Đang tải... (xem toàn văn)
PP t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.. PP xÐt gi¸ trÞ riªng..[r]
(1)Nhắc lại biến đổi đồng nhất. I.Phép nhân đa thức:
Với A, B, C, D, E đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC
(A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE II.Những đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + b2 (A - B)2 = A2 - 2AB + b2 A2 – b2 = (a + b)(a – b).
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3
A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b) A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b) (A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
L
u ý:- Khi giải toán vận dụng đẳng thức, phải vận dụng đẳng thức theo hai chiều khai triển thu gọn cách linh hoạt.
- Hai đa thức với giá trị biểu thức tất hệ số chúng tơng ứng bằng nhau
- Một đa thức đa thức không tất hệ số khơng. III Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
1 PP đặt nhân tử chung PP dùng đẳng thức PP nhóm nhiều hạng tử
4 PP tách hạng tử thành nhiều hạng tử PP thêm bớt hạng tử
6 PP xét giá trị riêng ( Nếu đa thức A(x) có nghiệm x = a tồn đa thức B(x) cho A(x) = (x- a).B(x) )
Chú ý: Khi sử dụng PP 3, , : sau nhóm, tách, thêm bớt hạng tử q trình phân tích phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP ).
IV Phân thức đại số.
1 Hai ph©n thøc b»ng nhau:
A C
AD BC
B D
2 Nếu đa thức M khác đa thức không thì:
: ;
:
AM A A M A
BM B B M B C¸c phÐp tÝnh:
a) PhÐp céng:
A B A B
M M M
( M ≠ 0)
Nếu hai phân thức khác mẫu cần quy đồng mẫu thức thực hành cộng nh Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi phân thức thành phân thức có mẫu)
B
íc 1: T×m mÉu thøc chung (MTC) :
(2)- Nếu mẫu cần quy đồng nhân tử chung lấy MTC tích tất mẫu
B
íc 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mÉu t¬ng øng B
ớc 3: Lấy tử mẫu phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc phân thức có mẫu thức
b) PhÐp trõ:
( )
A C A C
B D B D
c) PhÐp nh©n:
A C A C
B D B D
d) PhÐp chia:
:
A C A D AD
B D B C BC
Một số l u ý: - Trớc quy đồng mẫu thức hay thực phép tính, nên rút gọn phân thức trớc Kết sau biến đổi biểu thức hữu tỷ cần đợc rút gọn.
- Các phép tính với đa thức có đầy đủ tính chất số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phi).
- Khi giải toán liên quan tới giá trị phân thức cần ý tìm §KX§ cđa ph©n thøc.
CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Dạng phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
2 Giải biện luận:
∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2)
+) Nếu ∆ > ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1,2
2
b x
a
(Hoặc 1,2
' '
b x
a
)
+) Nếu ∆ = ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép:
b
x x
a
( Hoặc
'
b
x x
a
)
+) Nếu ∆ < ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vơ nghiệm.
(3)Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = có hai nghiệm x
1, x2 thì:
1
1
b
x x
a c x x
a
Các dạng toán. Dạng 1: Xác định số nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = 0.
1 Phơng pháp giải:
Xác định hệ số a, b, c phơng trình:
- NÕu a = 0: Ph¬ng trình trở thành PT bậc ẩn: bx + c =0.
- NÕu a ≠ 0: TÝnh biÖt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ = 2 b ) Nếu < ( Hoặc < 0): Phơng trình vô nghiệm.
Nếu = ( Hoặc = ): Phơng trình có nghiệm kép.
NÕu ∆ > ( Hc ∆’ > ): Phơng trình có hai nghiệm phân biệt. L
u ý: - Không cần tính nghiệm.
- Nếu ac<0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. 2 Các tập vận dụng:
Bài 1.1: Xác định hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ cho biết số nghiệm phơng trình bậc hai sau: 1) 3x2 – 7x + = 0 2) -2x2 - 8x -7 =0
3) ( 1) x2 5x 0 4) 2x2 + 5x + 25
8 = 0
5)
2 0
2 16
x x
6) 2x2 2x
Bài 1.2: Không cần tính biệt số , chứng tỏ phơng trình sau cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a) 2x2 9x 0
b) (2 3)x2 4x m 23m 0 ( m tham số) Bài 1.3: H y xác định tham số k để phã ơng trình vơ nghiệm?
a) 3x2 2x k 0 c) 3x2kx 2
b) 2x2 2kx k 0 d)
2
3
3
x kx k k
Bài 1.4: H y xác định tham số k để phã ơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: a) 20x2 4x3k1 0 b) (k1)x2 2kx k 0
c) 3x2 4kx k 0
Bµi 1.5: Cho hệ số a, b, c thoả m n điều kiÖn a > c > 0, b > a + c ·
(4)Bài 1.6: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh phơng trình c x2 2(a2 b2 c x b2) 0 ( x ẩn số) vô nghiệm ( HDẫn: Sử dụng BĐT tam giác)
D¹ng 2: Giải phơng trình bậc hai 1 Phơng pháp gi¶i:
- Đa phơng trình cần giải dạng: ax2 + bx + c = 0. - Xác định hệ số a, b, c phơng trình. - Tính ∆ ∆’.
-áp dụng cơng thức nghiệm cơng thức nghiệm thu gọn phơng trình bậc hai để kết luận nghiệm ( Chú ý rút gn cỏc nghim nu cú th)
2 Các tập vận dụng: Bài 2.1: Giải phơng trình sau:
a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = 0
c) x2 – 4x + = 0 d) 3x2 + 7x + = 0
Bµi 2.2: Giải phơng trình sau:
a)
2 10
5
7 49
x x
b)
2 4 1
0
3 12
x x
c)
2 0
2 16
x x
Bµi 2.3: Giải phơng trình sau:
a) (5 2)x210x 0 b) ( 2) x2 ( 1) x 0
c*) x2 x 0 d*) (1 2)x2 2(1 2)x 1 0
e) ( 1) x2 x 0 f) 2x2 (2 3) x3 0
Dạng 3: Giải biện luận phơng trình dạng ax2 + bx + c = 1 Phơng pháp giải:
* Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc bx + c = 0.
- Nếu b phơng trình có mét nghiÖm nhÊt:
c x
b - NÕu b = vµ c ≠ phơng trình có vô nghiệm.
- Nếu b = c = phơng trình có vô số nghiệm. * Với a : Phơng trình trở thừnh phơng trình bậc hai Ta có:
∆ = b2 - 4ac ( hay ∆’ = b’2 – ac ) - NÕu ∆ < th× phơng trình vô nghiệm.
- Nếu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -2 b
a ( =
-'
b a ) - NÕu ∆ > th× phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1 ;
2
b b
x x
a a
(x1,2 b' )
a
(5)* Kết luận cho tất trờng hợp biện luận. 2 Các bi dng:
Bài 3.1: Giải biện luận phơng trình: ( x ẩn) a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
b) x2 + (1 – m)x – m = 0.
c) (m – 3)x2 - 2mx +m – = 0.
d) (m – )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – = 0
e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + = 0.
f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + (
3m – 2) = 0.
g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = 0
h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m =
Bài 3.2: Giải biện luận phơng trình ( ẩn x) : 2x3(3 ) m x22mx m 21 0 ( HDÉn: Coi m ẩn, x tham số )
Dạng 4: Hệ phơng trình chứa hai ẩn x y gồm phơng trình bậc phơng trình bậc hai. 1 Phơng pháp giải:
- Từ phơng tr×nh bËc nhÊt cđa hƯ, t×m y theo x ( hc x theo y ).
- Thay biểu thức y theo x tìm đợc vào phơng trình bậc hai hệ ta đợc phơng trình bậc hai
- Giải phơng trình tìm x, sau thay vào biểu thức y để tìm y. 2 Các tập vận dụng:
Bµi 4.1: Giải hệ phơng trình:
2
2
4
x y
y x x
Bài 4.2: Cho hệ phơng trình:
2
6
x y
y x a
Xác định a để:
a) HƯ v« nghiƯm
b) HƯ cã nghiƯm nhÊt c) Hệ có hai nghiệm phân biệt
Bài 4.3: Giải hệ phơng trình:
3
)
3( )
x y
a
xy x y
2
)
6
x y
b
xy x y
Bài 4.4: Giải biện luận hệ phơng trình:
2 2 2
x y m
x y x
(6)- Giả sử x0 nghiệm chung hai phơng trình Thay x = x0 vào hai phơng trình ta đợc hệ ph-ơng trình với ẩn tham số.
- Giải hệ để tìm tham số.
-Thư lại với tham số vừa tìm, hai phơng trình có nghiệm chung hay không. 2 Các tập vận dụng:
Bài 5.1: Cho hai phơng trình : x2 + x + a = vµ x2 + ax + = 0
a) Định a để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định a để hai phơng trình tơng đơng
Bµi 5.2: Chøng minh hai phơng trình : x2 + ax + b = vµ x2 + cx + d = 0, cã nghiƯm chung th×:
(b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.
Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + = x2 + 2x + m = ?
Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng: x2 – (2m + n)x – 3m = x2 – (m + 3n)x – = 0
HDÉn: Gäi x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình (1); x3, x4 nghiệm phơng trình (2) Để hai Phơng trìh tơng đ-ơng x1 = x3 x2 = x4 ngợc lại Nên S1 = S2 vµ P1 = P2.
Bài 5.5: Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2+ (m – 8)x + m + = 0 (1)
x2 + (m – 2)x + m - = 0 (2)
Bài 5.6: Tìm giá trị a để hai phơng trình sau có nghiệm chung: a) x2 + x + a = 0 x2 + ax + = 0
b) x2 + ax + = 0 x2 + 2x + a = 0
c) x2 + ax + = 0 x2 + x + a = 0
Bài 5.6: Tìm giá trị a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0.
Dạng 6: Phơng trình có hai ẩn số. 1.Phơng pháp giải:
Trong mt phng trỡnh cú hai ẩn số, ta xem ẩn tham số giải phơng trình theo ẩn cịn lại PP gọi phơng pháp đặt tham số mới.
2 Các tập vận dụng:
Bài 6.1: Chứng minh r»ng chØ cã mét cỈp sè nhÊt (x, y) thoả m n phà ơng trình: x2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0
Bài 6.2: Giải hệ phơng trình:
3
2
2
0
x y
x xy y y
Bài 6.3: Giải phơng trình: y44y x2 11y24xy 8y8x2 40x52
Bài 6.4: Giải hệ phơng tr×nh:
2
2
10 38 41
3 17 20
x y xy x y
x y xy x y
Bµi 6.5: Giải hệ phơng trình:
4
2
698 81
3
x y
x y xy x y
(7)1.Phơng pháp giải:
- Tớnh v chng t ∆ ≥ để phơng trình có nghiệm. - áp dụng định lý Vi-ét :
b
S x x
a
;
c
P x x a
2 Các tập vận dụng:
Bài 7.1: Không giải phơng trình, tính tổng tích nghiệm phơng trình sau: a) 2x23x 0 b) 3x2 6x 8
c) 3x2 x 1 d) 7x2 7x Dạng 8: Giải phơng trình cách nhẩm nghiệm.
1.Phơng pháp giải:
- ỏp dng địnhlý Viét : x1 + x2 = -b
a ; x1.x2 = c a
- NhÈm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n phơng trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n.
- NÕu a + b + c = th×: x1 = ; x2 = c a
NÕu a b + c = th×: x1 = ; x2 = -c a 2 Các tập vận dụng:
Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm phơng trình sau:
a) x210x16 0 b) x215x50 0 c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – = ( m ≠ -1)
d) (2m – 1)x2 – mx – m – = ( m ≠ 2)
Bài 8.2: Phơng trình 3x2 + 7x + m = có nghiệm Xác định số m nghiệm lại ?
Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x2 - x + k = có nghiệm -1 Xác định số k v nghim cũn li ?
b) Phơng trình 15x2 + bx - = cã mét c¸c nghiÖm b»ng
3 Xác định số b v nghim cũn li ?
Dạng 9: Phân tích ax2 + bx + c thành nhân tử. Phơng pháp giải:
Nếu phơng trình ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th× ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) Dạng 10: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm nó.
1.Phơng pháp giải:
- Tính tổng hai nghiêm : S x1x2 tích hai nghiệm : P x x - Phơng trình nhận x1, x2 lµm nghiƯm lµ: X2 – SX + P = 0.
2 Các tập vận dụng:
Bài 10.1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm cặp số sau:
(8)Bài 10.2: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm :
1
10 72 vµ 10 Bài 10.3: Lập phơng trình bậc hai có nghiƯm lµ :
a) 4 15 vµ 4 15 b) 5 vµ 5
c) 3 vµ 3 d)
5
5
vµ
5
5
Bµi 10.4: Gäi m, n lµ nghiệm phơng trình : x2 (1 2)x (m<n) Lập phơng trình bậc
hai có nghiƯm lµ:
1
m vµ
1 n.
Bài 10.5: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiệm lµ :
5
5
Bài 10.6: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiệm :
5
5
Dạng 11: Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai.
1.Phơng pháp giải:
Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = (a ≠ ) :
* Phơng trình có hai nghiệm trái dấu P < 0.
* Phơng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu
0
P
* Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
0 0
S P
* Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt
0 0
S P
2 Các tập vận dụng:
Bài 11.1: Cho phơng trình : x2 2(m 1)x + m + = 0 (1)
Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hao nghiệm dơng phân biệt c) Có nghiệm dơng
Bài 11.2: Cho phơng trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – = Định m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dơng? b) Có hai nghiệm dấu?
Bài 11.3: Cho phơng trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm
(9)Bµi 11.4: Cho phơng trình x2 mx + m2 =
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ? b) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng ?
Bài 11.5: Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm dấu ? Khi hai nghiệm mang dấu gì? a) x2 – 2mx + (5m – 4) = b)mx2 + mx + = 0.
Bài 11.6: Cho phơng trình : mx2 2(m + 1)x + m + = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghim tho iu kin cho trc.
1.Phơng pháp giải:
* Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : ∆ ≥ 0
* Từ hệ thức cho hệ thức Vi-ét giải hệ nghiệm x1, x2 thay vào phơng trình thứ ba hệ để tìm tham số.
* KiĨm tra lại m có thoả mÃn điều kiện có nghiệm không kết luận. 2 Các tập vận dụng:
Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x2 + 2x + m = có hai nghiệm x
1, x2 tho¶ m n: 3x· + 2x2 = 1?
Bài 12.2: Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = 0.
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: 3xã - 4x2 = 11
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm c) Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n xã = 2x2:
a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + = 0.
Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = có hai nghiệm x
1, x2 tho¶ m n điều kiện sau: Ã
a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 =
Bài 12.5: Cho phơng trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – = 0.
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: xã 12 + x22 = 12
b) T×m mét hƯ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 12.6: Cho phơng trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – = 0.
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phơng trình có nghiệm ; tính nghiệm
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n: ã
1
4
x x . d) T×m giá trị nhỏ biểu thức A = 2x12 + 2x22 + x1 x2
Bài 12.7: Cho phơng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = 0. (1).
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2 Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nh nht ú?
Bài 12.8: Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2m x + m + = 0.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi h y tìm hệ thức liên hệ xã 1, x2
kh«ng phơ thc vµo m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n hệ thức : ã
1 2
6
x x
(10)Bài 12.9: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 2)x - 2m + = ( m lµ tham sè)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 -x12 - x22 + 2006 đạt giá trị lớn
Dạng 13: Biểu thức đối xứng nghiệm phơng trình bậc hai. 1.Phơng pháp giải:
* Biểu thức x1, x2 gọi đối xứng ta thay x1 x2 x2 x1 biểu thức khơng đổi. * Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P ( tổng tích nghiệm số).
Chẳng hạn:
x12 + x22 = (x1+ x2)2 - x1x2 = S2 – 2P.
x12 + x23 = (x1+ x2)3 - x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS.
1 2
1 2 1
1
;
x x S x x x x S P
x x x x P x x x x P
2.C¸c tập vận dụng:
Bài 13.1: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 + mx + = Tính giá trị biểu thøc sau;
a) x13 + x23 b)
2
1
2
2
x x
x x
Bài 13.2: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 + 2mx + = Xác định m cho x14 + x24 32
Dạng 14: Tìm hệ thức nghiệm x1 , x2 phơng trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số. 1.Phơng pháp giải:
* Tỡm iu kin phng trỡnh có nghiệm: ∆ ≥ 0. * Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo tham số m.
* Khử tham số m từ S, P để có hệ thức S, P ( tức hệ thức x1, x2 ) khơng phụ thuộc vào m
2.C¸c tập vận dụng:
Bài 14.1: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 2(m – 1)x + m2 - = T×m hệ thức x1, x2
không phụ thuộc vào m?
Bài 14.2: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 (m 3)x + 2m + = Tìm hệ thức x1, x2
không phụ thuộc vào m?
Bài 14.3: Cho phơng trình : x2 (2m3)x m 23m
a) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m ; b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối ;
c) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ?
Bài 14.4: Cho phơng trình : (m 2)x2 2(m 4)x(m 4)(m2) (m2) a) Với giá trị m phơng trình có nghiệm kép :
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ;
c) TÝnh theo m biÓu thøc
1
1
A
x x
;
d) Tìm m để A =
(11)a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m ;
b) Tìm giá trị lớn biểu thức
1 2 2
2(x x )
A
x x
c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình số nguyên. HDẫn: b) Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 + x2 = m ; x1x2 = -4.
Ta cã
2 m A m
xác định với m
2
2
2
8
m
A Am m A
m
(*)
Víi A = th× m = 3,5
Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m có nghiệm nên
1 A MaxA
Khi PT (*) có nghiệm kép m = Dạng 15: Giải hệ phơng trỡnh i xng hai n.
1.Phơng pháp giải:
* Hệ gọi đối xứng hai ẩn x, y hệ không thay đổi thay x y, y bi x. * Cỏch gii:
+ Đặt S = x + y, P = x.y.
+ Đa hệ cho hệ hai ẩn S, P Chú ý đến biểu thức đối xứng x, y. + Giải tìm S, P Khi x, y nghiệm phơng trình X2 – SX + P = 0. + Nếu ( x, y ) nghiệm ( y, x ) cng l nghim.
2.Các tập vận dụng: Bài 15.1: Giải hệ phơng trình:
a)
2
5
x y xy
x y
b) 2
2
5
x y xy
x y c) 2 11
3( ) 28
x y xy
x y x y
d) 13 x y y x x y e) 2 3
x xy x
y xy y
Một số phơng trình quy phơng trình bậc hai Dạng 1: Giải phơng trình trïng ph¬ng(ax4 + bx2 + c = 0)
1.Ph¬ng pháp giải:
(12)Phơng trình trùng phơng có nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm dơng phân
bit, ú ta gii hệ sau theo m :
0 0
S P
Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm trái dấu P0
Phơng trình trùng phơng vô nghiệm (1) vô nghiệm (∆ < 0) hc (1) cã hai
nghiƯm âm, tức là:
0 0
S P
2.Các tập vận dụng:
Bài 1.1: Cho phơng trình: x4 2(m1)x2m2 0 (1) Xác định m để phơng trình : a) Có nghiệm phân biệt
b) V« nghiƯm
c) Cã nghiệm phân biệt Dạng 2: Giải phơng trình chứa ẩn mẫu.
1.Phơng pháp giải:
Bớc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình.
Bc 2: Quy ng mu thức hai vế khử mẫu. Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc.
Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại giá trị khơng thoả mãn, giá trị thoả mãn ĐK nghiệm phơng trình cho.
Giải biện luận phơng trình chứa ẩn mẫu. * Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa;
* Quy đồng mẫu thức chung khử mẫu; * Giải biện luận phơng trình bậc hai; * Kiểm tra điều kiện kết luận. 2.Các tập vận dụng:
Bµi 2.1: Giải phơng trình sau:
2
)
1
x x
a
x x
4
)
2
x x
b
x x
2
2 5
)
2
x c
x x x x
1
)
3 27
d
x x Bài 2.2: Giải phơng trình sau:
2
2
)
2 2
x x x
a
x x x x
(13)2 2
1 1 1
)
5 12 20 11 30
b
x x x x x x x x Bµi 2.3: Giải phơng trình sau:
2 (1 ) 1 x x mx
( m tham số )
Bài 2.4: Giải phơng trình sau:
2
3 (3 2)(3 2)
)
2
x x x
a
x x x x
2
2 10
)
3 ( 9)
x b
x x x x x
Dạng 3: Giải phơng trình đa dạng tích. 1.Phơng pháp giải:
( ) ( ) ( )
( )
A x A x B x
B x
2.C¸c tập vận dụng:
Bài 3.1: Giải phơng tr×nh sau:
a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = 0 b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = 0
c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – = 0 d) x3 + 3x2 + x + = 0.
Dạng 4: Phơng trình bậc ba có nghiệm cho trớc. 1.Phơng pháp giải:
Phơng trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) có nghiệm x = . Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành:
2
1
1
( )( )
0
x
x ax b x c
ax b x c
Giải phơng trình bËc hai
2
1 ax b x c
ta đợc nghiệm khác ngồi nghiệm x phơng trình bậc ba.
Sơ đồ Hoocner: Chia đa thức
1
0 1
( ) n n
n n
P x a x a x a x a
cho x ta cã:
0 1
( ) ( )( n n )
n n
P x x a x a x a x a
.
Sơ đồ xác định bi :
a0 a1 a2 … an
b0 b1 b2 … bn
Víi b0 = a0 vµ bi = bi-1 + ( i = 1, 2, 3, , n ) 2.Các tập vận dụng:
Bài 4.1: Giải phơng trình sau:
3
3
) 11
)
a x x x
b x x x
(14)Bài 4.2: Xác định m để phơng trình : x3(2m 3)x2(m2 2m2)x m 0 có ba nghiệm phân biệt ? Bài 4.3: Xác định m để phơng trình : 6x3 7x216x m 0 có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ? Bài 4.4: Xác định m để phơng trình : x3(2m1)x23(m4)x m 12 0 có ba nghiệm phân biệt ? Dạng 5: Phơng trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m với a + b = c + d.
1.Phơng pháp giải:
* Phơng trình đợc viết thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m. * Đặt t = x2 + (a + b)x, ta đợc phơng trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m. * Giải tìm t sau tìm x cách giải phơng trình : x2 + (a + b)x – t = 0. 2.Các tập vận dụng:
Bài 5.1: Giải phơng trình : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297. Bài 5.2: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt :
2
4 2
)( 1)( 3)( 5)
) (2 1)
a x x x m
b x m x m
Bài 5.3: Cho số a, b, c, d thoả m n điều kiện : Ã a b c d vµ ad bc 2m Giải phơng trình : (x a x b x c x d )( )( )( )m2 0
HDẫn: Phơng trình đ cho tà ơng ứng với :
2 ( ) ( ) 0
x a b x ab x c d x cd m Đặt tx2 (a b x ) V× a b c d nªn
Ta cã :
2 2
2 2
( )( ) ( )
( ) 4( ) ( )
t ab t cd m t ab cd t abcd m
ab cd abcd m ab cd m
Vì ad bc 2m nên (ab cd )2 4m2, 0 Vậy phơng trình vơ nghiệm
Dạng 6: Phơng trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c. 1.Phơng pháp giải:
Đặt 2
a b a b
t x x t
Ph¬ng trình trở thành:
4
( ) ( )
2
a b a b
t t c
Khai triển rút gọn ta đợc phơng trình trùng phơng ẩn t.
Chó ý: (x y )4 x44x y3 6x y2 24xy3y4 2.Các tập vận dụng:
Bài 6.1: Giải phơng trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 =
Bài 6.1: Giải phơng trình :
4
)( 2) ( 4) 82
a x x
4
)( 2) ( 8) 272
b x x
4
)( 2) ( 1) 33 12
c x x
(15)b)Đặt x + = y.
c) x = lµ mét nghiƯm Víi x > 1, VT > VP Víi x < 1, VT < VP VËy x = lµ nghiƯm nhÊt.
Dạng 6: Phơng trình dạng ax4bx3cx2bx a 0 (1) ( PT bậc có hệ số đối xứng). 1.Phng phỏp gii:
* x = không nghiệm phơng trình;
* Chia hai v ca phơng trình cho x2, ta đợc:
2
1
( ) ( )
a x b x c
x x
* Đặt
2 2
2
1 1
( )
x t x t x t
x x x
Phơng trình trở thành:
2 2 0
at bt c a (2).
- Giải phơng trình tìm t, thay vao phơng tr×nh
1
x t
x
để tìm x