C¸c tiÕt luyÖn tËp viÖc gi¶i bµi tËp cña häc sinh vµ viÖc ch÷a bµi tËp cña gi¸o viªn trªn líp ®ang dõng l¹i ë viÖc t×m ra lêi gi¶i , viÖc lµm nµy kh«ng qu¸ khã... Yªu cÇu chøng minh hai[r]
(1)Phơng pháp tìm lời giải toán chứng minh hình học I Nhận thức cũ tình trạng cũ:
Vic dy tt hc tt mụn toán nhà trờng THCS quan trọng, sở, tiền đề để giúp học sinh học tốt môn học khác Đồng thời móng vững để học sinh tiếp tục học tốt mơn tốn lớp Dạy tốt học tốt mơn tốn giúp học sinh có phơng pháp tự học, tự tìm tịi có phơng pháp học tốt môn học khác Để giúp học sinh học tốt mơn hình học thì: Việc phát triển lực t cho em tìm lời giảI tốn chứng minh hình học cần thiết Nhiều học sinh gặp tốn chứng minh hình học cịn lúng túng khơng biết xuất phát từ đâu, suy nghĩ nh để tìm lời giải trình bày lời giảI tốn chứng minh hình học
Các tiết luyện tập việc giải tập học sinh việc chữa tập giáo viên lớp dừng lại việc tìm lời giải , việc làm khơng khó Nếu tiết chữa tập nh giáo viên dẫn học sinh đến bị động , phụ thuộc vào lời giải thầy tự giải tập học sinh máy móc thiếu sáng tạo Một tiết chữa tập nh giáo viên khơng khơi dậy đợc óc tị mò , sáng tạo , chất tò mò ham khám phá học sinh Việc dạy học mơn tốn nh trở nên nhạt nhẽo gây mệt mỏi học sinh
II Nhận thức giải pháp mới:
Vy để bớc đầu giúp em biết đặc biệt hoá, khái qt hố để khai thác sâu hơn, từ đa toán yêu cầu cần thiết ngời giáo viên dạy toán gúp em phát triển t sáng tạo học tập
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm chúng tôI rút số kinh nghiệm Phơng pháp tìm lời giải toán chứng minh hình học Với nh÷ng vÝ dơ thĨ sau gióp häc sinh tõng bớc hoàn thành kỹ :
- Tỡm hiểu đề bài, suy nghĩ tìm tịi lời giải, trình bày lời giải - Tập khai thác toán tập đề xuất toán
Bài toán : Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai đờng tròn M N Chứng minh MN quay quanh A :
Câu a: Góc MBN khơng đổi. Câu b: Góc MPN khơng đổi , (P giao điểm OM O’N) * Tìm hiểu đề bài:
Bài tốn cho hai đờng trịn cắt Avà B cát tuyến MAN thay đổi qua A
yêu cầu chứng minh hai góc có giá trị không đổi cát tuyến quay quanh A
* Cách tìm lời giải :
a) Chứng minh BMN BNM khơng đổi từ suy MBN không đổi b) Chứng minh MPN OAO khụng i
* Cách giải:
a) Xột tam giác BMN có BMN BNM góc nội tiếp hai đờng tròn (O) (O’) chắn cung AmB cung AnB cố định nên chúng có giá trị không đổi suy MBN tam giác BMN khơng đổi (vì tổng ba góc 1800)
b) MPN = 1800 – (PMN + PNM) Do OMA = A
1 ; O’NA = A3
3
n m
A
B
N M
O
O '
(2)Mµ OAO’ = 1800 – (A
1 + A3) Từ suy MPN = OAO’ khụng i
* Khai thác toán :
Có thể đặt thêm câu hỏi sau:
Câu c: Chứng minh bốn điểm O; P; B; O’ nằm đờng trịn. Câu d: Nếu góc P = 900 Hãy tính OO’ theo bán kính R r
Bài tốn 2: Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt M N Qua M ta kẻ hai cát tuyến AB CD cho MN phân giác góc CMB
Chứng minh AB = CD * Tìm hiểu đề bài:
Bµi cho (O) (O) cắt hai cát tuyến AB CD ; qua giao điểm M CMN = NMB
Yêu cầu chứng minh hai cát tuyến * Cách tìm lời giải:
Do MN phân giác CMB nên M1 = M2 Xét cặp góc nội tiếp
nhau MAN = MCN MDN = MBN Suy : ANB = CND Sau chứng minh ΔANC cân ΔANB = ΔCND để có AB = CD * Cách giải:
Ta cã : MAN = MCN (hai gãc néi tiÕp ch¾n cung MN (O)) MDN = MBN (hai gãc néi tiÕp ch¾n cung MN (O’))
ANB = CND
Mặt khác : AMN + CAN = 1800 (vì AMNC néi tiÕp)
M2 = CAN = M1 = CAN VËy ΔCNA c©n NA = NC
ΔANB = ΔCND AB = CD * Khai thác toán :
Cõu1: Vn gi nguyên hai đờng tròn (O) (O’) cắt M N nhng thêm điều kiện sau: OM ON hai tiếp tuyến với đờng tròn (O’) ; OO’ cắt cung MN P nằm (O’) mà MP NP cắt (O’) theo thứ tự M’ ; N’
Chøng minh ba ®iĨm M’ ; O ; N thẳng hàng
Câu 2: Với toán ta chứng minh điều ngợc lại : Cho hai cát tuyến AB CD Chứng minh MN phân giác góc CMB
Bài tốn 3: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Từ A vẽ dây AE vẽ tiếp tuyến với đờng tròn (O) B E cắt G
a) Chøng minh r»ng : OG // AE vµ AOE = EGB
b) Suy c¸ch dùng tứ giác ABGE có AB = cm BGE = 500
* Tìm hiểu đề bài:
Bài cho (O) đờng kính AB dây AE hai tiếp tuyến B E cắt G Yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng song song hai góc từ suy cách dựng tứ giác biết cạnh AB góc khơng kề
2
D
B C
A
N M
O O '
1
G
O B
A
(3)* Cách tìm lời giải:
a) Chng minh hai góc đồng vị A1 = O2 Suy OG // AE
Chøng minh AOE = EGB V× có cạnh tơng ứng vuông góc b) Dựng tam giác OAE có cạnh AO = 1,5 cm góc AOE = 500
Dựng tiếp tuyến B E cắt G * Cách giải:
a) Ta cã : O1 = O2 (v× ΔOGE = ΔOGB) Mµ A1 = 1/2EOB
A1 = O2 OG // AE Do GE BG tiếp tuyến
Suy B = E = 900 Suy AOE = EGB
b) Dựng đờng trịn tâm O đờng kính AB = cm
Dùng tam gi¸c AOE biÕt OA = 1/2AB = 1,5 cm vµ AOE = 500 Tõ E vµ B
dựng đờng vng góc với OB OE cắt G Tứ giác ABGE thoả mãn AOE = EGB = 500
Bài toán có nghiệm hình
* Khai thác toán :
Ta đặt thêm câu hỏi sau:
c) Xác định vị trí E (O) cho tứ giác AOGE hình bình hành Khi tứ giác EOBG hình ?
d) Tính chu vi hình bình hành AOGE cđa tø gi¸c EOBG , theo b¸n kÝnh R cđa (O)
Bài tốn 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính DE Điểm G (O) điểm H OE Kẻ HI vng góc với DG phân giác góc GDE cắt đờng trịn (O) K; cắt IH L GL cắt (O) M
a) Chøng minh : IH // GE
b) Chứng minh : IHD = GMD * Tìm hiểu đề bài:
Bài cho (O) đờng kính DE hai điểm G (O) ; H DE với HI vng góc với DG Gọi K L theo thứ tự giao điểm phân giác góc GDE với (O) IH Gọi M giao điểm GL với (O) Yờu cu chng minh
hai đoạn thẳng song song hai góc * Cách tìm lời gi¶i:
a) Chứng minh hai đờng thẳng EG HI vng góc với DG Suy OG // AE
b) §Ĩ chøng minh H1 = M2 Ta chøng minh H1 = E ; M2 = E
* Cách giải:
a) Ta cú : DGE = 900 (góc nội tiếp chắn đờng trịn)
Mà IH DG (gt) Suy HI // GE (vì GE HI vng góc với DG) b) HI //GE E = H1 (cặp góc đồng vị)
mµ E = M2 (gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung DG)
H1 = M2 Tøc lµ IHD = GMD
* Khai thác toán :
L
1
2 H O
E D
G K
(4)Có thể đặt thêm câu hỏi sau :
c) Chứng minh điểm D ; L ; H ; M nằm đờng tròn d) Chứng minh điểm H ; K ; M thẳng hàng
HD: c) Do H1 = M2 ( câu b) nên H M nhìn DL dới góc
Suy điểm D ; L ; H ; M nằm đờng tròn d) GMH = D2 (1) (Góc nội tiếp chắn cung LH)
Mặt khác : GMK = D1 (2) (gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung GK)
Tõ (1) vµ (2) suy : GMK = GMH Vậy điểm H ; K ; M thẳng hàng
Bài toán 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H giao điểm hai đờng cao AA’ BB’
a) Chøng minh r»ng : CA’ CB = CB’ CA
b) AA’ kéo dài cắt đờng tròn (O) H’ Chứng minh H H’ đối xứng qua cạnh BC Từ rút nhận xét điểm H’ thuộc đờng
* Tìm hiểu đề bài:
Bài cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O trực tâm H Yêu cầu chứng minh hệ thức hai điểm H H’ đối xứng qua cạnh BC, từ rút nhận xét
* C¸ch tìm lời giải:
a) Chng minh hai tam giỏc vuông đồng dạng CA’A CB’B
b) Chứng minh BA’ phân giác góc HBB’ tam giác HBH’ cân B Từ suy H H’ đối xứng qua BC
Nhận xét : Điểm H’ đối xứng H qua cạnh BC nằm (O) * Cách giải:
a) Ta cã : A1 = B1 (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Xét hai tam giác vuông CAA vµ CB’B cã : A1 = B1 ; A’ = B’
CA’A CB’B CA '
CA = CB'
CB hay CA’ CB = CB’ CA
b) A1 = B2 (cïng ch¾n cung H’C)
mà A1 = B1 B1 = B2 BHH’ có phân giác BA’ vừa đờng cao
nên BHH’ cân A’H = A’H’ Tức H H’ đối xứng qua BC
Rút kết luận : Điểm đối xứng trực tâm H qua cạnh tam giác nằm đờng trịn ngoại tiếp tam giác
* Khai thác toán :
c) Gọi P điểm đối xứng O qua BC Hãy chứng minh tứ giác AOPH hình bình hành
d) Giả sử A chuyển động cung BAC Tìm quỹ tích trực tâm H
Bài toán 6: Cho tam giác ABC vng A có đờng cao AH đờng trịn (O) ngoại tiếp tam giác AHC Gọi D diểm đối xứng B qua H ; Nối AD cắt (O) E Chứng minh :
a) AH2 = HD HC CH tia phân giác góc ACE
b) Tam giác HAE cân vµ HO // EC
2
2
A ' O
C B
A
H '
B ' H
(5)* Tìm hiểu đề bài:
Bài cho đờng trịn (O) ngoại tiếp tam giác vng AHC đỉnh A tam giác vng ABC H chân đờng cao Lờy BC cho HB = HD ; AD cắt (O) E Yêu cầu chứng minh hệ thức tia phân giác ; Chứng minh tam giác cân hai đoạn thẳng song song
* C¸ch tìm lời giải:
a) Xột tam giỏc vuụng ABC với đờng cao AH áp dụng hệ thức h2 = b’ c’ Để
chøng minh C1 = C2 Lu ý : A1 = C2 ; A1 = C1
b) Dựa vào kết C1 = C2 câu a để chứng minh tam giác HAE cân
Ngoµi chøng minh HO EC vuông góc với AE * Cách gi¶i:
a) ABC có : AH2 = BH HC = HD HC (vì B D đối xứng qua H)
A2 = C2 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE)
A1 = C1 (gãc cã cạnh tơng ứng vuông góc)
Mà A1 = A2 (ABD c©n)
A2 = C2
C1 = C2 Nên CH phân giác gãc ACE
b) C1 = E1 (cïng ch¾n cung AH)
mµ A2 = C2 ; C1 = C2 E1 = A2 HAE cân H
Do AEC = 900 ; H O cách A E nên OH đờng trung trực
AE Tøc OH AE Vậy EC OH vuông góc với AE nên EC // OH * Khai thác to¸n :
Nếu ABD có cạnh a Chứng minh : c) Tứ giác ACEH hình thang cân
d) TÝnh theo a vµ cạnh diện tích tứ giác ACEH
* H ớng dẫn HS giả i:
Cách1: C/m: gãc MBN = gãc MCN = 900
□ MBCN néi tiÕp
C¸ch2: C/m: gãc BCM = gãc BNM □ MBCN néi tiÕp
C¸ch3: C/m: gãc MNC = gãc ABC □ MBCN néi tiÕp
1
2
1
H
O
C B
A
D
(6)Nhận xét: Từ câu c giáo viên cho häc sinh nhËn thÊy ba ®iĨm A, D, O’ (O trung điểm MN) thẳng hàng, nên ta có câu hỏi:
Câu d: Gọi O trung ®iĨm cđa MN Chøng minh ba ®iĨm A, D, O’ thẳng hàng Trong hình có tứ giác néi tiÕp ?
* H íng dÉn HS gi¶ i:
Cách 1: C/m : ba điểm A, D, O’ thuộc đờng trung trực BC Cách 2: C/m: AD l ng trung tuyn
của tam giác cân AMN Cách 3: C/m: AD AO
các tia phân giác góc MAN
ba điểm A, D, O thẳng hàng
* H ớng dẫn HS C/m :
c¸c tø gi¸c néi tiÕp : □ BDO’M ; □ CDO’N NhËn xÐt: tõ gi¶ thiÕt ë c©u c) ta cã c©u hái: C©u e: Chøng minh: AB MB = NB CD * H íng dẫn HS giải :
Cách 1: C/m ABD NBM (g - g)
⇒AB
BN= BD BM
CD = BD (gt)
C¸ch 2: C/m: BM = CN (1)
CND BNA (g - g)
⇒CN
BN= CD
BA (2)
tõ (1) vµ (2) AB MB = NB CD
NhËn xÐt: tõ kÕt qu¶ ë câu d) ta thấy tia BD CD tia phân giác góc CBO góc BCO nên ta có câu hỏi:
Cõu g: Chng minh D tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BO’C. * H ớng dẫn HS giải :
Tõ □ BCNM néi tiÕp ; □ CDO’N néi tiÕp gãc C1 = gãc N1 ; gãc C2 = gãc N1
gãc C1 = gãc C2
CD phân giác góc BCO
Tõ □ BCNM néi tiÕp ; □ BDO’M néi tiÕp gãc B1 = gãc M1 ; gãc B2 = gãc M1
gãc B1 = gãc B2
BD phân giác góc CBO’ Vậy D tâm đờng tròn nội tiếp
(7)tam giác BOC
Bài toán : (BT 59 SGK)
Cho hình bình hành ABCD Đờng trịn qua ba đỉnh A, B, C cắt đờng thẳng CD P khác C
C©u a: Chøng minh: AP = AD.
* H íng dÉn HS vẽ hình : Có hai cách vẽ hình
C¸ch 1: gãc A tï C¸ch 2: gãc A nhọ
Bài toán hớng dẫn HS khai thác toán theo hình vẽ cách1 với hình vẽ cách hoàn toàn tơng tự
* H íng dÉn HS gi¶i : C/m : AP = AD Ta chøng minh:
NhËn xÐt: Qua c©u a ta thÊy:
- Nếu tứ giác ABCP nội tiếp đờng trịn (O) suy đợc: góc APD = góc B Nghĩa tứ giác nội tiếp đờng
trịn góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
- Ta dễ dàng chứng minh đợc mệnh đề đảo Từ rút đợc dấu Từ với giả thiết tốn ta cú cõu hi:
Câu b: Kẻ AM DC ; CK AD ; AM CK = H . Chøng minh tø gi¸c AHCB néi tiÕp
* H íng dÉn HS gi¶i :
C¸ch1: C/m : gãc AHK = gãc ABC □ AHCB néi tiÕp
C¸ch2: C/m : gãc HAB + gãc HCB = 1800 □ AHCB néi tiÕp.
Nhận xét: Nếu kéo dài AP BC cắt E Ta chứng minh đợc bốn điểm O, P, E, B thuộc đờng trịn Từ ta có câu hỏi:
C©u c: Gäi AP BC = E Chøng minh tø gi¸c OPEB nội tiế Câu d: Chứng minh tứ giác AOCE nội tiÕp
* H íng dÉn HS gi¶i : (Gi¶i tơng tự câu c)
Nhn xột: Ni AC ; BP ta chứng minh đợc OAC = OBP góc B1 = C1 từ ta
hái
C©u e: Gäi AC BP = I Chứng minh tứ giác OICB nội Câu g: Chứng minh tø gi¸c AOIP néi tiÕp
* H íng dÉn HS giải : (Giải tơng tự câu e)
Nhn xét: Ta kẻ PF vng góc với AB (F thuộc AB) Các điểm Q N lần lợt trung điểm AC BP ta chứng minh đợc tứ giác AFNP hình bình hành từ ta có câu hỏi:
gãc APD = gãc ABC
(8)C©u h: Gäi Q ; N lần lợt trung điểm AC BP F hình chiếu P AB Chứng minh tứ giác AFNQ hình bình hành
Nhận xét: Nếu xét toán trờng hợp đặc biệt với góc AOB = 1200 ;
góc POC = 900 ta dễ dàng tính đợc độ dài AB PC theo R (R bán kính
đ-ờng trịn) ta có câu hỏi:
C©u k: Cho gãc AOB = 1200 ; gãc POC = 900 TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABCP theo R
(với R bán kính đờng trịn)
III Kết đạt đợc:
Năm học 2007 – 2008 đợc phân cơng giảng dạy mơn tốn lớp 9A; 9B; 9C; 9D
Với việc áp dụng phơng pháp khai thác tốn nói dạy dạy tiết luyện tập lớp 9A 9D, chúng tơi nhận thấy khơng khí lớp học trở nên sôi , hứng thú nhiều, từ tốn đơn giản qua cách khai thác học sinh tự tìm đợc tập tơng tự giải tập phức tạp đặc biệt học sinh giỏi , nhiều học sinh từ chỗ học yếu kiến thức lơ mơ , máy móc, thụ động đến có nhiều tiến hẳn lên
Kết kiểm tra cui chng IV t:
Lớp Điểm giỏi Điểm §iĨm TB §iĨm Ỹu §iĨm kÐm
TS % TS % TS % TS % TS %
9A cã ¸p dông skkn 15 37,5 20 50 12,5 0 0 9C kh«ng ap dơng
skkn 0 6,7 20 44,4 19 42,2 6,7
9D cã ¸p dơng skkn 7,1 10 23,8 25 59,5 9,5 0 9B kh«ng ap dơng
skkn 0 22 44 21 42
Đặc biệt với cách khai thác vận dụng việc bồi dỡng HS giỏi năm học 2007 – 2008 có em đợc cơng nhận học sinh giỏi cấp huyện
IV Bµi häc kinh nghiƯm:
Để có tiết chữa tập áp dụng đợc kinh nghiệm theo thân ngời giáo viên phải:
+ Không ngừng học tập nâng cao kiến thức toán, khả phân tích tổng hợp , đặc biệt hố , khai thác hố giải tập
+ Có lịng say mê u nghề từ thờng xun mày mò để phát mà học sinh thiếu cịn cần để có biện pháp khắc phục
+ Phân nhóm đối tợng học sinh lớp để có cách khai thác
tốn tuỳ vào đối tợng mà phân Từ đặt yêu cầu nhóm học sinh
+ Cần phải nghiên cứu kỹ để chọn tốn , phân tích để nắm đợc đặc
điểm chất toán yếu tố cấu tạo nên tốn để đặc biệt hoá, hay phát biểu dới dạng toán đảo, phát mối liên hệ yếu tố tạo nên để thay đổi mối liên hệ từ phát triển tốn giải tốn
(9)