ON THI HSG 7 HAY THAM KHAO

Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng... Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA.[r]

(1)

Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm)

a)

1

.16

2

8

n n



; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = 1

b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bài Thực phép tính: (4 điểm)

1

1 49

(

)

4.9 9.14 14.19

44.49

89





=

1 1 1

1

1 (1 49)

(

).

5 9 14 14 19

44 49

12



   

















=

1 1

1 (12.50 25)

5.9.7.89

9

(

).

5 49

89

5.4.7.7.89

28









Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết:

|

2 x+3

|

=

x +2

+ Nếu x -

3

2

|

2 x+3

|

x +2

=> 2x + = x + => x = - (Thoả mãn)

3

2

|

2 x+3

|

x +2

=> - 2x - = x + => x = -

5

3

b) Tìm giá trị nhỏ A =

|

x − 2006

|

2007 − x

|

Khi x thay đổi

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007

Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có:

x – y =

1

3

Do đó:

x

y

=

12

1

=>

x

12

=

y

1

=

x − y

11

=

1

3

:11=

1

33

12

33

(

vòng)=> x=

4

11

(2)

Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đường thẳng AB cắt EI F

Δ

AM = DM (gt), MB = MC (gt),

AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( phụ ABC)

=> EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => Δ AFE = Δ CAB

=>AE = BC

a) (2 điểm)





























10

12 10 12 12 10

6 12 12 9 3

2

12 10

12 3

10 12

12

2 3

4 9

5 7

25 49

2 3

5 7

2 3

5 7

125.7

5 14

2 3

8 3

2 1

5 7

2 1

5 2

5

6

2 2

2 4

5 9

1

10

7

6

3

2

A































b) (2 điểm)

3

n



2

n



3

n



2

n

3

n



3

n



2

n



2

n

3 (3

n



1) (2



n



1)

=

3 10 10 2

n

 

n

 

n

 

n



10

Vậy

3

n



2

n



3

n



2

n



D

B

A

H

I

F

E

(3)





1 2

3

1

2

3

1 7

2

3 3

1

5

2

3 3

1

4

2

1

4

16 2

3, 2

3

5

3

5

1

4 14

3

5

1

2

3

x

 

 

  



  





 





























 













b) (2 điểm

















1 11

1 10

7

0

7

1

7

0

x x x

x



























1

10

7

0

1 (

7)

0

7 0

7

(

7)

1

8

7

1

7

0

10

x

     











   



 



























 



a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c ba số chia từ số A

Theo đề ta có: a : b : c =

2 1

: :

5 6

Từ (1)



2

3

1

5

4

6

a

b

c



= k



2

3

;

5

4

6

k

a



k b



k c



Do (2)



2

4

9

1

(

) 24309

25 16 36

k









180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k =



180



72



135



30



72



135



30



237

Từ

a

c



b

.

c



a b

2 2 2

.

a

c

a

a b

b

c

b

a b





(4)

K

H

E M

B

A

C I

=

(

)

(

)

a a b

a

b a b

b







a/ (1điểm) Xét

AMC



EMB

AMC

EMB

Nên :



AMC



EMB



Vì



AMC



EMB



MAC

MEB

(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE 0,5 điểm

b/ (1 điểm )

Xét



AMI



EMK

MAI = MEK (



AMC



EMB

Nên



AMI



EMK

AMI

EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )



IME



c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o

HBE



HBE

HEM



HEB

MEB

BME góc ngồi đỉnh M



HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngồi tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh





DAB DAC





Do



DAB 

20 : 10



b)





A 

20

ABC 



DBC 



60

Tia BD nằm hai tia BA BC suy



ABD 

80



60



20

Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết

a



4



a



4

=>

a

200

M A

B C

(5)

*

a

Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn

9

10



nhỏ

9

11



Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có:

9

7

9

10

x

11





=>

63

70



9

x



77



Vậy phân số cần tìm

7

8



Câu Cho đa thức

P

( x )

❑

Q

(

x

)

❑

Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2

= m2 + 2m + 1

Q(-1) = – 2m – +m2

= m2 – 2m

Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4

Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết:



x

y

a /

; xy=84

3

7

2

84

4

9

49

3.7

21

x

y

xy



=> x2 = 4.49 = 196 => x =



=> y2 = 4.4 = 16 => x =



Do x,y dấu nên:  x = 6; y = 14  x = -6; y = -14

 

1+3y 1+5y 1+7y

b/

12 5x 4x

áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

     

     

   

1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y

12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12

=>

2

5

12

y

x



x



=> -x = 5x -12

=> x = Thay x = vào ta được:

1 3

2

12

2

y









1

15



Vậy x = 2, y =

1

15



thoả mãn đề

(6)

Ta có :

|

x +1

|

⇔

⇒

⇔

Vậy: Min A =

⇔

 B =

x

2

+

15

x

+3

(

x

+

3

)

+

12

x

+

3

12

x

+

3

❑

⇔

⇒ x

❑

⇒

12

x

+3

12

3

⇒

12

x

+3

⇒

12

x

+3

⇒

Dấu = xảy

⇔

Vậy : Max B = ⇔ x = Câu 6: a/

Xét ADC BAF ta có: DA = BA(gt)

AE = AC (gt)

DAC = BAE ( 900 + BAC )

=> DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE

Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ)

E1 = C1( DAC = BAE)

=> EAI = CTI

=> CTI = 900 => DC



b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME

mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1)

Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía )

mà BAC + DAE = 1800

=> BAC = AEM ( )

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP



CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt)

PAE = HCA ( ABC = EMA câu b) => AHC = EPA

(7)

=> AHC = 900

=> MA



CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

1.a Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a

Ta có :

a

2

+

a+3

a+1

a(a+1)+3

a+1

=

a+

3

a+1

a

2

+

a+3

a+1

3

a+1

a+1 -3 -1

a -4 -2

Vậy với a

{

− 4,− 2,0,2

}

a

2

+

a+3

a+1

0,25

0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0

Hay (1-2y)(2x-1) = -1

Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau :

¿

1 −2 y=1

2 x −1=− 1

⇒

¿

x=0

y=0

¿

{

¿

Hoặc

¿

1− y =−1

2 x −1=1

⇒

¿

x=1

y=1

¿

{

¿

Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu

0,25

3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy

a

b

=

c

d

0,5

0,5 3.b Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0)

Gọi số số hạng tổng n , ta có :

n(n+1)

2

=111a=3 37 a

Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 khơng thoả mãn ) Do n=37 n+1 = 37

Nếu n=37 n+1 = 38 lúc

n(n+1)

2

=703

n(n+1)

2

=666

0,25

(8)

B C D H

A

Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300

Nên CH =

CD

2

⇒

Tam giác BCH cân C

⇒

Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H

Do tam giác AHD vng cân H Vậy ADB = 450+300=750

0,5

1,0

5 Từ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn

Nếu x khơng chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết

cho x2=19 khơng thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu bi l (2;3)

0,25 0,25

Đáp án 1/ a)

(

1

2

+

1

3

+

1

6

)+(

5

7

+

2

5

−

4

35

)+

1

41

=1+1+

1

41

=2

1

41

(

1

1 2

+

1

2 3

+

1

3 4

+

1

2008 2009

+

1

2009 2010

)

(1−

1

2

+

1

2

−

1

3

+

1

3

−

1

4

+

1

4

−

1

5

+

.+

1

2009

−

1

2010

)

(1−

1

2010

)=2009 −

2009

2010

2x + 2x+3 = 144 => 2x(1+23) = 144=> 2x = 16

2x = 22 => x =

b)

|

x − 2009

|

x −2010

|

x − 2009

|

2010 − x

|

x − 2009

|

+

|

2010 − x

|

≥

|

x − 2009+2010− x

|

=1

|

x − 2009

|

2010 − x

|

VËy

|

x − 2009

|

+

|

x −2010

|

=1

a

b

=

c

d

a

c

=

b

d

=>

a

c

.

a

c

=

b

d

.

b

d

=

a

c

.

b

d

a

b

=

c

d

=

ab

cd

7 a

2

7 c

=

11a

11c

=

8 b

8 d

=

3 ab

3 cd

=

7 a

+

3 ab

7 c

+

3 cd

=

11 a

q

−8 b

11 c

−8 d

Hay

7 a

2

+3 ab

11a

−8 bc

=

7 c

+3 cd

11c

− d

a

b

;

c

d

;

e

f

Đặt

a

3

=

c

5

=

e

7

=

k ;

b

2

=

d

3

=

f

4

=

p

(9)

a

b

+

c

d

+

e

f

=12

7

24

=>

59 k

12 p

=

295

24

=>

k

p

=

5

2

=>

a

b

=

3

2

.

5

2

=

15

4

;

c

d

=

25

6

;

e

f

=

35

8

Ba phân số tối giản có tổng

12

7

24

Nªn (1)  2n(2m-n – 1) = 28

V× m-n > => 2m-n– lÏ => 2m-n-1 =1 => 2m-n= 21

=> m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 5/

a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD b) Tõ ADC = ABE => ADC = ABE

Gọi K giao điểm AB CD Xét hai tam giác AKD IKB có AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên)

VËy KAD = KIB = 600 => BIC = 1200

c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB nên IB = BJ (1)

XÐt t¸m giác IAB tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt) B1 = B2 ( B1 + B3 = B2 + B3 = 600) VËy tam gi¸c

IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2) Tõ (1) vµ (2) => IA + IB = ID

d) J n»m I D, IAB = JBD => AIB + DJB = 1200

E

A

D

K

J

I

1 2