ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn : Toán Thời gian: 90 phút ĐỀ BÀI: Bài 1 : Cho biểu thức: P = 2 2 2 2 2 3 2 8 3 21 2 8 : 1 4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3 x x x x x x x x x x x − − + − + − + ÷ − + − − − + − a) Rút gọn P b) Tính giá trò của P khi 1 2 x = c) Tìm giá trò nguyên của x để P nhận giá trò nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2 : Giải phương trình: a/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = 0 b/ 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x − − − − + + + = Bài 3 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau : 99 99 99 và 6 666 Bài 4 : Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vò trí của điểm P. d) Giả sử CP ⊥ BD và CP = 2,4 cm, = PD 9 PB 16 . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Bài 5 : Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD tại các điểm E và F tương ứng. Gọi G là giao điểm của d và AC. Chứng minh : + = AB AD AC AE AF AG Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 2009 2008 + 2011 2010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + ≥ + + + HẾT ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: Phân tích: 4x 2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x 2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x 2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x 2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ Điều kiện: 1 5 3 7 ; ; ; ; 4 2 2 2 4 x x x x x − ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 0,5đ a) Rút gọn P = 2 3 2 5 x x − − 2đ b) 1 2 x = 1 2 x ⇔ = hoặc 1 2 x − = +) 1 2 x = ⇒ … P = 1 2 +) 1 2 x − = ⇒ …P = 2 3 1đ c) P = 2 3 2 5 x x − − = 2 1 5x + − Ta có: 1 Z ∈ Vậy P Z ∈ khi 2 5 Z x ∈ − ⇒ x – 5 ∈ Ư (2) Mà Ư (2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 ⇒ x = 3 (TMĐK) x – 5 = -1 ⇒ x = 4 (KTMĐK) x – 5 = 1 ⇒ x = 6 (TMĐK) x – 5 = 2 ⇒ x = 7 (TMĐK) KL: x ∈ {3; 6; 7} thì P nhận giá trò nguyên. 1đ d) P = 2 3 2 5 x x − − = 2 1 5x + − 0,25đ Ta có: 1 > 0 Để P > 0 thì 2 5x − > 0 ⇒ x – 5 > 0 ⇔ x > 5 0,5đ Với x > 5 thì P > 0. 0,25 Bài 2: a) 2 15 1 1 1 12 3 4 4 3 3 x x x x x − = + ÷ + − + − ( ) ( ) ( ) 15 1 1 1 12 4 1 4 3 1 x x x x x ⇔ − = + ÷ ÷ + − + − ĐK: 4; 1x x ≠ − ≠ ⇔ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) … ⇔ 3x.(x + 4) = 0 ⇔ 3x = 0 hoặc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} 1đ b) 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x − − − − + + + = ⇔ 148 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x− − − − − + − + − + − = ÷ ÷ ÷ ÷ ⇔ (123 – x) 1 1 1 1 25 23 21 19 + + + ÷ = 0 Do 1 1 1 1 25 23 21 19 + + + ÷ > 0 Nên 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} 1đ c) 2 3 5x − + = Ta có: 2 0x x− ≥ ∀ => 2 3x − + > 0 nên 2 3 2 3x x − + = − + PT được viết dưới dạng: 2 3 5x − + = ⇔ 2x − = 5 – 3 ⇔ 2x − = 2 +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự đònh của người đ xe gắn máy là: 3 ( / ) 1 10 3 3 x x km h= (3 h 20 ’ = ( ) 1 3 3 h ) 0,25đ Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là: ( ) 3 5 / 10 x km h + 0,25đ Theo đề bài ta có phương trình: 3 5 .3 10 x x + = ÷ 0,5đ ⇔ x =150 0,5đ Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự đònh là: ( ) 3.150 45 / 10 km h = Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. PO là đường trung bình của tsm giác CAM. AM//PO ⇒ tứ giác AMDB là hình thang. 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vò) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA. Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ A B C D O M P I E F c) ( ) MAF DBA g g ∆ ∆ − : nên MF AD FA AB = không đổi. (1đ) d) Nếu 9 16 PD PB = thì 9 , 16 9 16 PD PB k PD k PB k= = ⇒ = = Nếu CP BD⊥ thì ( ) CP PB CBD DCP g g PD CP ∆ ∆ − ⇒ = : 1đ do đó CP 2 = PB.PD hay (2,4) 2 = 9.16 k 2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC 2 = BP.BD = 16 0,5đ do đó BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 2009 2008 + 2011 2010 = (2009 2008 + 1) + ( 2011 2010 – 1) Vì 2009 2008 + 1 = (2009 + 1)(2009 2007 - …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 2011 2010 - 1 = ( 2011 – 1)(2011 2009 + …) = 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) và (2) ta có đpcm. b) 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + ≥ + + + (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 x xy y xy x y x y x y x xy y xy y x xy x y xy ⇔ − + − ≥ ÷ ÷ + + + + − − ⇔ + ≥ + + + + − − ⇔ ≥ + + + Vì 1; 1x y ≥ ≥ => 1xy ≥ => 1 0xy − ≥ => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ Chú ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa. . ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn : Toán Thời gian: 90 phút ĐỀ BÀI: Bài 1 : Cho biểu thức: P = 2 2 2 2 2 3 2 8 3 21 2 8 : 1 4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3 x x. = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} 1đ b) 1 48 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x − − − − + + + = ⇔ 1 48 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x− − − − − +. 0,2 PD = 9k = 1 ,8( cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC 2 = BP.BD = 16 0,5đ do đó BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 2009 20 08 + 2011 2010 = (2009 20 08 + 1) + ( 2011 2010