Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.. Chứng minh t[r]
(1)Bài Tìm đạo hàm hàm số sau :
a) 3
2
y= x + x −x − x + x− ; b) 1 0,
4
y= − x+x − x ;
c)
4
4
x x x
y= − + −x ; d) y= x5 −4x3 +2x−3 x ;
e)
2
2 2
x b a
y c x b
a x
= + + + − (a b c, , số) Bài Tìm đạo hàm hàm số sau :
a) y=(2x−3)(x5−2 )x ; b) y= x(2x−1)(3x+2) ; c) y ( x 1) 1
x
= + −
;
d)
1 x y x − =
− ; e)
3
2
y x =
− ; f)
2 1 x x y x + − = − ; g)
2
2 x x y x − + =
+ ; h)
2 1 y x x = + −
+ ; i)
5 x y x x − =
+ + ; k)
2 1 1 x x y x x + + = − + Bài Tìm đạo hàm hàm số sau :
a) y=(2x3 −3x2 −6x+1)2 ; b)
2 ( 1) y x x = − +
c) y =(x2 − +x 1) (3 x2 + +x 1)2; d)
2 1 y x x = − ;
e) y= 1+2x−x2 ; f) y= x2 + −1 1−x2 ;
g) y= x+ x+ x ; h) y=3x3−3x+1;
i)
2
3 x y x − = +
; k) ( )
5
1 y= x+ x + Bài Tìm đạo hàm hàm số sau :
a) sin
sin
x x
y
x x
= + ; b)
3 sin cos sin cos x x y x x + = + ; c) x x x x y cos sin 2 cos sin − +
= ; d) y=4 sin cos sin 6x x x ;
e) sin cos
sin cos
x x
y
x x
+ =
− ; f)
sin cos cos sin
x x x
y
x x x
− =
− ;
g) tan
2 x
y= + ; h) y= tan 3x−cot 3x;
i) 2 tan tan x y x + =
− ; k)
2
cot
y= x + ;
l) y =cos4 x+sin4 x ; m) y =(sinx+cosx)3 ;
n) y=sin32xcos32x ; o) y=sin cos3( x) ; p) y=sin2cos2(cos3x) ; q)
2
5
(2)Bài a) Cho hàm số ( )
x x x
f
sin
cos +
= Tính ( ) ( )
4 ' ; ' ; ' ;
' f π f π f π
f
b) Cho hàm số ( )
x x x
f
y 2
2
sin
cos + =
= Chứng minh: '
4
f π − f π =
Bài Tìm đạo hàm hàm số sau :
a) y=3 sin( 4x+cos4x) (−2 sin6x+cos6x) ; b) y=cos4x(2cos2x− +3) sin4x(2sin2x−3) ;
c) y=3 sin( 8x−cos8x) (+4 cos6x−2sin6x)+6sin4x ; d)
4
6
sin 3cos
sin cos 3cos
x x
y
x x x
+ −
=
+ + − ;
e) cos2 cos2 cos2
3
y= x+ π +x+ π −x
; f)
( )
tan sin
4 sin
x
x y
x
π
− +
= ;
g) sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x
y
x x x x
+ + +
=
+ + + ; h) y 2 2cosx , x ;
π
= + + + ∈
Bài Cho hàm số y =xsinx chứng minh :
a) xy−2(y' sin− x) (+x 2cosx−y)= ;
b) ' tan
cos y
x x
x− =
Bài Cho hàm số : f( )x =sin4 x+cos4 x , g( )x =sin6 x+cos6 x Chứng minh : 3f'( )x −2g'( )x =0 Bài a) Cho hàm số y= x+ 1+x2 Chứng minh : 1+x2.y'= y
b) Cho hàm số y=cot 2x Chứng minh : y' 2+ y2 + =2 Bài 10 Giải phương trình y'=0biết :
a) y=sin 2x−2 cosx ; b) y=cos2 x+sinx ; c) y =3sin 2x+4 cos 2x+10x ; d) y=(m−1 sin 2) x+2cosx−2mx Bài 11 Cho hàm số (2 1)
3
y= x − m+ x +mx− Tìm m để :
a) y'=0 có hai nghiệm phân biệt ;
b) y' viết thành bình phương nhị thức ; c) y'≥0 ,∀ ∈ ¡x ;
d) y'<0 ,∀ ∈x (1 ; 2) ; e) y'>0 ,∀ >x
Bài 12 Cho hàm số ( 1) 3
y= − mx + m− x −mx+ Xác định mđể :
a) y'≤0 ,∀ ∈ ¡x
b) y'=0 có hai nghiệm phân biệt âm ;
c) y'=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12 + x22 =3 Bài 13 Cho hàm số
2
6
2
mx x y
x
+ −
=
+ Xác định mđể hàm số có y'≤0, ∀ ∈x (1 ;+ ∞)
Bài 14 Tìm giá trị tham số m để hàm số: y=x3+3x2+mx+ m
(3)Bài 15 Cho hàm số y=mx4+(m2−9)x2+10 1( ) (m laø tham số) Xác định mđể hàm số có y'=0 có nghiệm phân biệt
1 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong
1.1 Phương pháp :
• Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến đồ thị ( )C :y= f x( )tại M x( 0 ; y0), có phương trình : ( ) (0 0)
'
y= f x x−x +y ( )
• Khi biết hệ số góc tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến đồ thị ( )C :y= f x( ) có hệ số góc k ta gọi M0(x0 ;y0)là tiếp điểm ⇒ f '( )x0 =k (1)
Giải phương trình (1) tìm x0 suy y0 = f x( )0
Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y=k x( −x0)+y0
Chú ý :
Hệ số góc tiếp tuyến M x( 0,y0)∈( )C là k = f′( )x0 =tanα Trong α là góc chiều dương trục hoành tiếp tuyến
Hai đường thẳng song song với hệ số góc chúng Hai đường thẳng vuông góc tích hệ số góc chúng −1 • Biết tiếp tuyến qua điểm A x y( 1; 1):
Viết phương trình tiếp tuyến y= f x( ) M0(x0 ; y0): y= f '( ) (x0 x−x0)+y0 ( )1 Vì tiếp tuyến qua A x y( 1; 1)⇒ y1= f '( ) (x0 x1−x0)+ f x( ) ( )0 *
Giải phương trình(*) tìm x0 vào (1) suy phương trình tiếp tuyến
1.2 Các ví dụ minh họa :
Ví dụ Cho đường cong ( ) ( )
:
C y= f x =x − x Viết phương trình tiếp tuyến ( )C trường hợp sau :
a) Tại điểm M0(1 ;−2) ;
b) Tại điểm thuộc ( )C có hồnh độ x0= −1 ; c) Tại giao điểm ( )C với trục hoành
d) Biết tiếp tuyến qua điểmA(− −1 ; 4) Ví dụ Cho đường cong ( ):
1 x
C y
x + =
−
a) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )d :x−4y−21 0= ; b) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( )∆ : 2x+2y− =9 0; c) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :
x−2y+ =5 góc 300
Ví dụ Cho hàm số ( )
3
y=x + x − x+ C Trong tất tiếp tuyến đồ thị ( )C , tìm tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ Ví dụ Cho hàm số ( )1
2
x y
x + =
+ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O
(4)Ví dụ Cho hàm số ( )
3
y= − +x x − C Tìm điểm thuộc đồ thị( )C mà qua kẻ tiếp tuyến
với đồ thị ( )C
(Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng, 1999)
Ví dụ Cho ( )C đồ thị hàm số y= 6x−x2 Chứng minh tiếp tuyến điểm ( )C cắt trục tung
một điểm cách gốc tọa độ tiếp điểm
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG ĐẠO HÀM
Đề
Câu (7 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau: 10
4
2010
5
x
a y= − x +
1
x b y
x
− =
−
3
10
c y= x − +x ( 2 )10
10
d y= x − x+ e y =sin 2x−10 cosx cot2
x f y= − Câu 2(3 điểm): Cho đường cong (C):
1
y=x − Viết phương trình tiếp tuyến (C) trường hợp sau:
a) Tại M(2; 15)
b) Biết tiếp tuyến có hệ số góc
Đề
Câu (1đ): Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số
2
1
2 1
x khi x y
x khi x
≤
=
− >
x0 =
Câu (3đ): Tính đạo hàm hàm số sau:
3
) (1 ) ; ) ; ) sin s in3
3
x
a y x x b y c y x x
x x
+
= − = = +
+
Câu (3đ): Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2
2
x x
− + a) Tại điểm đồ thị có hồnh độ x = -1
b) Biết tiếp tuyến song song với y = 5x +3
Câu (2đ): Cho hàm số
3
y= − +x x +mx−
a) Khi m = 0, giải bất phương trình y’ > b) Tìm m để ' 0,y ≤ ∀ ∈ x R
Câu (1đ): Cho hàm số tan 2
1 tan
x y
x
=
+ , chứng minh y’ = cos2x
Đề
Câu 1: (1điểm) Tính đạo hàm hàm số điểm
a) y=x2−4x+ điểm x0 =
b) 5
3
y= x+ x− x + x điểm x0 =
Câu 2: (4điểm) Tính đạo hàm hàm hợp sau
a) y= − +( 2x 5)7 b) y= x2−
c) y=x3 2x2+ d) 1
1
x y
x
+ +
=
(5)Câu 3: (4điểm) Tính đạo hàm hàm lượng giác sau
a) y=4 cosx−3sinx b) y=2 t anxx
c) tan cot( 1)
y= x+ π − − +x
d) y=sin s inx+cosx( )
Câu 4: (1điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: y= x2−2x
Đề
Câu (4 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau:
3
5 11
a) y 3x 12x 7x x 1
3
= − + − − b y) = (2x+3) (1 )2 − x
( )
2
c) y =cos 5x 1− d) y = (2x+5)3
C©u2 (4 điểm) : Cho hµm sè: y x= −3 2x2+3 ( C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0=1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ y0=3
Đề
Câu (4 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau: a) y =2x6−3x4 +2x3 −5x2 −3
3
2
) (3 2)(1 )
b y = x− − x
c) y sin 3x 5 = 2( + ) d) y = (3x−2)3
Câu (4 im) :Cho hàm số: =1 3 2+2
y x 2x ( C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0=-1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-3x +5
ĐỀ
Câu 1(6đ): Tính đạo hàm hàm số sau
a) y=x7−7x5+5x3 b)
2
− + =
x x y
c) y=x2.cosx d) y=sin (sin x3 2+2011)
Câu (2đ) Cho hàm số y x x= 2( + 1) Giải bất phương trình: y 0′ ≤
Câu (2đ) Cho hàm số y x= 4−x2+ có đồ thị (C)
Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x0 =
Đề
Câu 1: Tính đạo hàm hàm số sau:
a) 2011
2
5
+ + − +
= x x x x
(6)c)
3
+ − −
− −
x x x
y
Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
1 + + =
x x y
a) Tại điểm A(0; 2)
b) Tại điểm có tung độ
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4y+x -2011=0
Câu 3: a) Cho hàm số y=mx3−x2+3x+2011 Tìm m để y'< ∀x∈R
b) Cho hàm số f(x)= x2+1 g(x)= x4 −3 Giải bất phương trình f'(x)≤g'(x)
Đề
Câu 1: Cho hàm số ( )
2
x f x
x
− =
+
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x0 = −
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=5x+
Câu 2: Tính đạo hàm hàm số sau:
( ) ( )
4
3
3 2
2
) ; ) 1;
2
4
) sin sin ; )
3
x x x
a y b y
x
c y x x d y x x x
−
= = + +
+
= + = + −
Câu 3: Cho y= − +x3 3x2+mx−
a) Khi m = 0, giải bất phương trình y′>
b) Tìm m để y′ < ∀ ∈ ¡ 0, x Câu 4: Cho hàm số tan 2
1 tan
x y
x
=
+ , chứng minh y′ =cos 2x
Đề
Câu 1: tính đạo hàm sau
a) y=x3−3x2 + b) y= − −x4 2x2+
c)
3
x y
x
+ =
− d)
2
2
x x
y
x
+ +
=
Câu 2: viết phương trình tiếp tuyến hàm số
5
x y
x
+ =
+ điểm có hồnh độ x0 = − Câu 3: cho hàm số y = xcosx
a) tính y′ Suy ( )