Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là hoành độ tiếp điểm).. Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm được..[r]
(1)MỘT VÀI DẠNG TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để hàm số đồng biến ?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số đồng biến thì
'
y x
0
a
Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để hàm số nghịch biến
?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số đồng biến thì
'
y x
0
a
Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để đồ thị hàm số có cực trị? Phương pháp:
TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Đồ thị hàm số có cực trị phương trình y’ = có nghiệm phân biệt y’ đổi dấu x qua hai nghiệm
0
a
Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Chứng minh với m đồ thị hàm số ln ln có cực trị?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Xét phương trình y’ = 0, ta có: =….>0, m
Vậy với m đồ thị hàm số cho ln ln có cực trị
Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để đồ thị hàm số khơng có cực trị?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Hàm số khơng có cực trị y’ khơng đổi dấu tồn tập xác định
0
a
Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để đồ thị hàm số đạt cực đại tại x0?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số đạt cực đại x0
0
'( ) ''( )
f x f x
Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x0?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số đạt cực tiểu x0
0
'( ) ''( )
f x f x
(2)Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để đồ thị hàm số đạt cực trị bằng h x0?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số đạt cực trị h x0
0
'( ) ( )
f x
f x h
Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m Định m để đồ thị hàm số qua điểm cực trị M(x0;y0)?
Phương pháp: TXĐ: D =
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số qua điểm cực trị M(x0;y0)
0
'( ) ( )
f x
f x y
Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) M(x0;y0)(C) Viết PTTT điểm
M(x0;y0) ?
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x) f’(x0)
Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0;y0) y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
Các dạng thường gặp khác :
1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hịanh độ x0.
Ta tìm:+ y0 = f(x0) + f’(x) f’(x0)
Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x)= 0. Ta tìm:+ f’(x)
+ f”(x)
+Giải phương trình f”(x) = 0 x0
+ y0 f’(x0) Suy PTTT
Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) a/ song song với đường thẳng y = ax + b. b/ vng góc với đường thẳng y = ax + b. Phương pháp:
a/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc a Ta có: f’(x) = a (Nghiệm phương trình hồnh độ tiếp điểm)
Tính y0 tương ứng với x0 tìm Suy tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y0 = a ( x – x0 ) b/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) vng góc với đường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc
1
a
Ta có: f’(x) =
1
a
(Nghiệm phương trình hồnh độ tiếp điểm)
Tính y0 tương ứng với x0 tìm Suy tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y0 =
1
a
( x – x0 ) Chú ý:
+ Đường phân giác góc phần tư thứ y = x.
+ Đường phân giác góc phần tư thứ hai y = - x.
Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm GTLN, GTNN hàm số [a;b] Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x)
Giải phương trình f’(x) = 0, ta điểm cực trị: x1, x2, x3,… [a;b]
Tính: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),… Từ suy ra: ma bax; y ; inm ya b;
(3)Dạng 13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m tham số.Tìm điểm cố định mà họ đường cong qua với giá trị m
Phương pháp: Ta có: y = f(m,x)
Am + B = 0, m (1)
Hoặc Am2 + Bm + C = 0, m (2) Đồ thị hàm số (1) luôn qua điểm M(x;y) (x;y) nghiệm hệ phương trình:
0
A B
(a) (đối với (1))
Hoặc
0 0
A B C
(b) (đối với (2)) Giải (a) (b) để tìm x Suy y tương ứng
Từ kết luận điểm cố định cần tìm Dạng 14: Giả sử (C1) đồ thị hàm số y = f(x) (C2) đồ thị hàm số y = g(x) Biện luận số giao điểm hai đồ thị (C1), (C2)
Phương pháp:
Phương trình hồnh độ giao điểm y = f(x) y = g(x)
f(x) = g(x)
f(x) – g(x) = (*)
Số giao điểm hai đồ thị (C1), (C2) số nghiệm phương trình (*)
Dạng 15: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) + g(m) =
Phương pháp:
Ta có: f(x) + g(m) =
f(x) = g(m) (*)
Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị (C): y = f(x) đường g(m)
Dựa vào đồ thị (C), ta có:…v.v…
Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). CMR điểm I(x0;y0) tâm đối xứng (C) Phương pháp:
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ OI x y0; 0
Công thức đổi trục:
0
0
x X x
y Y y
2
x y
x
Thế vào y = f(x) ta Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) hàm số lẻ Suy I(x0;y0) tâm đối xứng (C)
Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). CMR đường thẳng x = x0 trục đối xứng (C)
Phương pháp:
Đổi trục tịnh tiến theo vectơ
0;0
OI x
Công thức đổi trục
0
x X x
y Y
Thế vào y = f(x) ta Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) hàm số chẵn Suy đường thẳng x = x0 trục đối xứng (C)
Dạng 18: Sự tiếp xúc hai đường cong có phương trình y = f(x) y = g(x)
Phương pháp:
Hai đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc với hệ phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
Có nghiệm nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong
(4)