on tap thi tot nghiep 12p2

Đưa về dạng đa thức bậc cao (bậc 2, bậc 3, hay bậc 4 trùng phương), dùng ẩn phụ đặta. Ví dụ: Giải các phương trình sau:.[r]

(1)

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN PHẦN 2: MŨ - LOGARIT

DẠNG TOÁN HÀM SỐ MŨ, LOGARIT DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM

Một số Quy tắc tính đạo hàm:

 eu ' u e' u

  au 'u a' ulna  

' lnu ' u

u

 log ' '

ln

a

u u

u a



Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số:

a) y2xex3sin 2x b) y5x2 lnx8cosx c)   sinx ln cos

y e  x

Bài giải:

a) ' 2 ' 3sin ' 2  cos

x x x

y  xe  x  e  xe  x

b)      

2

' ' ln ' 8cos ' 10 8sin

y x x x x x

x

     

c)       

 

sin ' ln cos ' sin ' sin cos ' cos sin tan cos

x x x x

y e x x e xe x

x

     

DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM

B1: Tìm đạo hàm y’

B2: Thay y’ vào vế “trái” đẳng thức, biến đổi suy điều cần chứng minh

Ví dụ 1: Cho hàm số y e sinx Chứng minh y'cosx y sin2xy Bài giải:

Ta có y' cos xesinx

Khi đó:  

2 sin sin 2 sin sin

'cos sin cos x sin x cos sin x x

y x y x xe  xe  x x e e y

Ví dụ 2: Cho hàm số ln1 x y

x



 Chứng minh ' 1 

y

y  x e 

,  x 0;1 Bài giải:

0;1 x  

, ta có

  /

2

1 1

1

'

1

x

x x

y

x x x x

x

 

  



 

  



 .

Suy  

ln

1

'

1

x

y x x x x

y x e e

x x x



 

   



DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC, TÍNH BIỂU THỨC  

   

0

1

0

n x y x y

n

x

x x

y

x y x xy

y x

m n

n m

n

n n n n k nk n

n

a a a a a a

a

a a a

a a a a

a b b

a a

a b ab a a a a

b b

 



   

 

     

 

   

(2)

 

log 0, 1,

x

a

a  y x y a a y

log 0, loga  aa1 alogab b, loga a



 

 2 loga b b logab logab

1

2

loga loga loga

b b b b        

loga logab

b  logab logab



 

1

log n log

a b ab

n

 loga loglogc

c

b b

a

 log

log

a

b

a

 log log

a

ab b

 

Ví dụ 1: Tính

  271

0,75 5 log 2

2 0,25 16 A          

3

log 6.log 9.log B

Bài giải:

  271    

0,75 log 1log 2

4 4 2 3 3

2

3

1

0,25 5 135

16 A                         .  

3 6

2 2

log 6.log 9.log log 6.log log log 2.log

3 3

B   

Ví dụ 2: Biểu diễn log 830 qua log 530 log 330 . Bài giải:

 

30 30 30 30 30 30

15 30

log 3log 3log 3log log log

15 5.3

 

      

  .

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

4

3 3

1

4 4

a a a

K

a a a

              

  (a > 0).

log log log

x x x

a b c

L

a b c

 



  a b c x, , , 0, ,x abc1 Bài giải:

 

4

3 3 4

1

3 3

1 1

1

4 4

1

a a a

a a a a a a a a a

K a

a a a a a

a a a a

a a a

                                   .

log log log

log 2log

log log log

x x x

abc abc

x x x

a b c a

L a

a b c bc

 

   

 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

a)

2

1

3

   



   

    b) log log 43  c) log log 30,3  . Bài giải:

a) Vì

1

3 2 5 20 18 2 nên

2

1 3              .

(3)

1. TXĐ [a;b] Tìm đạo hàm f ’(x).

2. Tìm xitrên khoảng (a; b) mà f x' i 0

3. Tính f a f x ;  i ;f b  (nếu cần học sinh lập bảng biến thiên)

4. So sánh kết luận maxa b;  f x  mina b;  f x .

Ví dụ: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y2x e x đoạn 0;ln 3 Bài giải:

0;ln 3

x  

ta có: ' x

y   e ; y' 0  2 ex  0 xln 2.

ln 2 2ln 2

y  

; ln 3 ln 3

y  

;  0

y 

Vậy max0;ln3 y2ln 2 x = ln min0;ln3 y1 x = 0. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:

BÀI 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y2x3 6x2 b) y x  2x23 c)

3

1 x y

x

 

 .

BÀI 2: Tìm điểm cực trị hàm số:

a) y2x33x2 36x10 b) ysinxcosx với x   ;  c) 2 1

x

y x e

c) y2x2009 ln x BÀI 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

a) y x 3 3x2 9x35 đoạn 4; 4 b) ysin 2x x đoạn ;

 

 



 

  .

c) y e xex đoạn 1;ln 2 d)

2

2 x

y x e 

  đoạn 1; 2. e) y x  1 lnx đoạn 1;e

BÀI 3: Tìm cạnh hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết chu vi khơng đổi 16cm

BÀI 4: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số:

a)

2

x y

x

 

 b)

3 x y

x

 

 c)

2

2 11

6

x x

y

x x

 



  .

BÀI 5: Cho hàm số y x 33x2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình x33x2m0.

BÀI 6: Cho hàm số

2

x

y  x 

b) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình x4 2x2 3 m0.

BÀI 7: Cho hàm số

2

x y

x

 

 .

(4)

c) Dùng đồ thị, giải bất phương trình

2

8 11

2

x

x x



 

 .

BÀI 8: Cho hàm số  

3

y x  x   m x m  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

b) Dùng đồ thị hàm số, biện luận theo k số nghiệm phương trình x33x2 k 2 0.

c) Tìm giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x2. BÀI 9: Cho hàm số y x 3 3x4

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số tiếp tuyến điểm cực tiểu BÀI 10: Cho hàm số

4

2 x y

x

 

 .

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm điểm có tọa độ ngun mà đồ thị qua

c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song đường thẳng 2009

x y  .

ĐS:

1/ a/nb 1;1 ; đb   ; ; 1;  , b/ nb   ; ; 0;1   ; đb 1;0 ; 1;  , c/đb ;1 ; 1;   2/ a/ xcđ=-3; xct=2, b/

cñ x 

, c/

1 ct x 

, d/ ct

x 

3/ a/max 4;4 y40 x = -1; min 4;4 y31 x = -4, b/ 2;

3

2

max y

 



      

 

x

 

; 2,

min y

 



     



khi x , c/  1;ln 2

1

max y e

e

   x = -1; min 1;ln 2 y1 x = 0, d/ max 1;2 ye x = 0;

 

9 1;2

min y e

   x = 2, e/ max 1;e y0 x = 2; min 1;e y 1 ln 2 x = cạnh 4. 4/ a/ TCN

3 y

, TCĐ

1 x

; b/ TCN y0, TCĐ x2 x2; c/ TCN y2, TCĐ x1

và x5.

5/ m>0 m<-4 pt có nghiệm; m=0 m=-4 pt có nghiệm; -4<m<0 pt có nghiệm

6/ m<2 pt vơ nghiệm; m=2 m>3 pt có nghiệm; 2<m<3 pt có nghiệm; m=3 pt có nghiệm

7/ b/

1

2

y x

; c/ x<1 x>2

8/ b/ k<2 k>4 pt có nghiệm, k=2 k=4 pt có nghiệm, 2<k<4 pt có nghiệm; c/ m=27

9/  

1

27

3

4

x x dx



  



10/ b/ (3;5) (1;3); c/ y x8; y x4 BÀI 11: Rút gọn biểu thức:

a Alogablogba2 log  ab logabblogba1 b

 

1

2

b b

B a a

 



 

   

      

     

(5)

a

27

log 81

3 2log3

10



    

  b 16 27

1

log 2log 3log 2log 2

4  

c

5 3

1 4

log

a

a a a

a a d log 166 biết log 2712 a

e

3

1 1

3 3

1

2log log 400 3log 45

 

BÀI 13: Tính đạo hàm hàm số sau:

a y2xex3sin 2x b y5x2 lnx8cosx c y e cos2x d y x ln sinxcosx BÀI 14: So sánh cặp số sau:

a 35 b log 23 log 32 c log 32 log 113 d log 32 log 53 BÀI 15:

a Chứng minh y'.sinx y cos lnx y1 với y e cosx b Chứng minh ln 'yy0 với yln 3 x2009 ĐS:

11/ A = logba; B = 1/ab

12/ a/ 1/3; b/ 150

3 ; c/ -91/60; d/ 4(3-a)/(3+a); e/-4.

13/ a/y' 2 ex2xex6cos 2x; b/

1

' 10 8sin

y x x

x

  

; c/y'2sin 2xecos2x; d/

2cos '

sin cos x y

x x



(6)

DẠNG TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT

DẠNG 1: DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT Đưa dạng:

x y

a a  xy và loga xloga y  xy

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a

2 3

7 11

11

x x

   



   

    b log4x2 log2 x

Bài giải

a

2 3

7 11

11

x x

   



   

     2x 3 3x 7 5x10 x2.

b

 

2

4

2

log log

0

x x

x

  

   



  x2.

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HĨA, LOGARIT HÓA Đưa dạng:

 

log

x

a

a  b x b b

và loga x b  x a b

a 5.6x1 2.51x b 2.3x1 4.3x11 c log3x2 log9x2 4 Bài giải:

a 5.6x1 2.51x

5 10

6

x x

 

30 30x 12 log 12

x

    .

b 2.3x1 4.3x11

4

3

3 14

x  x

     

  3

3

log log 14 14

x  

c log3x2 log9x2 4  

8

1

log 6559

2 x x x

       

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đưa dạng đa thức bậc cao (bậc 2, bậc 3, hay bậc trùng phương), dùng ẩn phụ đặt

a 2.16x17.4x 8 b 7x1 8.71x 41 c     

2

log x1 log x1  0 Bài giải

a

2 3

2.16 17.4 1

1

2

x

x x

x

x x

 

  

     

   

 .

b 7x1 8.71x41  

2

7

7.7 41.7 56 8

7

x

x x

x vn x

 



      

 

(7)

c     

2

log x1 log x1  0     

2

1

log log

2 x x           2

log

5 log x x          5 1

1 32 2

x x x x                  .

DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT Đưa dạng:

hoặc hoặc

x y x y x y x y

a a a a a a a a

Và loga xloga y logaxloga y loga xloga yhoặc logaxloga y

Tùy theo a >1 hay a <1 mà ta có kết (VD: 2x 23  x3; 0, 2x 0, 2 x1)

Ví dụ: Giải bất phương trình sau:

a log3x2log9x2 b    

0,5 0,5

log 4x11 log x 6x8

c    

2

0, x 0,04 x



Bài giải

a log3x2log9x2 3  3 

log log

2

x x

    1log3 2

2 x    x    x

   Vậy tập nghiệm bất phương trình 1;

b    

2

0,5 0,5

log 4x11 log x 6x8

2

4 11

11 11

4

x x

x x x

x x                      11 x x x              x

  Vậy tập nghiệm bất phương trình 1;

c    

2

0, x 0,04 x

 2 x x 

   3

4

x x

   

Vậy tập nghiệm bất phương trình

3 ;          .

DẠNG 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HĨA, LOGARIT HĨA

a 12 log x x  

 b 2

2 x x

  c    

2

3 27

log 3x2  log  3x2   2

 

Bài giải:

a 12 log x x   

2

x x     2x

 



1

2

2 x x      Vậy ; x 

 .

b 22x1 22x3 3

2

3

1 8

2 log log

2 5

x x

x

 

         

  .

Vậy

3

log 5;

x  

 .

c    

2

3 27

log 3x2  log  3x2   2

 

(8)

a 9x 5.3x 6 b

2

x x

 

 c

3

log

1 log

x x

   

Bài giải

a 9x 5.3x 6 3 log 23

x x

      Vậy tập nghiệm cần tìm log 2;13  . b

2

x x

  

2

2 2.2

0

2

x x

x

 

 

 .

Đặt t2x 0.

Bất phương trình trở thành:

2 2 3

0

t t

t

 

 

0;1 3; 

t  

+ 0  t 2x  1 x0

+ 3 log 32

x

t    x

Vậy nghiệm cần tìm x0, xlog 32 . c

3

log

1 log

x x

   

3

log log

1

log log

x x



    

   log 3x1  1 x3.

Vậy nghiệm cần tìm 1x3. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:

Bài 1: Giải phương trình:

a

2 3

3

0

2

x x

   

 

   

    b 2.16x17.4x 8

c 32x+1 – 9.3x + = 0 d 2x2x 4.2x2x 22x

    .

Bài 2: Giải phương trình:

a log3(x + 1) + log3(x + 3) = b log 3x log 5x2log3x 2

c  

2

2 2

log x 8 log xlog

d 4 

3

log log

2

x x 

e log4x2 log 1 x 

Bài 3: Giải bất phương trình:

a 22x1 22x2 22x3 448

   b 9x 5.3x 6

c

3

x

x 

 d 0,5x1 22x1 0

Bài 4: Giải bất phương trình:

a log3x2 log9x2 b log3x 3log3x 51

c 4log4 x 33log 1x  d

3

2log (4x  3)  log (2x  3) 

e    

2

1

5

log x  6x8 2log x 0 t

2 2 3

t  t t

2 2 3

1

t t

t  



-1 +

0

0 – – –

+ +

+ – –

– +

– + +

(9)

Bài 5:Tìm tập xác định hàm số sau:

a  

2

log

y x  x

b 13 log

4 x y

x

 

 c  

2

3

log 2x x

y 

 

d  

2

log

x x

      

 

ĐS: 1/ a/

3 x

; b/

3

;

2

x x

; c/ x0;xlog 23 ; d/x0;x1

2/ a/x0; b/x=3; x=5; c/x=4; x=2; d/x=4; e/ x=2.

3/ a/x9; b/log 23 x1; c/xlog 23 x1; d/ x>0

4/ a/x 1; b/5x6 ; c/

11

4 ;1 64

x x



   ; d/

3

4 x ; e/ x<4.