn đề cách độc đáo đầy bất ngờ
Trong kì thi học sinh giỏi, bất biến thường xuyên xuất cách độc đáo tóan Tổ hợp, Suy luận Bài chuyên đề giúp cho bạn làm quen với số bất biến cách thức để phát bất biến
A Bất biến chẵn lẻ
Các bất biến thường sử dụng tốn có biến chuyển, giả sử đối tượng A1 qua phép toán T biến đổi thành đối tượng A A2, 3, ,An Mỗi đối tượng
i
A đặc trưng hàm số fi Bất biến chẵn lẻ xuất fi có tính
chẵn lẻ Nếu từ câu hỏi tóan, ta suy cấu trúc bất biến khơng bảo đảm ta suy kết luận tóan khơng
Để vấn đề trở nên rõ ràng hơn, thơng qua ví dụ sau
Bài tốn: Trên bảng ta viết 200 dấu cộng 305 dấu trừ Ta thực phép xóa hai dấu viết vào dấu cộng xóa hai dấu giống hệt dấu trừ xóa hai dấu khác Hỏi sau số lần bảng cịn lại tồn dấu cộng hay không
Trước hết ta phần tích giả thiết tốn, phép biển đổi thứ nhất, xóa hai dấu giống viết vào dấu cộng dấu cộng giảm tăng 1, dấu trừ giảm không thay đổi Trong phép biến đổi thứ hai, ta điền dấu trừ xóa hai dấu khác nhau, số dấu cộng giảm số dấu trừ không thay đổi Sự biến chuyển dấu cộng dường không cho ta hi vọng gì, bỡi lẻ tăng giảm cách liên tục đơn vị, dấu trừ sao, thật may mắn, giứ ngun giảm đơn vị sau lần biến đổi Như tính chẵn lẻ số dấu trừ khơng thay đổi, ban đầu số dấu trừ lẻ nên số lượng số dấu trừ lẻ Nếu cuối bảng cịn lại dấu cộng số dấu trừ 0, số chẵn Như có chuyện bảng tồn dấu cộng
Bài tóan khó khăn, nhìn ban đầu ta khơng tìm hướng hợp lý , mà lại đơn giản vô ta phát bất biến phải không bạn J
Bất biến thường xuyên xuất tốn thi đấu tính điểm nữa, thử xét ví dụ sau
(2)quả huề đội điểm Chứng minh sau kết thúc mùa giải, có đội mà số điểm ghi đuợc số chẵn
Bất biến tóan dạng thi đấu thường nằm số điểm mà đội có sau trận đấu Ở đây, ta xét tổng điểm mà đội thu sau trận đấu ln Đây bất biến hai phép biến đổi thắng-thua huề Bất biến cho ta điều gì, thứ tính số điểm tổng cộng tất đội bóng, từ ta suy giá trị nhỏ số điểm mà đội đứng nhận chẳng hạn Tuy nhiên đây, đề lại liên quan đến tính chẵn lẻ nên ta ý tới tính chẵn lẻ Theo phân tích trên, tổng số điểm hai đội sau trận đấu 2, tức số chẵn Như sau kết thúc mùa giải số điểm mà tất đội thu số chẵn, khơng có chuyện đội có số điểm lẻ được, số đội 15 đội số lẻ Như phải có đội ghi số điểm chẵn J
Sau số tập bất biến chẵn lẻ dành cho bạn đọc: Bài 1: Cho bảng ô vuông ta đánh dấu + – hình vẽ:
Ta thực phép đổi dấu tất ô nằm đường chéo đó( góc coi đường chéo, có tất 14 đường chéo) Hỏi số phép biến đổi ta làm cho tất ô bảng dấu hau khơng
Bài 2: Có 2005 nhà bác học Mỗi nhà bác học quen với số nhà bác học khác Chứng minh tồn nhà bác học có số người quen số chẵn
B.Bất biến theo tính đồng dư
Trong phần trên, xét bất biến chẵn lẻ Chẵn lẻ nói cách khác tính đồng dư theo số khác modun Như bất biến chẵn lẻ nói cách khác tính bất biến đồng dư modun Như theo ý tưởng tương tự, có bất biến theo đồng dư modun 3,4,5… Nghĩa hàm đặc trưng fi đối
tượng A sau i lần biến đổi phép T luông đồng dư với số nguyên dương k theo modun p
Ta thử xét qua ví dụ sau
Bài tốn: Trong thành phố nhiệm màu có 10 kị sĩ tóc vàng, 15 kị sĩ tóc đỏ 23 kị sĩ tóc xanh Các kị sĩ có đặc điểm thú vị hai người khác màu tóc gặp tóc họ đổi sang màu thứ ba Liệu sau số lần tất kị sĩ có màu tóc hay khơng
(Đề thi vào lớp 10 chun Tốn, trường PTNK) Giải:
Chúng ta phân tích tính chất kị sĩ mà đề nêu ra, hai người khác màu tóc gặp tóc họ đổi sang màu thứ ba Tính chất đặc biệt cho ta điều gì, giả sử hai người gặp xanh vàng, họ đổi thành hai kị sĩ tóc đỏ Như gì, số kị sĩ tóc xanh giảm 1, số kị sĩ tóc vàng giảm 1, số kĩ sĩ tóc đỏ tăng hai Sự tăng giảm cho tính chẵn lẻ ư, số kĩ sĩ áo đỏ tăng lên
+ - + +
+ + + +
+ + + +
(3)đấy thơi, lại có trường hợp số kị sĩ đỏ giảm hay tăng Vậy chúng đâu giữ ngun tính chẵn lẻ Ta thử xét tổng số, tổng không đổi, bất biến xuất điều không giúp ta giải toán Như ta thử xét hiệu đi, hiệu 0,0,3 Các số có tính chất gì, số chia hết cho Tuyệt quá, bất biến xuất rồi, dù thay đổi hiệu số hai loại kị sĩ ln chia hết cho Đây bất biến theo modulo
Ban đầu hiệu số số lượng kĩ sĩ không chia hết cho 3, khơng thể xảy trường hợp có hai loại kị sĩ mang số lượng 0,0 đựơc, nghĩa khơng có trường hợp mà tất loại kĩ sĩ màu tóc
Như qua phần bạn phần làm quen với bất biến đồng dư Số lượng loại bất biến nhiều, ví dụ bất biến phép tô màu, cấu trúc đại số, vấn đề hình học Tuy nhiên khn khổ sách có hạn nên chúng tơi trình bày cho bạn hai vấn đề bất biến Tác giả xin kết thúc viết băng phần tập cho bất biến đồng dư Xin chút bạn vui vẻ đường học vấn J
Bài 1:
Một tờ giấy kẻ caro hình vng chia thành hình vng nhỏ đoạn thẳng theo cạnh ô Chứng minh tổng độ dài đoạn thẳng chia hết cho 4.( Độ dài ô 1)
Bài 2:
Trong hành tinh α có đồ kì lạ, banh đổi hình dạng Có bốn loại banh hình cầu, hình hộp, hình van, hình chóp cụt Các banh làm băng đất xét nhiệm màu Khi ba banh hình dạng khác đụng vào đất xét nhão biến ba banh thành ba banh giống có hình dạng khác hồn tồn so với ba loại trước Trên bàn người ta thấy có 2005 hình cầu, 2000 hình hộp, 1999 hình van, 202 bóng hình chóp cụt Liệu sau số lần đụng người ta thu banh hình dạng hay không
Tài liệu tham khảo
o Chuyên đề Tóan học số Khoa Tốn trường PTNK, Tp Hồ Chí Minh o Giải tóan phương pháp đại Nguyễn Hữu Điển