së gi¸o dôc ®µo t¹o së gi¸o dôc ®µo t¹o nam §þnh §ò thi tuyón sinh líp 10 thpt §ò chýnh thøc n¨m häc 1999 – 2000 m«n to¸n thêi gian lµm bµi 150 phót ngµy thi 15 7 1999 bµi 1 15 ®ióm cho bióu thøc

Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC.[r]

(1)

Sở giáo dục - đào tạo

Nam Định Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT

Đề thức Năm học 1999 2000 Môn : Toán

Thời gian lµm bµi : 150 phót Ngµy thi 15 -7 - 1999

Bài (1,5 điểm )

Cho biÓu thøc : A=√x2− x +4 4 x

1, Với giá trị x th× biĨu thøc A cã nghÜa ? 2, TÝnh giá trị biểu thức A x = 1,999 Bài (1,5 điểm )

Giải hệ phơng trình :

¿

x−

1

y −2=− 1

4

x+

3

y 2=5

{ Bài (2,0 điểm )

Tìm giá trị a để phuơng trình :

( a2 - a - ).x2 + ( a + ).x - 3a2 =

Nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại phơng trình Bài (4,0 điểm )

Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A B Đờng trịn đờng kính BD cắt cạnh BC E Đờng thẳng AE cắt đờng trịn đờng kính BD điểm thứ G Đờng thẳng CD cắt đờng trịn đờng kính BD điểm thứ F Gọi S giao điểm đờng thẳn AC BF

Chøng minh r»ng:

1, Đờng thẳng AC song song với đờng thẳng FG 2, SA.SC = SB.SF

Bài (1,0 điểm )

Giải phơng trình : x2

+x +12x +1=36

HÕt

Sở giáo dc - o to

Nam Định Đề thi tuyển sinh líp 10 THPT

§Ị chÝnh thøc Năm học 2000 2001 Môn : Toán

Thời gian làm : 150 phót Ngµy thi -7 - 1999

Bài (2 điểm)

(2)

A=(a+a

√a+1+1).( a −√a

√a − 1−1) víi a 0, a

1, Rót gän biĨu thøc A

2, Tìm a a thoả mãn đẳng thức : A = -a2.

Bµi ( ®iĨm)

Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm M(2;1), N(5; −1

2 ) đờng thng(d)

có phuơng trình: y = ax + b

1, Tìm a, b để đờng thẳng (d) qua điểm M N ?

2, Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng MN với trục Ox, Oy Bài ( điểm)

Cho số nguyên dơng gồm hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số

8 số cho, thêm 13 vào tích chữ số đợc số viết theo thứ tự

ngợc lại với số cho Bài (3 điểm)

Cho tam giác nhọn PBC Gọi A chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đ-ờng trịn đĐ-ờng kính BC cắt PB, PC lần lợt M N Nối N với A cắt đĐ-ờng trịn đĐ-ờng kính BC điểm thứ hai E

1, Chứng minh bốn điểm A, B, N, P nằm đờng tròn Xác định tâm đờng trịn

2, Chøng minh EM vu«ng gãc víi BC

3, Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh : AM.AT = AN.AE Bài ( 1điểm)

Giả sử n số tự nhiên Chứng minh bất đẳng thức :

1 2+

1 3√2+

1

4√3+ .+

n√n −1+

1

(n+1)√n<2

HÕt

Sở giỏo dc - o to

Nam Định Đề thi tun sinh líp 10 THPT

§Ị chÝnh thức Năm học 2001 2002 Môn : Toán

Thời gian làm : 150 phót Ngµy thi 15 -7 - 2001

Bài (1,5 điểm)

Rút gọn biểu thức :

M=(1 −a√a

1 −√a +√a)

1

1+√a víi a 0, a

Bµi ( 1,5 điểm)

Tìm số x, y thoả mÃn điều kiện :

x2

+y2=25 ¿x y=12

(3)

Hai ngời làm chung cơng việc hồn thành Nếu ngời làm riêng để hoàn thành cơng việc thời gian ngời thứ làm ngời thứ Hỏi làm riêng ngời phải làm hồn thành cơng việc

Bµi ( điểm )

Cho hàm số sau : y = x2 (P) ; y = 3x + m2 (d)

(x lµ biÕn sè, m lµ sè cho tríc )

1, Chứng minh với giá trị m đờng thẳng (d) ln cắt Parabol (P) điểm phân biệt

2, Gọi y1, y2 tung độ giao điểm đờng thẳng (d) Parabol (P)

Tìm m để có đẳng thức : y1 + y2 = 11y1y2

Bài ( điểm)

Cho tam giỏc ABC vuông đỉnh A Trên cạnh AC lấy điểm M (khác A C) Vẽ đờng trịn đờng kính MC, gọi T giao điểm thứ cạnh BC với đờng tròn (O) Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ S

Chøng minh :

a, Tứ giác ABTM nội tiếp đợc đờng tròn

b, Khi điểm M di chuyển cạnh AC góc ADM có số đo khơng đổi c, Đờng thẳng AB song song với ST

HÕt

Sở giáo dc - o to

Nam Định Đề thi tuyển sinh líp 10 THPT

§Ị chÝnh thøc Năm học 2002 2003 Môn : Toán

Thời gian làm : 150 phót Ngµy thi -7 - 2002

Cho biểu thức : S=( √y x+√xy+

√y x −√xy):

2√xy

x − y víi x > 0; y > vµ x y

1, Rót gän biĨu thc trªn

2, Tìm giá trị x y để S = Bài ( điểm)

Trªn Parabol y =

2 x2 lấy điểm A B Biết hoành độ điểm A xA=

-2 tung độ điểm B yB = Viết phơng trình đờng thẳng AB

Bài ( điểm)

Xỏc inh giỏ tr m phơng trình bậc hai : x2 - 8x + m = để 4 +

√3 nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc phơng trình cho cịn nghiệm Tìm nghim cũn li y ?

Cho hình thang cân ABCD ( có AB // CD AB >CD ) nội tiếp đ ờng tròn (O) Tiếp tuyến đờng tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm đờng chéo AC BD

(4)

2, Chứng minh đờng thẳng EI AB song song vi

3, Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tơng øng ë R vµ S Chøng minh r»ng

a, I trung điểm đoạn RS b,

AB+ CD=

2 RS

Bµi (1 ®iĨm)

Tìm tất cặp số ( x; y ) nghiệm phơng trình: (16 x4+1) (y4

+1)=16 x2y2

HÕt

S giỏo dc - o to

Nam Định §Ị thi tun sinh líp 10 THPT

Thời gian làm bµi : 150 phót Ngµy thi -7 - 2003

Bài (2 điểm) Giải hệ phơng trình :

x+

5

x + y=2

3

x+

1

x + y=1,7

¿{ ¿ Bµi ( ®iĨm)

Cho biĨu thøc : P=

√x+1+ x

√x − x víi x > vµ x

a, Rót gän biểu thức P

b, Tính giá trị biểu thøc P x =

√2

Bµi ( ®iĨm)

Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Biết đờng thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ song song với đờng thẳng

y = -2x +2003 a, T×m a, b ?

b, Tìm toạ độ điểm chung ( có ) ( d ) Parabol y=−1

2x

2

Bài ( điểm)

Cho ng trịn (O) có tâm điểm O điểm A cố định nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ với đờng tròn (O); P Q tiếp điểm Đ-ờng thẳng qua O vng góc với OP cắt đĐ-ờng thẳng AQ M

1, Chøng minh r»ng : MO = MA

2, Lấy điểm N cung lớn PQ đờng tròn (O) cho tiếp tuyến N đờng tròn (O) cắt tia AP AQ tơng ứng B C

a, Chứng minh rằng: AB + AC - BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N b, Chứng minh rằng: Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng trịn PQ song song với BC

Bµi ( ®iÓm)

(5)

√x2

−2 x −3+√x +2=√x2+3 x+2+√x −3

HÕt

Thêi gian lµm bµi : 150 phót Ngµy thi -7 - 2004

1, Đơn giản biểu thức :

P=14+65+14 6√5

2,Cho biÓu thøc :

Q=( √x+2

x +2√x+1−

√x − 2 x −1 ).√

x+1

√x víi x > vµ x

a, Chøng minh Q= x − 1

b, Tìm số ngun x lớn để Q có giá trị số nguyên Bài ( điểm)

Cho hệ phơng trình : (a+1) x + y =4

¿a x+ y=2 a ¿{

¿

( víi a lµ tham sè )

1, Giải hệ phơng trình a =

2, Chứng minh với giá trị a, hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt ( x;y ) cho x + y

Bµi ( ®iĨm)

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm phân biệt, chuyển động (d) cho M khác A Q khác A Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N P

Chøng minh :

1, Tích BM.BN khơng đổi

2, Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc đờng tròn 3, Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > R Bài ( điểm)

Tìm giá trị nhỏ hàm số : y= x

2

+2 x+

√x2+2 x+5

HÕt

Sở giỏo dc- o to

Nam Định Trờng THPT chuyên Lê Hồng PhongĐề thi tuyển sinh lớp 10

(6)

Thêi gian lµm bµi : 120 phót Ngµy thi -7 - 1998

Bài1.(1 điểm)

Giải phơng trình: 0,5 x4 + x2 1,5 = 0

Bài 2.(1,5 điểm)

Đặt M = √57+40√2 vµ N = √57− 40√2

Chøng tá r»ng: 1, M – N = 10 2, M3 N3 = 1210

Bài 3.(2,5 điểm)

Cho phơng trình: x2 px + q = ( p 0 )

a, NÕu 2p2 9q = phơng trình có nghiƯm vµ nghiƯm Êy cã 1

nghiệm gấp đơi nghiệm

b, Nếu phơng trình có nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm 2p2 9q =

Bài 4.(3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Gọi H chân đờng vng góc kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC Đờng tròn (A;AH) cắt cạnh AB AC lần lợt M N Đ-ờng phân giác góc AHB góc AHC cắt đoạn thẳng MN lần lợt I K

a, Chứng minh tứ giác HKNC nội tiếp đợc đờng tròn b, Chứng minh: HI

AB= HK AC

c, Gọi S S lần lợt điện tích tam giác ABC AMN Chứng minh rằng: S 2S

Bài 5.(1,5 điểm)

Tỡm tt c giá trị x để biểu thức F = x 2

x

Đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ấy?

HÕt

Sở giáo dục- o to

Nam Định Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong§Ị thi tun sinh líp 10

§Ị chÝnh thức Năm học 1999 2000 Môn : Toán ( Đề chung ) Thời gian lµm bµi : 120 phót

Ngµy thi 12 - - 1999

Bµi 1.(2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc: N= a

√ab+b+

b

√ab −a−

a+b

√ab

( Víi a, b > 0, vµ a b ) 1, Rót gän N

(7)

Cho phơng trình: x4 2mx2 + m2 = 0

1, Giải phơng trình m = 3

2, Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt

Bài (1,5 điểm) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A (2;-3) Parabol (P) có phơng trình là: y = -

2 x

2

( P )

1,Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k qua điểm A(2;-3)

2,Chứng minh rằng: Bất đờng thẳng qua A(2;-3) không song song với trục tung cắt Parabol ( P ) điểm phân biệt

Bµi 4.(4 ®iĨm)

Cho đờng trịn (O;R) đờng thẳng ( d ) cắt đờng tròn(O;R) điểm phân biệt A B Từ điểm M đờng thẳng ( d ) ngồi đờng trịn (O;R) kẻ tiếp tuyến MP MQ đến đờng tròn (O; R), P Q tiếp điểm

1, Gọi I giao điểm MO với đờng tròn(O;R) Chứng minh I tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác MPQ

2, Xác định vị trí điểm M đờng thẳng (d) cho tứ giác MPOQ hình vng

3, Chứng minh M di chuyển đờng thẳng ( d ) tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc đờng thẳng cố định

HÕt

S giỏo dc- o to

Đề thức Năm học 2000 2001 Môn : Toán ( Đề chung )

Thêi gian lµm bµi : 150 phót Ngµy thi - - 2000

Bài 1.( 2,5 điểm )

Cho biểu thøc: T = x+2 x√x −1+

√x +1 x +√x+1−

√x +1

x − 1 Víi x > vµ x

1, Rót gän biĨu thøc T

2, Chøng minh r»ng víi mäi x > x có T <

3

Bài (2,5 điểm)

Cho phơng trình: x2 2mx + m2 -

2 = (1)

1, Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm phơng trình có giá trị tuyệt đối

2, Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền

(8)

Trên hệ trục toạ độ Oxy cho Parabol có phơng trình y = x2 Viết phơng trình

của đờng thẳng song song với đờng thẳng y = 3x +12 có với Parabol (P) ỳng im

Bài 4.(4điểm)

Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB = 2R Một điểm M chuyển động đờng tròn (O;R), ( M A,B ) Gọi H hình chiếu vng góc M đờng kính AB Vẽ đờng trịn ( T ) có tâm M có bán kính MH Từ A B lần lợt kẻ tiếp tuyến AD BC đến đờng tròn ( T ), ( D C tiếp điểm )

1, Chứng minh M di chuyển đờng tròn ( O ) AD + BC có giá trị khơng đổi

2, Chứng minh đờng thẳng CD tiếp tuyến đờng tròn ( O)

3, Chứng minh với vị trí M đờng trịn (O) ln có bất đẳng thức AD.BC R2.Xác định vị trí M đờng trịn (O) để xảy dấu“ = ”

4, Trên đờng tròn (O) lấy điểm N cố định Gọi I trung điểm MN P hình chiếu vng góc I MB Khi điểm M di chuyển đờng trịn (O) điểm P chạy đờng ?

HÕt

S giỏo dc- o to

Nam Định Trờng THPT chuyên Lê Hồng PhongĐề thi tuyển sinh lớp 10 Đề thức Năm học 2001 2002

Môn : Toán ( Đề chung ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Ngµy thi - - 2000

Bài ( điểm).

Cho hệ phơng trình:

¿

x+ay=2

ax − y =1 ¿{

¿

( x, y lµ Èn, a tham số )

1, Giải hệ phơng trình

2, Tỡm s nguyờn a ln nht để hệ phơng trình có nghiệm (x0;y0) thoả mãn bất

ng thc x0.y0 <

Bài 2(1,5 điểm)

1, Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là: x1 =

4

3+√5 vµ x2 = 3 −√5

2, TÝnh: P = (

3+√5)

4

+( 35)

4

Bài ( điểm ).

Tìm m để phơng trình : x2 – 2x - |x − 1| + m = 0

Có hai nghiệm phân biệt Bài ( điểm )

Giả sử x, y số thoả mãnđẳng thức :

(√x2+5+ x).(√y2+5+ y)=5

Tính giá trị biểu thức M = x + y Bài 5( 3,5 điểm )

(9)

a, Tứ giác ABCD ngoại tiếp đợc đờng tròn

b, Tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn AB BC vng góc với

2, Giả sử AB vng góc với BC Gọi (N;r) đờng tròn nội tiếp (M;R) đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Chứng minh:

a, AB + BC = r + √r2

+4 R2

b, MN2 = R2 + r 2 - r

√r2

+4 R2

HÕt

Sở giáo dục- đào to

Nam Định Trờng THPT chuyên Lê Hồng PhongĐề thi tun sinh líp 10 §Ị chÝnh thøc Năm học 2002 2003

Môn : Toán ( Đề chung ) Thời gian làm bµi : 150 phót

Ngµy thi - - 2002

Bài 1( điểm).

1, Chứng minh với giá trị dơng cđa n ta lu«n cã:

1

(n+1)√n+n√n+1=

1

√n−

1

√n+1

2, TÝnh tæng:

S=

2+√2+ 3√2+2√3+

1

4√3+3√4+

1

100√99+99√100

Bµi 2( 1,5 ®iĨm)

Tìm đờng thẳng y = x + điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức:

y2− y√x+2 x=0 Bµi (1,5điểm).

Cho hai phơng trình sau: x2 (2m –3)x +6 = 0

2x2 + x + m – =

( x lµ Èn, m lµ tham sè )

Tìm m để hai phơng trình cho có nghiệm chung Bài (4 điểm).

Cho đờng trịn (O;R) với hai đờng kính AB MN Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A cắt đờng thẳng BMvà BN tơng ứng M1, N1 GọiP trung điểm

AM1, Q lµ trung ®iĨm cđa AN1

1, Chứng minh tứ giác MM1NN1 nội tiếp đợc đờng tròn

2, NÕu M1N1 = 4R tứ giác PMNQ hình ? Chøng minh ?

3, Đờng kính AB cố định , tìm tập hợp tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác BPQ đờng kính MN thay đổi

Bài (1 điểm ).

Cho ng trũn (O;R) hai điểm A,B nằm phía ngồi đờng trịn (O) với OA = 2R Xác định vị trí điểm M đờng tròn (O) cho biểu thức:

P = MA + 2MB Đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

(10)

Sở giáo dục- đào tạo

Đề thức Năm học 2003 2004 Môn : Toán ( Đề chung ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Ngµy thi - - 2003

Bài (1,5 điểm).

Cho phơng tr×nh x2 – 2(m + 1).x + m2 = víi x lµ Èn, m lµ sè cho tríc

1, Giải phơng trình cho m =

2, Tìm m để phơng trình cho có nghiệm dơng x1, x2 phân biệt thoả

m·n®iỊu kiÖn: x1

− x2

=4√2

Bài (2,0 điểm)

Cho hệ phơng trình

¿

x= y +2

xy +a2=−1 ¿{

¿

x, y ẩn, a số cho trớc

1, Giải hệ phơng trình cho với a = 2003

2,Tìm giá trị a để hệ phơng trình cho có nghiệm Bài (2,5 điểm)

Cho phơng trình √x −5+√9 − x=m với x ẩn, m số cho trớc 1, Giải phơng trình cho với m =

2, Giả sử phơng trình cho có nghiệm x = a Chứng minh phơng trình cịn có nghiệm x = 14 – a

3, Tìm tất giá trị m để phơng trình cho có nghiệm Bài (2,0 điểm)

Cho hai đờng trịn (O) (O’) có bán kính theo thứ tự R R’cắt hai điểm A B

1, Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn tiếp xúc với (O) (O’) lần lợt C D Gọi H K theo thứ tự giao điểm AB với OO’ CD Chứng minh rằng:

a, AK lµ trung tun cđa tam giác ACD

b, B trọng tâm tam giác ACD

OO' R R'

2

 

2, Một cát tuyến di động qua A cắt (O) (O’) lần lợt E F cho A nằm đoạn EF Xác định vị trí cát tuyến EF để diện tích tam giác BEF đạt giỏ tr ln nht

Bài 5.(2 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC Gọi D trung điểm cạnh BC, M điểm tuỳ ý cạnh AB ( không trùng với đỉnh A B ) Gọi H giao điểm đoạn thẳng AD CM Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp đợc đờng trịn có bất đẳng thức BC<√2 AC

HÕt

Môn : Toán ( §Ị chung ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Ngµy thi - - 2004

Bài 1( 2,0 điểm)

Rút gän biÓu thøc sau:

1, P= m− n

√m−√n+

m+n+2√mn

(11)

2, Q=a

2

b −ab2

ab :

√a −√b

√a+√b víi a > 0, b >

Bài ( 1,0 điểm )

Giải phơng trình : 6 x+x 2=2

Bài ( ®iĨm)

Cho đờng thẳng : (d1) : y = 2x +

(d2) : y = - x +

(d3) : y = mx ( m lµ tham sè )

1,Tìm toạ độ giao điểm A, B, C theo thứ tự (d1) với (d2); ( d1) với trục

hoµnh vµ (d2) víi trơc hoµnh

2,Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt hai đờng thẳng (d1), (d2)

3, Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt tia AB AC

Bài ( 3,0 ®iĨm )

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn ( O ) D điểm nằm cung BC không chứa điểm A Trên tia AD ta lấy điểm E cho

AE = DC

1, Chøng minh tam gi¸c ABE tam giác CBD

2, Xác dịnh vị trí cđa D cho tỉng DA + DB + DC lớn Bài ( 1,0 điểm )

Tìm x, y dơng thoả mÃn hệ

x+ y =1

8(x4

+y4)+ xy=5 ¿{

¿

HÕt

đại học quốc gia Hà nội

Trờng đại học Ngoại ngữ Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Độc lập - Tự - Hạnh Phúc

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 PTCnn năm 2003 Môn thi : To¸n

Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 17- 06- 2003

Câu 1.( 2,5 điểm )

Cho biÓu thøc

x x 1

A

x x x x x

 

  

   

1,Tìm x để A có nghĩa Hãy rút gọn A 2, Tính A với x = 33 2

3, Chøng minh r»ng

1 A

3

Câu ( điểm )

1, Ph©n tÝch biĨu thøc

2

(12)

2, Giải hệ phhơng trình

2

x x xy 2y 2y

x y

    

 

 



Câu (1,5 điểm )

Cho hàm số y = f(x) =

  

2

2x x x

x 3x

   

1, Tìm tập xác đinh hàm sè y = f(x)

2, Chøng minh y 3 Chỉ rõ dấu xảy nào?

Câu ( ®iĨm )

Cho đờng trịn (O) dây AB.Gọi M điểm cung AB; Điểm C nằm A B thuộc dây AB Tia MC cắt đờng tròn (O) tai D

1, Chøng minh MA2 = MC MD

2, Kẻ Bt tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh BM Bt thuộc đờng thẳng

3, Gọi O1là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ; O2là tâm đờng tròn ngoại

tiếp tam giác ACD Chứng minh C chuyển động AB tổng bán kính hai đờng trịn (O1) (O2) khơng đổi

Cho phng trình (x + 1)(x +2)(x+3)(x +4) = m Biết phơng trình cho có nghiệm phân biệt x1 , x2, x3, x4 Chứng minh tích x1 x2 x3 x4 = 24 – m

Hết đại học quốc gia Hà nội

Trờng đại học Ngoại ngữ Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Vit Nam

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 PTCnn năm 2004 Môn thi : Toán

Thi gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 13- 06- 2004

Bµi 1. ( 2,0 ®iĨm )

Cho biĨu thøc

2x x x x x x x x

M

x

x x 2x x x

     

   



   

 

a.Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa, sau rút gọn M

b Với giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ M ?

Bài 2.( 2,0 điểm ) a Giải phơng trình

   

x 3x2 x 7x 12 24

b Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc

2

P  2 5x  y  4xy2x

(13)

Gi¶i hệ phơng trình

2

6x 3xy x y

x y

   

 

 

Bài (3,0 điểm )

Cho ng tròn (O) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đờng tròn (O), ( A khác B, C ) Tia phân giác góc ACB cắt đờng trịn (O) điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đờng thẳng BI cắt đờng tròn (O) K khác điểm B

a Chøng minh tam giác KAC cân

b Chng minh ng thẳng AI qua điểm J cố định, từ xác định vị trí điểm A để độ dài đoạn AI lớn

c Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AC Tìm tập hợp điểm M A di động cung lớn BC đờng trũn (O)

Bài ( 1,0 điểm )

HÃy tìm cặp số (x;y) cho y nhá nhÊt tho¶ m·n : x2 + 5y2 + 2y – 4xy – = 0

HÕt

Môn : Toán ( Đề chuyên ) Thời gian làm : 150 phót

Khơng kể thời gian giao đề Bài 1( điểm)

Cho hƯ ph¬ng tr×nh:

¿ mx− y=− m

(1− m2)x+2 my=1+m2 {

a,Chứng minh hệ phơng trình có nghiệm với giá trị m

b, Gọi (x0,y0) nghiệm hệ phơng trình Chứng minh với giá trị m

luôn có: (x0)2 + (y0)2 =

Bài (2,5 điểm)

Gọi u v nghiệm phơng trình x2 + px + = 0

Gäi r vµ s nghiệm phơng trình x2 + qx + = 0

p q số nguyên

a, Chứng minh A = (u – r)(v – r)(u + s)(v + s) số nguyên b, Tìm điều kiện p q để A chia hết cho

Bµi (2 diểm)

Cho phơng trình ( ẩn x ):

( x2 + bx + c )2 + b( x2 + bx + c ) + c = (*)

Nếu phơng trình (*) vô nghiệm, chứng minh c số dơng Bài (1,5 điểm)

(14)

M N vẽ đờng thẳng Mx Ny tơng ứng song song với BD AC Các đờng thẳng Mx Ny cắt I Chứng minh đờng thẳng qua I vng góc với đờng thẳng (d) ln qua im c nh

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Phía tam giác ABC lấy điểm M Chứng minh r»ng:

MA.BC + MB.AC + MC.AB HA.BC + HB.AC + HC.AB

HÕt

Môn : Toán ( Đề chuyên Toán - Tin ) Thời gian lµm bµi : 150 phót

Khơng kể thi gian giao

Bài (1,5 điểm)

Víi x, y, z tho¶ m·n: x

y +z+ y x +z+

z x + y=1

H·y tính giá trị biểu thức sau: A= x

2

y +z+ y2 z +x+

z2 x + y

Bài 2.(2 điểm )

Tỡm m để phơng trình: x2+2 mx+1

x −1 =0 vô nghiệm

Bài ( 1.5 điểm )

Chứng minh bất đẳng thức sau :

√6+√6+√6+√6+√30+√30+√30+√30<9

Bài (2 điểm )

Trong nghiệm (x , y) phơng trình: (x2 - y2 + )2 + 4x2y2 + 6x2 - y2 = 0

hãy tìm tất nghiệm (x,y) cho t = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nht.

Bài ( điểm )

Trên nửa đờng trịn đờng kính AB đờng tròn (O) lấy điểm tơng ứng C D thoả mãn: AC2 + BD2 = AD2 + BC2

Gọi K trung điểm BC Hãy xác định vị trí điểm C D đờng tròn (O) để đờng thẳng DK qua trung điểm củaAB

(15)

Nam Định Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong§Ị thi tun sinh líp 10 §Ị chÝnh thøc Năm học 2000 2001

Môn : Toán ( Đề chuyên Toán - Tin ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Khơng kể thời gian giao đề

Bµi (1 điểm)

Giải phơng trình : x+x +1=1

Bài ( 1,5 điểm)

Tỡm tt c cỏc giá trị x không thoả mãn đẳng thức:

(m+|m|)x2− x +4

(m+|m|)=1

Dï m lÊy giá trị ? Bài ( 2,5 điểm)

Cho hệ phơng trình :

|x −1|+|y − 2|=1

( x − y )2+m( x − y − 1)− x − y =0 ¿{

¿

1, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x0,y0) cho x0 đạt giá trị lớn nht ?

Tìm nghiệm ?

2, Giải hệ phơng trình m = Bài ( 3,5 ®iĨm)

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Gọi P điểmchính cung AB; M điểm chuyển động cung BP Trên đoạn AM lấy điểm N cho AN = BM

1, Chøng minh tû sè NP

MN có giá trị khơng đổi M di chuyển cung

BP Tìm giá tr khụng i y ?

2, Tìm tập hợp điểm N điểm M di chuyển cung BP Bài ( 1,5 điểm)

Chứng minh với số nguyên dơng n bao giò tồn số nguyên dơng a b thoả mÃn :

¿

(1+√2001)n=a+b √2001

a2− 2001 b2

=(−2000)n ¿{

¿

HÕt

(16)

Đề thức Năm học 2001 2002

Môn : Toán ( Đề chuyên Toán - Tin ) Thời gian lµm bµi : 150 phót

Khơng kể thời gian giao đề

Bµi ( ®iĨm)

Tìm avà b thoả mãn đẳng thức sau :

(1+a1+√√aa−√a) a+√a

1− a =b

2−b+1

2

Bài ( 1,5 điểm)

Tỡm số hữu tỷ a, b, c đôi khác cho biểu thức : H=√

(a −b )2+ (b −c )2+

1 (c a )2

nhận giá trị số hữu tỷ Bài ( 1,5 điểm)

Giả sử a b số dơng cho trớc Tìm nghiệm dơng phơng trình : x (a x )+x (b x )=ab

Bài ( điểm)

Gọi A, B, C góc tam giác ABC Tìm điều kiện tam giác ABC để biểu thức : P=sin A

2 sin

B

2 sin

C

2 Đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ?

Bài (3điểm)

Cho hình vuông ABCD

1, Với điểm M cho trớc cạnh AB ( khác với A B ) , tìm cạnh AD điểm N cho chu vi tam giác AMN gấp hai lần độ dài cạnh hình vng cho

2, Kẻ đờng thẳng cho đờng thẳng chia hình vng cho thành tứ giác có tỷ số diện tích

3 Chứng minh đờng thẳng nói

có đờng đồng quy

HÕt

S giỏo dc- o to

Môn : Toán ( Đề chuyên Toán - Tin ) Thời gian làm : 150 phót

Khơng kể thời gian giao

Bài 1 ( điểm)

1, Với a, b số dơng thoả mÃn a2 - b2 > Chøng minh r»ng :

√a+√b=√a+√a2− b

2 +√

a −√a2− b

2

2, Không sử dụng máy tính bảng số, chøng tá r»ng:

7 5<

2+√3

√2+√2+√3+

2 −√3

(17)

Bµi 2 ( ®iĨm)

Giả sử x, y số dơng thoả mãn đẳng thức: x+ y=√10

Tìm giá trị x y để biểu thức sau:

P=(x4+1).( y4+1) Đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ ấy?

Bài ( điểm)

Giải hệ phơng trình:

x x − y+

y y − z+

z z − x=0 x

(x − y )2+

y

( y − z )2+

z

( z − x )2=0 ¿{

¿ Bµi ( 2,5 ®iĨm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) với BC = a, AC = b, AB = c Lấy điểm I phía tam giác ABC gọi x, y, z lần lợt khoảng cách từ I đến cạnh BC, AC, AB tam giác

Chøng minh r»ng : √x+√y +√z ≤√a2+b2+c2

2 R

Bài ( 1,5 điểm)

Cho hp P gồm 10 điểm có số cặp điểm đợc nối với đoạn thẳng Số đoạn thẳng có tập hợp P nối từ điểm A đến điểm khác gọi bậc điểm A Chứng minh tìm đợc điểm tập hợp P có bậc

HÕt

Nam Định Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong§Ị thi tun sinh líp 10

§Ị chÝnh thức Năm học 2003 2004

Môn : Toán ( Đề chuyên Toán - Tin ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Không kể thời gian giao đề

Bài (1,5 điểm)

Cho phơng trình x2 + x - = Chứng minh phơng trình có nghiệm

trái dấu Gọi x1 nghiệm âm phơng trình HÃy tính giá trị biÓu thøc:

1 1

P  x 10x 13 x

Bài ( điểm)

Cho biÓu thøc P=x √5 − x +(3 − x ).2+x

Tìm giá trị nhỏ lớn nhÊtcđa P 0 ≤ x ≤3

Bµi 3 ( điểm)

a, Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c cho a2 + b2 + c2 = 2007

b, Chøng minh không tồn số hữu tỷ x, y, z cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + = 0

(18)

Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đờng cao AH Gọi (O) vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH vòng tròn (O) lấy điểm M khác A.Trên tiếp tuyến M vòng tròn (O) lấy hai điểm D E cho BD = BE = BA Đờng thẳng BM cắt vòng tròn (O) điểm thứ hai N

a, Chøng minh r»ng tø gi¸c BDNE néi tiÕp mét vßng trßn

b, Chøng minh vßng trßn ngoại tiếp tứ giác BDNE vòng tròn (O) tiếp xúc với

Bài ( điểm)

Có n điểm , khơng có điểm thẳng hàng Hai điểm đợc nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng đợc tô màu xanh, đỏ vàng Biết rằng: có đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ đoạn màu vàng; Khơng có điểm mà đoạn thẳng xuất phát từ có đủ màu khơng có tam giác tạo đoạn thẳng nối có cạnh màu

a, Chứng minh không tồn đoạn thẳng màu xuất phát từ điểm

b, Hãy cho biết có nhiều điểm thoả mãn đề Hết

S giỏo dc- o to

Đề thức Năm học 2004 2005 Môn : Toán ( Đề chuyên ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Ngµy thi - - 2004

Bài 1( điểm)

1- Chứng minh với mäi x tho¶ m·n: 1≤ x ≤ 5 ta cã: 5 x+x 2

2- Giải phơng trình:

√5− x+√x −1=− x2+2 x+1

Bµi (2 điểm)

Cho x, y z số dơng tho¶ m·n xy + yz + xz = 1, Chøng minh r»ng: + x2 = (x + y)(x + z )

2, Tính giá trị biểu thøc:

( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)

2 2

1 y z z x x y

P x y z

1 x y z

+ + + + + +

= + +

+ + +

Bµi (3 ®iĨm)

Cho hai đờng trịn (O) (O’) cắt A B cho hai tâm O O’ nằm hai phía khác đờng thẳng AB Đờng thẳng (d ) quay quanh B, cắt đờng tròn (O) (O’) lần lợt C D ( C khác A, B D khác A, B )

1, Chứng minh số đo góc ACD, ADC CAD khơng đổi 2, Xác định vị trí (d) cho đoạn thẳng DC có độ dài lớn

3, Các điểm M, N lần lợt chạy (O) và(O’), ngợc chiều cho góc MOA, NO’A Chứng minh đờng trung trực đoạn thẳng MN ln qua điểm cố định

Bµi ( ®iĨm )

Tìm a, b để hệ sau có nghiệm

¿ ¿xyz2+z=b ¿

x2

+y2+z2=4 ¿

(19)

Cho sè a, b, c tho¶ m·n: 0 ≤ a ≤2 , 0 ≤ b ≤2 , 0 ≤ c ≤ 2 , vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3

HÕt

đại học quốc gia hà nội tr

ờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2001 thi tuyn sinh lp 10

Môn : Toán ( Vßng )

Thời gian làm : 150 phút (Không kể thời gian phát đề )

Câu Tìm tất số nguyên thoả mãn đẳng thức : (y +2)x2 + =y2

Câu

1, Giải phơng trình

  

x 3x 1  x x x

2, Giải hệ phơng trình:

2

x xy 3x y

x y

   

 

 

 C©u

Cho nửa vịng trịn đờng kính AB = 2R Trên đoạn AB lấy điểm M.Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ hai tia Mx My cho ã ã

0 AMxBMy30

Tia Mx cắt nửa vòng tròn E tia My cắt nửa vòng tròn F Kẻ EE, FF’ vu«ng gãc xuèng AB

1 Cho AM = a

2 , tính diện tích hình thang vuông EE’FF’ theo a

2 Khi điểm M di động AB , chứng minh đờng thẳng EF tiếp xúc với vịng trịn cố định

C©u 4:

Giả sử x, y, z số thực khác thoả mãn hệ đẳng thức :

3 3

1 1 1

x y z

y z z x x y

x y z

      

     

      

 

    



  



H·y tÝnh giá trị biểu thức:

1 1

P

x y z

  

Câu Với x, y, z số thực dơng, hÃy tìm giá trị lớn biểu thức

     

xyz M

x y y z z x



(20)

HÕt

Môn : Toán

( Cho Chuyên Toán Chuyên Tin )

Bµi

1 Cho f(x) = ax2 + bx + c cã tính chất : f(x) nhận giá trị nguyên x số

nguyên Hỏi hệ số a, b, c có thiết số nguyên hay không? Tại sao?

2 Tỡm cỏc s nguyờn không âm x, y thoả mãn đẳng thức :

2

x y  y 1

Bµi 2. Giải phơng trình 4 x x2 5x 14

Bài Cho số thực a, b, x, y tho¶ m·n hƯ thøc:

2

3

4

ax by 3x

ax by 5x

ax by

ax by 17

 

 

 

 

 



HÃy tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc:

A = ax5 + by5

B= ax2001 + by2001

Bµi 4.

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O Gọi d1, d2 đờng thẳng vng

góc với AB tơng ứng A B Một góc vng đỉnh O có cạnh cắt d1 M cịn cạnh

kia cắt d2 N Kẻ OH vuông góc với MN Vòng tròn ngoại tiếp tam giác MHB cắt d1

ở điểm thứ hai E khác M, MB cắt AN I, đờng thẳng HI cắt EB K Chứng minh K nằm vòng tròn cố địnhgóc vng quay xung quanh đỉnh O

Bµi 5.

Cho 2001 đồng tiền, đồng tiền đợc sơn mặt màu đỏ mặt màu xanh Xếp 2001đồng tiền theo vịng trịn cho tất đồng tiền có mặt xanh ngửa lênphía Cho phép lần đổi mặt đồng thời đồng tiền liên tiếp cạnh Hỏi với cách làm nh thế, sau số hữu hạn lần ta làm cho tất đồng tiền có mặt đỏ ngửa lên phía đợc hay không ? Tại sao?

ờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2002Đề thi tuyển sinh lớp 10

Môn : Toán ( Vòng )

(21)

1 Gi¶i phơng trình x x

2 Giải hệ phơng trình:

   

x y

x x y y xy 17

   

 

    

  Bµi 2.

Cho a, b, c độ dài ba cạnh mt tam giỏc

Chứng minh phơng trình : x2 + (a + b + c )x + ab + bc + ca = v« nghiƯm

Bài 3.

Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 lµ mét sè chÝnh phơng

Bài 4.

Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc:

1 1

P

1 xy yz zx

  

  

Bµi 5.

Cho hình vng ABCD, M điểm thay đổi cạnh BC (M không trùng với B ) N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho

· · ·

MANMABNAD

1 BD cắt AN AM tơng ứng P Q Chứng minh năm điểm P, Q, C, N nằm đờng tròn

2 Chứng minh đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định M N thay đổi

3.KÝ hiƯu diƯn tÝch cđa tam giác APQ S1và diện tích tứ giác PQMN lµ

S2 Chøng minh tØ sè

1

S

S không đổi M N thay đổi

HÕt

Môn : Toán

( Cho Chuyên Toán Chuyªn Tin )

Thời gian làm : 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề )

C©u1.

1.Giải phơng trình :

2

x  3x2  x3  x  x 2x

(22)

Giải hệ phơng trình

2

3

x y xy

x y x 3y

  

 

  

 C©u 3.

Cho mời số nguyên dơng 1, 2, 3, 4, ….10 Sắp xếp 10 số cách tuỳ ý thành hàng Cộng số với số thứ tự hàng, ta đợc mời tổng Chứng minh mời tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống

Câu4.

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4a 9b 16c

P

b c a a c b a b c

  

     

Trong a, b, c độ dài ba cạnh tam giỏc Cõu 5.

Đờng tròn ( C ) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tơng ứng điểm A’, B’, C’

1.Gọi giao điểm đờng tròn (C) với đoạn IA, IB, IC lần lợt làM, N,P Chứng minh đờng thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy

2.Kéo dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC D ( khác A)

Chøng minh r»ng IB.IC

2r

ID  , r bán kính đờng tròn (C).

Hết đại học quốc gia hà nội

tr

M«n : Toán ( Vòng )

Thi gian lm bi : 150 phút (Không kể thời gian phát đề )

Bài (2 điểm )

Giải phơng trình :

  

x 5 x2 1 x 7x 10 3

Bµi ( điểm )

Giải hệ phơng trình:

3

2x 3x y

y 6xy

 

 



Bài (2 điểm )

Tỡm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức

2 2

2y x   x y x 2y xy

(23)

Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R ( R độ dài cho trớc) M, N hai điểm nửa đờng tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ A B đến đờng thẳng MN R

1 Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R

2 Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm hai đờng thẳng AM BN K Chứng minh bốn điểm M, N, I, K nằm đờng trịn Tính bán kính đờng trịn theo R

3 Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KAB theo R M, N thay đổi nhng thoả mãn giả thit ca bi toỏn

Bài ( điểm )

x, y, z số thực thoả mÃn điều kiện: x + y + z + xy + yz + xz = Chøng minh r»ng :

2 2

x y z 3

HÕt

Môn : Toán

Thời gian làm : 150 phút (Không kể thi gian phỏt )

Bài 1.( điểm )

Cho phơng trình : x4 2mx2

Tìm giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4

tho¶ m·n :

4 4

1

x x x x 32

Bài 2 ( điểm )

2

2x xy y 5x y

x y x y

     

 

   

Bài 3. ( điểm )

Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức:

2 2

x xyy x y

Bài 4. ( điểm )

Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB t-ơng ứng điểm D, E, F Đờng tròn tâm O’ bàng tiếp góc BAC tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài cạnh AB, AC tơng ứng điểm P, M, N

(24)

2, Trên đờng thẳng MN ta lấy điểm I, K cho CK song song với AB, BI song song với AC Chứng minh BICE, BKCF hình bình hành

3, Gọi (S) đờng tròn qua điểm I, K, P Chứng minh (S) tiếp xúc với cạnh BC, BI, CK

Bài 4. (1 điểm )

S thực x thay đổi thoả mãn điều kiện  

2

x  x 5

Tìm giá trị nhỏ biểu thức    

4

P x  3 x 6x x

HÕt

ờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2001Đề thi tuyển sinh lp 10

Môn : Toán ( Vòng )

Bµi 1.

1, Giải phơng trình :

2 x  x 1  1 x 

2, Tìm nghiệm nguyên hệ

2

3

2x x xy 2y 2x

x y x y

    

 

   



Bài 2. cho số thực dơng a b tho¶ m·n

a100+b100 = a101 + b101 = a102 + b102

HÃy tính giá trị biểu thøc

P =a2004 + b2004

Bµi

Cho ABC có AB = 3cm , BC = 4cm, CA = 5cm Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần

Bµi 4.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn có hai đờng chéo AC BD vng góc với H( H khơng trùng với tâm đờng tròn ) Gọi M N lần l-ợt chân đờng vng góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB BC Chứng minh đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm cựng mt ng trũn

Bài

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 

10 10

2

16 16 2

2

1 x y

Q x y x y

2 y x

 

      

 

(25)

M«n : Toán

Thời gian làm : 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề )

Bµi Giải phơng trình.

x x Bài Giải hệ phơnh trình.

  

2

x y x y 15

x y x y

   

 

Bài 3.

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

   

3 2

x y x y

P

x y

  



 

trong x, y số thực lớn Bài

Cho hình vuông ABCD điểm M nằm hình vuông

1.Tìm tất vị trí điểm M choMAB· MBC· MCD· MDA·

2 Xét điểm M nằm đờng chéo AC Gọi N chân đờng vng góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số

OB

CN có giá trị khơng đổi M di chuyển đờng chéo AC

3.Với giả thiết M nằm đờng chéo AC, xét đờng trịn (S 1) (S2) có

®-êng kính tơng ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung cđa (S 1) vµ (S2) tiÕp xóc víi

(S2) P Q Chứng minh đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S1)

Bµi 5.

Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn không vợt a kí hiệu  a Dãy số x0, x1, x2,………, xn ,… dựoc xác dịnh

bëi c«ng thøc

n

n n

x

2



   

    

    Hái 200 sè x , x , , x0 199 có bao nhiêu

số khác 0?

( Cho biÕt 1,41 < 2<1,42 )

(26)

Nam Định Đề thi thi học sinh giỏi lớp 9năm học 1997-1998

Đề thức Môn : Toán (vòng I )

Thời gian làm : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Ngµy thi -12 - 1997

Bµi 1.

Không sử dụng bảng số máy tính hÃy so sánh số sau :

A=1996+1998 B=2√1997

Bµi

Gäi ( x0, y0, z0 ) nghiệm hệ phơng trình :

¿

x2+y2+z2=1

x3

+y3+z3=1 ¿{

¿ Tính giá trị biếu thức : M=x0+y02+z03

Bµi 3.

Tìm tất giá trị x để biểu thức sau :

F=x2+x +6

có giá trị số phơng Bài 4.

Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy lần lợt điểm D, E, F không trùng với đỉnh A, B, C Hãy tìm tất điểm D, E, F cho đoạn thẳng DE, EF, FD chia tam giác ABC thành tam giác có diện tích Bài 5.

Cho đờng trịn (O) có đờng kính AC cố định B điểm chuyển động đờng tròn Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Vẽ tiếp tuyến Ax với đờng tròn (O) A kẻ đờng thẳng Dy vng góc với đờng thẳng CD cắt tiếp tuyến Ax E Qua E kẻ đờng thẳng vng góc với AD K Tìm tập hợp điểm K điểm B di chuyển đờng tròn (O)

HÕt

Sở giáo dục - đào to

Đề thức Môn : Toán (vòng I )

(27)

Ngµy thi -12 - 1997

Bài 6.

Giải biện luận hệ phơng trình sau:

x

2y2

x4− y4=1

2 x +x

2

+7 y2

x2

+y2 =a

2

+x2+4 ¿{

¿

a tham số

Bµi 7.

Gọi a , b , c độ dài cạnh tam giác Giả sử x, y, z giá trị thay đổi cho a x + by + cz = 0.Tìm giá trị lớn biểu thức sau:

F = xy + yz + xz

Bài Tìm điều kiện a, b để phơng trình : ( x2 + a x + b ) [x4

+a x3+(b− 2) x2−a x+1]=0

có ba nghiệm phân biệt Bài 9.

Cho góc tù xPy đờng trịn (O) tiếp xúc với cạnh Px B, tiếp xúc với cạnh Py C Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O) lấy điểm A Qua A vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt cạnh PB, PC lần lợt E F Chứng minh diện tích tam giác PEF nhỏ diện tích tam giác ABC

Bµi 10.

Cho góc vng xAy Trên tia Ax lấy điểm I cố định, tia Ay lấy điểm P di động Gọi M điểm đối xứng với điểm A qua đờng thẳngPI Vẽ đờng tròn (O) qua M tiếp xúc với đờng thẳng Ay P Chứng minh đờng trịn (O) ln tiếp xúc với đờng trịn cố định

HÕt

S giỏo dc - o to

Đề thức Môn : Toán ( vßng II )

Ngµy thi 26 -12 - 1997

Bµi

(28)

¿

x2+y2=x√1− y2+y√1− x2 3 x − y =5

¿{

¿ Bµi

Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình

√x+√y=√x + y +2

Bµi 3.

Cho c¸c sè r, s , t víi r < s < t cã tÝnh chÊt : NÕu thay y phơng trình x2

-( - y ).x + y2 -9y + 15 = bëi mét số r , s , t hai số lại là

nghim ca phng trỡnh nhận đợc Chứng minh -1 < r < Bài 4.

Cho tam giác ABC điểm O nằm phía tam giác Các tia AO, BO, CO cắt cạnh đối diện tơng ứng lần lợt A', B' C'.

Chøng minh tû sè : OA

OA' ; OB OB' ;

OC

OC' Ýt nhÊt cã tỷ số không nhỏ

và tỷ số không lớn Bài 5.

Cho đờng tròn (O;R) điểm A ngồi đờng trịn ấy( OA > R)

Một đờng thẳng (d) quay xung quanh điểm A cắt đờng tròn (O;R) P Q Xác định vị trí đờng thẳng (d) để đờng tròn ngoại tiếp tam giác OPQ nằm đờng tròn (O;R)

HÕt

Đề thức Môn : Toán ( vòng II )

Ngµy thi 27 -12 - 1997

Bài 6.

Trong tất cặp số (x;y) tho¶ m·n x + y x2 + y2 HÃy tìm cặp

(x;y) có tổng x + y lín nhÊt Bµi 7.

Cho 20 sè nguyên dơng thoả mÃn điều kiện sau :

a1<a2<a3< <a20<70

Chøng minh r»ng c¸c hiƯu aj− ak ( víi j > k, j, k =1, 2, 3…., 20 )

(29)

Cho hệ phơng trình :

a x12

+bx1+c=x2

a x22

+bx2+c=x3

a x32+bx3+c=x4

a x24+bx4+c=x1 ¿{ { {

¿

ở a (b - 1)2 - 4ac < Chứng minh hệ phơng trình vơ nghiệm.

Bµi 9.

Cho hình thang có hai đờng chéo m n, bán kính đờng tròn nội tiếp r Chứng minh : m2 + n2 16r2 Đẳng thức xẩy ?

Bµi 10.

Cho đờng trịn (O;R) dây cung AB đờng tròn Trên cung nhỏ AB đờng tròn (O;R) lấy điểm M cố định cho hình chiếu M dây AB thoả mãn:

4AB<AH<

4AB Một điểm N chuyển động dây AB Đờng thẳng MN cắt

đờng tròn (O) điểm thứ hai K Gọi I trung điểm KN Xác định vị trí N AB để góc AIB nhỏ

HÕt

S giỏo dc - o to

Nam Định Đề thi thi học sinh giỏi lớp 9năm học 1998 -1999

Đề thức Môn : To¸n

Ngµy thi 18 - - 1999 Bài 1.

Giải phơng trình :

x4 - 2x2 - 400x = 9999

Bài 2.

Cho số dơng a, b, c tho¶ m·n hƯ thøc : ab + bc + ca = 1, Chøng minh r»ng :

√(b2

+1)(c2+1)

a2+1 =b+c

2, Rót gän biĨu thøc sau :

M=a √(b2+1)(c2+1)

a2+1 +b √

(c2+1) (a2+1)

b2+1 +c √

(a2+1) (b2+1)

c2+1

Bµi

Chøng minh r»ng : x=1998

(30)

trình ax2 + bx + c = a, b, c số nguyên lẻ.

Bµi 4.

Tam giác ABC cân đỉnh B có đờng cao thuộc đỉnh B h Đờng trịn (O;h) di động nhng ln tiếp xúc với cạnh AC Các cạnh bên BA BC cắt đờng tròn (O;h) tơng ứng D E Chứng minh đờng trịn (O;h) di động cung DE đờng trịn (O) có số đo khơng đổi

Bµi 5.

Cho tam giác nhọn ABC có bán kính đờng trịn nội tiếp ngoại tiếp tơng ứng r R Gọi ka, kb, kclần lợt khoảng cách từ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác

ABC đến cạnh BC, Cavà AB

Chøng minh r»ng : ka+ kb + kc = R + r

HÕt

S giỏo dc - o to

Đề thức Môn : Toán Thời gian làm : 150 phót

( khơng kể thời gian giao đề )

Ngµy thi 18 - - 1999 Bµi 6.

Chøng minh r»ng víi giá trị nguyên x y biểu thøc sau : B = ( x2y3 - 4x2y) ( x4 + x 2- )

lu«n chia hÕt cho 216 Bài 7.

Lập phơng trình bậc hai (Èn x ) víi hƯ sè nguyªn nhËn x1=√3 5

3+5

nghiệm Tìm nghiệm x2 lại phơng trình

Bài 8.

Sè lín nhÊt sè a vµ b ký hiƯu lµ max (a; b) Chøng minh r»ng 1, |x − y|+x+ y=2 max(x ; y)

2,                 c , b , a max c ab b a ab a b c ab b a ab a b Bµi 9.

Cho tam giác nhọn ABC Gọi A1, B1, C1 tơng ứng chân đờng vng góc kẻ

từ đỉnh A, B, C xuống cạnh đối diện Từ A1 kẻ đờng A1S A1P tơng ứng

vng gócvới cạnh AB,và AC Từ B1 kẻ đờng B1M B1Qtơng ứng vuông

góc với cạnh BA BC Từ C1 kẻ đờng C1N C1R tơng ứng vng góc với

các cạnh CA CB

(31)

HÕt

Sở giáo dục - o to

Nam Định Đề thi thi học sinh giỏi lớp 9năm học 1999 - 2000

Đề thức Môn : Toán Thêi gian lµm bµi : 150 phót

( không kể thời gian giao đề )

Ngµy thi 23 - - 2000 Bµi 1.

Tìm tất giá trị m để biểu thức sau đạt giá trị lớn :

M=(√m− 2

m −1 −

√m+2

m+2m+1)

(1 m )2

Tìm giá trị lớn Bài 2.

Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : x2 + 2y2 + 3xy +3x +5y = 14

Bµi 3.

Chứng minh 1900 số tự nhiên liên tiếp tìm đợc số có tổng chữ số chia hết cho 27

Bµi 4.

a, Cho tø gi¸c låi ACEF Chøng minh :

AC.EF + CE.AF AE CF

b, Cho lục giác lồi ABCDEF thoả mÃn : AB =BC; CD = DE; EF = FA Chøng minh r»ng : BC

BE+ DE DA+

FA FC ≥

3

Bµi 5.

Cho đờng thẳng (d) cố định đờng trịn (O;R) cố định khơng cắtđờng thẳng (d) Gọi A điểm chuyển động đờng thẳng (d) Qua A kẻ tiếp tuyến AB AC đến đờng trịn (O;R), B C tiếp điểm Gọi H trung điểm BC Tìm quỹ tích điểm H A di chuyển đờng thẳng (d)

(32)

S giỏo dc - o to

Nam Định Đề thi thi học sinh giỏi lớp 9năm học 2000 - 2001

Đề thức Môn : To¸n

Ngày thi 23 - - 2001 Bài Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thoả mãn đẳng thức : y=√(x2−3)

2

+12 x2

x2 +√(x +2)

2

− x

Bµi Giải phơng trình :

x

2+ x

1+√1+x =1

Bµi Cho a số thoả mÃn điều kiện : a ±1 vµ a

XÐt d·y sè sau :

x1=

a− 1 a+1 x2=x1−1

x1+1

x2001=x2001− 1

x2000+1

Tìm a biết x2001=5

Bài 4.

Cho 201 điểm tuỳ ý miền hình vuông có cạnh 10 cm Chứng minh có hình tròn bán kính 1cm chứa 201 điểm nói

Bài 5.

a, Cho tam giác ABC với M trung điểm cđa c¹nh BC Chøng minh r»ng : AB2 + AC2 = 2AM2 +

2 BC2

b, ABCD tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh rằng: |AC− BD|≤|AB− CD|

HÕt

Đề thức Môn : Toán

Thi gian làm : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Ngµy thi 24 - 2002

Bµi 1.

(33)

1

c=−(

1

a+

1

b)

Chøng minh r»ng : √a+c +√c +b=√a+b

Bµi 2:

Trong tập hợp số (x, y, z, t) thoả mÃn hệ điều kiện

x2

+z2=9

y2+t2=16 xt+yz≥ 12

¿{ { ¿

Hãy tìm số (x0, y0, z0, t0) cho tổng x0 + y0 đạt giá trị lớn

Bài 3.

Chứng minh phơng trình : x3 + 3y3 + 9z3 - 9xyz = 0

Ngoài nghiệm x = y = z = 0, phơng trình không nghiệm hữu tỷ khác Bài 4.

Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Vẽ dây cung AD đờng

tròn (O1) tiếp xúc với đờng tròn (O2) dây cung AE đờng tròn (O2) tiếp xúc với

đờng tròn(O1) Gọi C điểm đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác ADCE

nội tiếp đợc đờng tròn Bài 5.

Cho đờng tròn (O;R) điểm I cố định bên đờng tròn.Qua I vẽ hai dây cung AC BD Xác đinh vị trí dây AC BD để biểu thức f =

AB DA +BC CD

AB BC+DA CD Đạt giá trị lớn Tìm giá trÞ lín nhÊt Êy?

HÕt

Nam Định Đề thi thi học sinh giỏi lớp 9năm häc 2002 - 2003

§Ị chÝnh thøc Môn : Toán

Thi gian làm : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Ngµy thi 24 - - 2003 Bµi 1.

Rót gän biÕu thøc : A= 3+√5

√10+√3+√5−

3 −√5

√10+√3−√5

Bµi 2.

Gäi a vµ b nghiệm phơng trình bậc hai x2 - x - = Chøng minh

r»ng c¸c biÕu thøc P = a + b + a3 +b3 , Q = a2 + b2 + a4 +b4 vµ

R = a2001 + b2001 + a2003 +b2003 số nguyên chia hết cho 5.

Bµi 3.

(34)

¿ 2 x2− xy=1

4 x2+4 xy − y2=m ¿{

¿

(1)

a, Giải hệ phơng trình víi m =

b, T×m m cho hệ phơng trình (1) có nghiệm Bài 4.

Cho hai vòng tròn ( C1) (C2) tiếp xúc T Hai vòng tròn

nằm vòng tròn (C) tiếp xúc với ( C ) tơng ứng M N Tiếp tuyến chung T ( C1) (C2) cắt (C) P PM cắt vòng tròn (C1) điểm thứ hai A MN

cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt vòng tròn (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2)

tại điểm thứ hai C

a, Chứng minh tứ giác ABCD tứ gi¸c néi tiÕp

b, Chứng minh đờng thẳng AB, CD PT đồng qui Bài 5.

Một ngũ giác có tính chất : Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác

HÕt

Đề thức Môn : Toán Thời gian lµm bµi : 150 phót

( không kể thời gian giao đề )

Ngày thi 24 -3 -2004 Bài 1.( điểm )

a, Tính giá trị x biết

1 − x2= 3 x

√1 − x2−1

b, Giải hệ phơng trình :

x2=2− y

y2=2 − x

¿{ ¿ Bµi ( ®iĨm )

Trên hệ trục toạ độ vẽ Parabol ( P ) có phơng trình y = x2, đờng

thẳng (d1) có phơng trình y = - x đờng thẳng (d2) có phơng trình y =

a, Tính diện tích tứ giác lồi có đỉnh giao điểm Parabol (P) với đờng thẳng (d1) (d2)

b,Chứng minh diện tích S phần mặt phẳng toạ độ giới hạn Parabol (P) đờng thẳng (d1) ( phần nằm phía (P) nằm phía dới (d1) lớn

(35)

Giả sử a, b, c nghiệm khác đa thức x3 - x2 - x -1.

đặt Sn = an + bn + cn với n số nguyên dơng Chứng minh :

a, Sn +3 = Sn +2 + Sn +1 + Sn vµ Sn lµ số nguyên dơng lẻ

b, a

2004

− b2004

a − b +

b2004− c2004

b − c +

c2004− a2004

c a số nguyên dơng

Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy điểm D, E, F tơng ứng cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác AEF,BFD CDE r' Gọi X, Y, Z lần lợt tâm vòng tròn nội tiếp tam giác AEF, BFD vµ

CDE

a, Chứng minh tam giác XYZ đồng dạng với tam giác ABC có chu vi chu vi tam giác DEF

b, Gäi bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác DEF r Tính bán kính r vòng tròn nội tiếp tam giác ABC theo r r

HÕt

Môn : Toán

Đề thức Thời gian làm : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Ngµy thi 24 -3 -2005

Bµi 1.(4 điểm)

Giải phơng trình: x x Bài 2.(4 điểm )

Cho phng trỡnh bc hai : x2  (m2 m 1)(x  n2  1) (n 1)2 0 với ẩn x a, Biết m = 321,657 n = 123,546 Hãy tính gần nghiệm phơng trình tới chữ s sau du phy

b, Cho số nguyên dơng m n cho mn, m số phơng m + n số lẻ Chứng minh phơng trình có nghiệm nguyên , dơng, không số phơng

Bài ( ®iĨm )

a, Chứng minh số tự nhiên ln tìm đợc số có tổng chia hết cho

b, Chứng minh 11 số tự nhiên ln tìm đợc số có tổng chia hết cho

Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo vng góc với nội tiếp đờng tròn tâm O Chứng minh tứ giác ( lồi không lồi ) OABC OADC có diện tích

(36)

Cho hai đờng trịn tâm O bán kính R tâm O’ bán kính R’ cắt A B cho OA O’A vng góc với Đờng thẳng OO’ cắt hai đờng tròn điểm C, E, D, F cho điểm C, O, E, D, O’, F nằm đờng thẳng OO’ theo thứ tự BE cắt đờng trịn tâm O điểm thứ hai P cắt CA M BD cắt đ-ờng tròn tâm O’ điểm thứ hai Q cắt cắt AF N Chứng minh rằng:

a, Ba ®iĨm C, A, Q thẳng hàng

b, Cỏc ng thng MN v CF song song với

c,

PE QN R'

PM QD R

HÕt

đại học quốc gia hà nội

trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2005đề thi tuyển sinh lớp 10

Môn : Toán ( vòng 1)

Thi gian lm : 150 phút ( Không kể thời gian phát )

Câu I

2

x y xy

x y

  

 

Câu II

Giải phơng tr×nh

x4 x 3 2x 11

Câu III

Tìm nghiệm nguyên phơng trình

 

2

x 17y 34xy51 xy 1740

C©u IV

Cho hai đờng trịn (O), (O’) nằm ngồi có tâm tơng ứng O O’ Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn tiếp xúc với đờng tròn (O) A (O’) B Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn cắt AB I, tiếp xúc với (O) C (O’) D Biết C nằm I D

1) Hai đờng thẳng OC, O’B cắt M Chứng minh OM > O’M 2) Ký hiệu (S) đờng tròn qua A, C, B (S’) đờng tròn qua A, D, B Đờng thẳng CD cắt (S) E khác C cắt (S’) F khác D Chứng minh AF vng góc với BE

C©u V

Giả sử x, y, z số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện

2 2

xy z x zy3z H·y tìm giá trị lớn biểu thức

 

4

4 4

z P

1 z x y



(37)

HÕt

đại học quốc gia hà nội

trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2005đề thi tuyển sinh lp 10

Môn : Toán

Thi gian làm : 150 phút ( Không kể thời gian phỏt )

Câu I

Giải phơng tr×nh

2

2 x  2x 4 x

Câu II

3

4

x y xy

4x y 4x y

   

 

  

 

C©u III

Giả sử x, y số không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện

2

x y 1

1 Chøng minh r»ng 1  x y

2 T×m giá trị lớn nhỏ biểu thức P 2x  2y

C©u IV

Cho hình vuông ABCD điểm P nằm tam giác ABC 1) Giả sử góc BPC 1350 Chứng minh r»ng 2PB2 + PC2 = PA2.

2) Các đờng thẳng AP CP cắt cạnh BC BA tơng ứng điểm M N Gọi Q điểm đối xứng với B qua trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh P thay đổi tam giác ABC, đờng thẳng PQ di qua D

C©u V.

1)Cho đa giác (H) có 14 đỉnh Chứng minh đỉnh ln có đỉnh đỉnh mt hỡnh thang

2) Có phân số tối giản m

n lớn ( m, n số nguyên dơng) thiỏa mÃn m.n = 13860

HÕt

đại học quốc gia Hà nội

(38)

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thPT Chuyên ngoại ngữ năm 2005

Môn thi : Toán

Thi gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 13- 06- 2004

1.Rót gän biĨu thøc :

   

  

1 1

A

2 1 2 2005 2004 2004 2005

2 Cho đẳng thức :

x y2 y z2 z x2 x y 2z2 y z 2x2 z x 2y2

Chøng minh r»ng : x = y = z

1.Giải phơng tr×nh :

        

x 3x x 2x 2x

2 Cho phơngtrình :



    

2

x m x m 0 (1) , víi m lµ tham sè.

Tìm m để nghiệm x1, x2 phơng trình (1) có hệ thức : 2x1 + 3x2 = 13

m2 x 2 m 1 x  m0

(1) , với m tham số Tìm giá trị lớn nhỏ :

2

1

A x x

với x1, x2 nghiệm phơng trình (1)

Câu ( 3,0 điểm )

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O), có đờng phân giác cắt I Các đờng thẳng AI, BI, CI cắt đờng tròn (O) tơng ứng điểm M, N, P

1 Chøng minh tam giác NIC cân N

2 Chứng minh I trực tâm tam giác MNP

3 Gọi E giao điểm MN AC, F giao điểm PM AB Chứng minh : ba điểm E, I, F thẳng hàng

4 Gọi K trung điểm BC giả sử r»ng BI vu«ng gãc víi IK, BI = 2IK H·y tính góc A tam giác ABC

Câu ( 1,0 điểm )

Giải phơng trình : 5x3 6x2 12x 8 HÕt

S giỏo dc- o to

Môn : Toán ( Đề chung ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

(39)

Cho biÓu thøc :

 

 

 

  

3

1 x

1 x M

1 x x x víi x  vµ x1 Rót gän biĨu thøc M

2 Tìm x để M 

Bµi ( 1,0 điểm )

Giải phơng trình : x 12 x

Bài (3,0 điểm)

Cho parabol (P) v đờng thẳng (d) có phơng trình: (P) : y = mx2

(d) : y = 2x + m

m tham số, m 0 Với m = 3, tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) parabol (P)

2 Chứng minh với m0, đờng thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt

3 Tìm m để đờng thẳng (d) cắt parabol (P) điểm có hồnh độ

  

3

1

vµ   

3

1

Bài (3,0 điểm)

Cho tam giỏc u ABC nội tiếp đờng tròn (O) D điểm cung BC không chứa A ( D khác B D khác C ) Trên tia DC lấy điểm E cho DE = DA

1 Chứng minh ADE tam giác Chứng minh ABDACE

3 Khi D chuyển động cung BC không chứa A (D khác B D khác C) E chạy đờng nào?

Bµi ( 1,0 ®iĨm )

Cho sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n : a + b + c  2005

Chøng minh :

  

  

  

3 3 3

2 2

5a b 5b c 5c a

2005

ab 3a bc 3b ca 3c

HÕt

S giỏo dc- o to

Môn : Toán ( Đề chuyên ) Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Ngµy thi 01 - - 2005 Bài (1,5 điểm)

Biết a, b, c số thực thoả mÃn a + b + c = vµ abc 0 Chøng minh a2 + b2 - c2 = -2ab

2 Tính giá trị cđa biĨu thøc :

  

     

2 2 2 2 2

1 1

P

(40)

Bài (1,5 điểm)

Tìm số nguyên dơng x, y, z cho :

  

3 3

1 x y z 36

Bµi ( 2,0 ®iĨm )

1, Chøng minh : 4x  4x 1 2 víi mäi x tho¶ m·n:

  x

4

2, Giải phơng trình : 4x 4x 16x2 8x

Bài (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC D E điểm lần lợt nằm cạnh AB AC Đờng phân giác góc ADE cắt AE I đờng phân giác góc AED cắt AD K Gọi S , S1, S2 , S3 lần lợt diện tích tam giác ABC, DEI, DEK DEA

Gọi H chân đờng vng góc kẻ từ I đến DE Chứng minh :

1)

 

3

S IH

DE AD

2) 

 

 

1 3

S S S S

DE DE AD DE AE

3) S1S2 S

Bài ( 1,0 điểm )

Cho số a, b, c thoả mÃn :  

0 a 2; 0 b 2; 0 c 2 a + b + c = 3 Chứng minh bất đẳng thức : ab  bc ca 

- HÕT

-Bộ giáo dục đào tạo

trờng đại học s phạm hà nội hệ thpt chuyên năm 2005đề thi tuyển sinh lp 10

Môn : Toán 1

Ngày thi thø nhÊt : 14 - 06 - 2005

Thời gian làm : 150 phút ( Khơng kể thời gian phát đề )

C©u 1.

Cho x, y số thay đổi thoả mãn điều kiện : x > 0, y < 0, x + y =

1 Rót gän biÓu thøc    

 



 

  



 

 

 

2 2

2 2 2 2

2 :

y x y x y x

A

xy x y x y y x

2 Chøng minh r»ng A < -

Câu 2.

Cho phơng trình :     

2

4x m x 2m 4m 34 0, m lµ tham số. Giải phơng trình với m =

(41)

   



  



   

 2

6 14

x y z xy yz zx

x y z

Câu Cho tam giác ABC cân B có ABC 400, O trung điểm cạnh AC, K chân đờng vng góc hạ từ O xng cạnh AB, () đờng trịn tâm O bán kính OK

1 Chứng minh () tiếp xúc với đờng thẳng BC

2 Giả sử E điểm thay đổi cạnh BA cho AOE ,

   0

20 90

, F điểm cạnh BC cho EF tiếp xúc với ( ) Khi a, Tính theo  góc tứ giác AEFC

b, Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác COF c, Tính  để AE + CF nhỏ

        

2 2

4x 2y 2z 4xy 4xz 2yz 6y 10z 34

H·y tÝnh         

2005 2005 2005

4 4

S x y z

HÕt

Bộ giáo dục đào tạo

trờng đại học s phạm hà nội hệ thpt chuyên năm 2005 thi tuyn sinh lp 10

Môn : Toán 2

Ngµy thi thø hai : 15 - 06 - 2005

Thời gian làm : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )

C©u Cho

   

   

         

   

3

( )

2

P x x x x x

, thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh cã thĨ viÕt P(x) díi d¹ng P(x) = ax3 + bx2 + cx + d

H·y tÝnh tæng : S = a + b + c + d

Câu Cho số dơng a, b, c, b

Đặt x =2a + b - cd y =2b + c - da z =2c + d - ab t =2d + a - bc

Chøng minh r»ng sè x, y, z, t có hai số dơng

Câu

Tìm tất số nguyên dơng n cho sè T = 2n + 3n + 4n lµ số phơng

của số nguyên

(42)

Cho tam giác ABC, E điểm thuộc cạnh AC ( E A ), K trung điểm đoạn AE Đờng thẳng EF qua E vng góc với đờng thẳng AB ( F  AB ) cắt đờng thẳng qua C vng góc với đờng thẳng BC điểm D

c Xác định vị trí E cho KD có độ dài nhỏ

C©u

Trên mặt bàn có 2005 đồng xu kích thớc nhau, đồng xu có hai mặt: mặt màu xanh, mặt màu đỏ, tất đồng xu ngửa mặt xanh lên Thực trò chơi sau : Mỗi lợt chơi phải đổi mặt đồng xu mặt bàn Hỏi sau 2006 lợt chơi nhận đợc tất 2005 đồng xu mặt bàn ngửa mặt đỏ lên hay khơng ? giải thích

HÕt

Thêi gian lµm bµi : 150 phót Ngày thi -7 - 2005 Bài (2 điểm)

1 Tính giá trị biểu thức :P  74

2 Chøng minh :

    

  

2

a b 4 ab a b b a

a b

a b ab víi a > vµ b >0

Bµi ( 3,0 ®iĨm )

Cho parabol (P) đờng thẳng (d) có phơng trình :

(P) : y =

2

x

2 ; (d) : y = mx – m + ( m lµ tham sè )

1.Tìm m để đờng thẳng (d) parabol (P) qua điểm có hồnh độ x =

2.Chứng minh với giá trị m, đờng thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt

3.Giả sử (x1; y1) (x2; y2) tọa độ giao điểm đờng thẳng (d)

parabol (P) Chøng minh r»ng y1 + y2  

 

 2  x1x2

Bài ( 4,0 điểm )

Cho BC l dây cung cố định đờng tròn tâm O, bán kính R ( <BC< 2R) A điểm di động cung lớn BC cho ABC nhọn Các đờng cao AD, BE, CF ABC cắt H ( D BC, E CA F AB )

1 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc đờng trịn Từ suy

AE.AC = AF.AB

(43)

3 Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S diện tích của

ABC, 2p lµ chu vi cña DEF.

a chøng minh : d // EF. b Chøng minh: S = pR. Bµi ( 1,0 điểm)

Giải phơng trình : 9x2 16 2 2x44 2 x