Giáo trình phương pháp số

Giáo trình phương pháp số

NGUYỄN CHÍ TRUNG NGUYỄN TÂN ÂN NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀ NỘI - 2010 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems MỤC LỤC MỞ ĐẦU 5 Chương 1 TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 8 1. Số gần đúng và sai số của nó 8 1.1. Số gần đúng và sai số 8 1.2. Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin 9 1.3. Cách viết số gần đúng 10 1.4. Sai số làm tròn 10 2. Sự lan truyền sai số 11 2.1. Mở đầu 11 2.2. Sai số của tổng 11 2.3. Sai số của tích 12 2.4. Sai số của thương 13 2.5. Sai số của hàm bất kỳ 14 3. Các loại sai số 14 3.1. Các loại sai số mắc phải khi giải một bài toán thực tế 14 3.2. Các loại đánh giá sai số phương pháp 15 BÀI TẬP 15 Chương 2. TÍNH GIÁ TRỊ VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ 16 1. Tính giá trị hàm số 16 1.1. Thuật toán Hoocner tính giá trị đa thức 16 1.2. Tính hàm nhờ chuỗi lũy thừa 17 2. Bài toán nội suy hàm số 18 2.1. Đa thức nội suy Lagrange trên mốc không đều 18 2.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều 22 2.3. Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều 23 2.4. Đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều 27 2.5. Nội suy tổng quát (nội suy Hermit) 29 3. Xấp xỉ bình phương cực tiểu 30 3.1. Phương pháp chung 30 3.2. Một số dạng hàm cụ thể. 30 BÀI TẬP 33 CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 34 1. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm 34 2. Phương pháp chia đôi 35 2.1. Mô tả phương pháp 35 2.2. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp chia đôi 36 3. Phương pháp lặp đơn 37 3.1. Mô tả phương pháp 37 3.2. Cách chọn ϕ(x) thỏa điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn 39 2 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems 3.3. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp lặp đơn 40 4. Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 40 4.1. Mô tả phương pháp 40 4.2. Sự hội tụ của phương pháp 41 4.3. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Newton 42 5. Phương pháp cát tuyến 43 5.1. Mô tả phương pháp 43 5.2. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Cát tuyến 43 6. Phương pháp dây cung 44 6.1. Mô tả phương pháp 44 6.2. Sự hội tụ của phương pháp 44 BÀI TẬP 44 Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 46 1. Đại số ma trận 46 1.1. Vectơ cột và vectơ hàng 46 1.2. Ma trận 47 2. Hệ phương trình đại số tuyến tính 50 2.1. Giới thiệu 50 2.2. Giới thiệu phương pháp Cramer 51 2.3. Phương pháp khử Gauss 52 2.4. Phương pháp Gauss-Seidel 55 2.5. Phương pháp giảm dư 59 2.6. Vấn đề ổn định của nghiệm của hệ phương trình 62 3. Tính gần đúng giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận 63 3.1. Giới thiệu 63 3.2. Ma trận đồng dạng 64 3.3. Tìm giá trị riêng bằng phương pháp Đa-nhi-lép-ski 64 3.4. Tìm vectơ riêng bằng phương pháp Đan-nhi-lep-ski 67 BÀI TẬP 69 Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 71 1. Tính gần đúng đạo hàm 71 1.1. Đạo hàm cấp 1 71 1.2. Đạo hàm cấp hai 71 2. Tính gần đúng tích phân 72 2.1. Giới thiệu bài toán 72 2.2. Công thức hình chữ nhật trung tâm 72 2.3. Công thức hình thang 74 2.4. Công thức Simpson (hay công thức Parabol) 76 2.5. Các thuật toán “hcn, ht, sim” tính gần đúng tích phân xác định 78 Chương 6 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 79 1. Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát 79 1.1. Ví dụ mở đầu 79 1.2. Mô hình bài toán tối ưu tổng quát 79 3 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems 1.3. Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc 80 2. Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT 81 2.1. Tập lồi và đa diện lồi 81 2.2. Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT 83 3. Thuật toán đơn hình giải bài toán QHTT 84 3.1. Đường lối chung của thuật toán 84 3.2. Các định lý cơ bản của thuật toán đơn hình 85 3.4. Thuật toán đơn hình 89 4. Tìm phương án cực biên ban đầu 94 4.1. Nhận xét 94 4.2. Định nghĩa ràng buộc chuẩn 95 4.3. Phương pháp phạt hay phương pháp bài toán M 96 BÀI TẬP 100 4 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu môn học Phương pháp tính Có các tên gọi sau: Phương pháp tính (Computional methods), phương pháp số (Numerical methods), Giải tích số (Numerical analysis), rộng hơn nữa là Toán học tính toán (Computional mathematics, Numerical mathematics) (theo Bách khoa toàn thư về khoa học và kỹ thuật, NXB Mc. Graw Hill 1992). Là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, mà chủ yếu giải bằng số (gọi là giải số) các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu hóa. Một cách ngắn gọn là giải các bài toán bằng số trên máy tính. 2. Phân biệt toán tính và toán lí thuy ết Toán lí thuyết quan tâm đến các vấn đề định tính của bài toán: tồn tại, duy nhất, tính chất nghiệm của các bài toán. Toán tính quan tâm đến xây dựng phương pháp, thuật toán để để tìm nghiệm bài toán trên máy tính. Thuật toán được xây dựng phải thỏa mãn yêu cầu về tính khả thi và tính ổn định. Một thuật toán là khả thi nếu nó thực hiện được trên máy tính. Một thuật toán gọi là ổn định nếu sai số tính toán (do máy tính làm tròn số) không b ị khuếch đại trong quá trình tính. Ví dụ 1 (tính ổn định). Giả sử cần tính tích phân )1( 1 1 0 ≥= − ∫ ndxexI xn n . Tích phân từng phần: đặt u=x n thì du = nx n-1 dx; đặt dv=e x-1 dx thì v = e x-1 ta được .1 1 1 1 0 11 0 1 − −−− −=−= ∫ n xnxn n nIdxexnexI Ngoài ra ta có .3679.0 1 )1( 1 0 11 1 0 1 ≈=−== −− ∫ e xedxexI xx Như vậy, để tính ta thu được công thức truy hồi tính được In về mặt lý thuyết: n I .3679.0 ,2,1 1 1 = ≥−= − I nnII nn Về mặt thực tế tính trên máy tính không cho kết quả mong muốn khi n lớn. Cụ thể là tính trên máy tính với n=25 ta được bảng kết quả sau (liệt kê theo từng hàng) 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1124 0.1009 0.0916 0.0839 5 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems 0.0774 0.0718 0.0669 0.0627 0.0590 0.0555 0.0572 -0.0295 1.5596 -30.1924 635.0403 -13969.8864 321308.3881 -7711400.3133 192785008.8325 Kết quả giảm dần từ 0.3679 (khi n=1) đến 0.0555 (khi n=16) Kết quả sau đó kết quả thay đổi thất thường và giá trị tuyệt đối tăng rất nhanh. Điều này hoàn toàn không phù hợp với lý thuyết vì theo lý thuyết thì khi 0→ n I ∞ →n do đó . 1 1 0 1 0 + =≤≤ ∫ n dxxI n n Hiện tượng kết quả tính toán nêu trên là sự không ổn định của thuật toán: sai số ban đầu khi tính n I 3679.0 1 1 ≈= e I đã bị khuyếch đại trong quá trình tính. Nguyên nhân: thay vì e I 1 1 = ta thu được , trong đó δ += 11 ~ II δ là sai số. Giả sử các tính toán tiếp theo không mắc phải sai số. Với n = 2 ta được .22)21()(21 ~ 21 ~ 21112 δδδ −=−−=+−=−= IIIII Thu được 2 ~ I với sai số δ 2| ~ | 22 =− II . Tương tự, ở bước thứ n thay cho giá trị đúng ta thu được giá trị gần đúng n I n I ~ với sai số δ !| ~ | nII nn =− . Do đó, dù δ có bé thì khi n đủ lớn, sai số vẫn đủ lớn và ta không thể nhận được giá trị chấp nhận được là gần đúng cho . n I Ví dụ 2 (tính khả thi). Cho hệ phương trình đại số tuyến tính bAx = , (1) trong đó A là ma trận vuông cấp n với định thức khác 0. Về lý thuyết có thể giải hệ trên bằng công thức Cramer ∆ ∆ = i i x , (i =1, , n), (2) trong đó , còn nhận được từ Adet=∆ i ∆ ∆ do việc thay cột thứ i bởi cột tự do b. Nhưng việc tính toán ra nghiệm bằng số cụ thể lại là một việc không đơn giản. Theo công thức (2) cần phải tính n +1 định thức cấp n. Mỗi định thức là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n thừa số. Do vậy, để tính mỗi số hạng cần thực hiện n – 1 phép nhân. Như vậy, tất cả số phép tính nhân cần thực hiện trong (2) là Q = n!(n+1)(n-1). Giả sử n = 20. Khi đó . Nếu tốc độ của máy tính là 100 triệu phép tính/giây thì thời gian để thực hiện khối lượng tính toán trên là giờ = năm. Một thời gian lớn vô cùng! Và như vậy, thuật toán nêu trên là hoàn toàn không khả thi dù máy tính có tăng tốc độ lên gấp hàng nghìn, hàng vạn lần. 20 10*7073.9≈Q 9 10*2.6965 5 10*0782.3 6 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems Ở trên ta mới chỉ xét việc giải một hệ cỡ 20, mà thực tế khoa học và công nghệ đòi hỏi phải giải các hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ hàng vạn, hàng triệu hoặc hơn thế nữa. Vì thế, cần phải nghiên cứu đề xuất các phương pháp hiệu quả để có thể giải được các hệ thống phương trình cỡ lớn. Đó là một trong các nhiệ m vụ của ngành Phương pháp tính. Chương 1 gồm các nội dung sau: Các khái niệm cơ bản: số xấp xỉ (hay số gần đúng), sai số tuyệt đối và sai số tương đối, chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin, cách viết số gần đúng, sai số quy tròn và quy tắc làm tròn để số còn lại gồm các số đáng tin; Sự lan truyền sai số đầu vào dẫn đến sai số đầu ra x Æ f(x), từ đó tính được sai số của tổng, hiệu, tích, thương. Các loại sai số: giới thiệu các nguyên nhân dẫn đến sai số: sai số khi xây dựng mô hình hóa các đối tượng, sai số về phương pháp thực hiện, sai số do tính toán. Và, cách đánh giá tiên nghiệm, hậu nghiệm đối với sai số. 7 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems Chương 1 TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1. Số gần đúng và sai số của nó 1.1. Số gần đúng và sai số Định nghĩa 1.1 Số a được gọi là số gần đúng hay số xấp xỉ của số đúng A (tức giá trị đúng của đại lượng cần quan tâm) và ký hiệu là Aa ≈ , nếu sai khác không đáng kể. Nếu a A Aa < thì được gọi là xấp xỉ thiếu, còn nếu thì được gọi là xấp xỉ thừa của a Aa > a A . Thí dụ: Đối với số 2A = thì 1 1, 41a = là xấp xỉ thiếu, còn 2 1, 42a = là xấp xỉ thừa vì 2 1,4142135623 = ; đối với số 3,1415926535 π = thì 3,14 là xấp xỉ thiếu, còn 3,15 là xấp xỉ thừa. Định nghĩa 1-1.1 Số || A a ∆ =− được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a . Thông thường số đúng không biết nên ta cũng không biết chính xác sai số tuyệt đối của số gần đúng , mà chỉ có thể đánh giá nó. Vì thế ta có thể xem đánh giá tốt nhất của ∆ là sai số tuyệt đối giới hạn của , đó là số bé nhất có thể biết được, thỏa mãn điều kiện A a a a ∆ a A ∆≤− α (1-1.1) Từ bất đẳng thức trên suy ra aa aAa ∆ + ≤≤∆− . (2-1.1) Để đơn giản người ta thường viết a Aa = ±∆ để ám chỉ rằng a ∆ là sai số tuyệt đối giới hạn c a ủ a . Ví dụ 1-1.1. Nếu coi 14,3=a là xấp xỉ của π thì sai số tuyệt đối là 0,002 a ∆ ≤ . Sai số tuyệt đối không phản ánh đầy đủ mức độ chính xác của phép đo hoặc tính toán. Chẳng hạn, đo chiều dài của hai thanh sắt bằng cùng một thước đo ta nhận được các kết quả sau: 1 ±= nhưng rõ ràng là phép đo thứ Định nghĩa 2-1.1. Sai số tương đối của số gần đúng , ký hiệu bở cmcml 2 ±= Tuy sai số tuyệt đối của hai phép đo trên là như nhau (= 0,1 cm) cmcml 1,05,7 1,06,115 nhất chính xác hơn. Để thể hiện điều đó ta đưa vào khái niệm sau. a i δ , là A aA A − = ∆ = δ (3-1.1) ết nhận sai số tương đối của số gần đúng là số với giả thi là 0A ≠ . Tuy nhiên, do số A và ∆ không biết nên trong thực hành ta sẽ chấp a a δ d đây, gọi là sai số tương đối giới hạn của a ưới 8 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems a a a ∆ = δ (4-1.1) Người ta thường tính sai số tương đối bằng phần trăm. Vì thế %100 || × ∆ = a a a δ . Trở lại phép đo chiều dài của các thanh sắt ta thấy rằng sai số tương đối của là 1 l 1 0,1 100% 0,09% 115,6 δ =×= , của là 2 l 2 0,1 100% 1,33% 7,5 δ =× = . Rõ ràng là 1 δ nhỏ hơn rất nhiều so với 2 δ và phép đo thứ nhất chính xác hơn nhiều so với phép đo thứ hai. 1.2. Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số. Chẳng hạn số 20,15 có 4 chữ số; số 3,1412 có 5 chữ số. Định nghĩa 1-1.2. Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải. Ví dụ 1-1.2. Trong các số sau, những chữ số được gạch dưới là những chữ số có nghĩa: 12,57; 20,15 ; 0,03047 ; 0,304500 . Giả sử là số gần đúng của và có biểu diễn a A a nmm −−−− ± ααααααα , 2101` tức là ∑ ±= ++++++++±= − − − − − − s s s n n m m m m a 10. )10 10.10.10 10.10.( 1 1 0 01 1 1 α αααααα (1-1.2) trong đó s α là những số nguyên từ 0 đến 9, gọi là chữ số hàng thứ s của số a. Định nghĩa 2-1.2. Gọi là sai số tuyệt đối của số , chữ số hàng thứ s của số a được gọi là chữ số đáng tin (hay chữ số đúng) nếu sai số tuyệt đối của số a không vượt quá một nửa đơn vị của hàng thứ s (tức là a ∆ a s a 10. 2 1 ≤∆ ), và gọi là chữ số nghi ngờ nếu sai số tuyệt đối của số a không vượt quá một nửa đơn của hàng thứ s (tức là s a 10. 2 1 >∆ ), trong đó là sai số tuyệt đối của số a. a ∆ Từ định nghĩa trên suy ra rằng nếu α s là chữ số đáng tin thì mọi chữ số có nghĩa bên trái nó đều là đáng tin, và nếu α s là đáng ngờ thì mọi chữ số bên phải nó đều là đáng ngờ. Việc đánh giá các chữ số đáng tin và đáng ngờ của một số gấn đúng a không phụ thuộc vào bản thân các chữ số đó mà phụ thuộc vào sai số tuyệt đối của a và vị trí của chúng. 9 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems Ví dụ 2-1.2. Số gần đúng a = 3.7284 với a ∆ = 0.0047 có 3 chữ số đáng tin là 3, 7 và 2, còn các chữ số 8 và 4 là đáng ngờ. 1.3. Cách viết số gần đúng Có hai cách viết số gần đúng. Cách 1: Viết kèm theo sai số a a ∆± Cách này thường dùng để viết các kết quả đo đạc, thực nghiệm, trong đó là sai số của thiết bị đo. a ∆ Ví dụ 1-1.3. 150 cm ± 0.1 cm; 65 kg ± 0.1 kg Cách 2: Viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin, có nghĩa là sai số tuyệt đối a ∆ không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng. Ví dụ 2-1.3. Theo cách này ta viết a = 23.54 nếu 2 1 10 0.005 2 a − ∆≤ × = . 1.4. Sai số làm tròn Khi thực hiện các tính toán nếu số có quá nhiều chữ số trong biểu diễn thập phân, chẳng hạn =3.14151926535, thì để cho thuận tiện người ta thu gọn số này bằng cách bỏ bớt một số chữ số cuối để được một số a a 'a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với . Việc làm này được gọi là quy tròn hoặc làm tròn số. Số a ' | a aa'| θ =− được gọi là sai số làm tròn. Dưới đây là quy tắc làm tròn số nhằm bảo đảm cho sai số làm tròn không vượt quá nửa đơn vị của chữ số cuối cùng được giữ lại: • Nếu bỏ đi nhiều chữ số khác 0 và chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. • Nếu chỉ bỏ đi một chữ số 5 thì chữ số được giữ lại cuối cùng nếu là chữ số lẻ thì tăng thêm 1, còn nếu là chẵn thì giữ nguyên. Ví dụ 1-1.4. Đối với số =3.14151926535 ta làm tròn thành 3.141519, 3.14152, 3.1415, 3.142, 3.14 nếu cần giữ lại 6, 5, 4, 3 hoặc 2 chữ số sau dấu chấm thập phân. Sai số làm tròn tương ứng không vượt quá a 1 2 ×10 -6 , 1 2 ×10 -5 , 1 2 × 10 -4 , 1 2 × 10 -3 và 1 2 × 10 -2 . Ví dụ 2-1.4. Số 12.25 ta làm tròn thành 12.2 với sai số là 0.05 = 1 2 × 10 -1 . Bây giờ giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối là a ∆ . Giả sử ta làm tròn a thành a' với sai số làm tròn là 'a θ , tức là | a' - a| ≤ 'a θ . Kho đó sai số tuyệt đối của số a’ là =| A-a’| = | A-a +a-a’| ≤ | A -a| + | a - a’| ≤ 'a ∆ a ∆ + 'a θ Như vậy việc quy tròn thường làm tăng sai số tuyệt đối. Điều này dẫn đến kết cục là sau khi làm tròn một số chữ số đáng tin trở nên đáng ngờ. 10 [...]... nghiên cứu Sai số mắc phải trong quá trình này gọi là sai số mô hình Khi đã có mô hình toán học, thường là các phương trình vi phân, tích phân hoặc phương trình đại số, người ta phải giải nó Nói chung người ta không nhận được lời giải đúng của một bài toán mà chỉ có thể nhận được lời giải gần đúng bằng một phương pháp nào đấy, thí dụ phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến, phương pháp hình thang... nghiệm của phương trình f(x) = 0 Một phương trình có thể có nhiều nghiệm số (thực) Trước khi đi tìm xấp xỉ các nghiệm này ta cần phải phân ly chúng, nghĩa là tìm các khoảng sao cho mỗi khoảng chỉ chứa một nghiệm Phân ly nghiệm của phương trình có thể thực hiện bằng hai phương pháp: phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị Phương pháp giải tích dựa trên việc khảo sát sự biến thiên của hàm số và định... đúng của một bài toán khác 3.2 Các loại đánh giá sai số phương pháp Sai số của một phương pháp số có thể được đánh giá tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm Đánh giá sai số tiên nghiệm là đánh giá sai số nhận được trước khi thực hiện tính toán Thí dụ, để giải một phương trình phi tuyến bằng một phương pháp lặp đơn (xem Chương 3) ta có thể đánh giá được sai số của nghiệm gần đúng nhận được sau n lần lặp theo công... phương pháp hình thang tính tích phân, Sai số mắc phải khi 14 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems phải giải một bài toán bằng phương pháp gần đúng được gọi là sai số phương pháp Đây là loại sai số mà chúng ta cần quan tâm khi nghiên cứu các phương pháp gần đúng (giải tích hoặc số trị) vì sai số này phản ánh chất lượng của phương pháp và thông qua nó có thể đánh giá được khối... tham số người ta sử dụng phương pháp dưới đây có tên gọi là phương pháp bình phương cực tiểu Giả sử dạng phụ thuộc hàm số giữa x và y là y = Q(x, a0, a1, , am), (1-3.1) trong đó a0, a1, , am là các tham số cần tìm Các tham số này được chọn sao cho tổng bình phương các độ lệch của hàm Q tại các điểm xi so với các giá trị thực nghiệm yi là bé nhất Nói cách các tham số cần được chọn sao cho tổng bình phương. .. = 999.847g ± 0.001g Hãy xác định sai số tương đối của phép đo trên 3 Cho số e = 2.718281828459045 Hãy quy tròn số e đến chữ số có nghĩa thứ 13, 12 và 11 và xác định sai số quy tròn tuyệt đối 4 Lấy a=2.718 thay cho số e Hãy xác định sai số tương đối 5 Hãy quy tròn các số dưới đây (xem là đúng) với ba chữ số có nghĩa đáng tin và xác định sai số tuyệt đối ∆ và sai số tương đối δ của chúng: a) 2.1514 b)... với một độ chính xác cho trước Sau khi đã có phương pháp hoặc thuật toán giải một bài toán cần phải thực hiện nó trên máy tính để có được lời giải số Trong quá trình tính toán bằng số này không thể tránh khỏi việc làm tròn số Sai số xảy ra trong công đoạn này được gọi là sai số tính toán Một loại sai số nữa có thể mắc phải khi giải một bài toán thực tế là sai số dữ liệu khi các dữ liệu đầu vào của bài... thu hẹp khoảng phân ly của nghiệm là phương pháp chia đôi được trình bầy dưới đây 0.5 1 1.5 pi/2 Hình 1-2.1 2 Phương pháp chia đôi 2.1 Mô tả phương pháp Giả sử (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm x* của phương trình f(x) Ta sẽ thu hẹp khoảng phân ly của x* bằng cách liên tiếp chia đôi khoảng phân ly mới tìm được cho đến khi độ rộng của khoảng phân ly nhỏ hơn sai số ε cho trước Bước 1 Đặt a0 = a, b0... − x j (2-2.1) j =0 (Tử số khuyết nhân tử (x - xi), mẫu số khuyết nhân tử (xi - xi)) Ta thấy Ln(x) thỏa mãn điều kiện nội suy Ln ( xi ) = f ( xi ), (i = 0, n) (3-2.1) Thật vậy, dễ thấy rằng ⎧1, i = j li ( x j ) =δ ij= ⎨ ⎩0, i ≠ j (4-2.1) Vì khi i = j, thay x ở tử số bởi xi thì tử số giống mẫu số Khi i ≠ j thì trên tử số có số hạng dạng (xj - xj) = 0 (lưu ý rằng tử số chỉ khuyết số hạng xj-xi) Thay (4-2.1)... 2-2.1 Xét phương trình f(x) = 2x - cos x = 0 (2) 34 NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems Ta có f’(x) = 2 + sin x > 0 và f(0) = - 1, f(1) = 2 - cos 1 > 0 Do đó (0, 1) là khoảng phân ly của nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Phương pháp đồ thị tìm khoảng phân ly của các nghiệm của phương trình f(x) = 0 dựa trên việc xác định các khoảng chứa các điểm cắt của đồ thị của hàm số y = . bằng phương pháp Cát tuyến 43 6. Phương pháp dây cung 44 6.1. Mô tả phương pháp 44 6.2. Sự hội tụ của phương pháp 44 BÀI TẬP 44 Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 46 1. Đại số. 47 2. Hệ phương trình đại số tuyến tính 50 2.1. Giới thiệu 50 2.2. Giới thiệu phương pháp Cramer 51 2.3. Phương pháp khử Gauss 52 2.4. Phương pháp Gauss-Seidel 55 2.5. Phương pháp giảm. 40 4.1. Mô tả phương pháp 40 4.2. Sự hội tụ của phương pháp 41 4.3. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Newton 42 5. Phương pháp cát tuyến 43 5.1. Mô tả phương pháp 43 5.2. Thuật