Giao an on vao THPT du va hay

PP t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.. PP xÐt gi¸ trÞ riªng..[r]

Nhắc lại biến đổi đồng nhất. I.Phép nhân đa thức:

Với A, B, C, D, E đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC

(A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE II.Những đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + b2 (A - B)2 = A2 - 2AB + b2 A2 – b2 = (a + b)(a – b).

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3

A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b) A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b) (A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

L

u ý:- Khi giải toán vận dụng đẳng thức, phải vận dụng đẳng thức theo hai chiều khai triển thu gọn cách linh hoạt.

- Hai đa thức với giá trị biểu thức tất hệ số chúng tơng ứng bằng nhau

- Một đa thức đa thức không tất hệ số khơng. III Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

1 PP đặt nhân tử chung PP dùng đẳng thức PP nhóm nhiều hạng tử

4 PP tách hạng tử thành nhiều hạng tử PP thêm bớt hạng tử

6 PP xét giá trị riêng ( Nếu đa thức A(x) có nghiệm x = a tồn đa thức B(x) cho A(x) = (x- a).B(x) )

Chú ý: Khi sử dụng PP 3, , : sau nhóm, tách, thêm bớt hạng tử q trình phân tích phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP ).

IV Phân thức đại số.

1 Hai ph©n thøc b»ng nhau:

A C

AD BC

B D

2 Nếu đa thức M khác đa thức không thì:

: ;

:

AM A A M A

BM B B M B C¸c phÐp tÝnh:

a) PhÐp céng:

A B A B

M M M



 

( M ≠ 0)

Nếu hai phân thức khác mẫu cần quy đồng mẫu thức thực hành cộng nh Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi phân thức thành phân thức có mẫu)

B

íc 1: T×m mÉu thøc chung (MTC) :

- Nếu mẫu cần quy đồng nhân tử chung lấy MTC tích tất mẫu

B

íc 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mÉu t¬ng øng B

ớc 3: Lấy tử mẫu phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc phân thức có mẫu thức

b) PhÐp trõ:

( )

A C A C

B D B  D

c) PhÐp nh©n:

A C A C

B D B D

d) PhÐp chia:

:

A C A D AD

B D B C BC

Một số l u ý: - Trớc quy đồng mẫu thức hay thực phép tính, nên rút gọn phân thức trớc Kết sau biến đổi biểu thức hữu tỷ cần đợc rút gọn.

- Các phép tính với đa thức có đầy đủ tính chất số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phi).

- Khi giải toán liên quan tới giá trị phân thức cần ý tìm §KX§ cđa ph©n thøc.

CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Dạng phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).

2 Giải biện luận:

∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2)

+) Nếu ∆ > ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1,2

2

b x

a    

(Hoặc 1,2

' '

b x

a

  



)

+) Nếu ∆ = ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép:

b

x x

a

 

( Hoặc

'

b

x x

a

 

)

+) Nếu ∆ < ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vơ nghiệm.

Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = có hai nghiệm x

1, x2 thì:

1

1

b

x x

a c x x

a 

 

  

 

 

Các dạng toán. Dạng 1: Xác định số nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = 0.

1 Phơng pháp giải:

Xác định hệ số a, b, c phơng trình:

- NÕu a = 0: Ph¬ng trình trở thành PT bậc ẩn: bx + c =0.

- NÕu a ≠ 0: TÝnh biÖt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ = 2 b )  Nếu < ( Hoặc < 0): Phơng trình vô nghiệm.

Nếu = ( Hoặc = ): Phơng trình có nghiệm kép.

 NÕu ∆ > ( Hc ∆’ > ): Phơng trình có hai nghiệm phân biệt. L

u ý: - Không cần tính nghiệm.

- Nếu ac<0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. 2 Các tập vận dụng:

Bài 1.1: Xác định hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ cho biết số nghiệm phơng trình bậc hai sau: 1) 3x2 – 7x + = 0 2) -2x2 - 8x -7 =0

3) ( 1) x2 5x 0  4) 2x2 + 5x + 25

8 = 0

5)

2 0

2 16

x  x 

6) 2x2 2x

Bài 1.2: Không cần tính biệt số , chứng tỏ phơng trình sau cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a) 2x2 9x 0

b) (2 3)x2 4x m 23m 0 ( m tham số) Bài 1.3: H y xác định tham số k để phã ơng trình vơ nghiệm?

a) 3x2 2x k 0 c) 3x2kx 2

b) 2x2 2kx k 0 d)

2

3

3

x  kx k  k 

Bài 1.4: H y xác định tham số k để phã ơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: a) 20x2 4x3k1 0 b) (k1)x2 2kx k  0

c) 3x2 4kx k 0

Bµi 1.5: Cho hệ số a, b, c thoả m n điều kiÖn a > c > 0, b > a + c ·

Bài 1.6: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh phơng trình c x2 2(a2 b2 c x b2)  0 ( x ẩn số) vô nghiệm ( HDẫn: Sử dụng BĐT tam giác)

D¹ng 2: Giải phơng trình bậc hai 1 Phơng pháp gi¶i:

- Đa phơng trình cần giải dạng: ax2 + bx + c = 0. - Xác định hệ số a, b, c phơng trình. - Tính ∆ ∆’.

-áp dụng cơng thức nghiệm cơng thức nghiệm thu gọn phơng trình bậc hai để kết luận nghiệm ( Chú ý rút gn cỏc nghim nu cú th)

2 Các tập vận dụng: Bài 2.1: Giải phơng trình sau:

a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = 0

c) x2 – 4x + = 0 d) 3x2 + 7x + = 0

Bµi 2.2: Giải phơng trình sau:

a)

2 10

5

7 49

x  x 

b)

2 4 1

0

3 12

x x

  

c)

2 0

2 16

x  x 

Bµi 2.3: Giải phơng trình sau:

a) (5 2)x210x 0 b) ( 2) x2 ( 1) x 0

c*) x2 x 0 d*) (1 2)x2  2(1 2)x 1 0

e) ( 1) x2  x 0 f) 2x2  (2 3) x3 0

Dạng 3: Giải biện luận phơng trình dạng ax2 + bx + c = 1 Phơng pháp giải:

* Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc bx + c = 0.

- Nếu b phơng trình có mét nghiÖm nhÊt:

c x

b  - NÕu b = vµ c ≠ phơng trình có vô nghiệm.

- Nếu b = c = phơng trình có vô số nghiệm. * Với a : Phơng trình trở thừnh phơng trình bậc hai Ta có:

∆ = b2 - 4ac ( hay ∆’ = b’2 – ac ) - NÕu ∆ < th× phơng trình vô nghiệm.

- Nếu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -2 b

a ( =

-'

b a ) - NÕu ∆ > th× phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1 ;

2

b b

x x

a a

     

  (x1,2 b' )

a

  

* Kết luận cho tất trờng hợp biện luận. 2 Các bi dng:

Bài 3.1: Giải biện luận phơng trình: ( x ẩn) a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.

b) x2 + (1 – m)x – m = 0.

c) (m – 3)x2 - 2mx +m – = 0.

d) (m – )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – = 0

e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + = 0.

f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + (

3m – 2) = 0.

g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = 0

h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m =

Bài 3.2: Giải biện luận phơng trình ( ẩn x) : 2x3(3 ) m x22mx m 21 0 ( HDÉn: Coi m ẩn, x tham số )

Dạng 4: Hệ phơng trình chứa hai ẩn x y gồm phơng trình bậc phơng trình bậc hai. 1 Phơng pháp giải:

- Từ phơng tr×nh bËc nhÊt cđa hƯ, t×m y theo x ( hc x theo y ).

- Thay biểu thức y theo x tìm đợc vào phơng trình bậc hai hệ ta đợc phơng trình bậc hai

- Giải phơng trình tìm x, sau thay vào biểu thức y để tìm y. 2 Các tập vận dụng:

Bµi 4.1: Giải hệ phơng trình:

2

2

4

x y

y x x

  

 



Bài 4.2: Cho hệ phơng trình:

2

6

x y

y x a

 

 

 

 Xác định a để:

a) HƯ v« nghiƯm

b) HƯ cã nghiƯm nhÊt c) Hệ có hai nghiệm phân biệt

Bài 4.3: Giải hệ phơng trình:

3

)

3( )

x y

a

xy x y

  

 

  



2

)

6

x y

b

xy x y

 

 

    

Bài 4.4: Giải biện luận hệ phơng trình:

2 2 2

x y m

x y x

 

 

  



- Giả sử x0 nghiệm chung hai phơng trình Thay x = x0 vào hai phơng trình ta đợc hệ ph-ơng trình với ẩn tham số.

- Giải hệ để tìm tham số.

-Thư lại với tham số vừa tìm, hai phơng trình có nghiệm chung hay không. 2 Các tập vận dụng:

Bài 5.1: Cho hai phơng trình : x2 + x + a = vµ x2 + ax + = 0

a) Định a để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định a để hai phơng trình tơng đơng

Bµi 5.2: Chøng minh hai phơng trình : x2 + ax + b = vµ x2 + cx + d = 0, cã nghiƯm chung th×:

(b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.

Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + = x2 + 2x + m = ?

Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng: x2 – (2m + n)x – 3m = x2 – (m + 3n)x – = 0

HDÉn: Gäi x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình (1); x3, x4 nghiệm phơng trình (2) Để hai Phơng trìh tơng đ-ơng x1 = x3 x2 = x4 ngợc lại Nên S1 = S2 vµ P1 = P2.

Bài 5.5: Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2+ (m – 8)x + m + = 0 (1)

x2 + (m – 2)x + m - = 0 (2)

Bài 5.6: Tìm giá trị a để hai phơng trình sau có nghiệm chung: a) x2 + x + a = 0 x2 + ax + = 0

b) x2 + ax + = 0 x2 + 2x + a = 0

c) x2 + ax + = 0 x2 + x + a = 0

Bài 5.6: Tìm giá trị a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0.

Dạng 6: Phơng trình có hai ẩn số. 1.Phơng pháp giải:

Trong mt phng trỡnh cú hai ẩn số, ta xem ẩn tham số giải phơng trình theo ẩn cịn lại PP gọi phơng pháp đặt tham số mới.

2 Các tập vận dụng:

Bài 6.1: Chứng minh r»ng chØ cã mét cỈp sè nhÊt (x, y) thoả m n phà ơng trình: x2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0

Bài 6.2: Giải hệ phơng trình:

3

2

2

0

x y

x xy y y

  

 

   

Bài 6.3: Giải phơng trình: y44y x2 11y24xy 8y8x2 40x52

Bài 6.4: Giải hệ phơng tr×nh:

2

2

10 38 41

3 17 20

x y xy x y

x y xy x y

      

 

     

 

Bµi 6.5: Giải hệ phơng trình:

4

2

698 81

3

x y

x y xy x y



 

 

      



1.Phơng pháp giải:

- Tớnh v chng t ∆ ≥ để phơng trình có nghiệm. - áp dụng định lý Vi-ét :

b

S x x

a

  

;

c

P x x a

2 Các tập vận dụng:

Bài 7.1: Không giải phơng trình, tính tổng tích nghiệm phơng trình sau: a) 2x23x 0 b) 3x2  6x 8

c) 3x2 x 1 d) 7x2 7x Dạng 8: Giải phơng trình cách nhẩm nghiệm.

1.Phơng pháp giải:

- ỏp dng địnhlý Viét : x1 + x2 = -b

a ; x1.x2 = c a

- NhÈm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n phơng trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n.

- NÕu a + b + c = th×: x1 = ; x2 = c a

NÕu a b + c = th×: x1 = ; x2 = -c a 2 Các tập vận dụng:

Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm phơng trình sau:

a) x210x16 0 b) x215x50 0 c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – = ( m ≠ -1)

d) (2m – 1)x2 – mx – m – = ( m ≠ 2)

Bài 8.2: Phơng trình 3x2 + 7x + m = có nghiệm Xác định số m nghiệm lại ?

Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x2 - x + k = có nghiệm -1 Xác định số k v nghim cũn li ?

b) Phơng trình 15x2 + bx - = cã mét c¸c nghiÖm b»ng

3 Xác định số b v nghim cũn li ?

Dạng 9: Phân tích ax2 + bx + c thành nhân tử. Phơng pháp giải:

Nếu phơng trình ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th× ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) Dạng 10: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm nó.

1.Phơng pháp giải:

- Tính tổng hai nghiêm : S x1x2 tích hai nghiệm : P x x - Phơng trình nhận x1, x2 lµm nghiƯm lµ: X2 – SX + P = 0.

2 Các tập vận dụng:

Bài 10.1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm cặp số sau:

Bài 10.2: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm :

1

10 72 vµ 10 Bài 10.3: Lập phơng trình bậc hai có nghiƯm lµ :

a) 4 15 vµ 4 15 b) 5 vµ 5

c) 3 vµ 3 d)

5

5



 vµ

5

5

 

Bµi 10.4: Gäi m, n lµ nghiệm phơng trình : x2 (1 2)x (m<n) Lập phơng trình bậc

hai có nghiƯm lµ:

1

m vµ

1 n.

Bài 10.5: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiệm lµ :

5

5

Bài 10.6: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiệm :

5

5

  Dạng 11: Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai.

1.Phơng pháp giải:

Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = (a ≠ ) :

* Phơng trình có hai nghiệm trái dấu P < 0.

* Phơng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu 

0

P    

 

* Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt 

0 0

S P    

 

 



* Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt 

0 0

S P    

 

 

 2 Các tập vận dụng:

Bài 11.1: Cho phơng trình : x2 2(m 1)x + m + = 0 (1)

Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hao nghiệm dơng phân biệt c) Có nghiệm dơng

Bài 11.2: Cho phơng trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – = Định m để phơng trình :

a) Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dơng? b) Có hai nghiệm dấu?

Bài 11.3: Cho phơng trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm

Bµi 11.4: Cho phơng trình x2 mx + m2 =

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ? b) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng ?

Bài 11.5: Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm dấu ? Khi hai nghiệm mang dấu gì? a) x2 – 2mx + (5m – 4) = b)mx2 + mx + = 0.

Bài 11.6: Cho phơng trình : mx2 2(m + 1)x + m + = 0

a) Định m để phơng trình có nghiệm

b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghim tho iu kin cho trc.

1.Phơng pháp giải:

* Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : ∆ ≥ 0

* Từ hệ thức cho hệ thức Vi-ét giải hệ nghiệm x1, x2 thay vào phơng trình thứ ba hệ để tìm tham số.

* KiĨm tra lại m có thoả mÃn điều kiện có nghiệm không kết luận. 2 Các tập vận dụng:

Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x2 + 2x + m = có hai nghiệm x

1, x2 tho¶ m n: 3x· + 2x2 = 1?

Bài 12.2: Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = 0.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: 3xã - 4x2 = 11

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm c) Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n xã = 2x2:

a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + = 0.

Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = có hai nghiệm x

1, x2 tho¶ m n điều kiện sau: Ã

a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 =

Bài 12.5: Cho phơng trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – = 0.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: xã 12 + x22 = 12

b) T×m mét hƯ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 12.6: Cho phơng trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – = 0.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phơng trình có nghiệm ; tính nghiệm

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n: ã

1

4

x x  . d) T×m giá trị nhỏ biểu thức A = 2x12 + 2x22 + x1 x2

Bài 12.7: Cho phơng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = 0. (1).

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2 Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nh nht ú?

Bài 12.8: Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2m x + m + = 0.

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi h y tìm hệ thức liên hệ xã 1, x2

kh«ng phơ thc vµo m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n hệ thức : ã

1 2

6

x x

Bài 12.9: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 2)x - 2m + = ( m lµ tham sè)

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 -x12 - x22 + 2006 đạt giá trị lớn

Dạng 13: Biểu thức đối xứng nghiệm phơng trình bậc hai. 1.Phơng pháp giải:

* Biểu thức x1, x2 gọi đối xứng ta thay x1 x2 x2 x1 biểu thức khơng đổi. * Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P ( tổng tích nghiệm số).

Chẳng hạn:

x12 + x22 = (x1+ x2)2 - x1x2 = S2 – 2P.

x12 + x23 = (x1+ x2)3 - x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS.

1 2

1 2 1

1

;

x x S x x x x S P

x x x x P x x x x P

  

     

2.C¸c tập vận dụng:

Bài 13.1: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 + mx + = Tính giá trị biểu thøc sau;

a) x13 + x23 b)

2

1

2

2

x x

x  x

Bài 13.2: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 + 2mx + = Xác định m cho x14 + x24 32

Dạng 14: Tìm hệ thức nghiệm x1 , x2 phơng trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số. 1.Phơng pháp giải:

* Tỡm iu kin phng trỡnh có nghiệm: ∆ ≥ 0. * Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo tham số m.

* Khử tham số m từ S, P để có hệ thức S, P ( tức hệ thức x1, x2 ) khơng phụ thuộc vào m

2.C¸c tập vận dụng:

Bài 14.1: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 2(m – 1)x + m2 - = T×m hệ thức x1, x2

không phụ thuộc vào m?

Bài 14.2: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 (m 3)x + 2m + = Tìm hệ thức x1, x2

không phụ thuộc vào m?

Bài 14.3: Cho phơng trình : x2 (2m3)x m 23m

a) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m ; b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối ;

c) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ?

Bài 14.4: Cho phơng trình : (m 2)x2 2(m 4)x(m 4)(m2) (m2) a) Với giá trị m phơng trình có nghiệm kép :

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ;

c) TÝnh theo m biÓu thøc

1

1

A

x x

 

  ;

d) Tìm m để A =

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m ;

b) Tìm giá trị lớn biểu thức

1 2 2

2(x x )

A

x x

 





c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình số nguyên. HDẫn: b) Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 + x2 = m ; x1x2 = -4.

Ta cã

2 m A m  

 xác định với m

2

2

2

8

m

A Am m A

m 

     

 (*)

 Víi A = th× m = 3,5

 Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m có nghiệm nên

1 A      MaxA  

Khi PT (*) có nghiệm kép m = Dạng 15: Giải hệ phơng trỡnh i xng hai n.

1.Phơng pháp giải:

* Hệ gọi đối xứng hai ẩn x, y hệ không thay đổi thay x y, y bi x. * Cỏch gii:

+ Đặt S = x + y, P = x.y.

+ Đa hệ cho hệ hai ẩn S, P Chú ý đến biểu thức đối xứng x, y. + Giải tìm S, P Khi x, y nghiệm phơng trình X2 – SX + P = 0. + Nếu ( x, y ) nghiệm ( y, x ) cng l nghim.

2.Các tập vận dụng: Bài 15.1: Giải hệ phơng trình:

a)

2

5

x y xy

x y

  

 

 

 b) 2

2

5

x y xy

x y         c) 2 11

3( ) 28

x y xy

x y x y

          d) 13 x y y x x y          e) 2 3

x xy x

y xy y

    

Một số phơng trình quy phơng trình bậc hai Dạng 1: Giải phơng trình trïng ph¬ng(ax4 + bx2 + c = 0)

1.Ph¬ng pháp giải:

Phơng trình trùng phơng có nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm dơng phân

bit, ú ta gii hệ sau theo m :

0 0

S P    

 

Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm trái dấu P0

Phơng trình trùng phơng vô nghiệm (1) vô nghiệm (∆ < 0) hc (1) cã hai

nghiƯm âm, tức là:

0 0

S P    

 

2.Các tập vận dụng:

Bài 1.1: Cho phơng trình: x4 2(m1)x2m2 0 (1) Xác định m để phơng trình : a) Có nghiệm phân biệt

b) V« nghiƯm

c) Cã nghiệm phân biệt Dạng 2: Giải phơng trình chứa ẩn mẫu.

1.Phơng pháp giải:

Bớc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình.

Bc 2: Quy ng mu thức hai vế khử mẫu. Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc.

Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại giá trị khơng thoả mãn, giá trị thoả mãn ĐK nghiệm phơng trình cho.

 Giải biện luận phơng trình chứa ẩn mẫu. * Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa;

* Quy đồng mẫu thức chung khử mẫu; * Giải biện luận phơng trình bậc hai; * Kiểm tra điều kiện kết luận. 2.Các tập vận dụng:

Bµi 2.1: Giải phơng trình sau:

2

)

1

x x

a

x x

 

 

4

)

2

x x

b

x x

 

 

2

2 5

)

2

x c

x  x x  x

1

)

3 27

d

x x Bài 2.2: Giải phơng trình sau:

2

2

)

2 2

x x x

a

x x x x

  

  

2 2

1 1 1

)

5 12 20 11 30

b

x  x x  x x  x x  x  Bµi 2.3: Giải phơng trình sau:

2 (1 ) 1 x x mx   

 ( m tham số )

Bài 2.4: Giải phơng trình sau:

2

3 (3 2)(3 2)

)

2

x x x

a

x x x x

  

 

   

2

2 10

)

3 ( 9)

x b

x x x x x



 

Dạng 3: Giải phơng trình đa dạng tích. 1.Phơng pháp giải:

( ) ( ) ( )

( )

A x A x B x

B x  

   

 2.C¸c tập vận dụng:

Bài 3.1: Giải phơng tr×nh sau:

a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = 0 b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = 0

c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – = 0 d) x3 + 3x2 + x + = 0.

Dạng 4: Phơng trình bậc ba có nghiệm cho trớc. 1.Phơng pháp giải:

Phơng trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) có nghiệm x =  . Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành:

2

1

1

( )( )

0

x

x ax b x c

ax b x c 

  

    

Giải phơng trình bËc hai

2

1 ax b x c 

ta đợc nghiệm khác ngồi nghiệm x phơng trình bậc ba.

 Sơ đồ Hoocner: Chia đa thức

1

0 1

( ) n n

n n

P x a x a x  a x a



    

cho x  ta cã:

0 1

( ) ( )( n n )

n n

P x x  a x a x  a x a



      .

Sơ đồ xác định bi :

a0 a1 a2 … an

 b0 b1 b2 … bn

Víi b0 = a0 vµ bi =  bi-1 + ( i = 1, 2, 3, , n ) 2.Các tập vận dụng:

Bài 4.1: Giải phơng trình sau:

3

3

) 11

)

a x x x

b x x x

   

Bài 4.2: Xác định m để phơng trình : x3(2m 3)x2(m2 2m2)x m 0 có ba nghiệm phân biệt ? Bài 4.3: Xác định m để phơng trình : 6x3 7x216x m 0 có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ? Bài 4.4: Xác định m để phơng trình : x3(2m1)x23(m4)x m 12 0 có ba nghiệm phân biệt ? Dạng 5: Phơng trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m với a + b = c + d.

1.Phơng pháp giải:

* Phơng trình đợc viết thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m. * Đặt t = x2 + (a + b)x, ta đợc phơng trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m. * Giải tìm t sau tìm x cách giải phơng trình : x2 + (a + b)x – t = 0. 2.Các tập vận dụng:

Bài 5.1: Giải phơng trình : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297. Bài 5.2: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt :

2

4 2

)( 1)( 3)( 5)

) (2 1)

a x x x m

b x m x m

   



Bài 5.3: Cho số a, b, c, d thoả m n điều kiện : Ã a b c d   vµ ad bc 2m Giải phơng trình : (x a x b x c x d )(  )(  )(  )m2 0

HDẫn: Phơng trình đ cho tà ơng ứng với :

2 ( ) ( ) 0

x  a b x ab x   c d x cd m Đặt tx2 (a b x ) V× a b c d   nªn

Ta cã :

2 2

2 2

( )( ) ( )

( ) 4( ) ( )

t ab t cd m t ab cd t abcd m

ab cd abcd m ab cd m

         

       

Vì ad bc 2m nên (ab cd )2 4m2,  0 Vậy phơng trình vơ nghiệm

Dạng 6: Phơng trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c. 1.Phơng pháp giải:

Đặt 2

a b a b

t x   x t  

Ph¬ng trình trở thành:

4

( ) ( )

2

a b a b

t   t  c

Khai triển rút gọn ta đợc phơng trình trùng phơng ẩn t.

Chó ý: (x y )4 x44x y3 6x y2 24xy3y4 2.Các tập vận dụng:

Bài 6.1: Giải phơng trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 =

Bài 6.1: Giải phơng trình :

4

)( 2) ( 4) 82

a x  x 

4

)( 2) ( 8) 272

b x  x 

4

)( 2) ( 1) 33 12

c x  x 

b)Đặt x + = y.

c) x = lµ mét nghiƯm Víi x > 1, VT > VP Víi x < 1, VT < VP VËy x = lµ nghiƯm nhÊt.

Dạng 6: Phơng trình dạng ax4bx3cx2bx a 0 (1) ( PT bậc có hệ số đối xứng). 1.Phng phỏp gii:

* x = không nghiệm phơng trình;

* Chia hai v ca phơng trình cho x2, ta đợc:

2

1

( ) ( )

a x b x c

x x



* Đặt

2 2

2

1 1

( )

x t x t x t

x x x

     

Phơng trình trở thành:

2 2 0

at bt c  a (2).

- Giải phơng trình tìm t, thay vao phơng tr×nh

1

x t

x

 

để tìm x