II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng: • n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) ⇔ n ⊥ (α) 2. Phương trình tổng qt của mặt phẳng * Định nghĩa: Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng qt của mặt phẳng • Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là ( ; ; )n A B C= • Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận ( ; ; )n A B C= làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0. • Nếu (P) có cặp vectơ 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= = khơng cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định n = 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a , ; ; ( ; ; ) b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b = = − − − ÷ Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C : ° Cặp vtcp: → AB , → AC ° ] )( →→ = AC , AB[nvtpt qua ChayBhayA α Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° → = AB vtpt AB điểm trungMqua n α Dạng 3: Mặt phẳng α qua M và ⊥ d (hoặc AB) ° ) (AB n → ⊥ = d a vtpt nên (d) Vì Mqua α α Dạng 4: Mp α qua M và // β : Ax + By + Cz + D = 0 ° βα βα α n n vtpt nên // Vì M qua = Dạng 5: Mp α chứa (d) và song song (d / ) Điểm M ( chọn điểm M trên (d)) Mpα chứa (d) nên α aa d = Mpα song song (d / ) nên α ba d = / ■ Vtpt [ ] / , d d aan = Dạng 6 Mp α qua M,N và ⊥ β : ■ Mpα qua M,N nên α aMN = ■ Mpα ⊥ mpβ nên αβ bn = ° ],[ β α n nvtpt N) (hayM qua → = MN Daùng 7 Mp chửựa (d) vaứ ủi qua Mp chửựa d neõn aa d = Mp ủi qua )(dM vaứ A neõn bAM = ],[ AM nvtpt A qua = d a 3.BI TP P DNG Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n biết a, ( ) ( ) M 3;1;1 , n 1;1;2= b, ( ) ( ) M 2;7;0 , n 3;0;1 = c, ( ) ( ) M 4; 1; 2 , n 0;1;3 = d, ( ) ( ) M 2;1; 2 , n 1;0;0 = e, ( ) ( ) M 3;4;5 , n 1; 3; 7= f, ( ) ( ) M 10;1;9 , n 7;10;1= Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, 1 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 2 2 ữ ữ c, 2 1 1 A 1; ; , B 3; ;1 3 2 3 ữ ữ Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( ) biết: a, ( ) ( ) ( ) M 2;1;5 , Oxy = b, ( ) ( ) M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 + = c, ( ) ( ) M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 + = d, ( ) ( ) M 3;6; 5 , : x z 1 0 + = Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là (2;1;2); (3;2; 1)a b Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z. c) Song song với các trục 0y, 0z. Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và : a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y. c) Cùng phơng với trục 0z. Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc với hai véc tơ (6; 1;3); (3;2;1)a b . Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là )4,2,3( );2,7,2( ba Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết : a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận );4,3,2(n làm VTPT. b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q). Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau: a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là ( ) 3;2;1a và ( ) 3;0;1b b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x. Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD. Bài 14: Viết phơng trình tổng quát của (P) a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) , d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3) Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz a) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z c) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P). . Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z. c) Song song với các trục 0y, 0z. Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng. M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho. qua = Dạng 5: Mp α chứa (d) và song song (d / ) Điểm M ( chọn điểm M trên (d)) Mpα chứa (d) nên α aa d = Mpα song song (d / ) nên α ba d = / ■ Vtpt [ ] / , d d aan = Dạng 6 Mp α qua M,N