Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng... Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA.[r]
(1)Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm)
a) 1
.16 2 8
n n
; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = 1
b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài Thực phép tính: (4 điểm)
1 1 1 1 1 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
=
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 49)
( ).
5 9 14 14 19 44 49 12
=
1 1 1 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).
5 49 89 5.4.7.7.89 28
Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: |2 x+3|=x +2 Ta có: x + => x -
+ Nếu x - 3
2 |2 x+3|=x +2 => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - x < - 3
2 Thì |2 x+3|=x +2 => - 2x - = x + => x = - 5
3 (Thoả mãn) + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007
Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi)
Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có:
x – y = 1
3 (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó: x y=
12 1 =>
x 12=
y 1=
x − y 11 =
1 3:11=
1 33 => x = 12
33(vòng)=> x= 4 11 (giờ)
(2)Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)
Đường thẳng AB cắt EI F
Δ ABM = Δ DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( phụ ABC)
=> EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => Δ AFE = Δ CAB
=>AE = BC
a) (2 điểm)
10
12 10 12 12 10
6 12 12 9 3
2
12 10
12 3
10 12
12
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7
2 3 2 3 5 7 5 7
125.7 5 14
2 3 8 3
2 1 5 7
2 1 5 2
5 6
2 2
2 4 5 9
1 10 7
6 3 2
A
b) (2 điểm)
3n2 2n23n 2n= 3n23n 2n2 2n =3 (3n 21) (2 n 21)
=3 10 10 2n n n n110 = 10( 3n -2n)
Vậy 3n2 2n23n 2n 10 với n số nguyên dương a) (2 điểm)
D B
A
H
I F
E
(3) 1 2 3 1 2 3 1 7
2 3 3
1 5
2 3 3
1 4 2 1 4 16 2
3, 2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1 2 3 x x x x x x x
x
b) (2 điểm
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x x x x x x
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10 x x x x x x x x
x x
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c ba số chia từ số A
Theo đề ta có: a : b : c =
2 1 : : 5 6 (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1)
2 3 1
5 4 6
a b c
= k
2 3
; ;
5 4 6
k a k b k c
Do (2)
2 4 9 1
( ) 24309
25 16 36
k
k = 180 k =180
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237
+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30 Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237 b) (1,5 điểm)
Từ a c
c b suy
. c a b
2 2 2
. . a c a a b b c b a b
(4)K
H
E M
B
A
C I
=
( )
( )
a a b a b a b b
a/ (1điểm) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt )
AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm
AC = EB
Vì AMC = EMB MAC = MEB
(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )
Suy AC // BE 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )
MAI = MEK ( AMCEMB ) AI = EK (gt )
Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK
Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
EMK + IME = 180o
Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
HBE
= 90o - HBE = 90o - 50o =40o
HEM
= HEB - MEB = 40o - 25o = 15o
BME góc ngồi đỉnh M HEM
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngồi tam giác )
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC
Do DAB 20 : 100
b) ABC cân A, mà A 200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800 ABC nên DBC 600
Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD 800 600 200.
Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a 4 0 a 4
=>a = 0; 1; 2; ; * a = => a =
200
M A
B C
(5)* a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = -
Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn
9 10
nhỏ
9 11
Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có:
9 7 9
10 x 11
=>
63 63 63 709x 77
=> -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72 => x =
Vậy phân số cần tìm 7 8 Câu Cho đa thức
P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m
❑2
Q (x) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2
Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2
= m2 + 2m + 1
Q(-1) = – 2m – +m2
= m2 – 2m
Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4
Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết:
x y
a / ; xy=84
3 7 =>
2 84
4 9 49 3.7 21 x y xy
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14
=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y dấu nên: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 2
5 12
y y
x x
=> -x = 5x -12
=> x = Thay x = vào ta được: 1 3 2
12 2
y y y
=>1+ 3y = -12y=> = -15y=> y = 1 15
Vậy x = 2, y = 1 15
thoả mãn đề
(6)Ta có : |x +1| Dấu = xảy ⇔ x= -1 ⇒ A 5.Dấu = xảy ⇔ x= -1
Vậy: Min A = ⇔ x= -1
B = x
2
+15 x2+3 =
(x2+3)+12
x2+3 = + 12
x2+3 Ta có: x ❑2 Dấu = xảy ⇔ x = 0
⇒ x ❑2 + ( vế dương )
⇒ 12
x2+3
12
3 ⇒
12
x2+3 ⇒ 1+
12
x2+3 1+
⇒ B
Dấu = xảy ⇔ x =
Vậy : Max B = ⇔ x = Câu 6: a/
Xét ADC BAF ta có: DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE
Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP MH Xét AHC EPA có:
CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( ABC = EMA câu b) => AHC = EPA
(7)=> AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
1.a Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a
Ta có : a
2
+a+3 a+1 =
a(a+1)+3 a+1 =a+
3 a+1 a số nguyên nên a
2
+a+3
a+1 số nguyên 3
a+1 số nguyên hay a+1 ước ta có bảng sau :
a+1 -3 -1
a -4 -2
Vậy với a {− 4,− 2,0,2} a
2
+a+3
a+1 số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau :
¿
1 −2 y=1 2 x −1=− 1
⇒
¿x=0
y=0
¿{
¿
Hoặc
¿
1− y =−1 2 x −1=1
⇒
¿x=1
y=1
¿{
¿
Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy a
b= c
d ( ĐPCM
0,5
0,5 3.b Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0)
Gọi số số hạng tổng n , ta có : n(n+1)
2 =111a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 khơng thoả mãn ) Do n=37 n+1 = 37
Nếu n=37 n+1 = 38 lúc n(n+1)
2 =703 khơng thoả mãn Nếu n+1=37 n = 36 lúc n(n+1)
2 =666 thoả mãn Vậy số số hạng tổng 36
0,25
0,25
(8)B C D H
A
Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300
Nên CH = CD
2 ⇒ CH = BC
Tam giác BCH cân C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H
Do tam giác AHD vng cân H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5
1,0
1,0
5 Từ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn
Nếu x khơng chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết
cho x2=19 khơng thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu bi l (2;3)
0,25 0,25
Đáp án 1/ a) (1
2+ 1 3+ 1 6)+( 5 7+ 2 5− 4 35)+ 1 41=1+1+ 1 41=2 1 41 b) A= 2009 - ( 1
1 2+ 1 2 3+
1
3 4+ + 1 2008 2009+
1 2009 2010) = 2009 – (1−1
2+ 1 2− 1 3+ 1 3− 1 4+ 1 4− 1
5+ .+ 1 2009 −
1 2010) = 2009 - (1− 1
2010)=2009 − 2009 2010 2/
2x + 2x+3 = 144 => 2x(1+23) = 144=> 2x = 16
2x = 22 => x =
b) |x − 2009|+|x −2010|=1 => |x − 2009|+|2010 − x|=1 Ta l¹i cã |x − 2009|+|2010 − x|≥|x − 2009+2010− x|=1
|x − 2009|+|2010 − x|=1 (x - 2009).(2010 - x) 0 2009 x 2010
VËy |x − 2009|+|x −2010|=1 2009 x 2010 3/ a) V× a
b= c d nªn
a c= b d=> a c. a c= b d. b d= a c. b
d Hay a2 b2=
c2 d2=
ab cd Ta l¹i cã 7 a
2
7 c2=
11a2 11c2=
8 b2 8 d2=
3 ab 3 cd=
7 a2+3 ab 7 c2
+3 cd=
11 aq−8 b2 11 c2−8 d2
Hay 7 a
2
+3 ab 11a2−8 bc=
7 c2+3 cd 11c2− d2 b) Gọi phan số cần tiìm a
b; c d;
e
f theo bµi ta cã: a : c : e = : : 7; b : d: f =2 : :
Đặt a 3=
c 5=
e
7=k ; b 2=
d 3=
f 4=p
(9)a b+
c d+
e f =12
7 24 =>
59 k 12 p=
295 24 =>
k p=
5 2 =>a
b= 3 2.
5 2=
15 4 ;
c d=
25 6 ;
e f=
35 8
Ba phân số tối giản có tổng 12 7 24 4/ Ta có 2m - 2n > => 2m > 2n => m > n
Nªn (1) 2n(2m-n – 1) = 28
V× m-n > => 2m-n– lÏ => 2m-n-1 =1 => 2m-n= 21
=> m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 5/
a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD b) Tõ ADC = ABE => ADC = ABE
Gọi K giao điểm AB CD Xét hai tam giác AKD IKB có AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên)
VËy KAD = KIB = 600 => BIC = 1200
c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB nên IB = BJ (1)
XÐt t¸m giác IAB tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt) B1 = B2 ( B1 + B3 = B2 + B3 = 600) VËy tam gi¸c
IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2) Tõ (1) vµ (2) => IA + IB = ID
d) J n»m I D, IAB = JBD => AIB + DJB = 1200
E A
D
K J
I
1 2