De thi hoc sinh gioi lop 8 lan III

Baøi 5 : Ñöôøng thaúng d caét caùc caïnh AB, AD cuûa hình bình haønh ABCD taïi caùc ñieåm E vaø F töông öùng..  PO laø ñöôøng trung bình cuûa tsm giaùc CAM[r]

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Mơn : Tốn

Thời gian: 90 phút ĐỀ BAØI:

Bài : Cho biểu thức:

P =

2

2 2

2 21

:

4 12 13 20 4

x x x x

x x x x x x x

   

 

  

 

      

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P

1

x 

c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P >

Bài : Giải phương trình:

a/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = b/

148 169 186 199

10

25 23 21 19

x x x x

   

   

Bài : Tìm chữ số tận số sau :

99

99

99 vaø 6666

Bài : Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P

a) Tứ giác AMDB hình gì?

b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng

c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P

d) Giả sử CP  BD CP = 2,4 cm,

 PD

PB 16 Tính cạnh hình chữ

nhật ABCD

Bài : Đường thẳng d cắt cạnh AB, AD hình bình hành ABCD điểm E F tương ứng Gọi G giao điểm d AC Chứng minh :

 

AB AD AC AE AF AG

Bài : a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 2

1 1 2

-HẾT -ĐÁP ÁN VAØ BIỂU ĐIỂM Bài 1: Phân tích:

4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5)

13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)

21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)

4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5ñ

Điều kiện:

1 5 3 7

; ; ; ; 4

2 2 2 4

x  x  x  x  x 

0,5đ a) Rút gọn P =

2

2

x x



 2ñ

b)

1

x 

2 x  

x

+)

1

x 

 … P = +)

1

x 

 …P =

2

3 1ñ

c) P =

2 x x   = x   Ta coù: 1 Z

Vaäy PZ

5 Z x   x –  Ö(2)

Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}

x – = -2  x = (TMÑK) x – = -1  x = (KTMÑK) x – =  x = (TMÑK) x – =  x = (TMÑK)

KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1ñ d) P =

2 x x   = x 

 0,25đ Ta có: >

Để P >

2 5

x  >  x – >  x > 0,5ñ

a)

15 1 1

1 12

3 4 4 3 3

x

x x x x

 

    

     

     

15 1 1

1 12

4 1 4 3 1

x

x x x x

 

     

     

ÑK: x 4;x 1

 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)

…

 3x.(x + 4) = 0

 3x = x + = 0

+) 3x = => x = (TMÑK) +) x + = => x = -4 (KTMĐK)

S = { 0} 1đ b)

148 169 186 199

10

25 23 21 19

x x x x

   

   



148 169 186 199

1 2 3 4 0

25 23 21 19

x x x x

   

       

       

       

       

 (123 – x)

1 1

25 23 21 19

 

  

 

 = 0

Do

1 1

25 23 21 19

 

  

 

 >

Neân 123 – x = => x = 123

S = {123} 1ñ c) x  2 3 5

Ta có: x 2  0 x => x  2 3 > nên x  2 3  x  2 3 PT viết dạng:

x  2 5 

 x  2 = – 3

 x  2 = 2

+) x - = => x = +) x - = -2 => x =

Bài 3(2 đ)

Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ

Vận tốc dự định người đ xe gắn máy là:

3

( / ) 1 10

3 3

x x

km h



(3h20’ =  

1 3

3 h ) 0,25ñ

Vận tốc người xe gắn máy tăng lên km/h là:  

3

5 /

10 x

km h 

0,25đ Theo đề ta có phương trình:

3

5 3 10

x

x

 

 

 

  0,5ñ

 x =150 0,5ñ

Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là:  

3.150

45 / 10  km h

Bài 4(7đ)

Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ

a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD  PO đường trung bình tsm giác CAM

 AM//PO

 tứ giác AMDB hình thang 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA

A B

C D

O M

P

I E

Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ

c) MAF DBA g g   nên

MF AD

FA AB khơng đổi (1đ)

d) Neáu

9 16

PD

PB  16 , 16

PD PB

k PD k PB k

    

Nếu CPBD  

CP PB CBD DCP g g

PD CP

    

1đ CP2 = PB.PD

hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2

PD = 9k = 1,8(cm)

PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)

C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ

do BC = (cm)

CD = (cm) 0,5đ Bài 5:

a) Ta coù: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)

Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)

= 2010.(…) chia heát cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)

= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có đpcm

b) 2

1 1 2

1 x 1 y 1 xy (1)

 

  

 

  

   

      

2

2

2

2

1 1 1 1

0

1 1 1 1

0

1 1 1 1

1

0 2

1 1 1

x xy y xy

x y x y x y

x xy y xy

y x xy

x y xy

   

      

   

   

 

  

   

 

 

Vì x1;y1 => xy 1 => xy  1