Theo nguyên lý này, nếu trường chuyển vị
(1)PHƯƠNG PHÁP SỐ
(Computer Methods) Chương 1: Các khái niệm bản
TS Lê Hữu Thanh
1
Đánh giá kết học tập (1) Điểm q trình: 20%, gồm
•Bài kiểm tra 01-02
•Điểm tham dự mơn học (điểm danh) (2) Điểm thi: 80%
•Hình thức thi: tự luận
(2)• Nguyễn Quốc Bảo Trần Nhất Dũng, Phương pháp phần tử hữu hạn - Lý thuyết lập trình, Tập 1, Hà Nội: Nhà XB Khoa học và Kỹ thuật, 2000
• Nguyễn Quốc Bảo Trần Nhất Dũng, Phương pháp phần tử hữu hạn - Lý thuyết lập trình, Tập 2, Hà Nội: Nhà XB Khoa học và Kỹ thuật, 2000
• Trịnh Tự Lực, Bài giảng "Phương pháp số", Khoa Xây dựng, ĐH Kiến trúc Hà Nội
• Nguyễn Hồi Sơn, Lê Thanh Phong Mai Đức Đài, Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính tốn kết cấu, Hồ Chí Minh: Nhà XB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2003.
3
Chương 1: Các khái niệm 1.1 Khái niệm PP số phân tích tính tốn kết cấu cơng trình
• Là PP dựa vào máy tính điện tử để giải tốn học kết cấu Theo nghiệm toán xác định dựa vào hữu hạn điểm lân cận hay nói cách khác nghiệm mơ tả tập hợp số (nghiệm rời rạc)
4
• Phương pháp số cịn gọi phương pháp
(3)Các phương pháp số:
• Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH)
• Phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH)
• Phương pháp Phần tử biên
• Phương pháp ma trận
5
Trong đó:
PP sai phân hữu hạn thuộc nhóm phương pháp rời rạc hóa tốn học PP PTHH thuộc nhóm rời rạc hóa vật lý
Chương 1: Các khái niệm
So sánh kết tính tốn PP số phương pháp giải tích:
6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0 5 10 15 20 25
So sánh kết PPSP PP tích phân
𝑞𝐿2
12 = 0.0833𝑞𝐿
2
0.125𝑞𝐿2
0.0836𝑞𝐿2
𝑆ố 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ử 𝑁𝑔ℎ𝑖ệ𝑚
(4)1.2 Các khái niệm giả thiết bản
• Vật liệu đàn hồi tuyến tính tuyến tính tuyệt đối
• Vật thể có biến dạng nhỏ khơng đáng kể so với kích thước vật thể
• Các mối liên hệ: Ứng suất – Biến dạng, Chuyển vị - biến dạng ứng suất tải trọng biểu diễn dạng sau:
𝐹 = 𝑘𝑥
7
Ứng suất điểm (Cauchy): Xét phân tố lập
phương, Theo Cauchy thành phần ứng suất tác dụng mặt bên phân tố gồm có :
8
z, 𝑒3
x, 𝑒1
y, 𝑒2
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
Ứng suất pháp
𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 Ứng suất tiếp
𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧, 𝜏𝑦𝑥, 𝜏𝑦𝑧, 𝜏𝑧𝑥, 𝜏𝑧𝑦
Hình 1.2 Ứng suất điểm
(5)Trạng thái biến dạng điểm: biểu diễn Ten-xơ biến dạng sau:
𝑇𝜀 = 𝜀𝑖𝑗 =
𝜀𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑦𝑧 𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧
Trong đó:
𝜀𝑥𝑦 = 𝜀𝑦𝑥 =
1
2𝛾𝑥𝑦, 𝜀𝑦𝑧 = 𝜀𝑧𝑦 = 2𝛾𝑦𝑧 𝜀𝑥𝑧 = 𝜀𝑧𝑥 =
1 2𝛾𝑥𝑧
9 Chương 1: Các khái niệm
Phương trình liên hệ Biến dạng – Chuyển vị: Biến dạng tỉ đối (dài):
𝜀𝑥 = 𝜕𝑢
𝜕𝑥; 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣
𝜕𝑦; 𝜀𝑧 = 𝜕𝑤
𝜕𝑧
Biến dạng trượt:
𝛾𝑥𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑥; 𝛾𝑦𝑧 = 𝜕𝑣 𝜕𝑧 +
𝜕𝑤 𝜕𝑦 ; 𝛾𝑥𝑧 = 𝜕𝑢
𝜕𝑧 + 𝜕𝑤
𝜕𝑥
(6)Phương trình Biến dạng - Ứng suất (Định luật Hooke) 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥 = 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 2𝜀𝑥𝑦 2𝜀𝑦𝑧 2𝜀𝑧𝑥 =1 𝐸 − − 0 − − 0 − − 0 0 0 +
0 0 0 +
0 0 0 +
𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 11 Phương trình Ứng suất - Biến dạng
𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 = 𝐸
1 + − 2 −
0 −
0 −
0 0 0 − 2/2
0 0 0 − 2/2
0 0 0 − 2/2
𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥
Phương trình cân tĩnh học:
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥 +
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦 +
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧 + 𝑋𝜌 =
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥 +
𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦 +
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧 + 𝑌𝜌 =
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥 +
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦 +
𝜕𝜎𝑧
𝜕𝑧 + 𝑍𝜌 =
(7)Điều kiện biên lực: Các ẩn số (ứng suất, biến dạng chuyển vị phương trình cần phải thỏa mãn điều kiện biên lực:
𝑝𝑥 = 𝜎𝑥𝑙 + 𝜏𝑦𝑥m + 𝜏𝑧𝑥𝑛 𝑝𝑦 = 𝜏𝑥𝑦𝑙 + 𝜎𝑦m + 𝜏𝑧𝑦𝑛 𝑝𝑧 = 𝜏𝑥𝑧𝑙 + 𝜏𝑦𝑧m + 𝜎𝑧𝑛
13 Chương 1: Các khái niệm
Điều kiện liên tục biến dạng: Xét biến dạng phân tố cạnh vật thể đàn hồi hình vẽ sau:
14
1
3
1
3
1
3
Hình 1.3 Biến dạng phân tố liên tiếp (a) Phân tố vật thể đàn hồi, (b) Phân tố
cạnh chưa biến dạng, (c) Các phân tố biến dạng thỏa mãn điều kiện liên tục (d) Biến dạng không thỏa mãn điều kiện liên tục
(a) (b) (c) (d)
(8)Phương trình liên tục biến dạng (Saint-Venant):
𝜕2𝜀𝑥
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝜀𝑦
𝜕𝑥2 =
𝜕2𝜀𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2𝜀𝑦
𝜕𝑧2 +
𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑦2 =
𝜕2𝜀𝑦𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝜀𝑥
𝜕𝑧2 =
𝜕2𝜀𝑧𝑥
𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜀𝑧𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕𝜀𝑥𝑦 𝜕𝑧 − 𝜕𝜀𝑦𝑧
𝜕𝑥 = 𝜕2𝜀𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜀𝑥𝑦 𝜕𝑧 + 𝜕𝜀𝑦𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕𝜀𝑧𝑥
𝜕𝑦 = 𝜕2𝜀
𝑦 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝜀𝑦𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝜀𝑧𝑥 𝜕𝑦 − 𝜕𝜀𝑥𝑦
𝜕𝑧 = 𝜕2𝜀
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
15
Nguyên lý dừng toàn phần: Xét vật thể đàn hồi sau:
16
Trạng thái ban đầu
Biến dạng (ứng suất)
Trạng thái ban đầu
Ngoại lực tác dụng
Công học
Thôi tác dụng ngoại lực
Thế biến dạng
Thế biến dạng Công học
(9)Thế toàn phần hệ xác định theo công thức:
Π = 𝑈 − 𝑊
Trong đó:
U: Thế biến dạng đàn hồi:
𝑈 =
2
𝑉
𝜀 𝑇 𝜎 𝑑𝑉
W: Công ngoại lực
W =1
2
𝑉
𝑢 𝑇 𝑓 𝑑𝑉
17 Chương 1: Các khái niệm
Khi vật thể cân tồn phần Π hệ đạt giá trị dừng Giả sử, đại lượng biểu diễn theo trường chuyển vị 𝑢 , ta có:
𝛿Π 𝑢 = 𝛿𝑈 𝑢 − 𝛿𝑊 𝑢
Theo nguyên lý này, trường chuyển vị 𝑢 thỏa mãn điều kiện biên làm toàn phần đạt giá trị dừng trường chuyển vị thực làm thỏa mãn phương trình cân
(10)Hết Chương 1
Xin cám ơn