Phép biến hình và phép dời hình - Lê Bá Bảo

Ngược lại, một trong 2 yêu cầu trên không được thỏa mãn thì quy tắc đặt không là phép biến hình.. Kết luận: Phép biến hình F 2 không là phép dời hình. Chứng minh: F là phép tịnh ti[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | CHUYÊN ĐỀ:

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Chủ đề 0: Phép biến hình phép dời hình I- LÝ THUYẾT

1 Phép biến hình:

a Định nghĩa: Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định với

một điểm nhất M ' mặt phẳng M ': gọi ảnh M qua phép biến hình Ký hiệu: f phép biến hình M ' ảnh M qua f ta viết: M 'f M  hay

 

f M M ' hay f : MM ' hay f

MM '

Nhận xét: 1) f phép biến hình đồng   M H : f M M (M gọi điểm bất động, kép, bất biến)

2) f , f1 phép biến hình f of , f of2 1 phép biến hình

3)  H ' gọi ảnh hình  H qua phép biến hình f

     

M H : f M M ' H '

     Ta viết f H H '

2 Phép dời hình:

Định nghĩa: Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm

M, N ảnh M ', N ' chúng

   

f M M '

M, N H : MN M ' N '

f N N '

 



    

 

3 Tính chất: (của phép dời hình)

3.1- Phép dời hình biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng, điểm không thẳng hàng thành điểm khơng thẳng hàng

3.2- Phép dời hình biến:

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |

- Đường trịn thành đường trịn (tâm biến thành tâm: I I '

R R '     

 )

- Góc thành góc

II- LUYỆN TẬP:

Dưới đây, số kỹ giúp độc giả giải xuyên suốt vấn đề phép biến hình cụ thể học

Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc sau phép biến hình:

a) Phép biến hình F1 biến điểm M x; y  thành điểm M ' y; x  

b) Phép biến hình F2 biến điểm M x; y  thành điểm M ' 2x; y  Gợi ý: Chỉ rõ: M : !M ' F M 

a) Gọi M x ; y M M

* Theo quy tắc đặt trên, tồn điểm M ' : F M M ' y ; x M  M

Như vậy, với điểm M ln ảnh /

M (1)

* Giả sử, qua quy tắc đặt trên, điểm M x ; y M M có ảnh là:  / /   / / 

M M N N

M ' x ; y , N ' x ; y

Lúc đó:  

/

M M

/

M M

y y

i

y x

  

  



/

N M

/

N M

y y

(ii)

y x

  

  



Từ (i) (ii) dễ thấy: / /

M N (2)

Từ (1) (2), kết luận: Quy tắc đặt phép biến hình b) Độc giả chứng minh tương tự.

Nhận xét: Để rõ quy tắc đặt cho trước phép biến hình, cần rõ điểm:

 Với điểm M, tồn ảnh M qua quy tắc đặt tương ứng.  Ảnh M qua quy tắc đặt tương ứng nhất.

Ngược lại, yêu cầu khơng thỏa mãn quy tắc đặt khơng phép biến hình Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép biến hình sau phép dời hình?

a) Phép biến hình F1 biến điểm M x; y  thành điểm M ' y; x  

b) Phép biến hình F2 biến điểm M x; y  thành điểm M ' 2x; y  Gợi ý: Chỉ rõ: M, N : F M M ', F N N 'M ' N 'MN

Lấy hai điểm M x ; y , N x ; y 1  2, ta có:    

2

MN x x  y y

(3)

Vậy phép biến hình F1 phép dời hình b) Tương tự,

Xét ảnh M, N qua phép biến hình F2 M ' 2x ; y , N ' 2x ; y 1 1  2 2 Ta có: M ' N ' x 1x2 2 y2y12

Để ý rằng, x1x2 / /

M N MN

Kết luận: Phép biến hình F2 khơng phép dời hình

Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với , a, b số cho trước Xét phép biến hình F biến điểm M x; y  thành điểm M ' x '; y '  , đó:

x ' x cos ysin a y ' x sin y cos b

     



     



a) Chứng minh: F phép dời hình

b) Khi  0 Chứng minh: F phép tịnh tiến

Gợi ý: Chỉ rõ: M, N : F M M ', F N N 'M ' N 'MN

a) Phép biến hình F biến M x ; y , N x ; y 1 1  2 2 tương ứng thành  / /  / /

1 2

M ' x ; y , N ' x ; y , với:

/

1 1

/

1 1

x x cos y sin a

y x sin y cos b

     



     



/

2 2

/

2 2

x x cos y sin a

y x sin y cos b

     



     



Ta có: MN x2x1 2 y2y12

Xét:  / / 2 / /2

2

M ' N ' x x  y y

       

   

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

x x cos y y sin x x sin y y cos

x x cos sin y y cos sin

x x y y MN

   

             

            

         

    

Kết luận: Vậy phép biến hình F phép dời hình b) Khi  0, ta có: x ' x a

y ' y b    

  



Hay:   F  

M x; y M ' xa; yb

Vậy F phép tịnh tiến theo vecto va; b

(4)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với  cho trước Xét phép biến hình F biến

mỗi điểm M x; y  thành điểm M ' x '; y ' , đó: x ' x cos ysin

y ' x sin y cos

    



    



Chứng minh: F phép dời hình

Kỹ xác định tọa độ điểm, phương trình đường thẳng đường trịn qua phép biến hình bất kì:

Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Xét phép biến hình   F   F : M x; y M ' x '; y ' : /

/

x x

y y

   

  



a) Chứng minh: F phép dời hình

b) Xác định ảnh điểm M 1; 2  qua phép biến hình F

c) Xác định phương trình đường thẳng ' ảnh đường thẳng : x  y qua phép biến hình F

d) Xác định phương trình đường trịn  C ' ảnh   2

C : x y 2x4y 1 qua phép biến hình F

e) Xác định phương trình Elip (E ') ảnh  

2

x y

E :

9   Gợi ý:

a) Chỉ rõ M, N : F M M ', F N N 'M ' N 'MN

b) Ta có:   / 

F M M 1;3

c) Phương pháp 1: Chọn điểm M, N Δ, xác định ảnh tương ứng M ', N ' Đường thẳng '

 cần tìm đường thẳng qua hai điểm M ', N '

Chọn      

     

M 1; F M M ' 1;3

N 0;1 F N N ' 0;

     



    



Vậy đường thẳng ' cần tìm đường thẳng M ' N '

Đường thẳng M ' N ' qua M '1;3 có vecto phương M ' N '1; 1 

 

/ x t

: t

y t

    

    

 

Phương pháp 2:Sử dụng quỹ tích:    M F M M ' ' Gọi M x; y  F M  M ' x '; y ' :  x ' x x x '

y ' y y y '

     

 

     

   

 

(5)

Lúc đó: Mx '; y ' 1      x '  y ' 1        x ' y ' Vậy /

: x ' y '

    

Nhận xét: Ngoài phương pháp trên, nhiều phép biến hình cụ thể có thể sử dụng tính chất riêng để giải tốt hơn.

* Xác định phương trình đường trịn ảnh đường trịn cho trước:

Phương pháp 1: Theo tính chất phép dời hình: Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính.

Ta có   C I; R : I 1; 2 

R



  



   

F I I ' 1;3 tâm đường tròn ảnh  C ' Để ý phép biến hình F phép dời hình Vậy đường tròn   C ' : x1 2 y 32 4

Phương pháp 2:Sử dụng quỹ tích

Gọi M x; y   C F M  M ' x '; y ' :  x ' x x x ' y ' y y y '

     

 

    

   

 

 

Lúc đó:

      2 2        2

M x '; y ' 1  C  x '  y ' 1 2 x ' 4 y ' 1   1 x '  y ' 2x ' 6y ' 6  0

Vậy   2

C ' : x y 2x6y 6

e) Sử dụng quỹ tích:  M  E F M M ' E '

Gọi M x; y   E F M  M ' x '; y ' :  x ' x x x ' y ' y y y '

     

 

    

   

 

 

Lúc đó:

           

2 2

x ' y ' x ' y '

M x '; y ' E 1

9

  

        

Vậy    

2

2 y 1

x

E ' :

9



 

III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1: Quy tắc phép biến hình?

A. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O M ứng với M ' cho

OMOM '0   

B Điểm O cho trước ứng với điểm O, M khác O M ứng với M ' cho tam giác OMM ' tam giác vuông cân đỉnh O

C. Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M ' cho tam giác OMM ' tam giác

D. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, cịn M khác O M ứng với M ' cho

OM '2OM

(6)

Ta có: OMOM ' 0 M ' M 0 M 'M     

Quy tắc đặt phép đồng Các quy tắc lại khơng phép biến hình

+) Đáp án B, C khơng nói góc vng góc lượng giác nên tồn hai ảnh M +) Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh M không ⇒ Chọn đáp án A.

Câu 2: Phép biến hình sau phép dời hình?

A. Phép biến điểm M thành điểm M ' cho O trung điểm MM ', với O điểm cố định cho trước

B. Phép chiếu vng góc lên đường thẳng d

C. Phép biến điểm M thành điểm O cho trước

D. Phép biến điểm M thành điểm M ' trung điểm đoạn OM, với O điểm cho trước

Lời giải

Với điểm A, B tương ứng có ảnh A ', B' qua phép biến hình với quy tắc đặt O trung điểm tương ứng (gọi phép đối xứng tâm O) xảy kiện A ' B 'ABĐây phép dời hình ⇒ Chọn đáp án A.

Câu 3: Xét hai phép biến hình sau:

(I) Phép biến hình F1 biến điểm M x; y  thành điểm M 'y; x (II) Phép biến hình F2 biến điểm M x; y  thành điểm M ' 2x; 2y  Phép biến hình hai phép biến hình phép dời hình?

A. Chỉ phép biến hình (I)

B. Chỉ phép biến hình (II)

C. Cả hai phép biến hình (I) (II)

D. Cả hai phép biến hình (I) (II) khơng phép dời hình

Lời giải

Lấy hai điểm A x ; y , B x ; y 1 1  2 2 mặt phẳng

Xét    

   

 

   

2

1 1 2

2

1 2 1 1 1 2 2 1

1 1 2

AB x x y y

F A A y ; x AB x x ; y y

F B B y ; x A B y y ; x x A B y y x x

 

          

  

  

  

       

      

  





1 1

A B AB F

   phép dời hình

Xét    

   

 

   

2

2 1 2

2

2 2 2 2 2 1 2 1

2 2

AB x x y y

F A A 2x ; 2y AB x x ; y y

F B B 2x ; 2y A B 2x 2x ; 2y 2y A B 4 x x 4 y y

 

         

  

  

  

      

      

  





(7)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Câu 4: Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M x ; y M M có ảnh điểm

 

M ' x '; y ' theo công thức M M

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Tìm tọa độ điểm A ' ảnh điểm A 1; 2  qua phép

biến hình F

A. A ' 1; 4  B. A ' 2;0  C. A ' 1; 2   D. A ' 0; 4 

Lời giải

Theo quy tắc, ta có: M  

M

x ' x

A ' 0;

y ' y

   

 

   



⇒ Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M x ; y M M có ảnh điểm

 

M ' x '; y ' theo công thức M M x ' 2x F :

y ' 2y     

 Tìm tọa độ điểm A ' ảnh điểm A 3; 2   qua phép

biến hình F

A. A ' 6; 4  B. A ' 6; 4   C. A ' 2; 2   D. A ' 0; 4 

Lời giải

Theo quy tắc, ta có: M  

M x ' 2x

A ' 6;

y ' 2y

  

  

   



⇒ Chọn đáp án B.

 

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Tìm tọa độ điểm P có ảnh điểm Q 3; 2  qua phép biến

hình F

A. P 4;5  B. P 1;0  C. P 1;1  D. P 1; 1  

Lời giải

Theo quy tắc, ta có: Q Q  

Q Q

x ' x x x '

P 1;

y ' y y y '

     

 

   

 

     

 

 

⇒ Chọn đáp án D.

 

M ' x '; y ' theo công thức M M x ' x F :

y ' y      

 Tìm tọa độ điểm M có ảnh điểm N3;1 qua phép biến

hình F

A. N 3;1  B. N3;1 C. N 3; 1   D. N 3; 1

(8)

Theo quy tắc, ta có: N N  

N N

x ' x x x '

N 3;1

y ' y y y '

     

 

  

 

   

 

 

⇒ Chọn đáp án A.

 

y ' y

  

  

 Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng ảnh

hai điểm A 1;  , B 1; 2 qua phép biến hình F

A. PQ B. PQ2 C. PQ3 D. PQ4

Lời giải

Theo quy tắc, ta có: P 1; , Q   1;3PQ  2; 2PQ2 

⇒ Chọn đáp án B.

 

y ' 2y     

 Viết phương trình đường thẳng d ' ảnh đường thẳng d : x2y 1 qua phép biến hình F

A. d ' : 2x  y B. d ' : x2y 3

C. d ' : x2y 2 D. d ' : x2y0

Lời giải

Cách 1: Gọi M x ; y M M d xM2yM 1 (1)

Với F M M ' x '; y ' , theo quy tắc:

M M

M

M x ' x

x ' 2x 2

y ' 2y y '

y     

 

 

 

  

 

 



thay vào (1) ta có:

x ' y '

2 x ' 2y ' M ' d ' : x 2y

2

   

             

   

 

   

Cách 2: Chọn A1;0d, B 1; 1    d F A A '2; 0d ', F B B ' 2; 2    d ' d 'A ' B ' Đường thẳng d ' qua A '2; 0 nhận vecto 1A ' B ' 2; 1

2   



chọn n ' 1; làm vecto pháp tuyến, suy d ' :1 x  2 y    0 x 2y 2

(9)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Câu 10: Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M x ; y M M có ảnh điểm

 

y ' y     

 Viết phương trình đường trịn  C ' ảnh đường tròn     2 2

C : x1  y 4 qua phép biến hình F

A.  C ' : x1 2 y 22 4 B.  C ' : x1 2 y 22 4

C.  C ' : x1 2 y 224 D.  C ' : x1 2 y 22 4

Lời giải

Cách 1: Gọi M x ; y M M    C  xM1 2 yM224 (1)

Với F M M ' x '; y ' , theo quy tắc: M M

M M

x ' x x x '

y ' y y y '

   

 

 

 

    

 

  thay vào (1) ta có:

  2 2     2 2

x1   y  4 M ' C ' : x1  y2 4

Cách 2: Đường trịn  C có tâm I 1; 2  A 1; 4    C F I I ' 1; 2  : tâm  C '

     

F A A ' 1; 4  C '

Vậy đường tròn  C ' có tâm I ' 1; 2   bán kính R I ' A '  2   C ' : x1 2 y 22 4 ⇒ Chọn đáp án B.

 

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Viết phương trình elip  E ' ảnh elip  E :x2 y2

9   qua phép biến hình F

A.     

2

x y

E ' :

9

 

  B.     

2

x y

E ' :

9

 

 

C.   

2 2

x y

E ' :

9



  D.   

2 2

x y

E ' :

9



 

Lời giải

Gọi    

2

M M

x y

M x ; y E :

9

   (1)

Với F M M ' x '; y ' , theo quy tắc: M M

M M

x ' x x x '

y ' y y y '

     

 

 

 

     

 

  thay vào (1) ta có:

 2  2    2  2

M M

x y x y

1 M ' E ' :

9

   

     

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10 IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP DỜI HÌNH Câu 1: Quy tắc phép biến hình?

A. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O M ứng với M ' cho:

OM.OM 'k  

(k0 cho trước)

B. Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M ' cho tam giác OMM ' tam giác vuông cân đỉnh O

C. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O M ứng với M ' cho M ' trung điểm OM

D. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O M ứng với M ' cho OMOM '

Câu 2: Quy tắc khơng phải phép biến hình?

A. Mọi điểm M tương ứng với điểm O

B. Mọi điểm M tương ứng với điểm M ' trùng với M

C. Mỗi điểm M ứng với điểm M ' cho MM ' không đổi

D. Phép chiếu vng góc lên đường thẳng

Câu 3: Với O gốc tọa độ, quy tắc không phải phép biến hình?

A. Mọi điểm M tương ứng với điểm M ' cho MM 'a  

, với a 

vecto không đổi cho trước

B. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O đặt tương ứng điểm M ' cho

OMOM ' góc lượng giác OM; OM '60

C. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O đặt tương ứng với điểm M ' cho tam giác OMM ' tam giác

D. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O đặt tương ứng M ' cho O trung điểm MM '

(I) Phép biến hình F1 biến điểm M x; y  thành điểm M ' y; x  

(II) Phép biến hình F2 biến điểm M x; y  thành điểm M ' 2x; y  Phép biến hình hai phép biến hình phép dời hình?

Câu 5: Phép biến hình sau phép dời hình?

A. Phép đồng

B. Phép chiếu lên đường thẳng d

C. Phép biến điểm M thành điểm O cho trước

D. Phép biến điểm M thành M ' trung điểm đoạn OM, với O điểm cho trước

Câu 6: Phép biến hình sau khơng phải phép biến hình:

A. Phép đồng

B. Phép co đường thẳng

C. Phép chiếu vng góc lên đường thẳng

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11

điểm MM '

(I) Phép biến hình F1 biến điểm M x; y  thành điểm M ' x 1; y2 (II) Phép biến hình F2 biến điểm M x; y  thành điểm M 'y; x

Phép biến hình hai phép biến hình phép dời hình?

Câu 8: Phép biến hình F phép dời hình

A.F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với

B.F biến đường thẳng thành

C.F biến đường thẳng thành đường thẳng cắt

D.F biến tam giác thành tam giác

Câu 9: Phép biến hình F phép dời hình

A.F biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

B.F biến đường thẳng thành đường thẳng

C.F biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài

D.F biến đường trịn cho thành

Câu 10: Các khẳng định sau (Đ) hay Sai (S)?

Khẳng định Đ S

1 Cho trước số a dương, với điểm M mặt phẳng, gọi điểm M ' cho MM 'a phép biến hình

2 Cho trước vecto u không đổi, với điểm M mặt phẳng, gọi điểm M ' cho MM 'u phép biến hình

3 Cho trước điểm I cố định, với điểm M mặt phẳng, gọi điểm M ' cho IM 'IM0 phép biến hình

4 Cho đường thẳng Δ cố định, với điểm M mặt phẳng, M thuộc Δ ảnh M M, M  M có ảnh điểm M ' điểm đối xứng M qua Δ phép biến hình

5 Cho đường thẳng Δ điểm I cố định, với điểm M mặt phẳng,

M thuộc Δ ảnh M M, M  M có ảnh điểm M ' giao điểm Δ đường thẳng IM phép biến hình

 

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Tìm tọa độ điểm A ' ảnh điểm A 1; 2  qua phép

biến hình F

A. A ' 2; 2  B. A ' 2;0  C. A ' 3;1  D. A ' 3; 2 

(12)

 

y ' 2y      

 Tìm tọa độ điểm A ' ảnh điểm A4; 2 qua phép

biến hình F

A. A ' 8; 4  B. A ' 8; 4   C. A ' 4; 8   D. A ' 8; 4 

 

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Tìm tọa độ điểm P có ảnh điểm Q 1; 2  qua phép biến

hình F

A. P 0; 4  B. P 1;0  C. P 2; 0  D. P 1; 1  

 

y ' y      

 Tìm tọa độ điểm A có ảnh điểm B 3; 1 qua phép biến

hình F

A. A 3; 1   B. A 3; 1 C. A 3;1  D. A3;1

 

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng ảnh

hai điểm M 1; , N  1; 2 qua phép biến hình F

A. PQ4 B. PQ2 C. PQ3 D. PQ

 

y ' 2y     

 Viết phương trình đường thẳng d ' ảnh đường thẳng d : 2x y qua phép biến hình F

A. d ' : 2x  y B. d ' : x2y 1 C. d ' : 2x y D. d ' : x2y0

 

y ' y      

 Viết phương trình đường trịn  C ' ảnh đường tròn     2 2

C : x1  y 9 qua phép biến hình F

A.  C ' : x1 2 y 22 9 B.  C ' : x1 2 y 22 9

C.  C ' : x1 2 y 229 D.  C ' : x1 2 y 229

 

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Viết phương trình elip  E ' ảnh elip  E :x2 y2

(13)

A.     

2

x y

E ' :

25

 

  B.     

2

x y

E ' :

25

 

 

C.     

2

x y

E ' :

25

 

  D.     

2

x y

E ' :

25

 

 

 

x ' x

F :

y ' y

  



  

 Viết phương trình đường trịn  C ' ảnh đường

tròn   2

C : x y 2x4y 1 0 qua phép biến hình F

A.  C ' : x1 2 y 22 6 B.   2 C ' : x  y 6

C.   2

C ' : x  y 6 D.  C ' : x1 2 y 42 6

 

y ' y      

 Viết phương trình đường thẳng d ' ảnh đường thẳng d : 2x3y 1 0 qua phép biến hình F

A. d ' : 2x3y 1 0 B. d ' : 2x3y 1

C. d ' : 2x3y 1 0 D. d ' : 2x3y 2

BẢNG ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp

án C C C A A B C D C

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp

án A B C A B C C D C B

(14)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,59 MB