Đang tải... (xem toàn văn)
v. Tại trung điểm H của OA vẽ dâycung BC vuông góc với OA. Từ đó suy ra tứ giác KBOC nội tiếp trong đường tròn. b) KB và KC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).1. c) Tam giác KBC là ta[r]
(1)Chủ đề TỐN HÌNH HỌC LỚP : GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN I. Kiến thức trọng tâm :
Vấn đề: Góc tâm- số đo độ cung—so sánh cung. Góc tâm góc có đỉnh tâm đường trịn
2 Góc cắt đường trịn A B cung AB cung bị chắn góc tâm AOB
3 Ta có tính chất: số đo cung bị chắn số đo góc tâm chắn cung So sánh cung: cung lớn có số đo lớn ngược lại Cung có góc tâm lớn lớn ngược lại
Vấn đề: Góc nội tiếp
6.Góc nội tiếp (O) góc có đỉnh nằm đường trịn (O) hai cạnh cắt (O) hai điểm phân biệt
Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm đương trịn
7.Số đo góc nội tiếp chắn cung ½ số đo góc tâm chắn cung Chú ý cung
8.Góc nội tiếp có số đo ½ số đo cung bị chắn
9.Cùng cung có nhiều góc nội tiếp góc 10.Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 900.
11.Các cung góc nội tiếp chắn cung ngược lại 12.Cung lớn góc nội tiếp chắn cung lớn
Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung.
1 Góc tạo bới tiếp tuyến tiếp điểm A dây cung AX gọi góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung
2 Số đo góc ½ số đo góc tâm chắn cung AX Số đo góc ½ số đo cung AX
4 Số đo góc số đo góc nội tiếp chắn cung Vấn đề: góc có đỉnh bên – bên ngồi đường tròn.
1 Cho (O) M (O) có hai đường thẳng qua M tạo thành góc Góc góc bên đường trịn Hai đường thẳng cắt đường tròn tạo thành cung
(2)
sd AB sdCD AMB CMD
3 Cho (O) M ngồi (O) góc mà cạnh ln tiếp xúc cắt (O) gọi góc ngồi đường trịn (O) M Khi góc cắt đường trịn tao thành hai cung; cung lớn cung nhỏ
4 Số đo góc ngồi sđ cung lớn – cung nhỏ sau chia hai
2
sdCD sd AB
AMB
2
sdCB sd AB
AMB
2
sd AmB sd AnB
AMB
Vấn đề: tứ giác nội tiếp.
1 Tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đường tròn
2 Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa điểm A; B; C D nằm đường tròn
3 Tứ giác nội tiếp đường trịn đường trịn gọi ngoại tiếp tứ giác
4 Tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tứ giác
5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) OA= OB= OC = OD =R
6 Chú ý: O nằm ngồi tứ giác; nằm nằm cạnh lúc nằm
Tên góc HÌNH VE Định nghĩa Định lí Hệ
Góc tâm Đỉnh tâm
đường trịn sđ
AOB AB
Góc nội tiếp
-Đỉnh nằm đường trịn - Hai cạnh góc chứa hai dây cung đường
sñ
(3)trịn * *
( chắn )
* 90
( 1/ / )
BAC BOC BAC BMC
BC CAM
gntchắn đ tròn
GĨC TẠO BỠI TIA TIẾP TUYẾN VÀ
DÂY CUNG BAX 12sñ AB
* BAX
( chắn AB ) * BAX
2 ( chắn AB )
BCA AOB GĨC CĨ ĐỈNH NẰM TRONG ĐƯỜNG TRỊN
sñBD
2
sñ AC
BID
GĨC CĨ ĐỈNH NẰM NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
sñBD
2
sñ AC
BMD
Tứ giác nội tiếp a) Định nghĩa :
b)Tính chất :
0 A 180
ABCD nội tiếp
180 C tứgiác B D
c) Phương pháp chứng minh:
1 Chứng minh cho bốn đỉnh tứ giác cách điểm đó Chứng minh tứ giác có tổng góc đối 180°
Tư ùgiác ABCD nội tiếp
A,B,C, D nằm đường trịn
bốnđiểm
(4)3 Chứng minh từ hai đỉnh kề cạnh nhìn cạnh hai góc
4 Chứng minh tứ giác hình chữ nhật , hình vng , hình thang cân Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng góc vng
6 Chứng ming hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng góc II. Bài tập mẫu
Bài tập mẫu
Bài 1: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H giao điểm ba đường cao AD, BE, CF tam giác ABC. 1. Chứng minh AEHF AEDB tứ giác nội tiếp đường trịn.
2. Vẽ đường kính AK đường trịn (O) Chứng minh tam giác ABD tam giác AKC đồng dạng với Suy AB.AC = 2R.AD.
3. Chứng minh OC vng góc với DE. Giải
x
K H
D
E
F O
A
B C
1)Chứng minh AEHF AEDB tứ giác nội tiếpđườngtrịn.
Ta có AEH 90 AFH 90
Do đóAEH +AFH 180 Tứ giác AEHF nội tiếp được.
Ta lại có, AEB ADB 90 E D nhìn cạnh AB góc vng Vậy tứ giác AEDB nội tiếp
2)Chứng minh AB.AC = 2R.AD
(5)
ABD AKC (góc nội tiếp chắn cung AC) Suy ABD ∽AKC (g-g)
Từ ta được,
AB= AD AK AC
AB.AC = AK.AD
AB.AC = 2R.AD
3) Chứng minh OC DE. Vẽ tiếp tuyến xy C (O)
Ta có OC Cx (1)
Mặt khác, AEDB nội tiếp ABC DEC
Mà ABC ACx Nên ACx DEC
Do đóCx // DE (2)
Từ (1) (2) ta có: OC DE Bài :
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh ED =
1 BC.
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Lời giải:
(6)
CDH = 900 ( Vì AD đường cao)
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp
2 Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEA = 900.
AD đường cao => AD BC => BDA = 900.
Như E D nhìn AB góc 900 => E D nằm đường tròn
đường kính AB
Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn
3 Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến
=> D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900
Vậy tam giác BEC vng E có ED trung tuyến => DE = BC.
4.Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1)
Theo DE =
2 BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2)
Mà B1 = A1 ( phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3
Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE E
(7)5 Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vng E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32
ED = 4cm
III Bài tậpđề nghị
Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N
1 Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 900.
3.Chứng minh AC BD = AB2
4 . 4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kínhCD 5.Chứng minh MN AB
6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK
1 Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn. 2 Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O).
Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC=24cm
Bài3 : Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH. Gọi HD đường kính đường trịn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E
1 Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE
Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
(8)3) Chứng minh BAF tam giác cân
4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn
Bài : Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến
tại N đường tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp
2 Tứ giác CMPO hình bình hành
3 CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
4 Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định IV Hướng dẫn giải :
Bài 1:
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900.
3. Theo COD = 900 nên tam giác COD vng O có OM CD ( OM là
tiếp tuyến )
Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có OM2 = CM DM,
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD =
AB2
(9)4 Theo COD = 900 nên OC OD (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vng góc với OD)
5. Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB
IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đường trịn đường kính CD
Theo AC // BD => CN BN =
AC
BD , mà CA = CM; DB = DM nên suy CN BN =
CM DM => MN // BD mà BD AB => MN AB
6 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB
Bài 2:
1 Vì I tâm đường trịn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B
(10)Tương tự ta có ICK = 900 B C nằm đường trịn đường
kính IK B, C, I, K nằm đường trịn
2 Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH
C2 + I1 = 900 (2) ( IHC = 900 )
I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O)
Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC tiếp tuyến đường
tròn (O)
1 Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = √202−122 = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH =
CH2 AH =
122
16 = (cm) OC = √OH2+HC2= √92+122 =√225 = 15 (cm) Bài 3:
1 AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2).
Vì AB CE (gt), AB vừa đường cao vừa đường trung tuyến BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2
2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB =
AIB => AI = AH
3 AI = AH BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I. 4 DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
(11)
Câu 1,2,3 Học sinh tự giải
(HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang
Để tứ giác AKFI nội tiếp đường trịn AKFI phải hình thang cân AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB
Thật vậy: M trung điểm cung AB => <ABM = <MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7)
Tam giác ABI vng A có <ABI = 450 => <AIB = 450 (8)
Từ (7) (8) => <IAK = <AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc
đáy nhau)
Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đường trịn Bài 5:
1 Ta có OMP = 900 ( PM AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến ).
Như M N nhìn OP góc 900 => M N nằm đường
tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp
(12)Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM
Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM =>
CMO = POM lại có MO cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2)
Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành
3 Xét hai tam giác OMC NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội
tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C góc chung => OMC
NDC
=>
CM CO
CD CN => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 khơng đổi =>
CM.CN =2R2 khơng đổi hay tích CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M.
4 ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đường thẳng cố
định vng góc với CD D
Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’ B’ song song AB
v Bài tập đề nghị Bài 1:
Cho đường trịn (O) bán kính OA = R Tại trung điểm H OA vẽ dâycung BC vng góc với OA Gọi K điểm đối xứng với O qua A Chứng minh:
a) AB = AO = AC = AK Từ suy tứ giác KBOC nội tiếp đường tròn b) KB KC hai tiếp tuyến đường tròn (O)
c) Tam giác KBC tam giác Bài 2:
Cho(O;R), AB Đường Kính vẽ hai tiếp tuyến Ax By OA lấy điểm C cho
R AC
Từ M thuộc (O;R); ( với M A B; ) vẽ đường thẳng vng góc với MC cắt Ax D cắt By E Chứng minh :
a/ CMEB nội tiếp
b/ CDEvuông MA.CE =DC.MB
(13)Bài 3:
Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Kẻ hai đườngkính AA’ BB’ đường tròn
a Chứng minh tứ giác ABA’B’ hình chữ nhật?
b Gọi H trực tâm tam giác ABC AH cắt (O) điểm thứ hai D.Chứng minh H D đối xứng qua BC
c Chứng minh BH = CA’
d.Cho AO = R Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC Bài 4:
Cho tam giác ABC có AB = AC đường cao AG; BE; CF gặp H
a Chứng minh: tứ giác AEHF nội tiếp Xác định tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác
b Chứng minh: GE tiếp tuyến (I) c Chứng minh: AH.BE = AF.BC
Bài 5:
Cho đường trịn tâm O đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vàvẽ đường trịn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻdây cung DE vng góc với AB; DC cắt đường tròn (O’) I
a Tứ giác ADBE hình ? Tại sao?
b Chứng minh điểm I, B, E thẳng hàng
(14)