Ca sai lam cua hoc sinh khi giai toan

Ở lứa tuổI THCS, tâm lý các em chưa ổn định, chưa thật sự suy nghí sâu sắc, thấu đáo việc làm của mình. Chính vì vậy, khi giải toán HS chỉ chú trọng đáp số, không chú trọng phương pháp g[r]

(1)

LỜI MỞ ĐẦU

Qua trình nghiên cứu hệ thống tập sách giáo khoa (SGK), tìm hiểu, giảng dạy ghi nhận cách giải học sinh (HS) THCS, phát rằng: giải tốn, HS THCS thường mắc khơng sai lầm Vấn đề ý, phát sửa chữa cho HS Hơn nữa, chưa có tài liệu nghiên cứu vấn đề này, mà có tài liệu nghiên cứu sai lầm giải toán HS THPT Vậy câu hỏi đặt là: Có phải vấn đề không đáng quan tâm? Chúng nghĩ rằng, không sớm khắc phục sai lầm HS THCS khó khăn cho HS sau Vì vậy, chúng tơi chọn thực tài liệu nhằm hướng đến việc tìm hiểu sai lầm thường gặp HS THCS giải tốn Chúng tơi mong muốn tài liệu trở thành tư liệu trước hết phục vụ cho giáo viên tham khảo Sau đó, giúp HS biết né tránh sai lầm thường gặp, biết cách khắc phục sai lầm

Nói rõ hơn, chúng tơi nghiên cứu tài liệu nhằm phát sai lầm thường gặp HS THCS giải tốn Trên sở tìm hiểu, phân tích ngun nhân mắc sai lầm, chúng tơi đề xuất biện pháp khắc phục có hiệu

Chúng nghiên cứu dựa theo SGK đổi 6, 7, tập trung nghiên cứu sai lầm liên quan đến việc: viết ký hiệu, vẽ hình, áp dụng cơng thức, tư logic

Tài liệu gồm phần sau:

- Thử lý giải sai lầm giải toán HS THCS - Các sai lầm thường gặp HS THCS giải tốn

Tài liệu hồn thành giúp đỡ tận tình q thầy trường THCS Lê Thánh Tôn đồng nghiệp Chúng xin biết ơn sâu sắc quan tâm, bảo quý thầy, cô Đồng thời xin cám ơn Ban giám hiệu, tổ KHTN, đặc biệt thầy Dương Trọng Thu - Hiệu trưởng trường THCS Lê Thánh Tơn tạo điều kiện để chúng tơi có hội thực tài liệu Dù cố gắng chắn tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy đóng góp ý kiến Chân thành cám ơn

(2)

CHƯƠNG 1: THỬ LÝ GIẢI MỘT SỐ SAI LẦM TRONG GIẢI

TOÁN CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ.

Ở lứa tuổI THCS, tâm lý em chưa ổn định, chưa thật suy nghí sâu sắc, thấu đáo việc làm Chính vậy, giải tốn HS trọng đáp số, không trọng phương pháp giải Vì thế, HS thường mắc sai lầm giải tốn Hơn nữa, lứa tuổi này, HS thường muốn chứng tỏ khả mình, điều kích thích khả sáng tạo HS Tuy nhiên, HS lại chưa đủ sở kiến thức để khẳng định sai, dẫn đến dễ ngộ nhận

Trong trình dạy học, HS chủ động tiếp thu tri thức hướng dẫn người dạy để hình thành kỹ năng, kỹ xảo Nếu từ giai đoạn tiếp thu, HS có nhầm lẫn dễ dàng dẫn đến việc áp dụng sai kiến thứ Mặt khác, tư HS từ: tư quan sát- tư tương tự- tư sáng tạo Nếu giai đoạn tư quan sát, HS không hiểu chất tri thức áp dụng tương tự, HS thường máy móc, thụ động dẫn đến sai lầm

(3)

CHƯƠNG 2: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC

SINH THCS KHI GIẢI TOÁN

2.1 SAI LẦM Ở SỐ HỌC LỚP 6

2.1.1 Sai lầm cách viết ký hiệu tập hợp số tự nhiên Bài toán 1:Cho:

a)A={1,2,3,4,5} b)B={a,b,c} c) C={1;a}

Trong trường hợp trên, cách viết tập hợp.Tại sao?

 Cách giải sai HS HS:

Trường hợp a) sai phần tử số cách dấu phẩy Trường hợp c) sai phần tử không loại



? Nguyên nhân sai lầm:

Trường hợp a) HS hiểu sai tập hợp gồm số, thiết phần tử phải ngăn cách dấu chấm phẩy

Trường hợp c) HS hiểu sai phần tử tập hợp phải loại

! Khắc phục:

Khái niệm tập hợp khái niệm không định nghĩa.Vì vậy, người dạy khơng thể đặt câu hỏi “Tập hợp gì?” mà mơ tả cho học sinh hiểu qua ví dụ Do đó, cho ví dụ để minh hoạ, người dạy cần cho nhiều ví dụ đa dạng, thay đổi yếu tố không chất như: thay đổi số phần tử tập hợp, phần tử tập hợp không loại

Khi viết tập hợp HS hiểu nhầm phần tử số phải dùng dấu chấm phẩy, phần tử tập hợp số dùng dấu phẩy Điều khơng với ý trình bày SGK: “Các phần tử tập hợp viết dấu ngoặc nhọn {}, cách dấu chấm phẩy (nếu có phần tử số) dấu phẩy” Tuy nhiên, người dạy ý cho HS hiểu ta thường dùng dấu “;” trường hợp có phần tử tập hợp số để tránh nhầm lẫn số tự nhiên số thập phân

Bài toán 2: Cho tập hợp A= {15;24;6} Điền ký hiệu ,  = vào ô

vuông cho : {15} A

Cách giải sai HS HS {15} A Cách giải {15} A

?Nguyên nhân sai lầm: HS không phân biệt cách dùng ký hiệu   nên

dẫn đến dùng ký hiệu sai

! Khắc phục: NgườI dạy rõ cho HS, ký hiệu  dùng phần tử thuộc

(4)

2.1.2 Sai lầm tính tốn với tốn luỹ thừa Bài toán 3: Viết kết toán sau dạng luỹ thừa a) 52

* 57 b)x6: x3

Cách giải sai HS:a) 52*57=52*7=514 b) x6: x3=x6:3=x2

Cách giải đúng: a)52*57=52+7=59 b) x6: x3=x6-3=x3

?Nguyên nhân sai lầm: HS nhầm lẫn am

*an=am*n (a



am:an=a m:n (a



Bài tốn 4

Cách giải sai HS:

a)13+23 khơng phải số phương Vì 13+23=33

b)32+52=(3+5)2=82 Nên 32+52 số phương

Cách giải đúng:

a)13+23=1+8=9=32 Vậy tổng cho số phương.

b) 32+52= 9+25=34 Vậy tổng cho khơng phải số phương.

? Nguyên nhân sai lầm: HS nhầm lẫn : am+am=(a+b)m

! Khắc phục: Kiến thức luỹ thừa số tự nhiên kiến thức HS lớp HS thường nhầm lẫn sử dụng kiến thức

Ở toán HS sai lầm suy nghĩ rằng:

Với an= a.a a (n thừa số a)(n>0) am=a.a a(m thừa số)(m>0) thì

am.an=a.a a (m.n thừa số)=a m.n

Do vậy, dạy kiến thức này, trước đưa quy tắc nhân hai luỹ thừa số dạng tổng quát cần đưa ví dụ cụ thể, sau nâng lên tổng quát:

Ví dụ:23

*22=(2*2*2)*(2*2)=25=23+2

Ở tốn 4: HS sai lầm nghĩ đặt nhân tử chung: am+bm=(a+b)m

Vấn đề lại đề cập đến kiến thức luỹ thừa tích lớp sau Chính vậy, người dạy khơng cần giải thích sâu cho HS lớp 6, dừng lại mức phát hiện, nhắc nhở sửa chữa

2.1.3 Sai lầm vận dụng kiến thức tính chất phân số, rút gọn phân số.

Bài tốn 5 : Tính

a 23 + 27 b 34 – 33

 Cách giải sai HS:

a 23 + 27 = 23 + 7= 210

b 34 – 33 = 34 - 3 = 31 =



a 23 + 27 = 23(1 + 24) = (1 + 16) = 8.17 = 136

b 34 – 33 = 33 (3 – 1) = 27.2 = 54

? Nguyên nhân :

Nhầm lẫn:am + n với am + an am-n với am – an nên hiểu sai am.an=am+n

(5)

Bài toán 6: Rút gọn phân số sau: a)1010 105

 

b) 49497.49

a) 1010 105 105 21 



b) 7.49 343

49 49 49

 



 Cách giải đúng:

a)1010 105 152043 



b)

49 ) ( 49 49

49 49

   

HS thường rút gọn số hạng giống tử mẫu thừa số chung, thường em để ý đến phép tốn kèm với hạng tử

Bài tốn 7: Tìm phân số phân số 60 32

, biết tổng tử mẫu 115

Theo tính chất phân số, phân số phân số 60 32

có dạng

m m

60 32

với m Z, m



Theo đề ta có: 32.m+60.m=115 92m =115

m =11592  Z

Vậy ta khơng thể tìm phân số thỏa mãn yêu cầu toán



Ta có 6032 158 Theo tính chất phân số , phân số phảI tìm có

dạng: 158mm với m Z, m



Vậy phân số phải tìm 158..55 7540

(6)

nhiều phân số phân số 60 32

(7)

2.2 SAI LẦM Ở PHẦN HÌNH HỌC LỚP 6 2.2.1 Tia

Bài tốn 7:Vẽ tia AB, lấy điểm M thuộc tia AB Hỏi điểm M nằm hai điểm A B hay điểm B nằm hai điểm A M

Cách giải sai HS:Điểm M nằm A B

 Cách giải đúng: Điểm M nằm hai điểm A, B điểm B nằm

hai điểm A, M

? Nguyên nhân sai lầm: HS bị mắc sai lầm cho tia AB bị giới hạn gốc A điểm B

! Khắc phục: Khi dạy khái niệm tia, ngồi định nghĩa mơ tả tia gốc O, cần phát biểu với nhiều hình thức khác nhau, tương đương mặt logic: Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O

Hình tạo điểm O phần đường thẳng chứa tất điểm nằm phía Olà tia gốc O

Bài toán 8:Vẽ hai tia đối Ox, Oy

a)Lấy AOx,BOy.Viết tên tia trùng với tia Ay

b) Hai tia Ay OB có trùng khơng? c) Hai tia Ax By có đốI không?

 Cách giải sai HS

a) Các tia trùng với tia Ay OB, Oy, AO b) Hai tia AB Oy trùng

c) Hai tia Ax By đối

a) Các tia trùng với tia Ay: tia AB, tia AO

b) Hai tia AB Oy khơng trùng chúng khơng chung gốc c) Hai tia Ox Ay khơng đối không chung gốc

HS thường nhìn vào hình vẽ, nên dễ nhầm lẫn hai tia trùng hai tia có điểm chung đặt đường thẳng Sai lầm hiểu hai tia đối hai tia tạo thành đường thẳng

! Khắc phục:

Để HS nhận dạng khái niệm, nhằm khắc sâu kiến thức hai đối nhau, hai tia trùng cần nhấn mạnh:

Hai tia đối phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

A B M

A M B

x y

O

(8)

- Chung gốc

- Cùng tạo thành đường thẳng

Hai tia trùng nhau: Chỉ tia Mọi điểm điểm chung 2.2.2 Góc

Bài tốn 9:

Có tất góc hình sau

 Cách giải sai HS: Có hai góc

xPy ySz

 Cách giải đúng: góc xPy, góc ySz,

góc PSz, góc ySP

? Nguyên nhân sai lầm: Khi quan sát hình vẽ HS ý đến góc tù góc bẹt HS nhận dạng góc

nhọn góc vẽ thêm ký hiệu nối hai cạnh góc

! Khắc phục: Khi dạy HS nhận dạng góc, người dạy cần nhấn mạnh định nghĩa:” Góc hình tạo hai tia chung gốc” Vậy người dạy hướng dẫn HS phải tìm đầy đủ tia chung gốc , đặc biệt hai tia đối HS thường bỏ sót

y x

z

(9)

2.3 SAI LẦM Ở ĐẠI SỐ LỚP 7

2.3.1 Sai lầm thực phép toán cộng, trừ, nhân chia số hữu tỷ :

2.3.1.1 Áp dụng sai công thức :

Bài tập10 : ( Bài 16/13 SGK, lớp tập 1) Thực phép tính:

5 5

: :

9 11 22 15

   

  

   

   

 Cách giải sai HS : 5: 5:

9 11 22 15

   

  

   

   

= 5: 81 110 550

9 110 81 729



 

  

 

 



   

  

   

   

= 5: 5: 5: 22 5

9 22 9

       

      

       

       

= 22 5 27

9 3



 

    

 

 

? Nguyên nhân sai lầm : Thường học sinh nghĩ hạng tử giống ta đặt nhân tử chung toán

2 4

: :

5 7

   

    

   

   

= :4 :4

5 7

   

    

   

   

= :4





5 7 5

 

       

 

 

Chú ý cho HS phép chia phân phối phía: (a+b):c=

c b c a c

b a

  

! Khắc phục : Cần biến đổi phép nhân, áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng

: :

a c a e a d a f a d f

b d b f b c b e b c e

 

        

 

2.3.1.2 Sai lầm giá trị tuyệt đối: Bài tốn 11: Tìm x biết:

(10)

a) x=7 b) x=-3



b) Khơng có giá trị x ! Khắc phục:

a) Chú ý HS: trị tuyệt đối hau số đối

b) Người dạy cần khắc sâu định nghĩa giá trị tuyệt đối số x:”trị tyệt đốI số x khoảng cách từ điểm x đến điểm O trục số” Vì trị tuyệt đối số không âm

2.3.1.3 Sai lầm công thức lũy thừa Bài toán 12: Viết số sau dạng lũy thừa:

a) 23

b) 32

 Cách giải sai HS

a) 23 = 2.3 =

b) 32 = 3.2 = 6



b)32 = 3.3 =9

? Nguyên nhân sai lầm : Do học sinh chưa nắm định nghĩa, hay HS thấy:

22 = nên HS nghĩ hai số đó, có số số, số là

số mũ

Bài toán 13: Viết số sau dạng lũy thừa: a)

3

b)        

3

7

a) 23

b) 72





3

3      

b)

2

3

      

(11)

2

1

              

  bằng cách tính:

2

1 1

2 2

     

     

     

     

2

1 1.1

2 2



  

2

1 1

2 2

   

     

   

Bài tốn 14: Tính 23

 Cách giải sai HS :

3

2

5 = (52)3 = 52.3 = 56



3

2

5 = (23) =58

? Nguyên nhân sai lầm :HS nhầm lẫn mn

a với(am)n

! Khắc phục : Cho HS thấy (52)3 52 56



 523= (23)

5 =58 Từ rút ra

n m m m

a a

a n ( n) ( )

 

2.3.1.4 Áp dụng nhầm tính chất tỷ số nhau Bài tốn 15: Tìm x, y biết

2 x y

 x.y = 10  Cách giải sai HS : 10

2 2.5 10 x y x y

   

Suy x = , y =



x

y

k

 xy25kk x y 10k2 10 k2  1 k 1 



+ k = xy25  

+ k = -1 xy25  

? Nguyên nhân sai lầm :

HS áp dụng nhầm tính chất dãy tỉ số nên dẫn tới giải sai, tính chất a c a c

b d b d



 

 khơng có bd

c a d c b a

 

! Khắc phục : So sánh cách giải sai HS cách giải để HS tự thấy sai rút kinh nghiệm

(12)

2.3.2.1 Sai lầm cách viết :

Khi tính bậc hai số không âm cần ý số a dương ln có hai bậc hai a> - a< 0, HS lại viết :

16 4

Viết : 16 4

- 164

Hay  164

2.3.2.2 Sai lầm vận dụng kiến thức Bài toán 16 : Chọn câu :

(-5)2 có bậc hai là:

A ( 5)2 5

  B ( 5) 5

C Số (-5)2 khơng có bậc hai C

25 5 - 25 = -5

câu A



Số a dương ln có hai bậc hai a> - a < 0, số a âm khơng có bậc hai, HS nghĩ có bậc hai số dương

2.3.3 Sai lầm vận dụng kiến thức toán đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch.

Ở Tiểu học, HS học: hai đại lượng gọi tỷ lệ thuận với đại lượng tăng (hoặc giảm) lần đại lượng tăng (hoặc giảm) nhiêu lần Lên lớp 7, HS áp dụng định nghĩa để xét hai đại lượng tỷ lệ thuận, nên dễ sai lầm Vì người dạy cần ý cho HS hai đại lượng tỷ lệ thuận với chúng có liên hệ với cơng thức dạng y=k.x (k0) Giải thích rõ Tiểu học trường hợp k>0 Tương tự với trường hợp hai đại lượng tỷ lệ nghịch

Bài toán 17 : Điền vào ô trống

a) Nếu x y tỷ lệ nghịch, y z tỷ lệ nghịch x z b)Nếu x y tỷ lệ nghịch, y z tỷ lệ thuận x z c) Nếu x y tỷ lệ thuận, y z tỷ lệ thuận x z

a) …x z tỷ lệ nghịch b) …x z tỷ lệ nghịch c) …x z tỷ lệ thuận



a)x k1 y

(13)

y k2 z



nên 12 12

k k

x z

k k

z

  

Vậy x z tỷ lệ thuận b) x k1

y



y = k2 z

nên 1

2

1

k k

x

k z k z

   .

Vậy x z tỷ lệ nghịch c) x = k1.y

y = k2.z

nên x = k1.k2 z

Vậy x z tỷ lệ nghịch ? Nguyên nhân sai lầm :

HS sử dụng tính chất bắc cầu để giải toán

Bài toán 18: Cho biết 10 người có suất làm việc xây xong nhà tháng Hỏi với 15 người suất xây xong nhà thời gian ?

10 người xây nhà xong tháng 15 người xây nhà xong x tháng

 15.6

10

x  (tháng)

Vậy 15 người xây xong nhà tháng



Nếu 10 người xây xong nhà tháng, người xây xong nhà 10 x = 60 tháng

Vậy thời gian để 15 người xây xong nhà 60

4

15  (tháng)

? Nguyên nhân sai lầm sai lầm :

(14)

2.3.4 Sai lầm quy tắc bỏ dấu ngoặc nhóm ngoặc từ hai đa thức biến

Bài toán 19: Cho hai đa thức P = 5x2y – 4xy2 + 5x –

Q = xyz – 4x2y + xy2 + 5x -1 Tính P – Q

Cách giải sai HS :

P – Q = (5x2y – 4xy2 + 5x – 3) – (xyz – 4x2y + xy2 + 5x - 1 2) = 5x2y – 4xy2 + 5x - – xyz – 4x2y + xy2 + 5x + 1

2 = x2y – 3xy2 + 10x – xyz - 5

2



P – Q = (5x2y – 4xy2 + 5x – – xyz + 4x2y – xy2 – 5x + 1 2) = (5x2y + 4x2y) + (-4xy2 – xy2) + (5x – 5x) – xyz + (-3 + 1

2) = 9x2y – 5xy2 – xyz - 21

2

HS hay quên: bỏ dấu ngoặc phải đổi dấu số hạng ngoặc, trước dấu ngoặc dấu “-“

! Khắc phục :

Thường xuyên làm tập vận dụng để khắc sâu kiến thức cho học sinh

2.3.5 Sai lầm tính giá trị biểu thức đại số :

Bài tốn 20: Tính giá trị biểu thức 3x2 – 5x + x = -1 x =1

2

 Cách giải sai HS : Thay x = -1 x =12 vào biếu thức 3x2 – 5x + 1,

ta được: 3.(-1)2 – 5.1

2+ =



+ = -5 2=

3

Vậy giá trị biểu thức 3x2 – 5x + x = -1 x =1

3



+ Thay x = -1 vào biểu thức 3x2 – 5x + 1, ta được:

3.(-1)2 – 5.(-1) + = + + =

(15)

+ Thay x =1

2 vào biểu thức 3x

2 – 5x + ta :

3.(1 2)

2 – 5.(1

2) + = 4-

5

2+ = -3

Vậy giá trị biểu thức 3x2 – 5x + x =1

3



? Nguyên nhân sai lầm sai lầm :

Do biểu thức cần tính giá trị có hai vị trí xuất biến x, đồng thời tốn lại u cầu tính giá trị biểu thức tạI hai giá trị x khác nhau, nên có HS nghĩ thay hai giá trị x vào hai nơi tương ứng

(16)

2.4 SAI LẦM Ở HÌNH HỌC 7.

2.4.1 Sai lầm vẽ hình

Bài tốn 21:

Cho tam giác ACB vuông C

Dựng phân giác góc nhọn A trung trực cạnh CB cắt O Nối O với B C Kẻ OK  AC, OM 

AB Chứng minh CK=MD

Xét hai tam giác vng AOK AOM, có:

M A O O A

Kˆ  ˆ (giả thiết) OA chung

Suy AOK = AOM (c.huyền- g.nhọn)

=> KO = OM (1) Mặt khác OC = OB (gt) (2)

Từ (1) (2) suy OKC = OBM (c.góc vng –

c.huyền) =>CK = BM

AC = AK + KC = AM + MB = AB



Xét hai tam giác vng OKC OBM, có OK=OM ( tính chất đường phân giác) OB=OC (gt)

Suy OKC = OBM (c.góc vng –c.huyền)

Suy CK=MB (đpcm)

? Nguyên nhân sai lầm: Vẽ hình sai.Vì cắt tam giác có điều vô lý:

AC = AK + KC = AM + MB = AB Vậy cạnh huyền cạnh góc vng

Nên đường trung trực OD phân giác A phải cắt tam giác CAB ! Khắc phục :

Qua hai tập cho ta thấy việc vẽ hình quan trọng, HS vẽ hình sai dẫn tới chứng minh đến kết luận sai cạnh góc vng cạnh huyền

2.4.2 Sai lầm chứng minh phản chứng

Bài toán 22: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=4,5cm , BC=7,5 cm Chứng minh tam giác ABC vuông A

Giả sử tam giác ABC vuông A Theo định lý pitargo ta có:

BC2 =AC2+AB2

M K

A

C D B O

M

O D A

C B

(17)

M A N E

K

C B

Thay AB=6cm, AC=4,5cm , BC=7,5cm vào BC2 =AC2+AB2 ta được:

7,52 = 4,52+62

56,25= 20,25 +36 (đúng) Vậy tam giác ABC vuông A



Ta có : 7,52 = 4,52+62

Hay BC2 =AC2+AB2

Nên tam giác ABC vuông A (định lý pitargo đảo) ? Nguyên nhân sai lầm:

Hs chưa hiểu chất chứng minh phản chứng

! Khắc phục : Người dạy nên giải thích cho HS hiểu : chứng minh phản chứng ta giả sử điều phủ định kết luận, sau lập luận xác để dẫn đến điều mâu thuẫn với giả thiết hay mâu thuẫn với điều khác

2.4.3 Sai lầm chứng minh ba điểm thẳng hàng:

Bài toán 23: Cho tam giác ABC, K trung điểm AB, E trung điểm AC Trên tia đốI tia AC lấy điểm M cho KM=KC Trên tia đốI tia EB lấy điểm N cho EN=EB Chứng minh A trung điểm MN

Xét MAK KBC, có:

MK=MC ( gt)

MKˆA CKˆB(đối đỉnh)

KA=KB ( gt)

Suy MAK=CBK (c.g.c)

=> MA=CB (1) Xét ANE CBE,có:

AE=CE (gt)

AEˆN CEˆB(đối đỉnh)

Suy ANE=CBE (c.g.c)

=> AN=CD (2) Từ (1) (2), suy MA=AN (3) Do A trung điểm MN (đpcm)



GT  ABC

K



NE = EB

(18)

Các bước chứng minh hoàn toàn tương tự bổ sung thêm phần chứng minh điểm M, A, N thẳng hàng

CM: Do MAK = CBK suy MAˆB ABˆC (4)

Do ANE = CBE suy EAˆN ECˆB (5)

Mặt khác, tam giác ABC ta có: ˆ ˆ ˆ 1800

 

 ABC ACB

C A

B (6)

Từ (3), (4), (5), suy ˆ ˆ ˆ 1800

 

ABC CAN

B A M

Do M, A, N thẳng hàng (7) Từ (3) (7) ta suy ra: A trung điểm MN

Khi HS nhìn vào hình vẽ tưởng A, M, N thẳng hàng nên không cần chứng minh.Mặt khác, HS khơng nắm vững định nghĩa trung điểm đoạn thẳng

! Khắc phục :

Người dạy cần giảng cho HS biết: để chứng minh A trung điểm MN phải chứng minh A, M, N thẳng hàng AM = AN

2.4.4

Bài toán 24:Cho ˆ 1350



B O

A Vẽ góc BOC AOD kề bù vớI góc AOB

Chứng tỏ hai góc BOC vầ AOD hai góc đốI đỉnh

Bài toán 25(bài 57/t.131-SGK lớp 7/tập 1):

Tam giác ABC có AB =8, AC =17, BC=15 có phảI tam giác vuông hay không?

Cách giảI sai HS: AB2+AC2 = 82+72 = 353

BC2 =152 =225

Do 353



Suy tam giác ABC không phảI tam giác vuông CÁch giảI đúng:

AB2+BC2 = 82+152 = 64 +225 =289.(1)

AC2 =172 =289 (2).

A

B C D

(19)

Từ (1) (2) suy AB2+BC2 = AC2 nên tam giác ABC vuông tạI B(định lý

Pitago đảo) Cách khắc phục:

NgườI dạy cần cho HS thấy rằng: Trong tam giác vuông, cạnh huyền cạnh lớn nhất, nên làm tập ta phải lấy cạnh lớn để bình phương, sau tính tổng bình phương hai cạnh cịn lại, so sánh kết luận

(20)

2.5 SAI LẦM Ở ĐẠI SỐ LỚP 8:

2.5.1 Sai lầm vận dụng đẳng thức đáng nhớ Bài tốn 24: Viết 8x3-y3 dạng tích

 Cách giải sai HS 1: (8x –y)(8x2-8xy+y2)  Cách giải sai HS 2:( 2x-y)(4x2+8xy+y2)

 Cách giải đúng:8x3-y3=(2x)3-y3=(2x-y)(4x2-4xy+y2)

Hằng đẳng thức: A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)

Đối với đẳng thức HS thường nghĩ A B đại diện cho biến, không đại diện cho hạng tử nên hạng tử đơn thức có phần biến hệ số phần hệ số giữ ngun khơng biến đổi

Sai lầm thứ hai: HS dễ nhầm lẫn dấu đẳng thức (HĐT)

HS bị ám ảnh HĐT bình phương tổng, bình phương hiệu nên dễ sai lầm : A3+B3=(A+B)(A2-2AB+B2)

! Khắc phục :

Đưa nhiều ví dụ, thay đổi hạng tử từ đơn thức đơn giản gồm phần biến, đến đơn tức gồm có phần hệ số phần biến Nhấn mạnh HS trước áp dụng HĐT cần phảI đưa hạng tử dạng

Lưu ý cho HS tên gọi biểu thức:(A2-AB+B2) bình phương thiếu.

Trong trình dạy HĐT, cụm từ “ lập phương tổng” với “tổng hai lập phương “; “lập phương hiệu” với “hiệu hai lập phương” thường dễ hiểu nhầm hai khái niệm

Bài tốn 25: Tính giá trị biểu thức x=-11, y=20 a) 2xy2+x2y4+1

b) x3+x2+ x

4

a) Thay x=-11 y=20 vào biểu thức 2xy2+x2y4+1

Ta có :2(-11).202+(-11)2.204+1= 19351201

Vậy giá trị biểu tức 2xy2+x2y4+1 x=-11 y=20 19351201

b) Thay x=-11 vào biểu thức x3+x2+ x

4 Ta có (-11)3 +(-11)+

4

.(-11)= 53794

Vậy giá trị biểu thức x3+x2+ x

4

x=-11 y=20 là: 5379



a) Ta có : 2xy2+x2y4+1= (xy2+1)2

Thay x=-11 y=20 vầo biểu thức (xy2+1)2

Ta có [(-11).202+1]2=[(-11).400+1]2= (- 4399)2 =19351201

Vậy giá trị biểu thức 2xy2+x2y4+1 x=-11 y=-20 19351201

b) Ta có : x3+x2+ x

4

= x(x2+x+

4

(21)

Thay x=-11 vào biểu thức Ta có :[(-11)

4 4851 21

11

21 11

1

11

2

                      

 

 

Vậy giá trị biểu thức x3+x2+ x

4

x=-11 y=-20 là: 4851



? Nguyên nhân sai lầm: HS không rút gọn biểu thức trước tính Nên q trình tính thường gặp rắc rối, sai sót Đối với tư thuận HS dễ dàng gặp toán tư ngược, HS khơng nhận dạng HĐT vì:

Vị trí hạng tử bị đảo lộn Mỗi hạng tử chứa nhiều biến

Có tăng bậc biểu thức so với biểu thức gốc HĐT

! Khắc phục: Rèn luyện cho HS lốI tư đuy ngượch học HĐT cách hướng dẫn HS học HĐT không học vẹt theo lối khai triển HĐT, mà tập thao tác đưa biểu thức HĐT Ví dụ đưa dạng tốn củng cố kiến thức sau:

Nối biểu thức sau cho chúng tạo thành hai vế HĐT:

2.5.2 Sai lầm phân tích đa thức thành nhân tử: Bài tốn 26:Phân tích đa thức thành nhân tử

xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz

 Cách giải sai HS : xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz

=xy(x+y+z) +yz(y+y+z+x)+ xz(x+z)

=(x+y+z)(xy+yz)+ xz(x+z)=(x+y+z)y(x+z)+xz(x+z) =(x+z)[(x+y+z)y+ xz]

 Cách giải đúng:

Các bước phân tích hồn tồn tương tự không dừng lại kết mà tiếp tục phân tích:

(x+z)[(x+y+z)y+xz] =(x+z)(xy+ y2+ yz+xz)

=(x+z)[(x+y)y+z(x+y)] =(x+z)(x+y)(y+z) ? Nguyên nhân sai lầm:

(x-y)(x2+xy+y2)

(x+y)3

(x-y)(x2+xy+y2)

x2-y3

(x+y)(x2-xy+y2)

(x-y)3

(x2+xy+y2)

(x-y)2

(x+y)(x-y) (x2+xy+y2)

(y-x)2

x3- y3

y3-x3

x3 +3x2y+3xy2+y3

(22)

Trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử phương pháp gây khó khăn cho HS Vì:

+ HS nhóm hạng tử hạng tử đơi nhóm với nhau, HS nghĩ đến việc tách hạng tử thêm hạng tử Ví dụ tốn HS nhóm hai hạng tử đôi với không nghĩ đến việc tách 2xyz thành xyz+xyz

+ Khi nhóm hạng tử, phân tích thành nhân tử, số HS dừng lại cịn phân tích tiếp Bài toán HS dừng lại (x+z) [(x+y+z)y+ xz], phân tích tiếp

! Khắc phục:Khi hướng dẫn HS phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, cần lưu ý HS nhóm hạng tử thích hợp, cụm từ “thích hợp” mang ý nghĩa:

- Mỗi nhóm phân tích

- Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích phải tiếp tục

- Đặc biệt, thử nhóm tất trường hợp mà hạng tử khơng thích hợp thêm, bớt tách hạng tử thành nhiều hạng tử

Bài toán 29:Cho x y hai số khác nhau, thỏa mãn điều kiện 9x(x-y)2 –

10(y-x)2=0 Tìm biểu thức liên hệ x y.

9x(x-y)2 –10(y-x)2 =9x(x-y)2 +10(x-y)2

=(x-y)(9x+10x-10y) =(x-y)(19x-10y) Theo đề ta có: (x-y)(19x-10y)=0 Suy x-y=0 19x-10y=0 Vậy x=y x=1910 y

9x(x-y)2 –10(y-x)2 =9x(x-y)2 -10(x-y)2

=(x-y)[(9x-10(x-y)] =(x-y)(-x+10y)

Theo đề ta có : (x-y)(-x+10y)=0 Vì x



HS sai:

Thứ nhất, đổi dấu nhân tử tích Ta biết tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử Vì thế: (y-x)2 = (x-y)2 9x(x-y)2 –10(y-x)2 =9x(x-y)2

-10(x-y)2

Thứ hai, giải kết không ý điều kiện tốn nên khơng loại trường hợp x=y

2.5.3 Sai lầm phép chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức.

(23)

a) x- 3x2+x3-3: x-3

b)x4- x-14: x-2

a) x- 3x2+x3-3: (x-3) =1-3x+x2-3x

b)x4-x-14: (x-2) =x3-2x2

a) x- 3x2+x3-3: (x-3) =x3-3x2+x-3: (x-3) =1-x2

b)x4- x-14: x-2=x3+2x2+4x+7

a) Khi chia đa thức cho đa thức, HS khơng có thói quen xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến trước thực phép chia b) Khi đa thức bị khuyết lũy thừa( khơng đầy đủ biến có lũy thừa

theo thứ tự Khi thực phép trừ, nhầm lẫn số trừ cho số số

!Khắc phục:

- Rèn kỹ xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần trước thực phép chia

- Khắc sâu kiến thức 0-(0-a)=a

2.5.4 Sai lầm giải toán dạng chia hết đa thức

Bài tốn 31: Tìm số nguyên a, n để phép chia sau phép chia hết a) (5x3-10x2+x) chia hết ax

b) 3n3+10n2- chia hết 3n+1.

a) a=1 a=5

b) Ta có 3n3+10n2- 5=(3n+1)(n2+3n-1)- Để phép chia phép chia

hết (3n+1) phải ước Do 3n+1=1

3n+1=2 3n+1=4 Vậy n=0, n=1

 Cách giải

a) (5x3-10x2+x) chia hết ax với số nguyên a.

b) 3n3+10n2- chia hết 3n+1 n =0, n=-1, n=1

Trường hợp a) HS bị ám ảnh kiến thức chia hết hai số nguyên, nên giá trị a ước

HS thường thiếu giá trị n=0

Trường hợp b) nhiều HS bị thiếu giá trị n nói đến ước số ngun, HS nghĩ đến trường hợp ước tự nhiên, bỏ qua trường hợp ước số nguyên âm

Bài toán 32:

a)Chứng minh (5n+2)2 chia hết cho với mọisố nguyên n

(24)

nguyên n

Ở Bài tốn khơng đưa Cách giải sai HS HS đa số HS chưa biết chọn phương pháp làm chưa định hướng phải làm đối với dạng.

! Khắc phục:

GV giới thiệu hai phương pháp sau: A(x) chia hết cho n

+ Biến đổi A(x)=B(x).C(x) cho B(x)n C(x)  n

+ Biến đổi A(x)=M(x)+N(x)+…+K(x) cho M(x),N(x),…,K(x) chia hết cho n

2.5.5 Sai lầm q trình thực phép tính phân thức đại số Bài tốn 33: Thực phép tính sau:

x x x x x x         9

1 2 9                x x x x x x x x x x

 Cách giải :

1 16 9 9                     x x x x x x x x x x x x x x

? Nguyên nhân sai lầm: HS nhận thấy hai phân thức cuối giống có dấu “-“ xen nên triệt tiêu hai phân thức Do HS không thực thứ tự lầm tưởng phép trừ có tính kết hợp

Bài tốn 34: Rút gọn biểu thức x y x y y x 12 10 : : 2

2 2 2 2 10 12 : 12 10 : : 12 10 : : y x y x x y y x x y x y y x x y x y y x                 2 1 : 1 : 1 :                                  x x x x x x x x x x x x x x x x x x

3 2 2 125 144 10 12 12 10 : : y x y x y x y x x y x y y x     2 3 1 :                         x x x x x x x x x x x x x x

HS không thực thứ tự phép tính từ trái sang phải, hiểu lầm phép tốn khơng có dấu ngoặc ưu tiên thực phép

(25)

nhân chia trước giống

! Khắc phục: Khắc sâu kiến thức phép trừ khơng có tính chất kết hợp Khi thực dãy phép nhân phép chia phảo làm tính theo thứ tự từ trái sang phải phải biến phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo

Cách tốt để khắc phục sâu kiến thức nên đưa vídụ : :       x x x x x x            : x x x x x x Bài toán 35:

1 2    x x x

a)Rút gọn phân thức

b)Tính giá trị phân thức x=2 x=-1

a)





1 1 1 2 2          x x x x x x x

b)ĐKXĐ x là: x1,x1

Với x=2, phân thức cho có giá trị là: 2   

Với x=-1 phân thức cho có giá trị là: 1 1     

b) Với x=2 giá trị phân thức xác định phân thức cho có giá trị

Với x=-1 giá trị phân thức cho không xác định. ? Nguyên nhân sai lầm:

HS dùng phân thức rút gọn để tính giá trị phân thức nên HS quên điều kiện phân thức ban đầu Vì vậy, thay x=-1 vào phân thức

1   x x

để kết !Khắc phục: Chú ý HS:

+ Khi thực phép tốn phân thức khơng địi hỏi tìm điều kiên biến Nhưng giải toán giải toán phân thức có liên quan đến giá trị phân thức thiếu điều kiện biến Điều kiện biến giá trị boến để giá trị tương ứng mẫu thức khác

+Nếu thu gọn phân thức trước tính giá trị phân thức, ý giá trị biến phải thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu

(26)

x S

1

   

 Cách giải :

1

2

1

1 1

1 1 1

1 1

1

       

              

x x x

x x

S

(với x0,1, 21 )

Bài giải hoàn toàn Tuy nhiên HS bỏ qua điều kiện biến giải theo tinh thần giảm tải SGK Vì chương trình đổi nay, khái niệm “ phân thức” xem xét quan điểm đại số ( nhìn nhận phân thức đối tương đại số mà HS cần biết cách tính tốn chúng) khơng phải quan điểm hàm số( phân thức xác định hàm số, ln phải tìm tập xác định hàm số này, gọi tập xác định phân thức) Do đó, thực phép tốn phân thức khơng địi hỏi HS phải tìm điều kiện biến; giải tốn phân thức có liên quan đến giá trị phân thức phải nêu điều kiện biến (Tham khảo sách giáo viên lớp 8/ tập 1)

2.5.6 Sai lầm giải phương trình bất phương trình: Bài tốn 37: Giải phương trình:

x(x+2)=x(x+3)

Cách giải sai HS :

x(x+2)=x(x+3) <=> x+2 =x+3 <=> x-x = 3-2

<=> 0x=1 ( vô nghiệm)

x(x+2)=x(x+3) <=> x(x+2)-x(x+3)=0 <=> x(-1)=0 <=> x=0

(27)

Chia hai vế phương trình cho ẩn x Nguyên nhân HS vận dụng tư tương tự ví dụ sau 2(x+4)=2(x+3) <=> x+2=x+3 <=>0x=-1

! Khắc phục: Chú ý: a.c=a.d <=> c=d a



Bài tốn 38

Giải phương trình: (x+1)(x+4)=(2-x)(2+x)

(x+1)(x+4)=(2-x)(2+x) <=> (x+1)(x+4)-(2-x)(2+x)=0

<=> x2+x+4x+4-4+x2=0

<=> 2x2+5x=0

<=> x(2x+5)=0 <=> x=0 2x+5=0

Các bước biến đổi hoàn toàn giống bước biến đổi cuối thay bằng: x=0 2x+5=0

Vậy nghiệm phương trình: x=0 x=

5



! Khắc phục:

Đây vấn đề sử dụng hợp lý ngôn ngữ lý thuyết tập hợp logic tốn học Khi nói “a=0 b=0” : muốn nói hai số hai số Cịn nói:” a=0 b=0” muốn nói có hai trường hợp xảy mà Nhưng lại không cần thiết phải giảng dạy cho HS hiểu làm cho HS khó hiểu, phản tính sư phạm Chính vậy,khi dạy nên nhắc nhở, chữa sai HS dùng nhầm lẫn, tránh sâu vào nguyên nhân

Bài tốn 39:Giải phương trình sau:

a)

3 ) ( ) (      x x x x

b)











1 13          x x x x x x x x

a)

3 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) (                 x x x x x x x x x x x x

Vậy x=-2 nghiệm phương trình

b)ĐKXĐ ,

(28)











x

Vậy nghiệm phương trình x=91

Cách giải đúng:

a) TXĐ x



Khử mẫu biến đổi vế trái, ta đươc phương trình (pt): (x2+2x)-(3x+6)=0 <=>x(x=2)-3(x+2)=0<=>(x-3)(x+2)=0

<=>x=3 x=2

Ta loại giá trị x=3 Phương trình cho có nghiệm x=-2

b) ĐKXĐ ,

4    x x











x

Khử mẫu thu gọn 36x=4 <=> x=

9

Vậy x=91 nghiệm pt ? Nguyên nhân sai lầm:

- Ở lời giải a), HS sai qn ĐKXĐ Nhưng số HS cho biến đổi tử phân thức thành nhân tử, sau chia tử mẫu phân thức cho mẫu thức Như giải phương trình chắn khơng có nghiệm ngoại lai ( nghiệm không thuộc TXĐ)

- Ở lời giải b), HS sai lầm trình biến đổI hai pt tương đương Vì sau khử mẫu pt có ẩn mẫu ta pt mới, pt không tương đương với pt ban đầu

! Khắc phục:

(29)

5

5 ) ( 5

2

   

    

x x

x x x

x x

Vây x=5, nghiệm phương trình giá trị khơng thuộc TXĐ Như dù loại bỏ giá trị làm mẫu phân thức có nghiệm ngoại lai

Có thể tạm giải thích cho HS sau:

+ Giải thích theo cách định nghĩa phương trình ( tạm gọi định nghĩa pt cịn nhiều ý kiến chưa thống nhất) : “ Khi nói đến pt ta hiểu hai biểu thức chứa biến siố nối với dấu ‘=” mà ta phải tìm giá trị biến số để giá trị tương ứng hai biểu thức nhau” Khi nhắc đến giá trị biểu thức phải có điều kiện biến x để giá trị xác định

+ Khi biến đổi pt mà làm mẫu chứa ẩn pt pt nhận khơng tương đương với pt ban đầu

b) Nếu phép biến đổi đồng thu hẹp điều kiện xác định biểu thức pt trước hệ pt sau( Tập nghiệm pt sau phận tập nghiệm pt trước )

Trong trường hợp này, phải dùng ký hiệu “=>” Ký hiệu lại gắn với khái niệm pt hệ quả, Nhưng lý sư phạm, khơng thể sâu vào khái niệm này, dùng ký hiệu”=>” (tham khảo sách Phương pháp dạy học mơn tốn _ Nguyễn Bá Kim)

(30)

KẾT LUẬN!

Ở THCS, giải tốn đại sơ số học, HS thường sai lầm cách sử dụng ký hiệu tốn học, sử dụng ngơn ngữ lý thuyết tập hợp Ngun nhân HS khơng nắm chất vấn đề nên sử dụng ký hiệu ngơn ngữ tùy tiện Vì vậy, người dạy phải giải thích cho HS hiểu, giúp HS tránh lặp lại sai lầm Có ký hiệu ngơn ngữ tốn học, người dạy giải thích tường tận ký hiệu “, ” cách

viết tập hợp Tuy nhiên, có ký hiệu ngơn ngữ , người dạy sâu vào giải thích nguyên nhân để đảm bảo tính sư phạm Cái khó đây, để giúp Hs hiểu vấn đề, người dạy phải đưa cách giải thích, phù hợp vớI trình độ HS nhằm bảo đảm tính sư phạm, tính thống chương trình SGK Đặc biệt nay, chương trình tốn THCS đổi có giảm tải nhiều so với chương trình trước Do đó, khơng HS lúng túng tham khảo cách giảI khác SGK, HS cách giải đúng, cách giải sai Người dạy phải dựa tinh thần giảm tải SGK giải thích rõ ràng, thấu đáo cho HS

So với toán đại số số học, giải tốn hình học HS khó khăn Vì HS khơng vận dụng định lý vào chứng minh khó khăn hình vẽ Khi chứng minh tốn hình học, điều quan trọng HS vẽ hình biết khai thác hình Tuy nhiên, vẽ hình, số HS thường đặc biệt hóa hình vẽ nên chứng minh dẫn đến sai lâm Mặt khác, khai thác hình vẽ, HS thường nhầm lẫn giả thiết kết luận

(31)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Đức Chính, Tơn Nhân, Phạm Gia Đức, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập toán lớp 6, NXBGD 2002

[2] Phan Đức Chính, Tơn Nhân, Trần Đình Châu, Trần Phương Dung, Trần Kiều, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập toán lớp 7, NXBGD 2003

[3] Phan Đức Chính, Tơn Nhân, Nguyễn Huy Đoan, L ê Văn Hồng, Truơng Công Thành, Nguyễn Hữu Thảo, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập toán lớp 8, NXBGD 2004

[4 ] Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảnh, Bùi Huy Nhật, Vũ Dương Thuỵ, phương Pháp Dạy Học mơn tốn, NXBGD 1999

[5] Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảnh, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường, phương pháp dạy học mơn tốn tập 2, NXBGD 1994

[6] Bùi Văn Tuyên, bài tập nâng cao số chuyên đề toán lớp 8, NXBGD 2004

[7] BùiVăn Tuyên, bài tập nâng cao số chuyên đề toán lớp 6, NXBGD 2005

[8] Nguyễn Việt Bắc, giải trí tốn học, NXBGD 2004

[9] Vũ Hữu Bình, số vấn đề phát triển đại số 8, NXBGD 2001

[10] Vũ Dương Thuỵ, Phạm Gia Đức, Hồng Ngọc Hưng, Đặng Đình Lâm, thực hành giải toán, NXBGD 1998

[11] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quan, những sai lầm phỏ biến giải toán, NXBGD 2002

[12] Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Kiếm, Lê Thị Hương, Hồ Xuân Thắng, những toán nâng cao chọn lọc, NXB Đại Học Sư Phạm 2003 [13] Hoàng Ngọc Hưng, Phạm Thị Bạch Ngọc, Trương Công Thành, bài

tập trắc nghiệm đề kiểm tra toán 7, NXBGD 2004

[14] Nguyễn Vĩnh Cận, tốn hình học nâng cao THCS, NXB Đại Học Sư Phạm 2002