(3 ñieåm)Cho hình töù dieän S.ABC coù ABC laø tam giaùc ñeàu,SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC).Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh AC vaø keû IH vuoâng goùc vôùi SC taïi H. 1)Chöùng m[r]
(1)Trường THPT Lộc Bình KỲ THI HỌC KÌ II LỚP 11 NĂM HỌC 2008-2009 Mơn thi:Tốn(Chương trình chuẩn)
Thời gian làm bài:120 phút ĐỀ SỐ 001:
Câu I.(2 điểm ) Tìm giới han sau
1¿lim ❑
2.5n
−4n
7.3n+4.5n2¿x →+∞lim (−x
4
+5x3−2x2+5x−1)
Câu II.(1 điểm)Xét tính liên tục hàm số sau điểm x=1 g(x)={x
2
−4x+3
x−1 nếu x ≠1 4nếu x=1 Câu III.(3 điểm)
1)Tìm đạo hàm hàm số sau: a¿y=x3−2x2+4x+5b¿y= 2sinx
3 cosx−sinx
2)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=f(x)=x3−x2+5x−1
a)Tại điểm M(0;−1)
b)Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=6x−7
Câu IV.(3 điểm)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O,SA vng góc với mặt phẳng ABCD.Từ A kẻ AH vng góc với SB
1)Chứng minh :BC(SAB) ,AH SC
2)Gọi K điểm nằm cạnh SD (khơng trùng với S,D).Tìm thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng (AHK)
Câu V.(1 điểm) Cho hàm số
y=cos 2x+1
2sin 2x−7 cosx+2 sinx−4x
Giải phương trình y’=0
-Hết -Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm
(2)Trường THPT Lộc Bình KỲ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009 - ĐÁP ÁN VAØ THANG ĐIỂM
ĐỀ 001 MƠN TỐN-LỚP 11 (CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)
Câu Ý Nội dung Điểm
I
∑1,0
ñ
1¿lim ❑
2.5n−4n 7.3n+4.5n=lim❑
2.5n−4n 5n 7.3n+4.5n
5n
¿lim ❑
2−(4 5)
n
7.(3 5)
n
+4
= 2−0 7.0+4=
1 0,5 0,5 I ∑1,0 ñ
2¿lim
x →+∞
(−x4+5x3−2x2+5x−1)
¿ lim
x →+∞x
4
(−1+5
x−
2
x2+
5
x3−
1
x4)=−∞
Vì: lim
x →+∞x
4 =+∞ Và: lim
x →+∞(−1+
5 x−
2 x2+
5 x3−
1
x4)=−12MÔN TỐN−LỚP10
0,5 0,25 0,25
II Ta có:
lim
x→1g
(x)=lim
x →1
x2−4x+3 x−1 =limx→1
(x−1) (x−3) x−1 =limx →1
(x−3)
¿−2
Suy :
lim
x→1g(x)≠ g(1)=4
Vậy hàm số cho không liên tục x=1
0,75
0,25
III
∑1,0
ñ
a¿y'=(x3
−2x2+4x+5)'
¿(x3)'−2(x2)'+4(x)'+(5')
¿3x2−4x+4
b¿y'=( sinx cosx−sinx)
'
¿2 cosx(3 cosx−sinx)−2 sinx(−3 sinx−cosx)
(3 cosx−sinx)2
¿
(3 cosx−sinx)2
0,25 0,25
0,25 0,25 III Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3−x2+5x−1
Ta coù f'(x
)=3x2
(3)∑2,0
đ
a)Tại điểm M(0;−1)
Ta có:f’(0)=5
Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M là:
y+1=5(x−0)
❑
⇔ y=5x−1
b)Gọi toạ độ tiếp điểm tiếp tuyến là: (x0; y0)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=6x−7 nên hệ số góc
của tiếp tuyến : f'
(x0)=6
Mặt khác: f'(x0)=3x0
−2x0+5
Từ suy ra: 3x02−2x0+5=6❑
⇔[ x0=1 x0=−1
3
*Với x0=1, ❑
⇒ y0=4 ta có phương trình đường tiếp tuyến thứ
laø:
y−4=6(x−1)❑
⇔ y=6x−2
*Với x0=−1
3 ,❑⇒ y0= −76
27 ,ta có phương trình tiếp tuyến thứ hai là: y+76
27=6(x+
3)❑⇔ y=6x− 22 27
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
IV a
∑2,0
ñ
*Vì ABCD hình vuông nên BC AB
Mặt khác SA(ABCD) BC SA
Từ suy BC(SAB)
*Do
BC (SAB)
AH (SAB)
neân BC AH (1)
Theo giả thiết AH SB (2)
Từ (1) (2) suy AH(SBC)
Maø SC(SBC) neân AH SC
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
IV b
∑1,0
ñ
Tìm thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng (AHK) -Ta có: (AHK)∩(SAB)=AH ,(AHK)∩(SAD)=AK
-Trong mặt phẳng (SBD) ,gọi M= SO∩ HK
Trong mặt phẳng (AHK),gọi I=AM ∩ HK
-Khi đó:
(AHK)∩(SBC)=HI ,(AHK)∩(SCD)=IK
Vậy thiết diện cần tìm tứ giác AHIK
(4)V ∑1,0
ñ
*Ta coù:
y'=(cos2x+1
2sin 2x−7 cosx+2sinx−4x)
'
¿−2sin 2x+cos 2x+7 sinx+2 cosx−4
Khi đó:
y'
=0❑
⇔−2sin 2x+cos2x+7 sinx+2cosx−4=0
❑
⇔2 sin 2x−2cosx+2 sin
x−7 sinx+3=0
❑
⇔2 cosx(2 sinx−1)+(2 sinx−1)(sinx−3)=0
❑
⇔(2 sinx−1) (2 cosx+sinx−3)=0
❑
⇔[
2 sinx−1=0
2 cosx+sinx=3(vô nghiệm)
❑
⇔[
x=π
6+k2π
x=5π
6 +k2π
0,25
0,25
0,25
0,25
(5)Trường THPT Lộc Bình KỲ THI HỌC KÌ II LỚP 11 NĂM HỌC 2008-2009 Mơn thi:Tốn(Chương trình chuẩn)
Thời gian làm bài:120 phút ĐỀ SỐ 002:
Câu I.(2 điểm ) Tìm giới han sau
1¿lim ❑
2.2n
−4n
7.4n+4.3n2¿x→+lim∞(−5x
3
+2x2−7x+10)
Câu II.(2 điểm)Xét tính liên tục hàm số sau điểm x=3 g(x)={x
2
−4x+3
x−3 nếu x ≠3 4nếu x=3 Caâu III.(2 điểm)
1)Tìm đạo hàm hàm số sau: a¿y=2x3−x2−7x+5b¿y= cosx
3sinx−cosx
2)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3−2x2+5x−1
a)Tại điểm M(0;−1)
b)Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x−7
Câu IV.(3 điểm)Cho hình tứ diện S.ABC có ABC tam giác đều,SA vng góc với mặt phẳng (ABC).Gọi I trung điểm cạnh AC kẻ IH vng góc với SC H
1)Chứng minh BI(SAC) ,HB SC
2)Gọi (α) mặt phẳng qua B vng góc với SC.Xác định thiết diện tứ diện
S.ABC với mặt phẳng (α) Câu V.(1 điểm) Cho hàm số
y=1
2cos 2x+
2sin 2x−3 cosx+sinx−2x
Giải phương trình y’=0
-Hết -Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm
(6)Trường THPT Lộc Bình KỲ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009 - ĐÁP ÁN VAØ THANG ĐIỂM
ĐỀ 002 MƠN TỐN-LỚP 11 (CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)
Câu Ý Nội dung Điểm
I
∑1,0
ñ
1¿lim ❑
2.2n−4n 7.4n+4.3n=lim❑
2.2n−4n 4n 7.4n+4.3n
4n
¿lim ❑
2.(1 2)
n
−1 7+4.(3
4)
n=
0−1 7+0=
−1 0,5 0,5 I ∑1,0 ñ
2¿ lim
x →+∞
(−5x3+2x2−7x+10)
¿ lim
x →+∞x
3
(−5+2
x−
7
x2+
10
x3)=−∞
Vì: lim
x →+∞x
3 =+∞ Và: lim
x →+∞(−5+
2 x−
7 x2+
10
x3)=−52MƠN TỐN−LỚP10
0,5 0,25 0,25
II Ta coù:
lim
x→3g
(x)=lim
x →3
x2−4x+3 x−3 =limx→3
(x−1) (x−3) x−3
¿lim
x→3(x−1)=2
Suy :
lim
x→1g(x)≠ g(3)=4
Vậy hàm số cho không liên tục x=3
0,5 0,25 0,25 III ∑1,0 ñ
a¿y'=(2x3
−x2−7x+5)'
¿(2x3)'−(x2)'−7(x)'+(5')
¿6x2−2x−7
b¿y'=( cosx sinx−cosx)
'
¿−2sinx(3 sinx−cosx)−2 cosx(3 cosx+sinx)
(3 sinx−cosx)2
¿ −6
(3 sinx−cosx)2
0,25 0,25
0,25
0,25 III Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3−2x2+5x−1
Ta coù f'(x
)=3x2
(7)∑2,0
đ
a)Tại điểm M(0;−1)
Ta có:f’(0)=5
Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M là:
y+1=5(x−0)
❑
⇔ y=5x−1
b)Gọi toạ độ tiếp điểm tiếp tuyến là: (x0; y0)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x−7 nên hệ số góc
của tiếp tuyến : f'
(x0)=4
Mặt khác: f'(x0)=3x0
−4x0+5
Từ suy ra: 3x02−4x0+5=4❑
⇔[ x0=1 x0=1
*Với x0=1, ❑
⇒ y0=3 ta có phương trình tiếp tuyến thứ là: y−3=4(x−1)❑
⇔ y=4x−1
*Với x0=
3,❑⇒ y0= 13
27 ,ta có phương trình tiếp tuyến thứ hai là: y−13
27=4(x−
3)❑⇔ y=4x− 23 27
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
IV a
∑2,0
ñ
*Do ABC tam giác ,I trung điểm cạnh AC nên BI AC
Theo giả thiết SA(ABC) BI SA
Từ suy ra:BI(SAC)
*Vì BI(SAC) nên BI SC (1)
Maø IH SC (2)
Từ (1) (2) suy SC(BIH)
Vaäy HB SC
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
IV b
∑1,0
đ
Ta có: B (BIH) & (BIH) SC
Do mặt phẳng (α) mặt phẳng (BIH)
Từ đó:
(BIH)∩(SAC)=IH ,(BIH)∩(ABC)=BI ,(BIH)∩(SBC)=HB
Vậy thiết diện cần tìm tam giác BIH
0,25 0,25 0,25 0,25
V ∑1,0
đ
Ta có:
y'=(1
2cos 2x+
2sin 2x−3 cosx+sinx−2x)
'
¿−sin 2x+cos2x+3sinx+cosx−2
Khi đó:
y'
=0❑
⇔−sin2x+cos 2x+3 sinx+cosx−2=0
(8)❑
⇔2 sinxcosx+2 sin
x−3 sinx−cosx+1=0
❑
⇔cosx(2 sinx−1)+ (sinx−1)(2sinx−1)=0
❑
⇔(2 sinx−1) (cosx+sinx−1)=0
❑
⇔[
sinx=1 cosx+sinx=1
❑
⇔[ x=π
6+k2π ; x= 5π
6 +k2π x=k2π ; x=π
2+k2π
0,25
0,25
0,25