ÔN THI HSG 7 HAY ( THAM KHẢO)

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 − − − − − + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 − + + + + + − + − + − + + − = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 − + − = − = − Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 ≥ 0 => x ≥ - 2. + Nếu x ≥ - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 ≤ x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x −+− Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có: x – y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == − ===>= => x = 11 4 x)vòng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI tại F ∆ ABM = ∆ DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), · AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID ⊥ AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => ∆ CAI = ∆ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => ∆ AFE = ∆ CAB =>AE = BC a) (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 9 3 2 4 5 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 3 12 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A − − − − = − = − + + + + − − = − + + − = − − = − = b) (2 điểm) 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 3 3 2 2 n n n n+ + + − − = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + − + = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n− × − × = × − × = 10( 3 n -2 n ) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số nguyên dương. a) (2 điểm) D B A H I F E M ( ) 1 2 3 1 2 3 1 7 2 3 3 1 5 2 3 3 1 4 2 1 4 16 2 3,2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 3 5 5 1 2 3 x x x x x x x x − = − =− = + = − =− + = − − + = − + ⇔ − + = + ⇔ − + =   ⇔ − = ⇔         ⇔ b) (2 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x +    ÷   + − = − − = − = ⇒ = − = ⇒ =   ⇔ − − − =     ⇔     ⇔   a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : 5 4 6 (1) và a 2 +b 2 +c 2 = 24309 (2) Từ (1) ⇒ 2 3 1 5 4 6 a b c = = = k ⇒ 2 3 ; ; 5 4 6 k a k b k c= = = Do đó (2) ⇔ 2 4 9 1 ( ) 24309 25 16 36 k + + = ⇒ k = 180 và k = 180 − + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180− , ta được: a = 72− ; b = 135− ; c = 30− Khi đó ta có só A = 72 − +( 135 − ) + ( 30 − ) = 237 − . b) (1,5 điểm) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + K H E M B A C I = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + a/ (1điểm) Xét AMC ∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) · AMC = · EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì AMC ∆ = EMB∆ · MAC⇒ = · MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) · MAI = · MEK ( vì AMC EMB ∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK∆ = ∆ ( c.g.c ) Suy ra · AMI = · EMK Mà · AMI + · IME = 180 o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ · EMK + · IME = 180 o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( µ H = 90 o ) có · HBE = 50 o · HBE⇒ = 90 o - · HBE = 90 o - 50 o =40 o · HEM⇒ = · HEB - · MEB = 40 o - 25 o = 15 o · BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆ Nên · BME = · HEM + · MHE = 15 o + 90 o = 105 o ( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) suy ra · · DAB DAC= Do đó · 0 0 20 : 2 10DAB = = b) ∆ ABC cân tại A, mà µ 0 20A = (gt) nên · 0 0 0 (180 20 ): 2 80ABC = − = ∆ ABC đều nên · 0 60DBC = Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra · 0 0 0 80 60 20ABD = − = . Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4≤ 0 ≤ a 4≤ => a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * a = 0 => a = 0 * a = 1 => a = 1 hoặc a = - 1 * a = 2 => a = 2 hoặc a = - 2 * a = 3 => a = 3 hoặc a = - 3 20 0 M A B C D * a = 4 => a = 4 hoặc a = - 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9 10 − và nhỏ hơn 9 11 − Gọi mẫu phân số cần tìm là x Ta có: 9 7 9 10 11x − − < < => 63 63 63 70 9 77x < < − − => -77 < 9x < -70. Vì 9x M 9 => 9x = -72 => x = 8 Vậy phân số cần tìm là 7 8 − Câu 3. Cho 2 đa thức P ( ) x = x 2 + 2mx + m 2 và Q ( ) x = x 2 + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 1 2 + 2m.1 + m 2 = m 2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m 2 = m 2 – 2m Để P(1) = Q(-1) thì m 2 + 2m + 1 = m 2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: = x y a / ; xy=84 3 7 => 2 2 84 4 9 49 3.7 21 x y xy = = = = => x 2 = 4.49 = 196 => x = ± 14 => y 2 = 4.4 = 16 => x = ± 4 Do x,y cùng dấu nên: • x = 6; y = 14 • x = -6; y = -14 = = 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: + − − + − − = = = = = = − − − − 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 => 2 2 5 12 y y x x = − − => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được: 1 3 2 12 2 y y y + = = − − =>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y = 1 15 − Vậy x = 2, y = 1 15 − thoả mãn đề bài Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : • A = 1+x +5 Ta có : 1+x ≥ 0. Dấu = xảy ra ⇔ x= -1. ⇒ A ≥ 5.Dấu = xảy ra ⇔ x= -1. Vậy: Min A = 5 ⇔ x= -1. • B = 3 15 2 2 + + x x = ( ) 3 123 2 2 + ++ x x = 1 + 3 12 2 +x Ta có: x 2 ≥ 0. Dấu = xảy ra ⇔ x = 0 ⇒ x 2 + 3 ≥ 3 ( 2 vế dương ) ⇒ 3 12 2 +x ≤ 3 12 ⇒ 3 12 2 +x ≤ 4 ⇒ 1+ 3 12 2 +x ≤ 1+ 4 ⇒ B ≤ 5 Dấu = xảy ra ⇔ x = 0 Vậy : Max B = 5 ⇔ x = 0. Câu 6: a/ Xét ADC và BAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cùng bằng 90 0 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE và TIC I 1 = I 2 ( đđ) E 1 = C 1 ( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 90 0 => DC ⊥ BE b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D 1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D 1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 0 ( trong cùng phía ) mà BAC + DAE = 180 0 => BAC = AEM ( 2 ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP ⊥ MH Xét AHC và EPA có: CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 90 0 => MA ⊥ BC (đpcm) CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a Ta có : 1 3 2 + ++ a aa = 1 3 1 3)1( + += + ++ a a a aa vì a là số nguyên nên 1 3 2 + ++ a aa là số nguyên khi 1 3 +a là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 Vậy với a { } 2,0,2,4 −−∈ thì 1 3 2 + ++ a aa là số nguyên 0,25 0,25 0,25 0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :    = = ⇒    −=− =− 0 0 112 121 y x x y Hoặc    = = ⇒    =− −=− 1 1 112 121 y x x y Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 0,25 0,25 0,25 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy ra d c b a = ( ĐPCM 0,5 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : aa nn .37.3111 2 )1( == + Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 hoặc n+1 = 37 Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó 703 2 )1( = +nn không thoả mãn Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666 2 )1( = +nn thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36 0,25 0,25 0,5 4 B C D H A Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60 0 do đó CDH = 30 0 Nên CH = 2 CD ⇒ CH = BC Tam giác BCH cân tại C ⇒ CBH = 30 0 ⇒ ABH = 15 0 0,5 0,5 1,0 M BAH = 15 0 nờn tam giỏc AHB cõn ti H Do ú tam giỏc AHD vuụng cõn ti H Vy ADB = 45 0 +30 0 =75 0 1,0 5 T : x 2 -2y 2 =1suy ra x 2 -1=2y 2 Nu x chia ht cho 3 vỡ x nguyờn t nờn x=3 lỳc ú y= 2 nguyờn t tho món Nu x khụng chia ht cho 3 thỡ x 2 -1 chia ht cho 3 do ú 2y 2 chia ht cho 3 M(2;3)=1 nờn y chia ht cho 3 khi ú x 2 =19 khụng tho món Vy cp s (x,y) duy nht tỡm c tho món iu kin u bi l (2;3) 0,25 0,25 Đáp án 1/ a) 41 1 2 41 1 11 41 1 ) 35 4 5 2 7 5 () 6 1 3 1 2 1 ( =++=+++++ b) A= 2009 - ) 2010.2009 1 2009.2008 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ( +++++ = 2009 ) 2010 1 2009 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1( +++++ = 2009 - 2010 2009 2009) 2010 1 1( = 2/ 2 x + 2 x+3 = 144 => 2 x (1+2 3 ) = 144=> 2 x = 16 2 x = 2 2 => x = 4 b) 120102009 =+ xx => 120102009 =+ xx Ta lại có 12010200920102009 =++ xxxx 120102009 =+ xx (x - 2009).(2010 - x) 0 2009 x 2010 Vậy 120102009 =+ xx 2009 x 2010 3/ a) Vì d c b a = nên d b c a d b d b c a c a d b c a ===>= Hay cd ab d c b a == 2 2 2 2 Ta lại có 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 811 811 37 37 3 3 8 8 11 11 7 7 dc ba cdc aba cd ab d b c a c a q = + + ==== Hay 22 2 2 2 811 37 811 37 dc cdc bca aba + = + b) Gọi các phan số cần tiìm là f e d c b a ;; theo bài ra ta có: a : c : e = 3 : 5 : 7; b : d: f =2 : 3 : 4 Đặt ; 753 k eca === p fdb === 432 Ta có a= 3k; c = 5k; e =7k; b = 2p; d =3p; f = 4p Ta lại có 8 35 ; 6 25 ; 4 15 2 5 . 2 3 2 5 24 295 12 59 24 7 12 =====> ==>==>=++ f e d c b a p k p k f e d c b a Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng 24 7 12 4/ Ta có 2 m - 2 n > 0 => 2 m > 2 n => m > n Nên (1) 2 n (2 m-n 1) = 2 8 Vì m-n > 0 => 2 m-n 1 lẽ => 2 m-n -1 =1 => 2 m-n = 2 1 => m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 9 5/ a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD b) Từ ADC = ABE => ADC = ABE Gọi K là giao điểm của AB và CD. Xét hai tam giác AKD và IKB có AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên) Vậy KAD = KIB = 60 0 => BIC = 120 0 c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB đều nên IB = BJ (1) Xét tám giác IAB và tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt) B 1 = B 2 ( B 1 + B 3 = B 2 + B 3 = 60 0 ) Vậy tam giác IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2) Từ (1) và (2) => IA + IB = ID d) J nằm giữa I và D, IAB = JBD => AIB + DJB = 120 0 D K J C I E A B 1 3 2 . ⇔         ⇔ b) (2 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x. : aa nn . 37. 3111 2 ) 1( == + Hay n(n+1) =2.3. 37. a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1< ;74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n= 37 hoặc n+1 = 37 Nếu n= 37 thì n+1 = 38 lúc đó 70 3 2 ) 1( = +nn . ( đ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5 ) Từ (3 ), (4 ) và (5 ) => ∆ AFE = ∆ CAB =>AE = BC a) (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12