Chứng minh rằng số có 6 chữ số do viết liền nhau hai số trên chia hết cho 7.[r]
(1)BÀI TẬP ƠN LUYỆN HSG - TỐN 7 (Phần: SỐ HỌC)
============================================== Bài 1: Chứng minh
a/ A = 19 + 69 44 b/ B = 222 + 333 13
c/ C = + chia hết cho 13, cho 7, cho 181
Bài 2: Cho a chia cho 73 dư a chia cho 73 dư 69 Hỏi a chí cho 73 dư ?
Bài 3: Giả sử x, y hai số tự nhiên thỏa mãn xy = 2007 Chứng minh x + y không chia hết cho
Bài 4: Chứng minh với số tự nhiên n + 40n - 67 chia hết cho 64
Bài 5: Chứng minh với n nguyên dương S = + + + … + chia hết cho 120
Bài 6: Cho p 10p + số nguyên tố lớn Chứng minh 5p + 1 chia hết cho
Bài 7: Cho p số nguyên tố lớn p + số nguyên tố Chứng minh p + 1979 chia hết cho 10
Bài 8: Chứng minh néu 2n + 3n + đồng thời số chính phương n chia hết cho 40
Bài 9: Cho = 10a + b với a, b, n số tự nhiên, n > b < 10 Chứng minh ab
Bài 10: Cho A = + - B = - - Chứng minh với n tự nhiên có hai số A B chia hết cho
Bài 11: Cho số có ba chữ số Hai số chia cho cho số dư. Chứng minh số có chữ số viết liền hai số chia hết cho Bài 12: Cho số a , a , …, a nhận hai giá trị - 1, biết aa + aa + … + aa = Chứng minh: n chia hết cho
Bài 13: Cho hai số nguyên dương a b Chứng minh a + b chia hết cho ab a = b
Bài 2: Tìm chữ số tận số: 7430, 4931, 8732, 5833, 23235,
6
5
244 , 579675.
(2)* 7430 = 742 7428 = 742.744.7 = 742.(744)7 = A6.B6 = C6. VËy 7430 cã tËn cïng lµ 6.
* 4931 = 49.4930 = 493.4928 = 493 (494)7 = A9.B1 C9 . VËy 4931 cã tËn cïng lµ 9.
* 8732 = (874)8 =
8
A1 B1
VËy 8732 cã tËn cïng b»ng 1.
* 5833 = 58.5832 = 58.(584)8 = 58.A6 B8 . VËy 5833 cã tËn cïng b»ng 8.
* 2325 = 233.2332 = (234)8.233 =
8
A1 B7 C7
VËy 2335 cã tËn cïng lµ 7.
* 244 cã tận nâng lên luỹ thừa bậc lẻ vÉn cã tËn cïng lµ 4, vËy
6
5
244 cã tËn cïng lµ 4.
ở tập ta vận dụng nhận xét số tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa 4n có chữ số tận
Sè cã tËn cïng lµ 3, 7, nâng lên luỹ thừa 4n có tận b»ng Bµi 3: Cho A = 51n + 47102 (n N) Chøng tá A 10.
Gi¶i: Ta cã: 51n = A1
47102 = 47100.472 = 4725.4.472 = B9.C1 D9 VËy 51n + 47102 = A1 +D9 = M010.
Bài 4: Chứng tỏ tỉng, hiƯu sau kh«ng chia hÕt cho 10. a/ A = 98 96 94 – 91 93 95 97
b/ B = 405n + 2405 + m2 (m, n N, n 0) Gi¶i: a/ 98 96 94 tích số chẵn tích chẵn 91 93 95 97 tích số lẻ tích lẻ
Hiệu số chẵn số lẻ số lẻ A 10 b/ 405n = A5; 2405 = 2404.2= 24.101 = B6.2 C2
405n + 2405 = D7
(3)Bµi 5: Chøng tá r»ng:
a/ M = 8102 – 2102 chia hÕt cho 10. b/ N = 175 + 244 – 1321 chia hÕt cho 10. c/ P = 92n + 1 + chia hÕt cho 10.
Gi¶i: a/ Ta cã 8102 = (84)25 82 = A6.64 B4 .
2102 = (24)25 22 = 1625 22 = C6.4 D4
VËy M = 8102 – 2102 = B4 - D4 = E0 10
b/ 175 = 17 174 = 17.A1 B7 244 = C6 1321 = 13 134.5 = 13 D1 E3
N = 175 + 244 – 13 21 = B7 C6 E3
M3 E3 X0 10
c/ 92n + 1 + = 9.92n + = 81n + = A1 9+1 B0 10 Bµi 6: Chøng minh r»ng:
a/ 74n – 5 b/ 34n + 1 + 5 c/ 24n + 2 + 5.
Gi¶i: a/ 74n - = (74)n – =
n
A1 B1 - = C0 5
b/ 34n + 1 + =
n n
4
3 2 A1 + = B3 + = C5 5
c/ 24n + 2 + = (24)n 22 + = A6.4 + = B4 + = C5 5
Các dạng tập vận dụng nhận xét luỹ thừa: tích số tận tích tích số tận tổng, hiệu từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết để chứng minh tốn
(4)Bµi 7: Tìm hai chữ số tận 2100; 71991; 5151; 99
99
99 ; 6666
; 14101 16101. Gi¶i:
* 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 =
5
A76 B76
2100 có hai chữ số tận 76.
* 71991 = 71988 73 = (74)497 73 = 2401497 73 =
497
A01 343 = B01 343 = C43
71991 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 43.
* 5151 = (512)25 5 =
25
A01 51 B01.51 C51
5151 có hai chữ số tận 51. *
99
99
99 = 992k + 1 = (992)k 99 = (…A01)k 99 = B99 VËy 999999 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 99.
* 6666 = (65)133 =
133
A76 B76.6 = C56
6666 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 56.
* 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 =
50
A76 224 B76 224 = C24
14101 16101 cã hai ch÷ sè tận 24. 3 Tìm ba chữ số tận trở lên
Bài 8: Tìm bốn chữ số tËn cïng cđa 51992. Gi¶i:
Ta cã 51992 = (54)498 = 0626498 = …0625 51992 cã bốn nhữ số tận là 0625
Xét luỹ thõa víi c¬ sè ta cã: 54m = …0625 cã tËn cïng lµ 0625. 54m + 1 cã tËn cïng lµ 3125.