Cho f(x) là một hàm số xác định và liên tục trong miền D của trục số thực. Xét phương trình:
f(x) = 0 (1-1)
Ta gọi x* ∈ D là nghiệm của phương trình (1-1) nếu f(x*) = 0.
Định nghĩa 1-1 Nếu khoảng (a, b) chỉ chứa một nghiệm x* của phương trình (1-1) thì ta gọi khoảng (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm x*.
Định lý 1-1 Về sự tồn tại nghiệm
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn kín [a, b] và nhận giá trị trái dấu tại các điểm mút a và b, tức là f(a)f(b) < 0 . Khi đó trong khoảng (a, b) tồn tại ít nhất một điểm x* sao cho f(x*)=0.
Định lý 2-1. Về sự tồn tại duy nhất nghiệm
Nếu hàm f(x) liên tục và đơn điệu (tăng/giảm) trong khoảng [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng phân ly của một nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Một phương trình có thể có nhiều nghiệm số (thực). Trước khi đi tìm xấp xỉ các nghiệm này ta cần phải phân ly chúng, nghĩa là tìm các khoảng sao cho mỗi khoảng chỉ chứa một nghiệm. Phân ly nghiệm của phương trình có thể thực hiện bằng hai phương pháp: phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị.
Phương pháp giải tích dựa trên việc khảo sát sự biến thiên của hàm số và định lý 2-1.
Ví dụ 1-1. Xét phương trình 0 2 6 ) (x = x3 − x+ = f (1) Ta có f'(x) = 3x2 - 6, f'(x) = 0 Ù x = ± 2. Lập bảng biến thiên của hàm f(x) x -∞ − 2 2 +∞ f'(x) + 0 - 0 + f(x) -∞ M > 0 m < 0 +∞ Ta thấy f(-∞) < 0, M = f(− 2)>0,m= f( 2)<0 , f(∞) > 0 và f(x) tăng trong các khoảng (-∞, 2
− ), ( 2, +∞) và giảm trong khoảng (− 2, 2), do đó các khoảng trên là khoảng phân ly của 3 nghiệm của phương trình (1). Tiếp theo, ta có thể thu hẹp khoảng phân ly của các nghiệm thành (-3, -2), (0, 1) và (2, 3).
Ví dụ 2-2.1. Xét phương trình
Ta có f’(x) = 2 + sin x > 0 và f(0) = - 1, f(1) = 2 - cos 1 > 0. Do đó (0, 1) là khoảng phân ly của nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Phương pháp đồ thị tìm khoảng phân ly của các nghiệm của phương trình f(x) = 0 dựa trên việc xác định các khoảng chứa các điểm cắt của đồ thị của hàm số y = f(x) với trục hoành hoặc hoành độ của các điểm cắt nhau của hai đồ thị g(x), h(x) nếu phương trình g(x) = h(x) tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ 3-1. Lại xét phương trình (2). Đặt g(x) = x và h(x) = (1/2)cos x. Nhìn vào hình vẽ ta thấy khoảng phân ly của nghiệm duy nhất của phương trình (2) là (0, π/2).
Nếu khoảng phân ly (a, b) của một nghiệm x* của phuơng trình là khá nhỏ thì ta có thể coi điểm bất kỳ trong khoảng này là xấp xỉ của x*.
Một cách thông dụng để thu hẹp khoảng phân
ly của nghiệm là phương pháp chia đôi được trình bầy dưới đây.
0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 y=x y=1/2*cos(x) pi/2 Hình 1-2.1