Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 7 Trường THCS Tân Phú

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trườn[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS TÂN PHÚ ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số

Bài 1:( điểm) a) Thực phép tính:

( ) ( )

12 10

6 9 3

2

2 3 4 9 5 7 25 49 A

125.7 5 14 2 3 8 3

− −

= −

+ +

b) Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10

Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: ( 3, 2)

3 5

x − + = − +

Bài 3: (2 điểm) Cho a c

c =b Chứng minh rằng:

2

a c a

b c b

+ =

+

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E

cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE

b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH⊥BC (HBC) Biết HBE=50 ;0 MEB=250 Tính HEM BME

ĐÁP ÁN Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)

( ) ( )

( )

( ) (( ))

( )

10

12 10 12 12 10

6 12 12 9 3

2

12 10

12 3

10

12

2 25 49 3 7

2 3 7

125.7 14

2

5

2

1 10

6

A= − − − = − − −

+ +

− −

= −

+ +

−

= −

−

= − =

b) (1.5 điểm) 2

3n+ −2n+ + −3n 2n= 3n+2+ −3n 2n+2−2n =3 (3n 2+ −1) (2n 2+1)

=3 10 5n −  =  −n 10 2n n−110 = 10( 3n -2n)

Vậy 3n+2−2n+2+ −3n 2n 10 với n số nguyên dương

(2)

( )

1 4 16

3,

3 5 5

1 14

3 5

x x

x

−

− + = − +  − + = +

 − + =

1 2

3

1 2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

x x

x x x

− = − =− = + =

− =− + =

 

 − =  

  

    

Bài 3: (2 điểm) Từ a c

c =b suy

2

c =a b

2 2

a c a a b

b c b a b

+ = +

+ + =

( )

a a b a

b a b b

+ =

+ Bài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC EMB có :

AM = EM (gt ) AMC=EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB

Vì AMC = EMB  MAC MEB= (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE

b/ (1 điểm ) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )

MAI =MEK ( AMC = EMB ) AI = EK (gt )

Nên AMI = EMK ( c.g.c ) Suy ra: AMI =EMK

Mà AMI+IME=1800 ( tính chất hai góc kề bù )

K

H

E M

B

A

(3)



180

EMK+IME=

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H =900 có HBE =500

 0 0

90 90 50 40

HEB= −HBE= − =

 0

40 25 15

HEM =HEB MEB− = − =

BME BME góc ngồi đỉnh M HEM Nên BME=HEM +MHE=150+900 =1050

( định lý góc ngồi tam giác )

Đề số

Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) 1.16

n = n

; b) 27 < 3n < 243

Bài Thực phép tính: ( 1 )1 49

4.9 9.14 14.19 44.49 89

− − − − −

+ + + +

Bài a) Tìm x biết: 2x+3 =x+2

b) Tìm giá trị nhỏ A = x−2006 + 2007−x Khi x thay đổi

Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện

một đường thẳng

Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm

D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

ĐÁP ÁN Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm)

a) 1.16

8

n = n

; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n =

Bài Thực phép tính: (4 điểm)

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

− − − − −

+ + + +

= 1( 1 1 1 ).2 (1 49)

5 9 14 14 19 44 49 12

− + + + + +

− + − + − + + −

= 1( ).2 (12.50 25) 5.9.7.89

5 49 89 5.4.7.7.89 28

− +

− = − = −

(4)

a) Tìm x biết: 2x+3 =x+2 Ta có: x +  => x  - + Nếu x  -

2

2x+3 =x+2 => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn)

+ Nếu -  x < -

2

Thì 2x+3 =x+2 => - 2x - = x + => x = -

3

(Thoả mãn) + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ A = x−2006 + 2007−x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006  x  2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x =

+ Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006  x  2007

Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện

một đường thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có:

x – y =

3

(ứng với từ số 12 đến số đông hồ)

x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó:

33 11 : 11

y x y 12

x 12 y

x = = = = − = =

=> x =

11 x ) vòng ( 33 12

=

= (giờ)

Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đường thẳng

11

Bài Đường thẳng AB cắt EI F

ABM = DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt),

AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID⊥AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

(5)

=> IC = AC = AF (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ),

BAH = ACB ( phụ ABC)

=> EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => AFE = CAB

=>AE = BC

Đề số

Câu 1: Tìm phân số có tử biết lớn 9 10

− nhỏ 9

11 −

Câu Cho đa thức: P ( )x = x2 + 2mx + m2 Q( )x = x2 + (2m+1)x + m2 Tìm m biết P (1) = Q (-1)

Câu 3: Tìm cặp số (x; y) biết: =

= =

x y

a / ; xy=84

3

1+3y 1+5y 1+7y

b/

12 5x 4x

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x+1 +5 ; B =

3 15

2

+ +

x x

Câu 5: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc

AB; AE vng góc AC a, Chứng minh: DC = BE DC ⊥BE

b, Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM C/minh: AB = ME ABC= EMA

Chứng minh: MA ⊥BC

ĐÁP ÁN Câu 1:

Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 9

10 x 11

−  −

=> 63 63 63

709x  77

− −

=> -77 < 9x < -70 Vì 9x => 9x = -72 => x = Vậy phân số cần tìm

8 − Câu

P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m  4m = -1  m = -1/4 Câu 3: Tìm cặp số (x; y) biết: a / x= y ; xy=84

3

=>

2

84

9 49 3.7 21

x = y = xy = =

(6)

Do x,y dấu nên: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14

= =

1+3y 1+5y 1+7y

b/

12 5x 4x

áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = + − − = = + − − =

− − − −

1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y

12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12

=> 2

5 12

y y

x = x

− − => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được:

1

12

y y

y

+

= = −

−

=>1+ 3y = -12y => = -15y => y =

15 −

Vậy x = 2, y =

15 −

thoả mãn đề

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x+1 +5 Ta có : x+1  Dấu = xảy  x= -1  A 

Dấu = xảy  x= -1 Vậy: Min A =  x= -1 B =

3 15

2

+ +

x x

= ( )

3 12

2

+ + +

x x

= +

3 12

2+

x

Ta có: x2  Dấu = xảy  x = 

x2

+  ( vế dương )

 12

2 +

x  12



3 12

2 +

x   1+

12

2+

x  1+  B 

Dấu = xảy  x = Vậy : Max B =  x =

Câu 5:

a/ Xét ADC BAF ta có:

DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE

H

1

P

K T

I

E N

M

D

C B

(7)

Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ)

E1 = C1( DAC = BAE)

=> EAI = CTI

=> CTI = 900 => DC ⊥ BE

b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME

mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1)

Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía )

mà BAC + DAE = 1800

=> BAC = AEM ( )

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP ⊥ MH

Xét AHC EPA có:

CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt)

PAE = HCA ( ABC = EMA câu b) => AHC = EPA

=> EPA = AHC => AHC = 900

=> MA ⊥ BC (đpcm)

Đề số

Câu ( điểm) Thực phép tính :

a- )

3 ( : 3

2

− −     

  

+      − −     

− ;

b-

( )

3

2003

3

12

1

     −      

−      −      

Câu ( điểm)

a, Tìm số nguyên a để

1

2

+ + +

a a a

(8)

b, Tìm số nguyên x,y cho x-2xy+y=0

Câu ( điểm)

a, Chứng minh a+c=2b 2bd = c (b+d)

d c b

a = với b,d khác

b, Cần số hạng tổng S = 1+2+3+… để số có ba chữ số giống

Câu ( điểm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=2CB Tính góc ADE

Câu ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

ĐÁP ÁN Câu

a) Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa b) Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa

Câu

a) Ta có :

1 + + + a a a = 3 ) ( + + = + + + a a a a a

a số nguyên nên

1 + + + a a a

số nguyên

1

+

a số nguyên hay a+1 ước ta có bảng sau :

a+1 -3 -1

a -4 -2

Vậy với a−4 −, 2,0,2thì

1 + + + a a a

số nguyên b) Từ : x-2xy+y=0

Hay (1-2y)(2x-1) = -1

Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau :

   = =     − = − = − 0 1 2 y x x y Hoặc    = =     = − − = − 1 1 2 y x x y

Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu

Câu

a) Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy

d c b

a = ( ĐPCM)

(9)

Gọi số số hạng tổng n , ta có : a

a n

n

37 111

)

( + = =

Hay n(n+1) =2.3.37.a

Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do n=37 n+1 = 37

Nếu n=37 n+1 = 38 lúc 703

2 )

(n+ =

n

không thoả mãn

Nếu n+1=37 n = 36 lúc 666

2 ) (

= +

n n

thoả mãn Vậy số số hạng tổng 36

Câu

Câu 4: Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300

Nên CH =

2

CD

CH = BC

Tam giác BCH cân C CBH = 300  ABH = 150

Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H

Do tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450+300=750

Câu

Từ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn

Nếu x khơng chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho x2=19 không thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu (2;3)

Đề số

Bài 1: a) So sánh hợp lý:

200

161     

và

1000

2 

    

;

B C D

H

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

b) Tính A =

3 10

6 12 11

16 120.6

4

+ +

c) Cho x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chứng minh rằng: x = y = z Bài 2: Tìm x biết:

a) (2x-1)4 = 16

b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) x+3−8 =20

d)

2009 2008 2007 2006

x− x− x− x−

+ = +

Bài 3: Tìm số x, y, z biết :

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = b) z y x =

= x2 + y2 + z2 = 116

Bài : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x y ; x1, x hai giá trị x; y1, y2 hai giá trị tương

ứng y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 x1=2 , x 2=

b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z

Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f − Chứng minh a, b, c chia hết cho

c) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H

I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI

b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi

c) Đường thẳng Dn vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC

ĐÁP ÁN Bài 1: (1,5 điểm):

a) Cách 1:

200

161      = 800 200 2       =       > 1000       Cách 2: 200

161      > 200

321      = 1000 200 2       =       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 10 2

12 10

12 10 10 12

6 12 12 11 11 11 11

2 12 11

12 10 11 11

11 11 11 11

2 3.2.5.2 2.3 2 3 3 5 2 3 1 5

)

2 3 2.3

2 2.3

6.2 4.2

7.2 7.2

(11)

c) Vì x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy  x z y; x z; y x y z

y = x z = y x =  = =z y z x.áp dụng

tính chất dãy tỉ số  x y z x y z x y z

y z x y z x

+ +

= = = =  = =

+ +

Bài 2: (1,5 điểm):

a) (2x-1)4 = 16 .Tìm x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) x+3−8 =20

20

x+ − =  x+3 −8=20; x+3−8=−20

20

x+ − =  x+3 =28  x = 25; x = - 31

20

x+ − =−  x+3 =−12: vô nghiệm

d)

2009 2008 2007 2006

x− x− x− x−

+ = +  1

2009 2008 2007 2006

x− x− x− x−

− + − = − + −

2010 2010 2010 2010

2009 2008 2007 2006

x− x− x− x−

 + = +

2010 2010 2010 2010

0

2009 2008 2007 2006

x− x− x− x−

 + − − =

( ) 1 1

2010

2009 2008 2007 2006

x  

 −  + − − =

   −x 2010=  =0 x 2010

Bài 3:

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 =

 3x - 5= 0; y2 - = ; x - z =  x = z =

3

;y = -1;y =

b)

4 z y x

=

= x2 + y2 + z2 = 116

Từ giả thiết

 29

116 16

9

2 z y x 16

2 z

2 y

2 x

= = + +

+ + = = =

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - )

Bài 4: a) Vì x, y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

2 2 2 2 2

1 2 2 1 2

2 1

2

1

2 52

4

3 3 9 13

) 36

x y y y y y y y y y y

x y y

y y

+

   

=  =  =   =   = = = =

+

   

+ =  = 

Với y1= - y2 = - ;

(12)

b)Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

( )

) (0) 3

) (1) 3

) ( 1) 3

f c

f a b c a b

+ 

+  + +  +

+ −  − +  −

Từ (1) (2) Suy (a + b) +(a - b) 32a 3a ( 2; 3) = b

Vậy a , b , c chia hết cho

c) 3n+2−2n+2+ −3n 2n= 3n+2+ −3n 2n+2−2n

=3 (3n 2+ −1) (2n 2+1) =3 10 5n −  =  −n 10 2n n−110 = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n+2−2n+2+ −3n 2n 10 với n số nguyên dương

Bài 5:

a) AIC = BHA  BH = AI b) BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 c) AM, CI đường cao cắt N  N trực tâm  DN⊥ AC d) BHM = AIM  HM = MI BMH = IMA mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900  HMI vuông cân  HIM = 450

mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM phân giác HIC

H

I

M B

A C

D

(13)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia