CÁC TÍNH CHẤT TRUYỀN DẪN ĐIỆN CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC NANO GRAPHENE.TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …… ….***………… NGUYỄN THỊ THUỲ NHUNG CÁC TÍNH CHẤT TRUYỀN DẪN ĐIỆN CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC NANO GRAPHENE Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý tốn Mã số: 44 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Hà Nội – 2020 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN LIỄN Phản biện 1: … Phản biện 2: … Phản biện 3: … Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … …’, ngày … tháng … năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam Mở đầu Carbon nguyên tố phổ biến tự nhiên, có nhiều lớp vỏ trái đất nguyên tố cấu thành vật thể sống Các cấu hình vật liệu chiều carbon biết đến từ lâu kim cương graphite Vào năm 1985, cấu hình chiều carbon fullerene Kroto, Smalley Curl tìm Radushkevich Lukyanovich vào năm 1952 báo cáo ống carbon rỗng, gọi ống nano carbon Năm 1991 Lijima cộng chế tạo thành công ống nano carbon Wallace người nghiên cứu lý thuyết lớp đơn nguyên tử carbon graphite vào năm 1947 Thuật ngữ “graphene” lần Boehm, Setton Stumpp đề xuất vào năm 1994 để đơn lớp nguyên tử carbon, nguyên tử carbon xếp nút mạng lục giác Phải tới năm 2004, Geim, Novoselov cộng tách thành công graphene từ graphite Ngay sau chế tạo thành cơng phịng thí nghiệm, graphene trở thành chủ đề nóng nghiên cứu Các nhà nghiên cứu kỳ vọng graphene, với tính chất dẫn điện vượt trội, tính truyền nhiệt tốt, mang tới ứng dụng quan trọng độc đáo Đối với công nghệ điện tử, graphene vật liệu lý tưởng để truyền dẫn đạn đạo thực Graphene có ưu việc chế tạo chuyển tiếp p-n-p, vốn thành phần thiết bị lưỡng cực (bipolar) Gần đây, nhà khoa học Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) tạo qubit mạch điện siêu dẫn sử dụng graphene Bắt nguồn từ thực tế trên, chọn đề tài nghiên cứu “Các tính chất truyền dẫn điện số cấu trúc nano graphene” Mục đích luận án nghiên cứu lý thuyết đặc trưng dẫn điện cấu trúc nano dựa graphene Chúng tập trung vào hai đối tượng nghiên cứu-hai loại cấu trúc nano làm từ graphene: chuyển tiếp lưỡng cực graphene (GBJ) chấm lượng tử graphene (GQD) GBJs tạo điện cực tiếp xúc với bề mặt graphene cấu hình cho phép điều khiển truyền dẫn theo chiều Đặc trưng truyền dẫn điện chuyển tiếp lưỡng cực (BJ) phụ thuộc chủ yếu vào dạng miền chuyển tiếp Các nghiên cứu lý thuyết trước thường giả thiết có dạng chữ nhật hay hình thang Trong luận án này, chúng tơi đề xuất sử dụng mơ hình rào dạng Gauss để nghiên cứu tính chất truyền dẫn GBJs Ưu điểm chuyển tiếp dạng Gauss: mô tả dạng cấu trúc BJ thực Thế cho phép mô tả tất chế độ mật độ hạt tải chuyển tiếp trơn tru chế độ Nghiên cứu tập trung vào việc tính tốn đặc trưng truyền dẫn điện xác suất truyền qua, điện trở, đặc trưng Volt-Ampere shot noise phụ thuộc vào tham số mơ hình nhằm tìm hiểu rõ chế truyền dẫn đạn đạo qua GBJs Tương tự chuyển tiếp p-n, GQD tạo điện cực có kích thước nano Sử dụng kính hiển vi qt chui ngầm (STM), người ta tạo vùng giam cầm electron với kích thước nano graphene Trong GQD tạo tĩnh điện, ngoại trừ số điều kiện định cho phép tồn trạng thái liên kết, thông thường hạt tải điện tồn trạng thái giả liên kết với thời gian sống hữu hạn Việc xác định thời gian sống hạt tải GQD tối quan trọng để thiết kế thiết bị điện tử dựa GQD có khả vận hành mong muốn Do vậy, luận án này, chúng tơi xây dựng mơ hình lý thuyết để nghiên cứu thời gian sống mật độ trạng thái địa phương hạt tải điện GQD hình trịn (CGQDs) tạo tĩnh điện Kết nhận được so sánh với thực nghiệm Phương pháp tính tốn chủ yếu sử dụng phương pháp T -ma trận Khi tính T -ma trận, ta tính tiếp đặc trưng electronic khác hệ, xác suất truyền qua, độ dẫn điện, dịng shot noise Ta xác định lượng độ rộng mức trạng thái giả liên kết electron GQD Mật độ trạng thái địa phương hệ số tán xạ biểu diễn xác qua yếu tố T-ma trận Ngoài phương pháp T -ma trận, chúng tơi cịn đề xuất phương pháp để tính mật độ trạng thái địa phương (LDOS) từ hàm sóng chuẩn hóa cho CGQD với dạng Luận án chia làm chương, không kể phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo: Chương trình bày tổng quan tính chất điện tử graphene, kết nghiên cứu trước chuyển tiếp n-p-n GQD Chương giới thiệu phương pháp lý thuyết tính số sử dụng nghiên cứu luận án Chương kết nghiên cứu truyền dẫn điện tử chuyển tiếp n-p-n graphene Chương mô tả kết nghiên cứu cấu trúc lượng tính chất liên quan GQD hình trịn (CGQDs) tạo tĩnh điện, đồng thời trình bày kết phát triển phương pháp T-ma trận cho CGQDs nằm từ trường vng góc đồng Chương Các tính chất điện tử graphene 1.1 Cấu trúc tinh thể cấu trúc vùng graphene Graphene lớp đơn nguyên tử carbon nguyên tử carbon nằm nút mạng tổ ong chiều Ta coi mạng graphene mạng Bravais lục giác với hai nguyên tử A B ô sở Cấu trúc vùng graphene xác định nhờ gần liên kết chặt (tight binding) Khi xét đến tương tác lân cận gần mạng graphene, hệ thức tán sắc điện tử cho √ E(k) = ±t cos(πkx a 3) cos(πky a) + cos2 (πky a) + (1.1) ˆ t = φ∗ (r − rA )Hφ(r − rB )d3 r gọi lượng bước nhảy phối trí cấp 1, hay lân cận gần A sang B Trong graphene, t ≈ 2.7 eV Cấu trúc vùng lượng cho cơng thức (1.1) biểu diễn Hình 1.1 Dấu trừ đầu vế bên phải công thức (1.1) tương ứng với vùng lượng bên dưới, gọi vùng π, dấu cộng tương ứng với vùng bên trên, gọi vùng π ∗ Có thể thấy hai vùng bị suy biến điểm K K , gọi điểm Dirac Ở nhiệt độ K, vùng π bị lấp đầy vùng π ∗ trống, lượng Fermi EF = Đặt k = K + q, K véc-tơ xung lượng điểm K K q xung lượng tương đối so với xung lượng điểm Hình 1.1: (a) Cấu trúc vùng năng√ lượng graphene dọc theo quỹ đạo Γ → K → M → K với ky = kx / (b) Cấu trúc vùng lượng biểu diễn E hàm kx ky Dirac Nhờ khai triển Taylor biểu thức lượng E(k) xung quanh điểm Dirac với giả thiết |q| K ta nhận được: E(q) ≈ ± vF |q|, (1.2) với vF = 3ta0 /2 vận tốc Fermi Lân cận điểm K K , vận tốc điện tử vận tốc Fermi không phụ thuộc vào lượng xung lượng Trong graphene, vận tốc Fermi vào khoảng 106 m/s tức khoảng 300 c với c vận tốc ánh sáng Sự tồn hai mạng A B graphene dẫn tới tính chirality động học hạt tải graphene, theo hai nhánh tuyến tính hệ thức tán sắc graphene gần điểm Dirac trở nên độc lập với Theo ngôn ngữ lượng tử hoá lần thứ nhất, hạt tải graphene tn theo phương trình Dirac hai chiều có dạng: vF σ · ∇Ψ(r) = EΨ(r) , (1.3) σ = (σx , σy ) véc-tơ chiều tạo ma trận Pauli σ gọi giả spin Hàm sóng hạt tải lân cận điểm Dirac có dạng spinor thành phần tương ứng với xác suất tìm thấy hạt hai mạng tương ứng 1.2 Chuyển tiếp lưỡng cực graphene Một số nhóm nghiên cứu thực nghiệm phát triển dị cấu trúc graphene tạo điện cực địa phương, hay gọi cổng địa phương (local gate) Nhìn chung, để tạo GBJ, ta cần tạo thiết kế với hai cổng tĩnh điện Bằng việc thay đổi điện cổng, Vb Vt , độc lập nhau, ta chế tạo dị cấu trúc lưỡng cực graphene với tất chế độ nồng độ hạt tải khả dĩ: p-n-p, n-p-n, p-p -p, hoc n-n -n ă Ozyilmaz v cộng nghiên cứu truyền dẫn Hall lượng tử chuyển tiếp n-p-n graphene quan sát chuỗi bình nguyên Hall lượng tử nồng độ hạt tải địa phương thay đổi miền p n giá trị từ trường lớn Huard đồng nghiệp đo điện trở R GBJ ghi nhận bất đối xứng đáng kể R Vt thay đổi điểm cực đại Sử dụng cổng ngăn cách lớp graphene lớp khơng khí, gọi "air-bridge" top gate, để tránh cho nồng độ hạt tải bị giảm miền bên cổng này, Gorbachev cộng chế tạo chuyển tiếp p-n-p graphene đạn đạo Hiện tượng khoá Coulomb (Coulomb blockade) BJ làm từ dải nano graphene quan sát thấy transitor đơn điện tử 1.3 Chấm lượng tử graphene Trong thực nghiệm, phương pháp chế tạo QD cách sử dụng tĩnh điện để giam cầm hạt tải nghiên cứu áp dụng Zhao cộng tạo vùng giam cầm điện tử với kích thước nano graphene dạng chuyển tiếp p-n hình trịn sử dụng hiển vi điện tử quét chui ngầm (STM) Trong nghiên cứu Lee công sự, GQD chế tạo sử dụng kỹ thuật liên quan tới việc tạo điện tích sai hỏng địa phương bên miếng đế cách điện (substrate) bên màng graphene đơn lớp Trong thí nghiệm thực Gutierrez cộng sự, CGQD tạo miếng đế đồng có kích thước vài chục nanomét gây chênh lệch bên bên chấm lượng tử Về mặt lý thuyết, GQD thường mô hình hố giam cầm đối xứng trục phụ thuộc vào khoảng cách theo dạng bậc thang dạng hàm mũ Đối với graphene tinh khiết khơng có khe lượng, khơng có từ trường, trạng thái hạt tải điện GQD sinh tĩnh điện nhìn chung khơng phải trạng thái liên kết thực mà giả liên kết (QBS) với thời gian giam cầm hữu hạn, trừ vài trường hợp đặc biệt quan sát trạng thái liên kết thực Trong trường hợp graphene có khe lượng, tác giả nghiên cứu khe lượng làm cho thời gian giam cầm QBS dài Nghiên cứu Chen cộng gợi ý thời gian giam cầm điện tử GQD tăng theo độ trơn tru giam cầm cho hàm mũ Nghiên cứu Lee cộng cho thấy đồ thị mật độ điện tích GQD đo thực nghiệm có thay đổi trơn tru biên chuyển tiếp p-n Điều gợi ý QD gây trơn mượt Một mục tiêu luận án nghiên cứu GQD với dạng giam cầm khác hình thang, Gauss nhằm hiểu rõ phụ thuộc trạng thái thời gian giam cầm điện tử GQD dạng giam cầm 1.4 Giam cầm hạt tải graphene sử dụng từ trường Sự tác dụng từ trường lên graphene dẫn tới trạng thái liên kết nhờ loại bỏ chui ngầm Klein De Martino cộng lý thuyết dùng từ trường vng góc khơng đồng để tạo GQD với tồn trạng thái liên kết Một cách khác để chế tạo GQD, vượt qua trở ngại mà nghịch lý Klein gây ra, việc sử dụng điện trường từ trường kết hợp để giam cầm hạt tải miền giới hạn định Giavaras cộng khảo sát trạng thái hạt Dirac không khối lượng GQD tạo đồng thời điện trường từ trường Một phương án đưa chế tạo GQD có trạng thái giam cầm đặt khe lượng mức Landau đặt QD từ trường Maksym cộng điều thực với CGQD tạo giam cầm tĩnh điện có dạng hố với tiệm cận phẳng bên ngồi QD, đặt từ trường vng góc đồng Chương Các phương pháp tính tốn 2.1 Phương pháp ma trận truyền qua Phương pháp T -ma trận sử dụng nhiều toán m ú electron tuõn theo phng trỡnh Schră odinger Trong trường hợp electron tuân theo phương trình Dirac chịu tác dụng bờ trơn mượt, ta áp dụng phương pháp T -ma trận hiệu Vì nguyên tắc, trơn mượt coi cách xấp xỉ chuỗi nhiều bậc thang mà bậc xem khơng đổi Bằng cách nhân T -ma trận thành phần nhận từ lời giải cho bậc thang ta tìm T -ma trận tổng cộng Mặt khác, với bậc thang, T -ma trận thành phần nhận từ lời giải Hamiltonian bên trái bên phải (tại đó, xem không đổi) việc thoả mãn điều kiện liên tục ranh giới bậc thang Trong chương áp dụng phát triển phương pháp T -ma trận cho hệ chuyển tiếp lưỡng cực graphene chấm lượng tử graphene Đối với toán truyền dẫn điện tử qua rào graphene, từ T -ma trận tổng cộng nhận ta tính xác suất truyền qua T theo lượng tới E góc tới θ điện tử so với rào 2.2 Phương pháp tính dịng, độ dẫn, shot noise hệ số Fano hệ tạo graphene Xét rào đơn giản Hình 2.1 Ta tính xác suất truyền qua T (E, θ) phương pháp T -ma trận Ở điều kiện cân (V = 0), electron tuân theo phân bố Fermi, cực trái cực phải có lượng Fermi µ0 Khi V đặt vào, bên rào có lượng Fermi riêng, µL bên trái µR bên phải, với |µL − µR | = eV Hình 2.1: Rào biển Fermi electron (các vùng phẳng tô đậm phía ngồi rào thế) trường hợp lý tưởng V chiều đặt vào nhỏ Xét hệ tạo graphene, giả sử đặt vào nhỏ Dịng miền tuyến tính I–V là: π/2 geW I = |(µ0 − UL )eV | dθT (θ) cos θ (2.1) h vF −π/2 Từ ta tính độ dẫn G = I/V Một đại lượng thường xem xét truyền dẫn đạn đạo hệ số Fano F định nghĩa tỉ số cường độ nhiễu shot noise S cường độ nhiễu Poisson SP , S S = (2.2) F= SP 2eI Shot noise hệ lượng tử hóa điện tích Nhiễu Poisson nhiễu sinh không tương quan hạt tải Biểu thức tổng quát cho công suất shot noise Buttiker dẫn cho hệ hai chiều nhiệt độ gần K, trường hợp phổ liên tục là: S = ge2 W h2 vF µL π/2 dE |E − UL | µR dθT (E, θ)[1 − T (E, θ)] cos θ −π/2 (2.3) 90o o 90 60o 1.0 90o o 60 60o 0.8 0.6 30o 30o o 30 0.4 0.2 0o 0o 0o 0.2 0.4 −30o 0.6 −30o −30o 0.8 1.0 −90o −60o (a) o 90 1.0 −90o −60o (b) (c) o o 90 60o −60o −90o 90 o 60 60o 0.8 0.6 o o 30 o 30 30 0.4 0.2 0o o 0o 0 0.2 0.4 −30o 0.6 o −30o −30 0.8 1.0 −90o −60o (d) −90o −60o (e) −90o o −60 (f) Hình 3.2: Biểu đồ T (θ) cho GBJ mơ hình dạng chữ nhật (các đường xanh nét đứt) mơ hình dạng Gauss (đường đỏ nét liền): giá trị hình bán nguyệt tương ứng với T = tâm T = Các hình T (θ) vẽ cho tham số khác [L (nm), E (meV), Vb (V), Vt (V)]: (a) [25, 0, 60, −12]; (b) [25, 50, 60, −12]; (c) [50, 50, 60, −12]; (d) [25, 0, 40, −6]; (e) [25, 50, 40, −6]; (f) [50, 0, 40, −6] (c) cực đại cuối Vt ≈ Vt , chuyển tiếp chuyển sang chế độ n-n -n cấu trúc trở nên dễ dàng truyền qua nhiều Điều khiến điện trở (c) giảm mạnh giá trị Vt > Vt Hình 3.3(a) cho thấy, khoảng Vb (c) xem xét, Vb tăng dẫn tới điện chuyển tiếp Vt giảm, đồng thời điện (c) (c) trở trung bình hai miền, Vt < Vt Vt > Vt giảm Về tổng thể, phụ thuộc R(Vt ) Hình 3.3(a) mô tả tốt liệu thực nghiệm Các dao động R theo Vt quan sát dao động xác suất truyền qua sóng chiral giao thoa bên rào 11 ĐIỆN TRỞ R HỆ SỐ FANO F ĐIỆN THẾ CỦA TOP GATE Vt (V) Hình 3.3: Điện trở R (a), điện trở lẻ 2Rodd (b), hệ số Fano F theo Vt cho ba trường hợp với Vb = 40 V (đường đỏ gạch chấm), 60 V (đường xanh dương liền nét) 80 V (đường xanh đứt nét), mũi tên giá trị điện (C) cổng Vt xảy chuyển tiếp chế độ n-p-n n-n -n (C) (Vt = −2.59, −5.39 −8.19 V tương ứng với Vb = 40, 60 80 V) 3.4 Dòng shot noise Để xem xét đặc trưng Volt-Ampere (I-V), ta giả thiết hiệu điện đối xứng [+eVsd /2, −eVsd /2] đặt vào hai điện cực nguồn máy, nối với cấu trúc đo Hình 3.4(a) đường I-V cho ba GBJ khác Nhìn chung, đặt vào Vsd tăng dần, Vsd = 0, lúc đầu dòng I tăng lên đều, sau tăng chậm lại giá trị đặt vào Đi qua giá trị đặt vào này, dịng thăng giáng chí qua vùng điện trở vi phân âm (NDR) nhẹ Các tính tốn cho thấy có liên hệ mật thiết NDR quan sát phụ thuộc xác suất truyền qua vào hiệu điện đặt vào Trong trường hợp, đường I − V GBJ với giá trị khác tham số Vb , Vt , L, W cho thấy mô hình nghiên cứu, hiệu ứng NDR thường yếu 12 DÒNG ĐIỆN I HỆ SỐ FANO F ĐIỆN THẾ BIAS Vsd (mV) Hình 3.4: (a) Sự phụ thuộc dòng vào đặt vào, (b) Đặc trưng Fano factor-điện cho ba chuyển tiếp với [L (nm), Vb (V), Vt (V) ] = [25, 35, −6] (đường nét liền xanh dương), [25, 40, −6] (đường nét đứt đỏ), and [50, 40, −3.5] (đường gạch chấm xanh lá) Thế đặt vào Vsd tác dụng đối xứng lên source drain Hình 3.3(c) biểu diễn hệ số Fano theo điện cổng Vt hiệu điện đặt vào Trong dao động đặn điện trở R (Hình 3.3(a)) hệ số Fano F (Hình 3.3(c)) chuyển tiếp lưỡng cực graphene hiểu rõ, điều làm ngạc nhiên tất ba đường GBJ khác Hình 3.3(c) có cực đại 0.36 cực tiểu 0.08 Dù sao, giá trị F = 0.36 gần với liệu thực nghiệm 0.38 nêu Như vậy, mơ hình đưa hệ số Fano F ≈ 0.36 cho BJ n-p-n chế tuyến tính Một câu hỏi đặt liệu đặt vào tăng nhiễu chí gây nhiễu siêu-Poisson (superpoissonian) giống gây cấu trúc nano bán dẫn hay kim loại thông thường Do đó, hữu ích so sánh hai đường, I(Vsd ) F(Vsd ), cho chuyển tiếp để tính tương quan hai đặc trưng Thực vậy, Hình 3.4(b) chứng tỏ với chuyển tiếp định phù hợp với thăng giáng dòng Hình 3.4(a), hệ số Fano giá trị F(Vsd = 0) dao động theo điện đặt vào giá trị ∼ 0.18 ∼ 0.25 13 Chương Chấm lượng tử hình trịn tạo tĩnh điện 4.1 Phương pháp T -ma trận cho chấm lượng tử graphene hình trịn Chúng tơi xét GQD hình đĩa tạo giam cầm xuyên tâm U (r) giả thiết trơn khoảng cách cỡ số mạng Sử dụng hệ đơn vị với = vận tốc Fermi vF = 1, chuyển động electron lượng thấp mơ tả Hamiltonian tựa Dirac hai chiều: H = σ · p + ν∆σz + U (r), (4.1) σ = (σx , σy ) ma trận Pauli, p = −i(∂x , ∂y ) toán tử xung lượng, ν = ±1 số thung lũng tương ứng cho thung lũng K K , ∆σz số hạng khối lượng, có giá trị số Số hạng khối lượng sinh tương tác lớp đế graphene Giả sử Ψ(r, φ) hàm riêng ứng với lượng E e−iφ/2 χA (r) Ψ(r, φ) = eijφ , (4.2) e+iφ/2 χB (r) mơ-men động lượng tổng cộng j nhận giá trị bán nguyên spinor hai thành phần χ = (χA , χB )t thoả mãn phương trình U (r) − E + ν∆ −i(∂r − j− 12 r ) −i(∂r + j+ 21 r ) U (r) − E − ν∆ 14 χA (r) χB (r) = (4.3) Xét trường hợp riêng CGQD tạo tĩnh điện  Ui , r ≤ ri ,  Uf , r ≥ rf , U (r) =  bất kỳ, r lại (4.4) ¯ Khi E = Ta xét vùng < r < rb , U (r) khơng đổi, U (r) = U ¯ U ± ν∆ nghiệm tổng quát phương trình (4.3) miền viết thơng qua hai số tích phân độc lập C = (C (1) , C (2) )t ¯ , r)C , χ(r) = W (U ¯ , r) = W (U (4.5) Jj− 21 (qr) Yj− 12 (qr) iτ Jj+ 21 (qr) iτ Yj+ 12 (qr) , (4.6) ¯ )2 − ∆2 τ = q/(E − U ¯ + ν∆) Ở Jj± Yj± hàm với q = (E − U 2 ¯ ±ν∆, nghiệm Bessel loại loại hai Trong trường hợp E → U ¯ ± ν∆ phương trình (4.6) bị phân kỳ Để đơn giản, ta giả định E = U ¯ ± ν∆ xét riêng trường hợp E = U Các spinor r1 r2 phải liên quan tới ma trận G: χ(r2 ) = G(r2 , r1 )χ(r1 ) (4.7) Khi ta biểu diễn spinor r1 ≤ ri r2 ≥ rf biên độ sóng Ci Cf , biên độ sóng phải liên hệ tuyến tính, Cf = T Ci (4.8) T = W −1 (Uf , r2 )G(r2 , r1 )W (Ui , r1 ), (4.9) Bằng cách thay phương trình (4.7) vào phương trình (4.3) ta thu phương trình ∂G(r2 , r1 ) i = H(r2 )G(r2 , r1 ) , (4.10) ∂r2 với hàm Hamiltonian giả định định nghĩa H(r) = i j− 12 r U (r) − E − ν∆ U (r) − E + ν∆ −i j+ 12 r (4.11) Phương trình cần phải giải để tìm G(r2 , r1 ) với điều kiện ban đầu G(r1 , r1 ) ma trận đơn vị (2 × 2) Thực tế, G(r2 , r1 ) giải phương pháp số thích hợp phương pháp Runge-Kutta Sau có G(r2 , r1 ), phương trình (4.9) cho phép tính T -ma trận 15 4.1.1 Các trạng thái liên kết Các trạng thái liên kết trạng thái hạt chịu tác dụng mà hạt có xu hướng định xứ miền khơng gian định Phương trình tổng quát để xác định lượng tất trạng thái liên kết vùng lượng xem xét cho GQD: T11 + iT21 = 4.1.2 (4.12) Các trạng thái giả liên kết Electron bị giam giữ tạm thời trạng thái giả liên kết (QBS) với thời gian sống hữu hạn Mỗi QBS đặc trưng lượng phức E = Re(E) + i Im(E) với phần ảo Im(E) < tương đối nhỏ đóng vai trị nhiễu loạn Re(E) vị trí QBS (hay mức cộng hưởng) |Im(E)| độ rộng mức cộng hưởng, nghịch đảo thời gian sống hạt tải QBS, τ0 ∝ 1/(2|Im(E)|) Phương trình tổng quát để xác định phổ QBS CGQD: T11 + isT21 = 4.1.3 (4.13) Mật độ trạng thái Từ T -ma trận hệ ta dễ dàng nhận LDOS Với mô-men động lượng j LDOS tính ρ(j) (E) ∝ |E| π (j) T11 (j) (4.14) + T21 Lấy tổng (4.14) theo j ta nhận LDOS tổng cộng: +∞ ρ(j) (E) ρ(E) = (4.15) j=−∞ 4.2 Chấm lượng tử graphene tạo xuyên tâm hình thang Xét CGQD tạo xuyên tâm tĩnh điện dạng hình thang 16 Ui = U0 , ri = (1 − α)L, Uf = 0, rf = (1 + α)L, i (Uf − Ui ) với ri < r < rf U (r) = Ui + rr−r f −ri Thế trở thành chữ nhật trường hợp giới hạn α = 0.50 ● ● ● −Im[E] ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.25 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● (a) ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 10 20 Re[E] (b) LDOS α = 0.3 α = 0.5 α = 0.7 10 20 E Hình 4.1: Phổ QBS (a) LDOS (b) GQD tạo xun tâm hình thang có L = U0 = 20 biểu diễn cho ν = +, j = 32 giá trị α khác Trong hình (a): đường tương ứng với mức QBS, đường mô tả lượng thay đổi α biến thiên từ 0.3 (đỉnh) tới 0.7 (đáy), tương ứng với kích cỡ điểm từ lớn tới nhỏ Hình 4.1(a) trình bày lượng phức trạng thái giả liên kết với độ trơn α thay đổi từ 0.3 tới 0.7 Khi độ trơn α tăng, phần thực mức lượng gần không thay đổi phần ảo giảm đáng kể Điều cung cấp phương án tạo trạng thái với thời gian sống dài điều chỉnh theo yêu cầu chế tạo linh kiện điện tử Hình 4.1(b) LDOS (trong đơn vị tuỳ ý) cho ba giá trị α mà khảo sát Hình 4.1(a) để so sánh mối tương quan trạng thái giả liên kết LDOS Các vị trí trạng thái giả liên kết (a) đỉnh cộng hưởng LDOS (b) hoàn toàn phù hợp Hơn nữa, độ rộng đặc trưng đỉnh LDOS tương ứng phần ảo lượng trạng thái giả liên kết tương ứng 17 4.3 CGQD tạo tĩnh điện đối xứng trụ dạng 4.3.1 Phương pháp tính LDOS từ hàm sóng chuẩn hóa Hàm riêng Ψ(E) (r, φ) có dạng cho phương trình (4.2) Hàm sóng χ(E,j) (r) = (E,j) (E,j) (χA (r), χB (r))T tuân theo phương trình: i ∂χ(E,j) (r) = H(r)χ(E,j) (r), ∂r đó, Hamiltonian H(r) = i j− 21 r U (r) − E j+ U (r) − E −i r trụ nên LDOS phụ thuộc vào toạ độ xuyên tâm r: +∞ ρ(j) (E, r), ρ(E, r) = ρ(j) (E, r) ∝ j=−∞ ρ(j) (E, r) ∝ (4.16) Bởi hệ có đối xứng χ(E,j) (r) , ∆E χ(E,j) (r) , ∆E (4.17) (4.18) ∆E khoảng cách mức lượng E χ(E,j) (r) hàm sóng chuẩn hố Với r ≥ rf , hàm sóng biểu diễn dạng hai số nguyên (1) (2) Cf = (Cf , Cf )T : χ(E,j) (r) = Wf (r)Cf , Wf (r) = Jj− 21 (qf r) Yj− 12 (qf r) , iτf Jj+ 21 (qf r) iτf Yj+ 12 (qf r) Do hàm sóng r = L, ta tìm khoảng cách mức ∆E = Ta rút điều kiện chuẩn hoá: 4L Cf |E−Uf | (4.19) π L = Hàm riêng phương trình (4.16) gần tâm QD có dạng χ(E,j) (r) = N Jj− 12 (qi r) , iτi Jj+ 21 (qi r) (4.20) với qi = |E − Ui |, τi = sign(E − Ui ) N hệ số chuẩn hố Sau đó, ta lấy nghiệm cho phương trình (4.20) ri giá trị ban đầu giải 18 Năng lượng Năng lượng Hình 4.2: (a, b) LDOSs CGQD với R = 5.93 nm, V0 = 0.43 eV (phông hiệu chỉnh ED = −0.347 eV): (a) Các liệu thực nghiệm, (b) Các kết tính tốn sử dụng phương pháp (c) hai TDOSs tính từ thực nghiệm (a) (nét đứt) (b) (đường liền) (theo thang log, đơn vị tuỳ ý) (d − f ) So sánh LDOSs cho trạng thái j = 1/2: (d) từ báo Gutierrez, (e) phương trình ((4.18)) khơng có hệ số chuẩn hố, (f ) phương trình (4.18) có hệ số chuẩn hố phương trình (4.16) cho χ(E,j) (r) Với hàm sóng chuẩn hố, ta tính LDOS phương trình (4.17) Khi tìm LDOS, ta tính TDOS cách cộng tất LDOS theo biến r 4.3.2 So sánh với thực nghiệm Để minh hoạ phương pháp tính LDOS mà chúng tơi giới thiệu mục trên, chúng tơi tính LDOS hai trường hợp giam cầm dạng bậc thang dạng trơn, đồng thời có so sánh với thực nghiệm Hình 4.2 so sánh liệu thực nghiệm (a) LDOS mà chúng tơi tính (b) Chúng tơi độ rộng đỉnh cộng hưởng (RW) lấy từ LDOS tương thích với giá trị phức tương ứng phương trình Dirac mơ tả 19 định lượng liệu thực nghiệm Đặc biệt là, kết gợi ý QBS số mô-men động lượng thấp thực giống kỳ vọng nằm mức lượng cao so với tính tốn lý thuyết thực nghiệm Gutierrez 4.4 Chấm lượng tử graphene từ trường Trong mục này, phát triển phương pháp T -ma trận cho CGQD tạo giam cầm tĩnh điện có dạng đối xứng trục đồng thời chịu tác dụng từ trường đồng vuông góc với mặt phẳng graphene 4.4.1 Dạng hàm sóng Khi có từ trường đồng tác dụng lên hệ, Hamiltonian hạt fermion Dirac có dạng e (4.21) H = vF σ · p + A + ν∆σz + U (r), c A vec-tơ, B = ∇ × A Giả thiết từ trường vng góc, B = (0, 0, B), ta chọn A = B2 (y, x, 0) Phng trỡnh Schrăodinger vi tốn tử H có dạng HΨ(r, φ) = EΨ(r, φ) (4.22) Ta tìm hàm riêng có lượng E Do đối xứng trụ U (r), hệ toạ độ cực (r, φ) hàm riêng biểu diễn dạng Ψ(r, φ) = eijφ e−iφ/2 χA (r) e+iφ/2 χB (r) , (4.23) mơ-men xung lượng tổng cộng j nhận giá trị bán nguyên Đặt b = 2lB với lB = c eB độ dài từ ¯ , đặt aσ = 2b j + Đối với không đổi U (r) = U − (E−U¯ ) −∆2 v2 F σ nσ = j − với σ = ±1 cho mạng A/B Nghiệm tổng quát viết dạng hàm siêu bội Kummer: χσ (r) = 2(1+nσ ) e−br /2 nσ r ασ M (qσ , + nσ , br2 ), βσ U (qσ , + nσ , br2 ), đó, R bán kính hiệu dụng QD qσ = 20 aσ b r≤R r>R , (4.24) + (1 + nσ ) 4.4.2 Biểu thức T -ma trận Sử dụng dạng nghiệm giả định cho công thức (4.23) cho vấn đề trị riêng Hamiltonian cơng thức (4.21), ta nhận phương trình cho spinor xuyên tâm χ(r) = (χA (r), χB (r))t sau   j+ U (r) − E + ν∆ −i vF ∂r + r + br   χA (r) =0 j− 12 χB (r) −i vF ∂r − − br U (r) − E − ν∆ r Xét trường hợp CGQD có dạng:  Ui ,  Uf , U (r) =  bất kỳ, (4.25) tạo tĩnh điện đối xứng trụ r ≤ ri , r ≥ rf , r cịn lại, (4.26) Tiếp theo, ta xem xét phương trình (4.25) miền < r < rb đó, ¯ , thành phần spinor có dạng khơng đổi, U (r) = U χσ (r) = e−br /2 nσ r C (1) ασ M(qσ , + nσ , br2 ) + C (2) βσ U(qσ , + nσ , br2 ) , (4.27) aσ + 2(1 + nσ ) , b σ ¯ )2 − ∆2 ]/( vF )2 , aσ = 2b j + − [(E − U 2 nσ = j − σ2 (σ = A/B đồng với σ = ±1), b = 1/2lB Các hệ số ασ βσ định nghĩa dựa vào tỉ số chúng ¯ , r)C , Nghiệm phương trình (4.25) viết dạng χ(r) = W(U với C = (C (1) , C (2) )t hai số độc lập ma trận W cho qσ = α+ rn+ M(q+ , + n+ , br2 ) β+ rn+ U(q+ , + n+ , br2 ) α− rn− M(q− , + n− , br2 ) β− rn− U(q− , + n− , br2 ) (4.28) ¯ ± ν∆ Spinor r1 r2 liên Để đơn giản, ta xét trường hợp E = U quan tới ma trận G: χ(r2 ) = G(r2 , r1 )χ(r1 ) Các spinor r1 ≤ ri r2 ≥ rf biểu diễn biên độ sóng Ci Cf , biên độ sóng phải liên hệ tuyến tính, Cf = T Ci Phương trình (4.4.2) đơn giản chuyển sở phương trình (4.4.2) ta có liên hệ ¯ , r) = e− W(U br 2 T = W −1 (Uf , r2 )G(r2 , r1 )W (Ui , r1 ) 21 (4.29) Phương trình cho r1 ≤ ri r2 ≥ rf , bao gồm r1 = ri r2 = rf Thay phương trình (4.4.2) vào phương trình (4.25) ta thu phương trình vi phân cho G(r2 , r1 ) dạng giống phương trình chuyển động theo phương r, ∂G(r2 , r1 ) i = H(r2 )G(r2 , r1 ) , (4.30) ∂r2 Lưu ý rằng, trường hợp có từ trường hàm Hamiltonian giả định H(r) phương trình vi phân cho G(r2 , r1 ) định nghĩa   j− 12 + b r U (r) − E − ν∆ i r  H(r) =  (4.31) j+ 12 U (r) − E + ν∆ −i + b r r Phương trình (4.30) cần phải giải để tìm G(r2 , r1 ) Ta sử dụng phương pháp số thích hợp cho phương trình vi phân thơng thường phương pháp Runge-Kutta Phương trình (4.29) cho phép ta tính T -ma trận sau có G(r2 , r1 ) 22 Kết luận chung Các kết nghiên cứu trình bày luận án tóm tắt sau: Đề xuất mơ hình giam cầm dạng Gauss để mô tả đặc trưng truyền dẫn GBJs Ưu điểm là: (i) tính thực tiễn, phản ảnh tốt dáng điệu tĩnh điện tạo gate với tham số xác định xác thực nghiệm (ii) tính đơn giản, nhờ dạng hàm liên tục phương trình Dirac giải dễ dàng hiệu phương pháp T -ma trận Ngoài ra, dạng Gauss cho phép khảo sát GBJs tất chế độ mật độ điện tích (npn, pnp, nn n, hay pp p) bao gồm miền chuyển trơn tru chế độ Nghiên cứu cách hệ thống đặc trưng truyền dẫn đạn đạo qua GBJs nhiệt độ không Các kết nhận Chúng minh chứng diện chối bỏ hiệu ứng chui ngầm Klein, đồng thời mô tả định lượng tranh phản xạ giao thoa sóng electron bên rào Các kết tính tốn điện trở shot noise phù hợp tốt với kết thực nghiệm tương ứng Phát triển hình thức luận T -ma trận để nghiên cứu tính chất electronic CGQDs tạo bới cầm tù tĩnh điện đối xứng trụ Trong trường hợp cầm tù có dạng phẳng miền lân cận tâm QD, chúng tơi dẫn cách xác phương trình/biểu thức: (1) phương trình xác định trạng thái liên kết, (2) phương trình xác định QBSs, (3) LDOS (4) hệ số tán xạ cộng hưởng – tất biểu diễn cách đơn giản qua thành phần T -ma trận Đây kết tổng quát, hoàn toàn hiệu cho việc nghiên cứu đặc trưng phổ QBSs CGQDs, QBSs xác định xác vị trí lẫn thời gian sống Đề xuất phương pháp tính LDOS cho CGQDs tạo cầm tù tĩnh điện đối xứng trụ với dạng Một mặt, từ LDOS ta nhận phổ QBSs Mặt khác, LDOS liên quan chặt chẽ với dẫn chui ngầm qua CGQD: phép đo độ dẫn chui ngầm vi phân cho tranh LDOS Cho nên, việc tính LDOS có ý nghĩa để nghiên cứu phổ QBSs so sánh trực tiếp với thực nghiệm Trong thực tế, phương pháp tính LDOS cho kết phù hợp với thực nghiệm nhóm Gutierrez tốt kết tính tốn nhóm Phương pháp 23 tính LDOS chúng tơi hồn tồn tổng quát theo nghĩa không bị giới hạn dạng cầm tù tĩnh điện Khi có dạng phẳng gần tâm QD, phổ QBSs nhận từ LDOS từ phương trình T -ma trận trùng Bước đầu phát triển phương pháp T -ma trận để nghiên cứu cấu trúc lượng CGQDs tạo tĩnh điện có thêm từ trường đồng nhất, tác dụng theo hướng vng góc với graphene Tất kết Các mơ hình phương pháp tính đề xuất luận án có tính phổ qt dễ dàng áp dụng mở rộng cho cấu trúc vật liệu khác 24 Danh mục công trình tác giả A model for ballistic transport across locally gated graphene bipolar junctions, Journal of Physics: Condensed Matter, vol 26, p 015301, 2014 The transfer matrix approach to circular graphene quantum dots, Journal of Physics: Condensed Matter, vol 28, p 275301, 2016 On the density of states of circular graphene quantum dots, Journal of Physics: Condensed Matter, vol 29, p 405301, 2017 Trapping electrons in a circular graphene quantum dot with Gaussian potential, Communications in Physics, vol 28, no 1, pp 51–60, 2018 25